重难点01 规律探究型问题（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习资料聚焦“规律探究型问题”核心考点，覆盖数与式、图形及平面直角坐标系中的规律问题，按17种题型分类架构知识体系，通过命题预测明确考法，典例变式拆解规律本质，专题训练强化应用，形成“考点梳理 - 方法指导 - 真题实战”的系统复习链，助力突破中考选择填空难点。 亮点在于“题型靶向突破”与核心素养融合，如通过数阵类规律题引导学生用数学眼光观察图形序号与数值关系，用数学思维抽象通项公式，配合分层练习（基础巩固、能力提升、创新拓展）和5分钟限时真题演练，高效培养学生的抽象能力与推理意识。教师可依托资料精准把控复习节奏，帮助学生短期内提升规律探究能力，实现中考复习的提质增效。

第一章 数与式 重难点01 规律探究型问题 （2种命题预测+17种题型汇总+专题训练） 目 录 01 重难攻坚👉破瓶颈·冲高分 1 02 分层攻坚👉验实效·夺高分 3 练透重难·固根基/解锁潜能·拓创新 重难点一 数与式，图形的规律问题 【命题预测】数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析。主要考査学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，要求学生通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论. 题型01 个位数规律 【典例1】（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律，可得的和的个位数字是（    ） A． B． C． D． 题型02 单/多项式规律 【典例2】（2025·云南·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·云南楚雄·三模）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 题型03数阵类规律 【典例3】（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 【变式1】2024·四川绵阳·中考真题）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 【变式2】（2024·四川绵阳·中考真题）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 【变式3】（2023·湖南常德·中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为(   )                           …… A．2003 B．2004 C．2022 D．2023 题型04杨辉三角形类规律 【典例4】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【变式1】（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 题型05表格类规律 【典例5】（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【变式1】（2025·云南·模拟预测）根据规律，x的值为（ ） A．135 B．153 C．169 D．170 【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，按图形①和图形②的规律找出图形③中问号处的数是 ． 题型06跨学科类规律(化学)通过观察已知等式求解 【典例6】（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【变式1】（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．    【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，请写出十烷的化学式： ． 题型07 通过观察已知等式求解 【典例7】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 题型08通过观察已知等式，猜想第n个代数式 【典例8】（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【变式1】（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 【变式2】（2023·湖南岳阳·中考真题）观察下列式子： ；；；；；… 依此规律，则第（为正整数）个等式是 ． 题型09图形固定累加型 【典例9】（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【变式1】（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）． 【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型09图形递变累加型 【典例9】（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【变式1】（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 题型10分区域累加型 【典例10】（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【变式1】（2024·安徽蚌埠·二模）【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为 ； （2）第n个图案中红梅花的盆数可表示为 ； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值． 【变式2】（2024·安徽·模拟预测）下列是由若干个边长均为1的正方形“”和等边三角形“△”拼成的图案． 根据以上规律，解决下列问题： (1)填写下表中的空格： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 … 的个数 2 6 10 … 的个数 5 10 15 … (2)第n个图案中有 个三角形， 个正方形．（用含n的式子表示） (3)从第几个图案开始，正方形的个数与三角形个数之差大于2024？ 题型11图形循环规律 【典例11】（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π） 【变式2】（2024·广东东莞·三模）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（    ） A．庚子 B．丁酉 C．壬卯 D．甲辰 题型12图形类规律 【典例12】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【变式1】（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【变式2】（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 重难点二 平面直角坐标系中规律问题 【命题预测】该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。 题型01沿坐标运动的点的规律 【典例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【变式1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点M从开始移动，规律为：第1次平移后得到点，第2次平移后得到点，第3次平移后得到点，第4次平移后得到点……那么第20次平移后得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ． ．【变式3】（2024·甘肃酒泉·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的坐标是 ．    题型02绕原点呈“回”字形运动的点的规律 【典例2】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【变式1】（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】2024·山东枣庄·模拟预测）在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，……若到达终点，则的值为 ． 题型03图形变换的点的规律 【典例3】（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置；并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到……以此类推，得到，则点的坐标为 ． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型04坐标轴与直线相结合类规律 【典例4】（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【变式1】（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律， ． 【变式2】（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交轴于点．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为 ． 1（2025·云南大理·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，⋯，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式，按要求回答下列问题． ①        ②         ③             ④ …… (1)根据以上规律，写出第⑥个等式 ； (2)猜想第n（n为正整数）个等式： （用含n的代数式表示） 4．（2025·陕西·模拟预测）苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图为小轩用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，，按照此规律，第个图形要用 根小棒．    5．（2025·河南郑州·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 行b列，则的值为（   ） A．2004 B．2005 C．2025 D．2024 7．观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 8．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 9（2025·湖南湘潭·一模）数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含的代数式表示） 10（2025·陕西汉中·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行最中间的数字是 ． 11．（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 12．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 1．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读下面材料，并填空： 我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证： 【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到 （1）如图，阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到______；    【解决问题】 （2）归纳猜想（不需要证明）：____________（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）根据以上结论，计算：______（直接写答案）． 2．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 重难点01 规律探究型问题 （2种命题预测+17种题型汇总+专题训练） 目 录 01 重难攻坚👉破瓶颈·冲高分 1 02 分层攻坚👉验实效·夺高分 3 练透重难·固根基/解锁潜能·拓创新 重难点一 数与式，图形的规律问题 【命题预测】数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析。主要考査学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，要求学生通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论. 题型01 个位数规律 【典例1】（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查找规律，先由题中式子，联系到，将原式化简得到 ，再由得到规律即可确定答案．由式子的特点化简，并找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 对于，当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 综上所述，，则的结果的个位数字是， 故答案为：． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律，可得的和的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了探数字的变化规律，根据运算规律可知个位数分别为：，，，，，，，每个数一组进行循环，因为，所以个位数之和应是，所以它们的和的个位数是． 【详解】解：，，，，，，， 可知个位数分别为：，，，，，，， 每个数一组进行循环， ， ， ， 的和的个位数字是． 故选：D 题型02 单/多项式规律 【典例2】（2025·云南·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律题，解决本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点． 分别从符号、符号后的数字、以及字母的指数三方面找规律即可． 【详解】解：根据一系列单项式，可以发现系数的符号由奇偶性决定，所以为，其后的数字为，字母为， 第个单项式为 ． 故选：B． 【变式1】（2025·云南楚雄·三模）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式规律问题，由题意可得第个单项式是，据此即可求解，由已知单项式找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴第个单项式是， 故选：． 题型03数阵类规律 【典例3】（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．如图所示的规律为：第行的最后一个数为，依此规律可以确定答案． 【详解】解：第一行的最后一个数是1， 第二行最后一个数是， 第三行最后一个数是， 第四行最后一个数是， 第五行最后一个数是． 第行最后一个数是． ， 第63行的最后一个数是2016． 2025在第64行从左到右第9个数的位置． 正整数2025可以用有序数对来表示． 故答案为：． 【变式1】2024·四川绵阳·中考真题）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）是解题的关键． 根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每行左起第3个数的规律即可解答． 【详解】解：由题知，， 所以第n行的最后一个数可表示为， 则从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）． 因为，故A选项不符合题意； 因为，故B选项不符合题意； 因为且，故C选项符合题意； 因为，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2024·四川绵阳·中考真题）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）是解题的关键． 根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每行左起第3个数的规律即可解答． 【详解】解：由题知，， 所以第n行的最后一个数可表示为， 则从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）． 因为，故A选项不符合题意； 因为，故B选项不符合题意； 因为且，故C选项符合题意； 因为，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】（2023·湖南常德·中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为(   )                           …… A．2003 B．2004 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致． 【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即；向前递推到第1列时，分数为，故分数与分数在同一行．即在第2042行，则． ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性． 题型04杨辉三角形类规律 【典例4】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 【详解】根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 【变式1】（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 【答案】C 【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键． 题型05表格类规律 【典例5】（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现方格中各部分数字的变化规律及之间的关系是解题的关键． 根据所给方格中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题． 【详解】每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为， 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为， 每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为: ， 当时，，，， 又， 所以． 故选：B． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）根据规律，x的值为（ ） A．135 B．153 C．169 D．170 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、代数式、有理数混合运算、一元一次方程的性质，从而完成求解； 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， …… ∴，，， ∴，． 故选：D． 【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，按图形①和图形②的规律找出图形③中问号处的数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了数字类规律的探索，找出规律是解题的一半． 从前两个图形可得右上角的数等于左上角与右下角的数的乘积减去左下角的数，即可求解． 【详解】解：；， ∴， 故答案为：8． 题型06跨学科类规律(化学)通过观察已知等式求解 【典例6】（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 【变式1】（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．    【答案】 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十二烷的化学式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，请写出十烷的化学式： ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律题．根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十烷的化学式为， 故答案为：． 题型07 通过观察已知等式求解 【典例7】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 【变式1】（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 题型08通过观察已知等式，猜想第n个代数式 【典例8】（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案． 【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1， 所以第个等式为：， 故答案为：． 【变式2】（2023·湖南岳阳·中考真题）观察下列式子： ；；；；；… 依此规律，则第（为正整数）个等式是 ． 【答案】 【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解． 【详解】解：∵；；；；；… ∴第（为正整数）个等式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键． 题型09图形固定累加型 【典例9】（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 【变式1】（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】 本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第n个图案中“”的个数为，解题的关键是明确题意，发现题目中个数的变化规律． 【详解】 解：∵第1个图案用了个“”， 第2个图案用了个“”， 第3个图案用了个“”， 第4个图案用了个“”， ……， ∴第n个图案中“”的个数为， 故答案为：． 【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 题型09图形递变累加型 【典例9】（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 【变式1】（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 题型10分区域累加型 【典例10】（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 【变式1】（2024·安徽蚌埠·二模）【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为 ； （2）第n个图案中红梅花的盆数可表示为 ； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察图案中黄梅花的盆数，得出规律即可； （2）观察图案中红梅花的盆数，得出规律即可； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第2个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第3个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第4个图案中黄梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中黄梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为， 第2个图案中红梅花的盆数可表示为， 第3个图案中红梅花的盆数可表示为， 第4个图案中红梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中红梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （3）根据题意得， 整理得，即， 解得（舍去）或． 【变式2】（2024·安徽·模拟预测）下列是由若干个边长均为1的正方形“”和等边三角形“△”拼成的图案． 根据以上规律，解决下列问题： (1)填写下表中的空格： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 … 的个数 2 6 10 … 的个数 5 10 15 … (2)第n个图案中有 个三角形， 个正方形．（用含n的式子表示） (3)从第几个图案开始，正方形的个数与三角形个数之差大于2024？ 【答案】(1)14，20 (2)， (3)从第2023个图案开始，正方形的个数与三角形个数之差大于2024 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据图案填写即可； （2）根据表格提供的数据总结规律即可； （3）根据规律列不等式求解即可． 【详解】（1）解：第4个图案中有14个三角形，20个正方形， 填表如下： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 … 的个数 2 6 10 14 … 的个数 5 10 15 20 … （2）解：由表格数据可得： 第n个图案中有个三角形，个正方形． 故答案为：，； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴从第2023个图案开始，正方形的个数与三角形个数之差大于2024． 题型11图形循环规律 【典例11】（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积．