第4章 相似三角形基础过关测试卷-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

第4章 相似三角形基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，则与的面积比为（　） A． B． C． D． 3．如果，那么有（    ） A． B． C． D． 4．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 6．如图，在中，，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 7．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，与是位似图形，位似中心为点．若，的面积为2，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．18 D．32 9．如图是凸透镜成像的示意图，是蜡烛通过透镜所成的实像．已知蜡烛的高度，．若，则实像的高度是（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若 ，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 11．如图，正方形的对角线与相交于点O，点E在上，且，连接并延长交的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，是的中点，连接是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠．使点D落在上的点处，当是直角三角形时，的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二.填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．已知，则的值等于 ． 14．如图，在中，E为边的中点，连接，交对角线于点F，已知，则的值为 ． 15．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 16．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的火焰的高度为 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，，B是线段AD上的一点，且．求证：． 18．（8分）已知四个数成比例，且． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 19．（8分）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 20．（8分）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 21．（10分）如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证： (2)若，，求线段的长 22．（10分）教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 23．（10分）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 24．（10分）如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)【证明与推断】：①求证：四边形是正方形； ②推断：的值为 ； (2)【探究与证明】：将正方形绕点C顺时针方向旋转α度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点H．若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例线段的判断．根据成比例线段的定义，如果四条线段中，其中两条的乘积等于另外两条的乘积，则它们成比例．通常，将线段排序后，检查最小与最大的乘积是否等于中间两个的乘积． 【详解】解：选项A：，，，故不成比例． 选项B：，，，故不成比例． 选项C：，，，故不成比例． 选项D：，，，故成比例． 故选D． 2．已知，且，则与的面积比为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此进行分析列式，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴相似比为， ∴则与的面积比为， 故选：A 3．如果，那么有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，掌握比例内项之积等于比例外项之积是解题的关键． 根据比例的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 4．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键． 根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：由题意，，， ， ，， ，即 ， 故选：． 5．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割， 根据黄金分割、黄金比的定义解答. 【详解】解：∵， ∴线段被点C黄金分割，点C是的黄金分割点，与的比等于黄金比， ∴C不正确，A，B，D正确. 故选：C. 6．如图，在中，，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：, ． , ， 故选：C． 7．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； B、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选：C． 8．如图，与是位似图形，位似中心为点．若，的面积为2，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．18 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得，再由位似图形的性质可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为点， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为32， 故选：D． 9．如图是凸透镜成像的示意图，是蜡烛通过透镜所成的实像．已知蜡烛的高度，．若，则实像的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，先根据凸透镜成像原理确定物体与像的相似关系，再利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知的物高、物距和像距计算像高． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若 ，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ， 因为， 所以． 故选：B． 11．如图，正方形的对角线与相交于点O，点E在上，且，连接并延长交的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键．设交于点H，由正方形的性质得，从而得到，则，再由，证明，求得，则，从而得到，由，证明，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点H， ∵四边形是正方形，对角线与相交于点O， ∴， ∵点E在上，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F在的延长线上，， ∴， ∴，即， 故选：C． 12．如图，在矩形中，是的中点，连接是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠．使点D落在上的点处，当是直角三角形时，的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，牢固掌握以上知识点并准确计算是解题的关键．根据矩形的性质和根据勾股定理求得，分两种情况①当时，②当时分类计算即可 【详解】∵四边形是矩形， ， ，E是的中点， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， 由折叠可知，， 设，则， 当时，则， ， ， ， ， ， ， ； 当时，则， ， ， ， ， ， ； 综上所述：当是直角三角形时，的值为或； 故选：． 二.填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．已知，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，对原式进行变形是解题的关键． 根据已知条件可得，再代入即可． 【详解】解：， ， 原式． 故答案为：． 14．如图，在中，E为边的中点，连接，交对角线于点F，已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∴， 则 ∵， ∴， 则， 故答案为：2． 15．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形相似及相似比即可得出结果． 【详解】点的坐标为，点的坐标为， 与关于原点的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 16．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的火焰的高度为 ． 【答案】3.2 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．先证，根据“相似三角形的相似比等于对应边上的高的比”即可求解． 【详解】解：如图：由题可知， ． ． 蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半， （相似三角形对应高之比等于相似比）． 又， ． ． 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，，B是线段AD上的一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，本题利用两角相等的两个三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例即可求证． 【详解】解：如图，，且． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）已知四个数成比例，且． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点为比例的基本性质，熟练掌握比例基本性质的变形是解题的关键。 由比例的基本性质得到，代入数值进行求解. 【详解】（1）解：成比例，且； ； 已知； ； 解得； 故答案为：. （2）解：成比例，且； ； 已知; ； 解得； 故答案为：. 19（8分）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的； （2）解：由图可得： 20．（8分）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 21．（10分）如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证： (2)若，，求线段的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】利用相似三角形的判定定理证明，再根据相似三角形对应边成比例进行计算即可． 【详解】（1），， ； （2）， ， 得， 解得， ， 即． 【点睛】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型． 22．（10分）教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质， （1）要证是等腰三角形，则需要证中有两条边相等，由折叠的性质和长方形对边平行的性质即可证得结论； （2）由折叠可得，要证，则需要证明，进而结合（1）中结论即可得证； （3）结合（1）中结论，可延长交的延长线于点 N，进而得到，再结合正方形的性质、勾股定理求出，即可求出的值； 【详解】（1）证明：由折叠知， 在长方形中，， ∴，    ∴ ， ∴ ， ∴ 重合部分是等腰三角形； （2）证明：同理（1）可知， ∴，    ∵四边形是长方形， ∴， 由折叠知，， ∴，   ∴； （3）如图，延长交的延长线于点 N， 同（1）可得， ∴    设，则， ， ，   ， ∵， ∴， ． 23．（10分）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 24．（10分）如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)【证明与推断】：①求证：四边形是正方形； ②推断：的值为 ； (2)【探究与证明】：将正方形绕点C顺时针方向旋转α度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点H．若，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． （1）①由和，根据三个角是的四边形是矩形可得四边形CEGF是矩形，再由，即可得证． ②由正方形性质知、，据此可得，，利用平行线分线段成比例定理即可求解． （2）连接，由两边成比例且夹角相等证得，即可得解． （3）由，，得，从而，设，则，求得，在中求得，代入，即可求得的长． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是正方形； ②由①知四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：连接， 由旋转性质知， 在和中， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴线段与之间的数量关系为； （3）解：①由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴A、G、F三点共线． ∵，点B、E、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴， 则 ，， ∴得， 解得：，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $