第15章 轴对称单元复习 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学轴对称单元复习课件系统梳理了轴对称（含图形与坐标表示）、垂直平分线、等腰与等边三角形等核心知识，通过思维导图构建知识框架，分知识点细化定义、性质、判定及作图，形成逻辑连贯的知识网络。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，尺规作图训练（作对称轴、垂直平分线）培养空间观念，综合证明题提升逻辑推理，实际探究题（牧民最短路径）发展应用意识。分层例题适配不同学生，助力教师精准复习，有效巩固知识。

第十五章 轴对称 单元复习 1 1 2 3 思维导图 知识讲解 单元检测 目 录 CONTENTS 2 思维导图 01 3 (x，－y) (－x，y) 相等 相等 思维导图 4 60 相等 60 一半 5 知识讲解 02 6 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相 ，这个图形就叫作 ⁠，这条直线就是它的 ． 重合 轴对称图形 对称轴 　知识点1 轴对称图形 7 例1、下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的是（　A　） A 8 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图 形 ，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称．这条直线叫作 ，折叠后重合的点是对应点，叫作 ⁠． 重合 对称轴 对称点 知识点2 两个图形成轴对称 9 例1、视力表中的字母“E”有各种不同的摆放方向，下面每种组合中的两个字母“E”不关于直线l对称的是（　D　） D 10 (1)成轴对称的两个图形全等； 　 (2)对称轴都是其任意一对对称点所连线段的 ． 　 如图，在正五边形中，直线l 线段AA′，BB′. 垂直平分线 垂直平分 知识点3 轴对称的性质 11 例1、如图，△ABC与△ADE关于直线l对称，下列结论：① △ABC≌△ADE；②∠B＝∠D；③BC＝DE；④l垂直平分CE；⑤BC与DE的延长线的交点一定在直线l上．其中正确的有 ．(填序号) ①②③④⑤ 12 　知识点4 线段的垂直平分线 　 (1)定义：经过线段 并且 ⁠于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线． 　(2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ⁠． 几何语言：如图，∵CD垂直平分AB， ∴ ． 中点 垂直 相等 CA＝CB 13 例1、如图，已知AC垂直平分BD，交BD于点E，下列结论正确的是 ．(填序号) 　 ①△ABE≌△ADE； 　　②AB＝AD； 　　③CA平分∠BCD； 　　④∠ABC＝∠ADC； 　　⑤∠BAD＝∠BCD． ①②③④ 14 例2、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝3， BC＝7，则△ABD的周长为 ⁠． 10 15 例3、如图，在△ABC中，AC＝6 cm，线段AB的垂直平分线交AB于点M、交AC于点N，△BCN的周长是11 cm，则BC的长为 ⁠． 5cm 16 　知识点5 线段的垂直平分线的判定 　　 线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离 ⁠的点在这条线段的垂直平分线上． 几何语言：如图，∵ ， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 相等 PA＝PB 17 例1、如图，AB＝AC，DB＝DC，点E是AD延长线上的一点．求证：BE＝CE. 证明：如图，连接BC． 　　∵AB＝AC，DB＝DC， 　　∴点A、点D均在线段BC的垂直平分线上， 即AD是线段BC的垂直平分线． 　　∵点E在直线AD上， 　　∴BE＝CE. 18 　例1、如图，尺规作图：作线段AB的垂直平分线CD． 作法：(1)分别以 和 为圆心，大于 ⁠的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 点A 点B AB 知识点6 作线段的垂直平分线 　　(2)作直线CD． CD就是所求作的直线． 　　解：如图所示． 19 例1、如图，△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，对称轴即为所求． 知识点7 作对称轴 20 　例1、尺规作图：如图，过点C作直线AB的垂线． 作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在 ⁠的两旁； 　　 (2)以点C为圆心， 长为半径作弧，交直线AB于点D和E； AB CK 　　(3)分别以 和 为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F； 点D 点E 知识点8 作线段的垂线 21 　　(4)作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线． 　　解：如图所示． 22 　　 　如何画一个点的轴对称图形？ 　　如图，画出点P关于直线l的对称点P′. 　　作法： 　　(1)过点P作l的垂线，垂足为点O. 　　(2)在垂线上截取OP′＝ ⁠． OP 知识点9 画出已知图形的轴对称图形 　　(3)点P′即为点A关于直线l的对称点． 　解：如图所示． 23 知识点10 网格中的轴对称作图 例1、如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出△ABC(顶点是网格的格点)．请画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1. 　　解：如图，△A1B1C1即为所求． 24 (1)点(x，y)关于x轴对称的点(x，－y)， ⁠坐标相 同， ⁠坐标互为相反数； (2)点(x，y)关于y轴对称的点(－x，y)， ⁠坐标相 同， 坐标互为相反数． 横 纵 纵 横 　　知识点11 关于x轴、y轴对称的点的坐标 25 例1、填空： (1)点(5，－2)关于x轴对称的点的坐标为 ； (2)若点A(－2，a)和点B(b，－1)关于y轴对称，则a＝ ⁠， b＝ ． (5，2) －1 2 26 知识点12 利用坐标变换画轴对称图形 例1、 如图 27 (1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1， B1，C1的坐标； 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1(－1，2)， B1(－3，1)，C1(1，－1)． 28 　(2)求出△A1B1C1的面积． 　解：(2)△A1B1C1的面积为 4×3－ ×2×1－ ×4×2－ ×2×3＝4. 29 　知识点13 等腰三角形的“等边对等角” 性质：等腰三角形的两个底角 (简写成“ ⁠ ”)． 　几何语言：如图，∵AB＝AC，∴ ． 相等 等边对等角 ∠C＝∠B 30 　例1、下列各图中，AB＝AC，写出对应x的值． 　　 x＝ x＝ x＝ ⁠ 70° 30° 35° 31 等腰三角形底边上的 、 及顶角平分线重合(简写成“三线合一”)． 　　(1)∵AB＝AC，∠1＝∠2， 　　∴ ， ⁠． 中线 高 AD⊥BC BD＝CD 　　(2)∵AB＝AC，BD＝CD， 　　∴ ， ⁠． 　　(3)∵AB＝AC，AD⊥BC， 　　∴ ， ⁠． AD⊥BC ∠1＝∠2 BD＝CD ∠1＝∠2 知识点14 等腰三角形的“三线合一” 32 例1、(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D． 若∠BAC＝108°，则∠BAD＝ ⁠. 　　 (2)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分 线，BD＝10，则BC＝ ⁠. 54° 20 33 例2、如图，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E在AD上，连接BE，CE. 请找出图中相等的线段(AB＝AC除外)，并说明理由． 　　解：BD＝CD，BE＝CE. 理由如下： 　　∵AB＝AC，AD⊥BC， 　　∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD． 　　在△BAE和△CAE中， 　　∴△BAE≌△CAE(SAS)．∴BE＝CE. 34 等腰三角形的判定：有两个角 ⁠的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”)． 几何语言：如图，∵∠B＝∠C，∴ ⁠． 相等 AC＝AB 知识点15 等腰三角形的判定——等角对等边 35 例1、如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADB＝60°， ∠C＝30°.求证：△ADC是等腰三角形． 　　证明：∵∠ADB＝60°，∠C＝30°， 　　∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝60°－30°＝30°. 　　∴∠C＝∠DAC． ∴AD＝DC． 　　∴△ADC是等腰三角形． 36 例2、 已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF. 求证：△ABC是等腰三角形． 　　证明：∵点D是BC边的中点， 　　∴BD＝CD． 　　∵DE⊥AB，DF⊥AC， 　　∴∠BED＝∠CFD＝90°. 　　在Rt△BDE和Rt△CDF中， 　　∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴∠B＝∠C． 　　∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． 37 例1、如图，已知底边a及底边上的高b，求作等腰三角形． (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 　　解：如图所示，△ABC即为所作． 知识点16 等腰三角形的画法 38 　知识点17 等边三角形的性质 　　 等边三角形的性质 边：三条边 ⁠ 角：三个角 且都等于 ⁠° 相等 相等 60 39 例1、如图，在等边三角形ABC中， 　　(1)∠BAC＝∠B＝∠C＝ ； 　　(2)若△ABC的周长为12，则AB的长为 ； 　　(3)若AD是∠BAC的平分线，则∠ADC＝ ； (4)若BC＝2，AD⊥BC，则BD的长为 ， ∠CAD的度数为 ． 60° 4 90° 1 30° 40 知识点18 等边三角形的判定 　　 等边三角形的判定 判定1：三边都 的三角形是等边三角形; 判定2：三个角都 ⁠的三角形是等边三角形; 判定3：有一个角_______是的 ⁠三角形是等边三角形. 相等 相等 60° 等腰 41 例1、如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED． 求证：△DEC是等边三角形． 　　证明：∵∠B＝∠C，AB∥DE， 　　∴∠DEC＝∠B＝∠C． 　　∵EC＝ED， 　　∴∠C＝∠EDC． 　　∴∠DEC＝∠C＝∠EDC． 　　∴△DEC为等边三角形． 42 例2、如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，点E，F分别在AD，CD边上，且DE＝CF. 　　(1)求证：△BDE≌△BCF； 　　证明：(1)∵△ABD和△BCD是等边三角形， 　　∴BD＝BC，∠BDE＝∠C＝60°. 　　在△BDE和△BCF中， ∴△BDE≌△BCF(SAS)． 43 　　(2)求证：△BEF是等边三角形． 　　(2)由(1)，得△BDE≌△BCF. 　　∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF. 　　∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝∠DBF＋∠CBF＝60°. 　　∴∠DBF＋∠DBE＝60°，即∠EBF＝60°. 　　∴△BEF是等边三角形． 　　 44 　知识点19 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 ⁠． 几何语言：如图，∵AC⊥BC，∠A＝30°，∴ ⁠． 一半 BC＝ AB 45 例1、如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠B＝30°， AB⊥AD，AD＝4. 　　(1)求BD的长； 　　解：(1)∵AB⊥AD，∠B＝30°，AD＝4， 　　∴BD＝2AD＝2×4＝8. 46 　　(2)求BC的长． 　　(2)∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°. 　　∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°. 　　∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°. 　　∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－90°＝30°. 　　∴∠DAC＝∠C． ∴DC＝AD＝4. 　　∴BC＝BD＋DC＝8＋4＝12. 47 例2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DB＝2，求BC，AD的长． 　　解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， 　　∴∠B＝60°，AB＝2BC． 　　∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°. 　　∴∠DCB＝90°－∠B＝30°. 　　∵BD＝2，∴BC＝2BD＝4. 　　∴AB＝8. 　　∴AD＝AB－BD＝8－2＝6. 48 单元检测 03 49 1． 下列图形中，是轴对称图形的是（　A　） A 一、选择题 50 2． 在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于x轴对称的点P′的坐标是（　D　） D A． (－2，－3) B． (－2，3) C． (2，－3) D． (2，3) 51 3．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF. 要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（　） A． ∠A＝∠B B． ∠C＝∠E C． AC＝BE D． AD＝BF C 52 4．若等腰三角形的周长是20 cm，一腰长为7 cm，则这个三角形 的底边长是 ⁠cm. 5． 命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 ⁠ (用“如果……那么……”的形式表示)． 6 如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 二、填空题 53 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ⁠． 5 54 7．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝ ⁠． 10° 55 8． 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，4)，B(－4，1)，C(－1，2)． 三、解答题 56 　 (1)在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； 　　解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求． 57 　　(2)求△ABC的面积； 　　(2)S△ABC＝3×3－ ×1×3－ ×1×3－ ×2×2＝4. 58 (3)点P是y轴上一个动点，当PA＋PC最小时，在图中标记此时点P的位置．(保留作图痕迹) (3)如图，作点C关于y轴的对称点C′， 再连接AC′交y轴于点P，点P即为所求． 59 9． 如图，在△ABC中，AC＝4. 60 (1)请用直尺和圆规，作出AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交BC于点E. (不写作法，保留作图痕迹) 　　解：(1)如图，DE即为所求． 61 　(2)在(1)的条件下，若∠C＝60°，连接AE，求△AEC的周长． 　　(2)∵DE垂直平分AC， 　　∴EA＝EC． 　　∵∠C＝60°，∴△AEC是等边三角形． 　　∴EA＝EC＝AC＝4.∴△AEC的周长为12. 62 10． 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD，DC． 63 　　(1)求证：∠CAD＝∠DBC； 　　(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， 　　∴∠ABC＝∠ACB＝40°. 　　∵BD平分∠ABC， 　　∴∠ABD＝∠DBC＝20°. 　　∵BD＝AB， 　　∴∠ADB＝∠DAB＝80°. 　　∴∠CAD＝20°. 　　∴∠CAD＝∠DBC． 64 (2)求∠BDC的度数． 　　(2)解：如图，延长AD到点E，使得AE＝BC，连接CE. 　　∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，BC＝AE， 　　∴△DBC≌△CAE(SAS)． 　　∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE. 　　∴∠CDE＝∠CED． 　　设∠CDE＝∠CED＝α. 　　∵∠ADB＝80°，∠CAD＝20°， 　　∴∠BDE＝100°. 　　∴∠BDC＝∠ACE＝100°＋α. 　　∴在△ACE中，20°＋100°＋α＋α＝180°. 　　∴α＝30°. 　　∴∠BDC＝100°＋30°＝130°. 65 11. 综合与实践：在一片广阔的草原上，生活着一位勤劳的牧民．他的日常活动涉及马匹饮水、在草原上放牧以及往返于不同地点，而这些活动中存在着许多与最短路径相关的问题，需要巧妙运用数学知识来规划最优路线． 66 (1)【初步认知】如图1，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小，依据是 ⁠． 两点之间线段最短 解：(1)如答图1，连接AB，AB与l的交点即为所求点P. 67 (2)【活动探究1】如图2，草原上有一条笔直的河流l，河流的一侧有牧民的蒙古包A和一处草料储存点B． 现在牧民要从蒙古包A出发，先到河流l边让马饮水，然后前往草料储存点B． 那么此时，在河流l上何处设置饮水点M，才能保证AM＋MB的距离最短呢？在图2中画出点M的位置．(不写作法，保留作图痕迹) 　　(2)如答图2，点M即为所求． 68 (3)【活动探究2】某天草料储存点B的草料吃完了，现在牧民要从蒙古包A出发，到河流l边让马饮水，然后带到草地边界s吃草，最后回到蒙古包A，如图3，请你替这位牧民设计出最短的放牧路线．(不写作法，保留作图痕迹) 　(3)如答图3，最短的放牧路线为A→M→N→A． 69 (4)【活动探究3】如图4，牧民想要在河流上修建一座垂直于河流的简易木桥CD，以便从蒙古包A经过木桥CD到位于河流另一侧的仓库B的路径A—C—D—B最短．画出示意图． (4)如答图4，过点A作AA′⊥a，使AA′等于河的宽度，连接A′B交b于点D，过点D作DC∥AA′交a于点C，连接AC，BD，则A—C—D—B即为最短路径． 70 (5) 【活动探究4】如图，牧羊人从羊圈A地出发，先让羊群在草地m吃草，再让羊群去河流l饮水，再将羊群带到点B处休息．请你帮牧羊人确定最短的出行路线． 解：如图，AC＋BD＋CD＝A′C＋B′D＋CD＝A′B′，故牧羊 人应让羊群在点C处吃草，在点D处饮水，才能使他出行路线最短． 71 谢谢观看 72 $