先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：根据题意得： 第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为； ∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ， 故答案为：． 【变式2】（2024·广东东莞·三模）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（    ） A．庚子 B．丁酉 C．壬卯 D．甲辰 【答案】D 【分析】本题考查了规律问题的探索与运用，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关键．天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年算起，用24分别除以10和12，根据余数结合天干地支表即可得到答案． 【详解】根据题意可知，2000年是庚辰年，那么2000年的天干对应的数字是0，地支对应的数字是8，从2000年开始算起，2024年为第24年， 天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期， ，， 那么2024年的天干从0开始数，第4个是甲，2024年的地支与2000年的地支一样，都是数字是8 2024年对应的天干为甲，地支为辰， 故2024年为甲辰年， 故选：D． 题型12图形类规律 【典例12】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 【变式1】（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 【变式2】（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 重难点二 平面直角坐标系中规律问题 【命题预测】该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。 题型01沿坐标运动的点的规律 【典例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ∵， ∴的坐标为． ∴的坐标为 故答案为：． 【变式1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点M从开始移动，规律为：第1次平移后得到点，第2次平移后得到点，第3次平移后得到点，第4次平移后得到点……那么第20次平移后得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点在坐标系中的变化规律，根据点的坐标的变化找出规律是解题的关键．由点的坐标变化得，坐标变化满足每2次一周期，每周期纵坐标加1，横坐标加2，按此规律计算即可． 【详解】解：由点的坐标变化得，坐标变化满足每2次一循环，每周期纵坐标加1，横坐标加2， 点M从开始移动，第20次平移后得到的点的横坐标为，纵坐标为， 所以第20次平移后得到的点的坐标为． 故选：A． 【变式2】（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第个点的坐标， 第2024个点的坐标为． 故答案为：． ．【变式3】（2024·甘肃酒泉·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可知，第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环，由，可得动点P的坐标是． 【详解】解：由题意知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， …… ∴第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环， ∵， ∴动点P的坐标是， 故答案为：． 题型02绕原点呈“回”字形运动的点的规律 【典例2】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【答案】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 【变式1】（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点，即，这时； 第2圈有8个点，即到； 第3圈有16个点，即到，； 依次类推，第n圈，； 由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确； 是在第23圈上，且，即，故B选项正确； 第n圈，，所以，故C、D选项不正确； 故选B． 【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键． 【变式2】2024·山东枣庄·模拟预测）在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，……若到达终点，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了坐标变化的规律，正确探索变化的规律是解题的关键．结合题意寻找变化的规律，即可确定答案． 【详解】解：∵点在第二象限， 根据题意，在第二象限内的点有，，，……， 又∵，，，……， ∴． 故答案为：2024． 题型03图形变换的点的规律 【典例3】（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律． 【变式1】（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置；并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到……以此类推，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，规律问题，利用等边三角形的性质，探究边长为，然后得到与都在第三象限，即可求出坐标. 【详解】 解：由题意 , ， ∴的边长， ， 与都在第三象限，坐标为 故答案为： ． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，观察图形可以看出每4个为一组，由于，在x轴正半轴上，纵坐标是0，再根据横坐标变化找到规律即可解． 【详解】解：由图象可以发现，各个点的坐标在四条射线上， ∵，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形， ∴，，…， ∵， ∴点在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是， ∴的坐标为． 故选：B． 题型04坐标轴与直线相结合类规律 【典例4】（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律， ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．分别过点、、作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点、、作x轴的垂线，垂足分别为点C、D、E， ∵，且为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得 ，， ∴， ， ， …… ∴， 因此． 故答案为：． 【变式2】（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交轴于点．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上的坐标特征及直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出、变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可．先根据两条直线的解析式求出A、B两点坐标，然后求出长度，由可求出点C坐标，又因为始终经过点且与y轴平行，通过计算找出、变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵直线：与y轴交于点A， ∴， 直线：与y轴交于点B， ∴， ，， ∵， ∴， 又∵过点C作分别交直线与于点、， ， ， 又∵过点作分别交直线与于点，， ， ， 以此类推， ， ， … ， ， 则， 故答案为：． 1（2025·云南大理·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，⋯，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变换类、单项式，解答本题的关键是发现式子的变化特点． 根据题意得到系数为序号的2倍，x次数和序号相等， 【详解】解：规律题重在找到数字之间的联系. ∵按一定规律排列的代数式：，，，，，⋯， ∴系数为序号的2倍，x次数和序号相等， ∴第n个代数式为． 故选：B． 2．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，理解材料提示，找出规律是关键． 根据材料提示，找出多项式的各项系数，指数的规律即可求解． 【详解】解：多项式：，，，，，， ∴的系数是（是正整数），的指数为（是正整数）， ∴当时，的系数是，的指数为， ∴第10个多项式是， 故选：B ． 3．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式，按要求回答下列问题． ①        ②         ③             ④ …… (1)根据以上规律，写出第⑥个等式 ； (2)猜想第n（n为正整数）个等式： （用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）序号为1时，变形为 ，    序号为2时，变形为 ，以此推导出规律解答即可； （2）根据猜想，把序号换成n即可． 本题考查了规律的探索，正确探索序号与等式的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 序号为1时，变形为 ，    序号为2时，变形为 ， 序号为3时，变形为 ， 序号为4时，变形为 ， 故当序号为6时，即， 故答案为：． （2）根据题意，得 序号为1时，变形为 ，    序号为2时，变形为 ， 序号为3时，变形为 ， 序号为4时，变形为 ， 故当序号为n时，即， 故答案为：． 4．（2025·陕西·模拟预测）苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图为小轩用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，，按照此规律，第个图形要用 根小棒．    【答案】 【分析】本题考查了图形类的规律变化问题，由已知图形可得第个图形用了根小棒，进而即可求解，由已知图形找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵第个图形用了根小棒， 第个图形用了根小棒， 第个图形用了根小棒， ， ∴第个图形用了根小棒， 当时，， ∴第个图形要用根小棒， 故答案为：． 5．（2025·河南郑州·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，根据图形总结出第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 从根据所给图形发现氢原子的个数依次增加个是解题的关键． 根据所给图形，依次求出模型中氢原子和碳原子的个数，总结规律即可解决问题． 【详解】解：第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为1， 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为2， 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为3， 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为4， ， 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为n， ∴第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 由得， 由得， 由得， 由得， 故选C ． 6．（2025·山东·模拟预测）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为（   ） A．2004 B．2005 C．2025 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查数字类规律探索；根据题意找出分子与分母的规律计算即可． 【详解】解：根据题意得：同一行的分数，分子与分母的和不变，均为正整数），在第行，第列； ∴在第20列，第行， ∴，； ∵， 故选：D． 7．观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的数字规律，根据题意得到数字的规律是解题的关键． 由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． 故答案为：． 8．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 9（2025·湖南湘潭·一模）数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律，找到规律得出，及模仿题意求和思路求解是解题的关键．根据题意得出及模仿题意规律能求和，进而即可求解． 【详解】解：解：依题意得：，，，，， 故答案为：． 10（2025·陕西汉中·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行最中间的数字是 ． 【答案】20 【分析】本题考查数字找规律，解题关键是掌握杨辉三角每行数字个数规律、数字对称特点及除两端1外每个数等于它肩上两数和的规律来推导所需数字． 观察杨辉三角形的规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1，第n行有n个数．要求第7行最中间的数字，需要先确定第7行的数字个数以及中间位置． 【详解】观察杨辉三角形的规律是： 每行数字左右对称，由1开始逐渐增大再减小到1 每行除两端的1以外，每个数都是它肩上两个数的和． 第n行有n个数， ∴第7行有7个数． ∵第5行是1  4   6   4   1， 根据规律，第6行第一个数是1，第二个数是第5行第一个数1与第二个数4相加，即；第三个数是第5行第二个数4与第三个数6相加，即；第四个数是第5行第三个数6与第四个数4相加，即；第五个数是第5行第四个数4与第五个数1相加，即；最后一个数是1． ∴第6行是1  5   10  10  5   1． 第7行：第一个数是1；第二个数是第6行第一个数1与第二个数5相加，即；第三个数是第6行第二个数5与第三个数10相加，即；第四个数是第6行第三个数10与第四个数10相加，即． ∴第7行：1  6  15  20  15  6  1 ∵第7行共7个数，最中间是第4个数， ∴第7行最中间数字是20． 7个数的中间位置是第4个． ∴第7行最中间的数字是20． 故答案为：20． 11．（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积计算，归纳总结．熟练掌握勾股定理，正方形的面积计算和归纳总结出正方形边长的规律是解题的关键． 通过依次计算前几个正方形的边长，找出边长的规律，进而得到第个正方形的边长，再根据正方形面积公式求出面积即可． 【详解】解：， ， ， ， 通过上述分析，可以总结出第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 个正方形的面积为， 故答案为：． 12．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 1．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读下面材料，并填空： 我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证： 【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到 （1）如图，阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到______；    【解决问题】 （2）归纳猜想（不需要证明）：____________（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）根据以上结论，计算：______（直接写答案）． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于构造正方形，找到规律后得到结论． （1）如图构造正方形：A表示一个的正方形，表示个的正方形，表示个的正方形，而恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出； （2）由以上几何图形的面积规律可猜测出； （3）提公因数即可转化为本题已经探究出的规律进行求解． 【详解】解：（1）如图， A表示一个的正方形，表示个的正方形，表示个的正方形，而恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出， 故答案为：； （2）根据以上规律可知，为一个边长为的正方形面积， 故， 故答案为：；； （3）， 故答案为：288800． 2．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $