2026年九年级中考数学二次函数专项训练二

2026九年级中考数学二次函数专项训练二 时间：100分钟 总分：120分 一、单选题（每题4分，共40分）。 1.下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2.二次函数的部分对应值如表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 则当时，对应的函数值为（   ） A．7 B．0 C． D． 3.已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 4.二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 5.对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 6.已知二次函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，二次函数有最小值3 B．当时，二次函数有最大值3 C．当时，二次函数有最小值 D．当时，二次函数有最大值 7.抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9.如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 10.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（每题5分，共20分）。 11.汽车刹车后行驶的距离（米）关于行驶时间（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为 秒． 12.经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为 ． 13.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为 ． 14..已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是 （用“”、“”或“”填空） 3、 解答题（每题12分，共60分）。 15.已知，二次函数． (1)若该图象过点，求函数的顶点坐标； (2)当时，y的最大值是，求a的值； (3)当时，若，，在函数图象上，且，求m的取值范围． 16.年是农历乙巳蛇年，商场调查发现，含有“蛇”元素的“吉祥公仔”深受大众喜爱．“公仔”的进价为每个元，当销售单价定为元时，每天可售出个，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低元，每天可多售出个，若设这款“公仔”的销售单价为（元），每天的销售量为（个）每天获得的利润元． (1)请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大？最大利润是多少元？ 17.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)平移该抛物线后得到的新抛物线经过点，求新抛物线在时的最大值和最小值． 18.在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点． (1)求，，的值； (2)平移抛物线使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值． 19.下图是一个正在设计的动画示意图，在轴上依次有三个点，在的上方有一个矩形．从点处向右上方沿抛物线发出一个光点，光点落在的中点处后立即弹起，其运动轨迹为抛物线，且与的最大高度相同． (1)求点的横坐标； (2)求点的坐标及的解析式； (3)在轴上设置一个正方形，点从左往右依次在轴上，，点的坐标为，使光点落在边（不含边界）上，直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026九年级中考数学二次函数专项训练二解析版 时间：100分钟 总分：120分 一、单选题（每题4分，共40分）。 1.下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数．根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案． 【详解】解：A、时不是二次函数，故A不符合题意； B、是一次函数，故B不符合题意； C、是二次函数，故C符合题意； D、是常数函数，故D不符合题意． 故选：C． 2.二次函数的部分对应值如表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 则当时，对应的函数值为（   ） A．7 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的对称性，利用对称点确定对称轴，再通过对称性求函数值，由表格数据可知，当和时，y值均为7，根据二次函数的对称性，对称轴为直线，关于对称轴的对称点为，而时，因此时． 【详解】解：∵和时，， ∴ 对称轴 ， ∵关于对称轴的对称点为， 又∵时，， ∴时，． 故选：C． 3.已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性得到的取值范围，根据取值范围确定的值． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时， ， ， 当时， 点的对称点是， ， ， 的值可能是． 故选：C． 4.二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 5.对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． A、图象的开口向上的说法错误； B、当时，y随x的增大而减小的说法正确； C、当时，y随x的增大而减小的说法错误； D、图象的对称轴是直线的说法错误． 故选：B． 6.已知二次函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，二次函数有最小值3 B．当时，二次函数有最大值3 C．当时，二次函数有最小值 D．当时，二次函数有最大值 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的顶点式，判断开口方向和顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数为，其中， ∴抛物线开口向下，顶点为最大值点； ∵顶点坐标为 ， ∴当时，有最大值3． 故选：B． 7.抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：A、B、由二次函数的图象可知，可得，此时直线经过一，三，四象限，但考虑，因此抛物线和直线均经过点，因此A错误，B正确； C、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故C错误； D、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故D错误； 故选：B． 8.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，充分利用数形结合思想是解本题的关键．根据题意，结合二次函数的图象与性质，解答即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线， ，即， ，故①正确； 由对称轴可知， ，故②错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故③正确； 由图象可知时，此时只有一个解， 方程有两个相同的实数根，故④错误， 综上所述，正确的结论有个， 故选：B． 9.如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】一次函数与几何综合、最短路径问题、已知两点坐标求两点距离、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 10.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键. 根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图像为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图像为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图像为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故答案为：B． 2、 填空题（每题5分，共20分）。 11.汽车刹车后行驶的距离（米）关于行驶时间（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为 秒． 【答案】3 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将函数关系式化为顶点式，求出其顶点的横坐标． 汽车刹车后到停止时行驶距离最大，所以需要将给定的二次函数关系式化为顶点式，通过顶点的横坐标求出汽车从刹车到停止所用的时间． 【详解】解：由，得 ， 故当时，取得最大值，即汽车停止． 故答案为：3． 12.经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数的最值，关键是用待定系数法求出函数解析式． 先用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上， 当时，， ∴该抛物线的顶点坐标是， 设该抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式是， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：． 13.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用二次函数对称性求最短路径 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，得出，点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为，令和分别求得的坐标，求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：如图所示，连接， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵当时，，则 当时，， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得： 则的解析式为：， 令，则， 则， 故答案为： 14.已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是 （用“”、“”或“”填空） 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，根据解析式可得开口方向向上和对称轴，则离对称轴越远函数值越大，据此求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，是抛物线上的两点，且， ∴， 故答案为：． 3、 解答题（每题12分，共60分）。 15.已知，二次函数． (1)若该图象过点，求函数的顶点坐标； (2)当时，y的最大值是，求a的值； (3)当时，若，，在函数图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)a的值为或 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象性质，二次函数的对称性，增减性，是解题的关键． （1）把点代入中，求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据最大值是，求解即可； （3）根据当时，抛物线开口向上，对称轴为直线，故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小，结合可知B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离，然后求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， 当时，∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， ∴综上所述，a的值为或； （3）解：∵当时，，，在二次函数图象上， 此时抛物线开口向上，对称轴为直线， 故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵， ∴B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离， 即， 化简得， 由，两边平方得， 解得； 由，两边平方得， 解得， ∴m的取值范围． 16.年是农历乙巳蛇年，商场调查发现，含有“蛇”元素的“吉祥公仔”深受大众喜爱．“公仔”的进价为每个元，当销售单价定为元时，每天可售出个，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低元，每天可多售出个，若设这款“公仔”的销售单价为（元），每天的销售量为（个）每天获得的利润元． (1)请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)销售单价定为元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大，最大利润是元． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，二次函数的最值，解题关键是根据题意正确列出函数解析式． （1）依据题意，根据销售量与的关系进行分析计算可以得解； （2）依据题意，可得利润与销售单价之间的关系，利用二次函数的性质可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，， 销售单价不低于进价，且为降价销售， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得， ， ， ，， 元时，即销售单价定为元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大，最大利润是元． 17.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)平移该抛物线后得到的新抛物线经过点，求新抛物线在时的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为5，最小值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）根据对称性，求出的值，待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据平移前后，抛物线的开口方向和大小不变，设出新的抛物线的解析式，待定系数法求出函数解析式，根据二次函数的增减性，求出最值即可． 【详解】（1）解：当时，解得， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴，解得， ∴，把代入，得：，解得； ∴； （2）设平移后的函数解析式为， 把代入，得： ，解得， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； ∴最大值为5，最小值为． 18.在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点． (1)求，，的值； (2)平移抛物线使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值． 【答案】(1)，， (2)平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，抛物线的平移，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据待定系数法求直线解析式，并能确定直线过，，三点，因为抛物线过点，则抛物线不可能再同时过两点，因为两点的横坐标相同，则抛物线不可能同时过两点，所以抛物线只能经过、两点，代入即可求抛物线的解析式； （2）设平移后的抛物线的表达式为，其顶点坐标为，因为顶点仍在直线上，代入可得，即抛物线解析式为， 当时，，对此求最值即可． 【详解】（1）解：直线经过点，代入得： ， 解得； 直线表达式为； 当时，， 当时，， ∴直线过，，三点， 即，，三点共线， ∴抛物线不可能同时过此三点 当时，代入抛物线， 即抛物线过点， 则抛物线不可能再同时过两点， ，两点的横坐标相同， ∴抛物线不可能再同时过两点， 抛物线只能经过、两点， 把，代入得， 解得，； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 设平移后的抛物线的表达式为，其顶点坐标为， 顶点仍在直线上， ， ， 即：， 当时，， 当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值为． 19.下图是一个正在设计的动画示意图，在轴上依次有三个点，在的上方有一个矩形．从点处向右上方沿抛物线发出一个光点，光点落在的中点处后立即弹起，其运动轨迹为抛物线，且与的最大高度相同． (1)求点的横坐标； (2)求点的坐标及的解析式； (3)在轴上设置一个正方形，点从左往右依次在轴上，，点的坐标为，使光点落在边（不含边界）上，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、图形问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查抛物线的点坐标求解、解析式确定及函数与几何图形的结合，涉及知识点：抛物线的函数值计算、顶点式解析式、正方形的坐标范围．解题关键是准确利用函数与坐标的对应关系，易错点是坐标计算或范围边界的处理．解题思路：（1）令中求H；（2）由矩形得的坐标，结合顶点式求；（3）根据正方形边长确定、的坐标，代入求的范围． （1）通过抛物线的函数值求点； （2）结合矩形性质得点坐标，利用顶点式和最高点相同求解析式； （3）根据正方形边长确定、的坐标范围，代入抛物线求的取值． 【详解】（1）令，解得，， 由图象分析可知，点的横坐标为； （2）∵，点为中点， ∴点横坐标为， 将代入中，得， 点的坐标为； 的最大高度为2， 与的最大高度相同， ，将代入的解析式， 解得（舍），， 的解析式为； （3）点的坐标为，点N的坐标为()， 令， 解得（舍）． 光点落在边（不含边界）上， ，， m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $