精品解析：湖北省荆州市实验中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题

荆州市实验中学2025-2026学年度上学期八年级期中考试 数学试题 （本试卷满分120分，考试用时120分钟）命题人：魏频 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。作图一律用2B铅笔或黑色签字笔。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，符合题意； C．该图形是轴对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选:B． 2. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 3. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 4. 若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则此多边形的边数是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和综合，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握多边形的内角和公式及多边形的外角和是解题的关键：①多边形的内角和公式：边形内角和等于；②多边形的外角和等于． 设该多边形的边数是，由题意可得，解方程即可求出答案． 【详解】解：设该多边形的边数是， 由题意可得：， 解得：， 故选：． 5. 如图，已知则可判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件发现满足证明全等． 【详解】解：∵，， ∴两个直角三角形中斜边和一组直角边分别对应相等，即满足证明， 故选：D． 6. 如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，通过已知条件和添加的条件逐一判断每个选项能否证明两个三角形全等，再选出正确答案即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； B项：添加，不能证明和全等，符合题意； C项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； D项：添加，可利用证明和全等，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵每本书长，厚度为， ∴， ∴． 故选：A． 8. 某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，， 即和各增加， ∵， ∴当增加时，减小． 故选：D ． 9. 如图，已知直线l及直线l外一点P． （1）在直线l上取一点A，连接PA； （2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O； （3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q； （4）作直线PQ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A. OPQOAB B. PQAB C. 若∠APQ＝60°，则PQ＝PA D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若∠APQ＝60°，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到PQ＝PA，过点作于点,根据含30度角的直角三角形的性质，可得,是两平行之间的垂线段，不是垂线段，即，则不成立． 【详解】解：连接AQ，BP，过点作于点,如图， 由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ， ∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA， ∴△OAB≌△OPQ（SAS）； 故A正确，不符合题意； ∴∠ABO＝∠PQO， ∴PQ//AB； 故B正确，不符合题意； ∵BQ垂直平分PA， ∴QP＝QA， 若∠APQ＝60° 则△PAQ为等边三角形， 则PQ＝PA， 故C正确，不符合题意； 假设∠APQ＝60° 同理△PAB为等边三角形， 垂直平分， 是两平行之间的垂线段，不是垂线段 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查基本作图、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和平行线的判定，牢记性质和判定是解题的关键. 10. 如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论： ①； ②； ③，分别表示和的面积，则； ④的周长不变． 其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可证，根据全等三角形的性质可证①结论正确；根据可证是等腰直角三角形，根据三角形外角的性质可证，根据角之间的关系可知，可得②结论正确；当点与点重合时，点与点重合，可得，当时，，可得：，可证③结论正确；的长度随的变化而变化，所以的周长是变化的，可知④结论错误． 【详解】解：，，为中点， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故①结论正确； ， ， ， ， 是的外角， ， ，故②结论正确； ， 当点与点重合时，点与点重合，此时取得最大值，即最大， 此时与重合， 则， 当时，，此时取得最小值，即最小， 此时，， 则， ，故③结论正确； ， ， ， 的周长， ，，即为等腰直角三角形， 斜边的长度随长度的变化而变化， 即的周长是变化的，故④结论错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 工人师傅盖房子时，常将房梁设计如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用________性． 【答案】三角形的稳定 【解析】 【详解】由生活经验，易得根据三角形的稳定性. 12. 若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为_______． 【答案】 16或17 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的三边关系，解题的关键是根据非负数性质求出边长，再结合三角形三边关系确定等腰三角形的边长组合． 由非负数的性质得、；分腰为6和腰为5两种情况，结合三角形三边关系验证，计算周长． 【详解】解：， ，， ，． 情况1：腰长为6，底边长为5， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 情况2：腰长为5，底边长为6， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故答案为：或． 13. 在如图的网格中，在网格上找到点C；点C在格点上，使为等腰三角形，这样的点有_______个． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，则符合要求的有：共6个点． ∴这样的C点有10个． 故答案为：10． 14. 如图，在中，，，，则的度数为________； 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差． 根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 故答案为： 15. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______cm/s． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：5或． 三、解答题（共9小题，共计75分） 16. 如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°，求∠DAE的度数． 【答案】55 º 【解析】 【分析】首先根据邻补角的定义求出∠BCA=80º，再根据三角形外角的性质求出∠CAE =30º+80º=110º，然后再根据角平分线的定义求出∠DAE的度数． 【详解】解：∵∠B=30º，∠ACD=100° ∴∠BCA=180º-100º=80º ∠CAE=∠B+∠BCA=30º+80º=110º AD是△ABC的外角平分线 ∴∠DAE=110º=55º 故答案为55 º 17. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 根据可得，再根据即可证明． 【详解】略 18. 如图在中，，，，若点D在直线上（不与A、B重合），且，则的长为多少． 【答案】6或12 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定，解题的关键是分点D在上和延长线上两种情况讨论． 先由含直角三角形性质得；分D在上和延长线上，利用结合角的关系，判定为等腰三角形，进而计算的长． 【详解】解：在中，，，， ，． 情况1：点D在上， ，， ， 又， ， ． 情况2：点D在的延长线上， ，， ， ， ， ． 故答案为：或． 19. 已知：如图，点C在的边上． 求作：射线，使，且点D在的角平分线上． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q； ③画射线； ④以点C为圆心，长为半径画弧，交射线于点D； ⑤画射线，射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 平分， _______． ， _______． ． （_______）（填推理的依据）． 【答案】（1） 依作法补全图形如下图． （2）；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等边对等角，平行线的判定，解题的关键是正确理解作图过程． （1）根据题意,作的平分线，然后作同时使点D同时在角平分线上，依作法补全图形即可； （2）根据角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，补全证明过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：平分， ． ， ． ． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为： ；；内错角相等，两直线平行． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）的面积是_______； （2）已知与关于y轴对称，与关于x轴对称，请在坐标系中画出和； （3）在y轴有一点P，使得周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）． 【答案】（1）4 （2） 和如图所示． （3） 如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，运用网格求三角形的面积，作轴对称的图形，两点之间线段最短，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用割补法进行列式计算，即可作答． （2）根据关于轴对称的点的特征，找出点，然后依次连接，得；根据关于轴对称的点的特征，找出点，然后依次连接，得，即可作答． （3）因为的周长，则由（2）得出，故，即当共线时，根据两点之间线段最短，则的周长最短，即连接，与轴相交于一点，即点的位置，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 的面积是4； 故答案为：4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，与y轴相交于点， 的周长， 则由（2）得出， ， 即当共线时，根据两点之间线段最短， 则的周长最短． 21. 如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． （1）求证：MP=NP； （2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 【答案】（1） 如下图所示，过点M作MQCN， ∵为等边三角形，MQCN， ∴， 则AM=AQ，且∠A=60°， ∴为等边三角形，则MQ=AM=CN， 又∵MQCN， ∴∠QMP=∠CNP， 在， ∴， 则MP=NP； （2）0.5a． 【解析】 【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可； （2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵为等边三角形，且MH⊥AC， ∴AH=HQ， 又由（1）得，， 则PQ=PC， ∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． （1）若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； （2）若如图2所示，点D在内部，，求的度数； （3）若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【小问1详解】 解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； 【小问3详解】 解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 23. 【问题初探】（1）如图1是的平分线，点D为上一点且，求证：． 小明的想法是：过点C，分别作和的垂线，通过构造全等三角形解决问题． 小强的想法是：在上截取，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题． 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以； 【类比分析】（2）如图2，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，M是延长线上一点，N是延长线上一点，．探究、、 之间的数量关系，并证明． 【答案】 （1）证明：选择小明的方法，如图，过点作于点，于点， 则， 是的平分线， ，在和中， ， ， ， ， ， 即； 选择小强的方法，如图，在上截取，连接， 是的平分线， ，在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）， 证明：如图，在上截取点，使，连接， 为等边三角形， ． 又为等腰三角形，且， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． 又，， ． ． 在与中， ， ． ． ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质（、）、等边三角形的性质、等腰三角形的性质，以及截长补短法的几何辅助线应用．解题的关键是：借助角平分线的性质构造全等三角形，利用全等的对应角关系推导角度和的结论；通过截长补短法构造全等三角形，结合等边、等腰三角形的边角特征，推导线段之间的数量关系． （1）选择小明的方法，过点作于点，于点，证，得，再由，即可得出结论； 选择小强的方法，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后由，即可得出结论； （2）采用“截长补短法”，在上截取点，使，连接，结合等边及等腰三角形的性质证明，继而可证，由全等的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 24. 长方形位于平面直角坐标系中． （1）如图1，若轴且点A的坐标，点C的坐标为，在边上有动点P，过点P作直线交边于点Q，并使得，在直线上存在一点M，使得是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出M点坐标_______； （2）如图2，若轴且A、B关于x轴对称，连接、、，且平分、、分别交x轴于点E、F、G，连接． ①求证：是的中线； ②求证：． 【答案】（1）点坐标为或 （2） ①连接， 、关于轴对称， ， ， ， ，， ， ， ，即为中点， 是的中线； ②轴，， 轴， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点； （1）如图，若，过点作于点，证明，即可求解；如图，若，证明，进而求解； （2）①由对称可得，，再由同角的余角得到即得到是的中线； ②由轴结合平分，得到，即可得到，再根据等边对等角证明即可． 【小问1详解】 解：①四边形是长方形，且轴，点的坐标，点的坐标， 点的坐标，点， ，， 如图，若，则，过点作于点， ，， 四边形是长方形， ，； ，， ，， ，且，， ， ，， ， ， ， ， 点坐标； 如图，若，， ，， ，， ，且，， ， ，， ， ， ， ， 点坐标， 综上所述：点坐标为或； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州市实验中学2025-2026学年度上学期八年级期中考试 数学试题 （本试卷满分120分，考试用时120分钟）命题人：魏频 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。作图一律用2B铅笔或黑色签字笔。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 4. 若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则此多边形的边数是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 5. 如图，已知则可判定的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 9. 如图，已知直线l及直线l外一点P． （1）在直线l上取一点A，连接PA； （2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O； （3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q； （4）作直线PQ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A. OPQOAB B. PQAB C. 若∠APQ＝60°，则PQ＝PA D. 10. 如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论： ①； ②； ③，分别表示和的面积，则； ④的周长不变． 其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③④ 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 工人师傅盖房子时，常将房梁设计如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用________性． 12. 若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为_______． 13. 在如图的网格中，在网格上找到点C；点C在格点上，使为等腰三角形，这样的点有_______个． 14. 如图，在中，，，，则的度数为________； 15. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______cm/s． 三、解答题（共9小题，共计75分） 16. 如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°，求∠DAE的度数． 17. 如图，已知，，，求证：． 18. 如图在中，，，，若点D在直线上（不与A、B重合），且，则的长为多少． 19. 已知：如图，点C在的边上． 求作：射线，使，且点D在的角平分线上． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q； ③画射线； ④以点C为圆心，长为半径画弧，交射线于点D； ⑤画射线，射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 平分， _______． ， _______． ． （_______）（填推理的依据）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）的面积是_______； （2）已知与关于y轴对称，与关于x轴对称，请在坐标系中画出和； （3）在y轴有一点P，使得周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）． 21. 如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． （1）求证：MP=NP； （2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 22. 数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． （1）若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； （2）若如图2所示，点D在内部，，求的度数； （3）若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 23. 【问题初探】（1）如图1是的平分线，点D为上一点且，求证：． 小明的想法是：过点C，分别作和的垂线，通过构造全等三角形解决问题． 小强的想法是：在上截取，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题． 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以； 【类比分析】（2）如图2，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，M是延长线上一点，N是延长线上一点，．探究、、 之间的数量关系，并证明． 24. 长方形位于平面直角坐标系中． （1）如图1，若轴且点A的坐标，点C的坐标为，在边上有动点P，过点P作直线交边于点Q，并使得，在直线上存在一点M，使得是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出M点坐标_______； （2）如图2，若轴且A、B关于x轴对称，连接、、，且平分、、分别交x轴于点E、F、G，连接． ①求证：是的中线； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $