河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025年秋期高二年级数学月考 考试范围：第一章一第三章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．若向量，则 ( ) C. D. 2．若倾斜角为45°的直线l经过两点A(-8,m), B(m,4) ，则m的值为 ( ) A. -2 B.1 C.2 D. 3 3．已知A(2,1),B(-4,a)两点到直线l：x-y+2=0的距离相等，则a=( ) A.1 B. -5 C.1或-5 D.1或-8 4．已知抛物线的焦点为F, A(6,m)为抛物线上一点， |AF|=8，直线AF与抛物线另一交点为B，则（） A.2 B. 3 C. 4 D.5. 5．在空间直角坐标系中，若一条直线l经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程 来表示.已知直线l的方程为，则点Q(2,4,-4)到l距离为 ( ) A. B. C. D. 6．过圆内一点P(1,1)作互相垂直的两条直线AB,CD，与圆分别交于A,B,C,D四点，则|AB|+|CD|的最大值是 ( ) A. B. C. D. 8 7．已知椭圆的左、右焦点分别为F和，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点Q在以原点O为圆心， |OF|为半径的圆上，则ΔPFF的面积为 ( ) A. B. C. 15 D. 8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8，线段BC的中点分别为E,F,，动点G在下底面内（含边界），且，则动点G的轨迹长度为 ( ) A. B. C. D. 二、多选题 9．空间直角坐标系中，已知O(0,0,0), 则 ( ) A. B.ΔABC是等腰直角三角形 C.与平行的单位向量的坐标为或 D.在方向上的投影向量的坐标为 10．已知Q(x,y)是圆C: 上的动点，则( ) A.的最大值为 B. 的最小值为 C.y-x的最大值为 D.y-x的最小值为 11．已知O为坐标原点， P(-1,1)是抛物线C: 的准线上的一点，过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点，Q为AB的中点，则下列说法正确的是 ( ) A. |PF|=2 B.ΔOAB为钝角三角形 C.直线OQ的斜率的最大值为 D．若PALPB，则直线l的斜率为2 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．若直线的方向向量，平面α的法向量，则直线与平面α的位置关系是 13．过双曲线E：(a>0,b>0)的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是 14．已知椭圆，圆，直线y=2x与椭圆交于点A，过A作椭圆的切线交圆于M、N两点（M在N的左侧），则 四、解答题 15．已知P(-2,-2),Q(1,7)两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线x=1上. （1）求圆M的方程； （2）过点N(-2,0)的直线l与圆M交于C,D两点，且，求直线l的方程. 16．如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且, （1）求证：MN//平面ABC； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值. 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 17．已知双曲线E： (a>0,b>0)的左、右焦点分别为，离心率为，P为E上一点，且 （1）求E的方程； （2）过点（2,0）且不与x轴重合的直线l交E于A,B两点，点B关于x轴的对称点为B'，求证：直线AB＇恒过点 18．如图，在四棱锥P-ABCD中，DP,DA,DC两两垂直，四边形ABCD是梯形，AB//CD， ，M为棱PC的中点. （1）求直线BM与平面PAB所成角的正弦值； （2）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是?若存在，求出线段CQ的长度；若不存在，说明理由. 19．设M(-4,2)，过点Q(-4,0)的直线与椭圆C交于A,B两点（A点在B点左侧），直线AM与直线x=-2交于点N，设直线NA,NB的斜率分别为，求 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期高二年级数学月考 参考答案 1．D【详解】由，B错误； 由，所以，D正确． 由，A错误， 如果则存在实数使，显然不成立，C错误. 故选：D 2．A【详解】由题意得，解得. 故选：A 3．C【详解】因为两点到直线的距离相等， 所以或， 故选：C. 4．B【详解】因为，由抛物线的定义可知到准线距离为，即，解得：，即抛物线方程为，代入点坐标得，即. 不妨取，又，则直线的斜率为，所以直线为，联立，消去整理得：， 解得：，，即点的横坐标为， 由此可得：，即得：. 故选：B 5．B【详解】因为直线的方程为，即为， 可知直线经过点且以向量为方向向量，可得，所以点到距离为. 故选：B. 6．A【详解】过点O分别作AB，CD的垂线，垂足为M，N，则四边形OMPN为矩形， 所以．设，，则，， 所以，，所以． 因为 （当且仅当时取得最大值），所以的最大值为， 故选：A．    7．C【详解】因为椭圆方程为，所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，所以垂直平分线段，所以，又因为，所以，，在直角三角形中，，于是的面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 8．D【详解】因为正方体的体积为8，故，，则，而，故，  故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为；故选：D 9．AC【详解】根据空间向量的线性运算， ，选项A正确； ，，计算可得，三条边不相等，选项B不正确； 与平行的单位向量为：选项C正确；在方向上的投影向量与向量共线，，选项D不正确， 故选：AC. 10．ACD【详解】由圆C：，可得圆心，半径， 设，则，因为在圆上，所以直线与圆C有公共点， 所以，所以，整理得，解得，所以的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 设，则，因为在圆上，所以直线与圆C有公共点，所以，所以，解得，所以的最大值为，最小值为，故CD正确. 故选：ACD. 11．BCD【详解】对于A，由题可知，则，则抛物线：，，故，故A错误；对于B，显然直线的斜率不为0，设，，：，联立，得， 则，且，，则，所以， 所以，因为，所以一定为钝角，故为钝角三角形，故B正确；对于C，由B知，的中点的纵坐标为， 横坐标为，所以直线的斜率为， 当时，，当时，，当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，分别过点，作准线的垂线， 垂足分别为，，因为， 所以， 因为为的中点，所以平行于轴，因为，所以，则，即，故直线的斜率为2，故D正确． 故选：BCD   12．平行或直线在面内【详解】由，，可得，所以，所以直线与平面的位置关系是平行或直线在面内． 故答案为：平行或直线在面内. 13．/【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为，取线段的中点， 因为切圆于，则，有， 因为，则有，， 而为的中点，于是即，， 在中，，整理得， 所以双曲线的离心率为． 故答案为：. 14．3【详解】由椭圆大圆的性质拓展（1）的结论可得. 故答案为：3． 15．(1)(2)或 【详解】（1）∵圆M的圆心在直线上，∴可设圆心M的坐标为， 由，得，解得，∴圆心M的坐标为，半径．∴圆M的方程为． （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，则圆心M到直线l的距离，解得或，∴直线l的方程为或；当直线l的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为，故不符合题意； 综上所述：直线l的方程为或. 16．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）如图，设AC的中点为D，线段BC的四等分点为E，且，连接MD，DE，NE，则，∴，，∵M为AP的中点，D为AC的中点，∴，，又P是的中点，∴．∴，，∴四边形DMNE是平行四边形，∴，又，，∴． （2）设的中点为Q，连接DB，DQ，易知DB，DQ，DC两两互相垂直．以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则，，，， ∴，∴，∴， ，．设平面的法向量为， 则取，则，，∴平面的一个法向量为．设直线MN与平面所成的角为θ，则，即直线MN与平面所成角的正弦值为 17．(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设E的半焦距为c（）．由题意知P在E的右支上，，∴，∵，∴，∴， ∴E的方程为． （2）依题意，设直线l的方程为，，．联立直线与双曲线的方程，得消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，．由题意知，， ∴直线的方程为． 令， ， ∴直线恒过点．  18．(1) (2)存在； 【详解】（1）因为，，两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系， ，，，，， 得，，， 设平面的一个法向量为， 得，令，得， 所以所以 所以直线与平面所成角的正弦值是． （2）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，则，， 设平面的一个法向量为由，得，令，得，得， 所以，∴点到平面的距离是，，即，存在点满足题意， 此时，所以 19．2【详解】解：当直线的斜率为0时，则直线为轴，由题意可得，所以直线的方程为，令，可得，即，所以，当直线的斜率不为0时，如图，设直线的方程为，设，   联立整理得， 可得，即，且，可得，直线的方程为，令，可得，即，因为直线的斜率和直线的斜率相同， 所以 ． 综上， 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $