江西省南昌市第五中学实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

南昌五中实验学校2025-2026学年第一学期初三期中数学考试试卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 投一次骰子，朝上面的点数是 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 3. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 6. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向下平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 二、填空题（每题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________． 10. 在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______． 11. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为_______． 12. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 三、解答题（每题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 已知：关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 15. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 16. 小明同学在学习初三电学知识《欧姆定律》时，经常需要研究繁杂的电路图．如图所示，随机闭合开关、、中的两个，能让两盏灯泡、同时发光的概率为多少？请你用树状图或者列表格的方式帮助小明解决一下他的困惑． 17. 如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点，，，均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． （1）在图中作出弧的中点． （2）连接，作出的角平分线． 四、解答题（每题8分，共24分） 18. 第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． （1）八进制数换算成十进制数是多少？ （2）小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 19. 如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且． （1）请判断直线是否是的切线，并说明理由． （2）若，，求的半径． 20. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 五、解答题（每题9分，共18分） 21. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 22. 【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE． ∵△ABC、△DCE是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°． ∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴ ， ∴AE＝BD＝5． ∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°． ∵AD＝3， ∴CD＝DE＝ ． 【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长． 【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值． 六、解答题（共12分） 23. 已知抛物线为常数，． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 南昌五中实验学校2025-2026学年第一学期初三期中数学考试试卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 一、选择题（每题3分，共18分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 二、填空题（每题3分，共18分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】或或2 三、解答题（每题6分，共30分） 【13题答案】 【答案】（1） （2）， 【14题答案】 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）； 【15题答案】 【答案】25度 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】（1） 点D即为所求 （2） 即为所求 四、解答题（每题8分，共24分） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） 直线是的切线，理由如下： 如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （2）3 【20题答案】 【答案】（1） （2）2或6m 五、解答题（每题9分，共18分） 【21题答案】 【答案】（1） 如图为所求： （2）C （3）该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人 【22题答案】 【答案】【问题背景】；；4；【尝试应用】；【拓展创新】AD的最大值为． 六、解答题（共12分） 【23题答案】 【答案】（1） （2）①；② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $