专题02 相似三角形重难点题型汇编（高效培优专项训练）数学浙教版九年级上册

专题02 相似三角形重难点题型汇编 题型一：比例的性质 题型二：黄金分割 题型三：由平行判断成比例的线段 题型四：由平行截线求相关线段的长或比值 题型五：相似多边形的性质 题型六：相似三角形的性质 题型七：相似三角形的判定 题型八：相似三角形的性质与判定 题型九：相似三角形的应用 题型十：位似变换 题型一：比例的性质 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是比例的基本性质，将所求比例拆分为两个比例之和，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 又 ∵ ， ∴ ． 故选：A． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查利用比例的性质化简求值，根据已知比例关系， 设 , （其中 ），代入所求分式计算即可 【详解】∵ ， ∴ 设 , （其中 ）， ∴ ， ∴ ， 故选：A 3．若，则的值是（    ） A．7 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】设，则，分别代入计算求值即可． 本题考查了比例性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设，则， 故， 故选：A． 4．已知，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质．由已知比例式，利用比例的基本性质，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项符合题意； B、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； C、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； D、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，根据比例关系，将 和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 题型二：黄金分割 1．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 2．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ， ∴． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足， ∴ ． 经检验：是原方程的根， ． 故选：D． 3．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了学生对黄金分割的应用和解分式方程的应用，利用题中的信息找出黄金分割中成比例的对应线段并列出等式是解决问题的关键.． 设雷锋人体雕像下部的设计高度为，则雕像上部的高度为．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程． 【详解】解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为，那么雕像上部的高度为．依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验，是原方程的根， ∵， ∴． 故选：C． 4．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵点是的黄金分割点， ， ∵点是的黄金分割点， ， ， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为， 故选：B． 5．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，即已知为2米，则的长为米，它介于整数和之间，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了黄金分割及估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 题型三：由平行判断成比例的线段 1．如图，若，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴错误的是选项D； 故选D． 2．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解： ， ，即，故A选项错误；B选项正确； ，故选项D错误； ，故选项C错误； 故选B． 3.如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的性质和平行线分线段成比例定理，延长交于点G，根据平行线分线段成比例定理得出是的中位线即可求解． 【详解】解：延长交于点G， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，已知，直线分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．根据无法判断故C错误； D．∵， ∴， ∴，故D错误． 故选：A． 题型四：由平行截线求相关线段的长或比值 1．如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C 2．已知 ，，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，由可得，从而得到，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 4．如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理等知识．过点F作交于点G，得到，进一步得到，由得到即可． 【详解】解：∵F是上的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 故选：C 5．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（  ） A．24 B．20 C．16 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 由得且为的中位线，再推出是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点O是中点， ∴，即E为中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 6．如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】取的中点M，连接，根据三角形中位线定理得，再根据平行线分线段成比例得，即可得出答案． 【解答】解：如图，取的中点M，连接， ∵D是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选:B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键． 题型五：相似多边形的性质 1．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和定理的应用，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 2．已知正五边形与正五边形的面积比为，则它们的相似比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质； 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：设它们的相似比为， 根据相似多边形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：， ∴， 故选：C． 3．如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的性质可知，然后代入计算求解即可，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， 故选：． 4．如图1是古希腊时期的巴合农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．根据相似多边形对应边成比例得到，即，设，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， 设， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， 故选：B． 5．如图所示，长为，宽为的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分），那么截去矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似形的对应边比相等，分清矩形的对应边是解题的关键，根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【详解】解：如图，在矩形中截取矩形， 则矩形矩形， 则， 设，得到： ， 解得：， 则剩下的矩形面积是：． 故选：B． 6．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 题型六：相似三角形的性质求解 1．如图，，，其中，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，在和中，，，，若与相似，则（   ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵， ∴当时，， 又，， ∴， ∴； 当时， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 综上， 或， 故选∶C． 3．如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过两角对应相等判定三角形相似，并利用相似三角形对应边成比例建立等量关系求解． 利用公共角 和已知，判定；设长为x，表达出的长度；根据相似三角形对应边成比例列出关于x的方程，求解得到的长． 【详解】解：∵（公共角） ∴（两角分别相等的两个三角形相似） （相似三角形对应边成比例） 设则 已知代入比例式得： 交叉相乘得： 化简： 解得： 故选： C． 4．已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质：对应高比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵和是它们的对应高线，若，， ∴， ∵， ∴和的相似比是， ∴． 故选：A． 5．如图所示，已知平行四边形和平行四边形相似，且平行四边形的面积是平行四边形的，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，根据题意得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵平行四边形和平行四边形相似，且平行四边形的面积是平行四边形的， ∴，即 ∵四边形，是平行四边形， ∴，，， ∴ ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，，， ∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 7．已知，相似比为，且的周长为20，则的周长为（  ） A．14 B．8 C．9 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为，且的周长为20， ∴的周长为， 故选：B． 8．如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 题型七：相似三角形的判定 1．如图，在五边形中，，延长，分别交直线与点，．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，关键是对相似三角形判定定理的理解与应用．本题需逐一分析每个选项是否能依据判定定理推出，从而找出无法判定的条件． 【详解】解：选项A、 ， ， 若， 可得，， ， 因此选项A不符合要求；   选项B、若，且， 则（两直线平行，同位角相等）， 此时满足“两边对应成比例且夹角相等”，可判定， 因此选项B不符合要求；   选项C、若，结合产生的内错角、同位角等角度关系， 可推导出另一组角相等，进而通过：两角对应相等判定， 因此选项C不符合要求；   选项D、若，该比例式中对应的角并非与的夹角， （即不满足“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件）， 也无法通过其他相似判定定理推导相似， 因此该条件无法判定， 所以选项D符合要求． 故选：D． 2．如图，，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，不可以证明，故此选项符合题意； D、添加条件，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 4．如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，进而求出的长； （2）根据，，得，又，可得，根据相似三角形的判定即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，．进而得出，再根据相似三角形的判定方法即可得出． 【详解】证明， ． 四边形是正方形， ，． ， ， ． 6．如图，在中，点、在边上，连接、，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定和等边三角形的性质，先证明，然后由为等边三角形可证明，从而可证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 7．如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 题型八：相似三角形的性质与判定 1．如图，已知四边形对角线，交于点E，点F是上一点，连结，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查相似三角形的判定定理、相似三角形的性质以及角的等量代换，关联多个相似三角形的比例关系是解题关键． （1）根据，则，得到，根据三角形的外角性质，则，根据，可得，进而可得结论； （2）根据，可得，即，根据相似三角形的判定法则，有，可根据，把，，代入即可． 【详解】（1）证明：已知四边形对角线，交于点E，， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 答：长为18． 2．如图，在中，，求证：，并若，，，求的长． 【答案】见解析，． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．根据两直线平行，同位角相等，进而判断三角形相似，再根据相似三角形的性质求解的长即可． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴； 由相似比得， 解得：． 3．如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用平行判定相似，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据，可以推得结论成立； （2）先根据，得出，再证明，可得出，从而可得出结论． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， ， ， ， ． 4．如图，内接于，为直径，过点O作的垂线交的延长线于点F，交于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出即可； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，如下图， ∵是的直径， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵ ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形，掌握切线的判断方法，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 6．如图，在矩形中，于点，点是边上一点，已知． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质， 矩形的性质是解决问题的关键． （1）先证明，再证明，然后根据相似三角形的判定即可得出结论； （2）在中，由勾股定理得，由三角形面积公式得，在中，由勾股定理得，再根据和相似得，由此得，求出，进而即可得出的长． 【详解】（1）证明：如图所示： 四边形是矩形， ， ， 于点， ， 在中，， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：四边形是矩形，， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知：， ， ， ， ， ． 题型九：相似三角形的应用 1．医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用相似三角形测高，根据已知条件证明三角形相似是解题的关键． 根据处是一面镜子可得，再根据，得到，得到，代入求值即可； 【详解】由题可得：，， ， ， 米，米，米， ， （米）； 故选． 2．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，要使烛焰的像是烛焰的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（    ）的地方． A．10 B．12 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，根据烛焰的像是烛焰的2倍即可列方程求解． 【详解】设蜡烛距小孔，则小孔距成像板， 由题意可知：， ∴， ∴，解得． 即蜡烛与成像板之间的小孔相距． 故选：C． 3．如图，小林身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上．小林离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，过作于，过作交于，交于，则四边形和为矩形，因此可求出，然后证明，得，，求的值，最后根据计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作交于，交于， ∴四边形和为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：A． 4．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”测量大树的高度，如图，他通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且使边与点在同一条直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离，测得，求树高． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得，，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 5．综合与实践 打卡“晋泉之声”雕塑． 【了解】如图1，原山西太原五一广场的“晋泉之声”雕塑是一组群雕，主体为一对背靠背的青年男女，一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物与自然的和谐相处．站在“晋泉之声”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】（1）如图2，小明在距离“晋泉之声”雕塑底部A处的地面上垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B处．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】（2）如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为；[应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 题型十：位似变换 1．如图，与位似，点O是它们的位似中心，与的面积之比是，其中，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义得到，，根据相似三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：与位似， ，， 与的面积之比是， 与的相似比是，即， ， ， ，即， 解得：， 故选：． 2．如图，与位似，点是它们的位似中心，若，的面积为8，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为2， 故答案为：2． 3．如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的定义得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为，则和的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为， ∴和的面积比是； 故选：C 5．如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点，点、点，若的周长为4，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查位似变换，正确得出相似比是解题的关键．直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解： 和位似，位似中心为点，点、点， 和的相似比为：， 的周长为4， 的周长是． 故选A． 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与位似，熟练掌握位似的性质，是解题的关键．过点作轴，轴，根据位似比等于相似比，得到，证明，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 过点作轴，轴， 则：轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 7．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，过点分别作轴于，轴于，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点分别作轴于，轴于，   ∴， ∵的位似图形是， ∴点在一条直线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点的横坐标是，点的坐标是， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出，结合相似三角形的对应边成比例得到比例式，进而得出的长，由此即可得出点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键； 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形重难点题型汇编 题型一：比例的性质 题型二：黄金分割 题型三：由平行判断成比例的线段 题型四：由平行截线求相关线段的长或比值 题型五：相似多边形的性质 题型六：相似三角形的性质 题型七：相似三角形的判定 题型八：相似三角形的性质与判定 题型九：相似三角形的应用 题型十：位似变换 题型一：比例的性质 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值是（    ） A．7 B． C． D．-2 4．已知，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型二：黄金分割 1．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 4．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A． B． C． D． 5．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，即已知为2米，则的长为米，它介于整数和之间，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三：由平行判断成比例的线段 1．如图，若，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3.如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 4．如图，已知，直线分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：由平行截线求相关线段的长或比值 1．如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 2．已知 ，，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．15 3．如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 5．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（  ） A．24 B．20 C．16 D．10 6．如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型五：相似多边形的性质 1．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知正五边形与正五边形的面积比为，则它们的相似比为（ ） A． B． C． D． 3．如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图1是古希腊时期的巴合农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，长为，宽为的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分），那么截去矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 题型六：相似三角形的性质求解 1．如图，，，其中，的长为（　　） A．2 B． C． D． 2．如图，在和中，，，，若与相似，则（   ） A．3 B． C．3或 D． 3．如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．9 4．已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，已知平行四边形和平行四边形相似，且平行四边形的面积是平行四边形的，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（    ） A． B． C．4 D． 7．已知，相似比为，且的周长为20，则的周长为（  ） A．14 B．8 C．9 D．28 8．如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 题型七：相似三角形的判定 1．如图，在五边形中，，延长，分别交直线与点，．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A．B． C． D． 2．如图，，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 4．如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 5．如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 6．如图，在中，点、在边上，连接、，是等边三角形，且，，．求证：． 7．如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 题型八：相似三角形的性质与判定 1．如图，已知四边形对角线，交于点E，点F是上一点，连结，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 2．如图，在中，，求证：，并若，，，求的长． 3．如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 4．如图，内接于，为直径，过点O作的垂线交的延长线于点F，交于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求弦的长． 5．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 6．如图，在矩形中，于点，点是边上一点，已知． (1)求证：； (2)，求的长． 题型九：相似三角形的应用 1．医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（    ）米 A． B． C． D． 2．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，要使烛焰的像是烛焰的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（    ）的地方． A．10 B．12 C．8 D．9 3．如图，小林身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上．小林离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（    ） A． B． C． D． 4．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”测量大树的高度，如图，他通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且使边与点在同一条直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离，测得，求树高． 5．综合与实践 打卡“晋泉之声”雕塑． 【了解】如图1，原山西太原五一广场的“晋泉之声”雕塑是一组群雕，主体为一对背靠背的青年男女，一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物与自然的和谐相处．站在“晋泉之声”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】（1）如图2，小明在距离“晋泉之声”雕塑底部A处的地面上垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B处．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】（2）如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 题型十：位似变换 1．如图，与位似，点O是它们的位似中心，与的面积之比是，其中，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，与位似，点是它们的位似中心，若，的面积为8，则的面积为 ． 3．如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．如图，在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为，则和的面积比是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点，点、点，若的周长为4，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．14 D．16 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则位似中心的坐标为 ． 7．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $