专题27.2 相似三角形（知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题）-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

本讲义聚焦相似三角形核心知识点，系统梳理概念、判定定理（两角、三边、两边夹角及直角三角形特殊判定）、性质（对应线段比、面积比）及实际应用（影子、标杆测量高度），构建从基础到应用的完整学习支架。 资料以知识梳理为基，14个考点分层讲练，结合中考真题与难度分层练习。通过“利用标杆测量高度”培养应用意识，“动点问题”提升推理能力，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺，发展数学思维与实践能力。

专题27.2 相似三角形 （知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：相似三角形 2 知识点梳理02：平行线分线段成比例 3 知识点梳理03：平行线截三角形相似的定理 3 知识点梳理04：三边关系判定三角形相似定理 4 知识点梳理05：边角关系判定三角形相似定理 4 知识点梳理06：角的关系判定三角形相似定理 5 知识点梳理07：直角三角形相似的判定 5 知识点梳理08：相似三角形对应线段的性质 6 知识点梳理09：相似三角形面积的性质 7 知识点梳理10：利用影子测量物体的高度 8 知识点梳理11：利用标杆测量物体的高度 8 优选题型 考点讲练 9 考点1：利用两角对应相等判定相似 9 考点2：利用三边对应成比例判定相似 10 考点3：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 12 考点4：选择或补充条件使两个三角形相似 13 考点5：相似三角形的判定综合 14 考点6：利用相似三角形的性质求解 18 考点7：证明三角形的对应线段成比例 19 考点8：利用相似求坐标 23 考点9：在网格中画与已知三角形相似的三角形 26 考点10：相似三角形——动点问题 28 考点11：相似三角形的判定与性质综合 30 考点12：相似三角形的综合问题 34 考点13：重心的有关性质 35 考点14：相似三角形实际应用 38 中考真题 实战演练 39 难度分层 拔尖冲刺 47 基础夯实 47 培优拔高 54 知识点梳理01：相似三角形 相似三角形 概念 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似 图 示 ∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E，＝＝ 表示 △ABC与△DFE相似可以表示为“△ABC∽△DFE” 读法 三角形ABC相似于三角形DFE 相似比 相似三角形对应边的比就是相似比，若△ABC ∽△DFE，且相似比为k，则＝＝＝k 2. 相似三角形的对应性、顺序性、传递性 内容 示例 图示 对 应 性 两个三角形相似时， 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 如: △ABC∽ △A′B′C′ 不能写成△ABC∽△B′C′A′ 顺 序 性 相似比具有顺序性 如: △ABC∽△ A′B′C′，其相似比为k，则△ A′B′C′∽ △ABC，其相似比为 传 递 性 相似三角形具有传递性 如: △ABC∽△A′B′C′， △A ′B ′C′∽ △ GHK， 则△ABC ∽△ GHK 知识点梳理02：平行线分线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 文字语言 图示 符号语言 基 本 事 实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 如图，若直线l3∥l4∥l5，则有＝，＝，＝. 若AB＝BC， 则DE＝EF 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 如图，若DE∥BC，则有＝，＝，＝ 知识点梳理03：平行线截三角形相似的定理 内容 类别 “A 型” “X 型” 平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 DE∥BC，且DE与AB，AC的延长线相交 DE∥BC，且DE与AB，AC 相交 DE∥BC，且DE与AB，AC的反向延长线相交 知识点梳理04：三边关系判定三角形相似定理 1. 相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图27.2－6，在△ABC和△DEF中，∵ ＝＝，∴△ABC ∽△DEF. 3. 利用三边判断两个三角形是否相似的步骤与方法 步骤 方法 排序 将三角形的三边按从小到大(或从大到小)的顺序排列 计算 分别计算这两个三角形对应边的比值 判断 根据比值是否相等判断两个三角形是否相似 知识点梳理05：边角关系判定三角形相似定理 1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图27.2－9，在△ABC和△DEF中，∵ ＝，且∠B＝∠E，∴△ ABC ∽△ DEF. 知识点梳理06：角的关系判定三角形相似定理 1.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似 2. 数学表达式 如图27.2－11，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝ ∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF. 知识点梳理07：直角三角形相似的判定 1. 直角三角形相似的判定方法 (1)一组锐角相等的两直角三角形相似； (2)两组直角边对应成比例的两直角三角形相似； (3)斜边与一组直角边对应成比例的两直角三角形相似. 2. 数学表达式：如图27.2－13，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， (1)∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. (2)∵∠C＝∠C′＝90°，＝，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. (3)∵∠C＝∠C′＝90°，＝(或＝)，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 知识点梳理08：相似三角形对应线段的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 图形 推理 结论 相似比 ＝＝＝k 相似比为k 对应高的比 AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高 相似三角形对应高的比等于相似比 对应中线 的比 AM，A′M′分别为△ABC和△A′B′C′的中线 相似三角形对应中线的比等于相似比 对应角平分线的比 AN，A′N′分别为△ABC和△A′B′C′的角平分线 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 周长的比 相似三角形周长的比等于相似比 知识点梳理09：相似三角形面积的性质 图形 推理 结论 相似比 ＝＝＝＝k 相似比为k 面积比 ＝＝k2 相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点梳理10：利用影子测量物体的高度 1. 测量原理：当测量不能直接到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长成比例)来解决. 2. 测量方法：在同一时刻测量出参照物影长BC和被测量物体影长B′C′，再根据参照物的高度AC计算出被测量物体的高度A′C′. 示例 知识点梳理11：利用标杆测量物体的高度 1. 测量原理：用标杆或直尺的高(长) 作为三角形的边构造相似三角形. 2. 测量方法：(1)测量出标杆的长度CD, 观测者眼睛到地面的高度AB； (2)让标杆竖直立于地面, 调整观测者的位置, 使观测者的眼睛A、标杆顶端C 和旗杆顶端E 恰好在一条直线上, 测量出观测者的脚到标杆底端的距离BD和到旗杆底端的距离BF； (3)根据标杆与旗杆平行推导出两个三角形相似, 利用对应边成比例求出旗杆的高度EF. 示例 考点1：利用两角对应相等判定相似 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，，，求证：． 【答案】详见解析 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定．根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答． 【规范解答】解：， ． ， ． 【变式训练】（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：作出劣弧的中点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接交于点F，连接，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查线段垂直平分线的作法，垂径定理，圆周角的有关性质，相似三角形的判定；掌握线段垂直平分线的作法，相似三角形的判定是解题的关键． （1）作的垂直平分线交劣弧于，即可求解； （2）由直径所对的圆周角为直角得，由同弧所对的圆周角相等得，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图， 点为所求作的点； （2）证明：如图， 是直径， ， ， ， ． 考点2：利用三边对应成比例判定相似 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为 时，与相似． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【规范解答】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【思路点拨】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【规范解答】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 考点3：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例精讲】（24-25九年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【规范解答】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【规范解答】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 考点4：选择或补充条件使两个三角形相似 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 【答案】（或或） 【思路点拨】此题考查了相似三角形的判定，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个角形相似定理的应用．两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角或夹此对应角的两边对应成比例即可． 【规范解答】解：要使相似，已知，还需具备的一个条件是或或． 故答案为∶ （或或） 【变式训练】（24-25九年级下·山东东营·期末）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形的判定方法，即可判断． 【规范解答】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故A不符合题意； B、由得到，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故B不符合题意； C、两三角形的两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，故C符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意． 故选：C． 考点5：相似三角形的判定综合 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，点D在上，的延长线交的外接圆于点E．图中共有a对相似三角形，则a的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质．根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 同理； 综上，共有6对相似三角形，即， 故选：D． 【变式训练】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【规范解答】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 考点6：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）若且面积比为，则与的相似比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形面积的比等于相似比的平方． 根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方，解答即可． 【规范解答】解：∵，面积比为， ∴与的相似比为， 故选：B． 【变式训练】（2024·河南驻马店·一模）已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比、对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似三角形的相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，根据和的高分别为，，可知和的相似比是，所以与的面积比是相似比的平方，即． 【规范解答】解： 和是它们的对应高线，若，， ， ， 和的相似比是， ． 故选：A． 考点7：证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（23-24九年级下·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【规范解答】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 【变式训练】（2023·广东珠海·一模）如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为． (1)求点的坐标及直线的解析式为_____________，_____________． (2)连接，交线段于点，求的最大值； (3)连接，是否存在点，使得，若存在，求的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)；理由见解析 【思路点拨】（1）由于在轴正半上，将点代入抛物线即可求出点坐标；通过抛物线上存在两点和求出两点的坐标，设直线解析式，将和代入此解析式即可求出和，即可求出解析式. （2）根据面积公式将转化为，利用平行线分线段成比例将转化，通过两点的坐标即可求出，欲求得知道和点的坐标，点为已知，作轴可知道点的纵坐标与点的纵坐标相同，根据点在直线上即可求出点横坐标，根据点到点的距离公式求出长度，也就可以求出，即可以推出用表达，从而求出最大值. （3）过点作轴，延长交轴于点，通过已知条件易证三角形为等腰三角形，则推出，从而推出的坐标表，通过待定系数法求直线的解析式；依据既是抛物线的交点也是直线交点，构建一元二次方程，即可求出值. 【规范解答】（1）解：抛物线与坐标轴交于，，三点，且点和在轴上，在轴上 设，， 当时 或 ， 当时 设直线的解析式为： 将点和点代入中， 直线的解析式为： 故答案为：； （2）解：过点作轴交于于点，过点作交与点 点的纵坐标与点的纵坐标相同 为抛物线上的一点 设 又点在直线上，直线的解析式为： 又 ， 的最大值为 故答案为： （3）解：过点作轴，延长交轴于点 ， 为等腰三角形 在中， 设直线的解析式为： 将点和点代入中， 直线的解析式为： 是直线和抛物线的交点， 令 （舍去）或 故答案为： 考点8：利用相似求坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·云南保山·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，求反比例函数解析，相似三角形的性质等知识，掌握这些性质与分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式，再求出当时，y的值，即可得出点D的坐标． （2）和相似可以分两种情况进行求解，①当若时，得求出，得出F点的坐标，②当时，可得求出，得出F点坐标． 【规范解答】（1）解：四边形是矩形 为的中点，点B的坐标为 点E的坐标为 点E在反比例函数上 ∴反比例函数的解析式为：， ∴当时，则 ∴点D的坐标为 （2）由（1）可得 为的中点 ①若时， 则 即： 点F的坐标为 ②若时， 则 即： 点F与点O重合 点F的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 【变式训练】（23-24九年级下·浙江·期末）已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为 ；若于点，则点到点的最大距离为 ． 【答案】 【思路点拨】设点坐标，点坐标，由求出的值，将、代入直线解析式，当时，即可求解，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得出点运动轨迹，即可求出点到点的最大距离，本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用相似求坐标，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握字型相似，隐圆模型． 【规范解答】解：设直线解析式：，点坐标：，点坐标：， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 则，，，， ，， ， ， ，即：， ， 设直线解析式，将、坐标代入， ，解得：， 则直线解析式：， 当时，，将代入，得：， 与轴的交点为， 设与轴的交点为点，中点为，点为点， ，，为中点， 在中，， 在中，， 点轨迹为，以为圆心，长为半径的圆， 的最大值为：， 故答案为：，． 考点9：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江金华·期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【思路点拨】本题主要考查了作相似三角形，相似三角形的性质和判定， 对于（1），延长至D，使，延长至E，使，连接，则是所求作的三角形.由，可得； 对于（2），在图中取点P，使，连接，交于点Q，由，得，进而得出，所以． 【规范解答】（1）如图所示．    （2）如图所示．    【变式训练】（24-25九年级下·辽宁铁岭·月考）如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．先分别求出各个三角形的三边长，再求出每个三角形的三边之比，若其它三个三角形中某个三角形的三边之比与的三边之比相等，则该三角形与相似． 【规范解答】解：在中，，，， 的三边之比为：； 在中，，，， 的三边之比为：， 与相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 故答案为：． 考点10：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（24-25九年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为 秒时，与相似． 【答案】3或7.5 【思路点拨】主要考查的是相似三角形的性质和判定、含30度的直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质和判定、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【规范解答】解：在中，，，， ， ， ①当时，， ， ， ； ②当时，， ， ， ． 或7.5秒时，与相似． 故答案为：3或7.5． 【变式训练】（2025·四川资阳·二模）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为 ． 【答案】，，，， 【思路点拨】本题考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质及勾股定理，先求出三角形内切圆半径及长，再分情况讨论，根据相似三角形性质求出即可． 【规范解答】如图，连接、、， 中，， ， 设，则，，， ， 解得， 当次前进后，点前进的距离是，点前进的距离是， ①当时， ， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，；时，； ②当时， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，； 综上，可得所有满足条件的为、、、16、32． 故答案为：、、、16、32． 考点11：相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（2025·安徽淮南·二模）在矩形中，为对角线上一点（），连接，过点作交的延长线于点，交于点，设． (1)如图1，已知． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）求证：． (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析； (2) 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）（ⅰ）根据已知等边对等角可得。进而证明，根据线段的和差以及等量代换即可得证； （ⅱ）过点作，交于点，交于点．证明得出，设，，进而根据勾股定理，即可得证； （2）过点作，交于点，交于点．设，则，证明，得出，根据已知可得，，代入比例式，即可求解． 【规范解答】（1）解： （ⅰ）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （ⅱ）如图1，过点作，交于点，交于点， ， 矩形为正方形， ，和均为等腰直角三角形， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， 设，， ， ， ． （2）解：如图2，过点作，交于点，交于点． 设，则， ， ∴ ∴ ∴， ， 为的中点，为的中点， ，， ， 解得（负值舍去）． 【变式训练】（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质得，，， ，证明，得，再证明，证明，即可证明； （2）由，结合，得，得，由， 得，可得，得，即可计算． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点12：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（24-25九年级下·四川成都·开学考试）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【答案】B 【思路点拨】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解． 【规范解答】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 【答案】C 【思路点拨】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【规范解答】解：与是位似图形，点为位似中心， 且 又 故选：C． 考点13：重心的有关性质 【典例精讲】（2025·上海·模拟预测）有一个直角三角形的两直角边分别为8和15，则这个直角三角形的重心与它的外心之间的距离为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查三角形的重心，三角形的外接圆与外心，由勾股定理得：，由直角三角形斜边中线的性质推出 ，由三角形重心的性质得到 ，因此得到这个直角三角形的重心与它的外心之间的距离为． 【规范解答】解：如图，中，，，，是中线，G是的重心， 由勾股定理得：， ∵是中线， ∴ ， ∵G是的重心， ∴ ， ∵M是斜边的中点， ∴M是的外心， ∴这个直角三角形的重心与它的外心之间的距离为． 故答案为：． 【变式训练】（2025·浙江杭州·三模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，若四边形的面积为5，则的面积为（    ）    A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．连接交于点，连接，，则点三点共线，，，在的延长线上取一点，使，连接，则，得到四边形是平行四边形，进而得到，，则，，设，则，证明得由此解出，则，然后根据即可得出的面积． 【规范解答】解：连接交于点，连接，， 点是的重心，点是边的中点， 点三点共线， ， 在的延长线上取一点，使，连接，如图所示：    则， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，设， 四边形的面积为5， ， ， ， ，即 解得：， ， 的面积为：． 故选：C． 考点14：相似三角形实际应用 【典例精讲】（2025·江苏泰州·三模）小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 步． 【答案】 【思路点拨】设该城堡的边长为x步，判定，推出，得到，求出，即可得到答案． 本题考查相似三角形的应用，关键是判定，推出． 【规范解答】解：设该城堡的边长为x步，则步， 由题意得：步，步， ， ， ， ∴， ∴ ∴ 舍去负值， 该城堡的边长为步． 故答案为： 【变式训练】（2025·贵州黔东南·二模）【跨学科·物理】在实验课上，小明利用小孔成像的原理进行实验．他将一支燃烧的蜡烛（竖直放置）通过小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．已知以下数据： ①蜡烛的高度为． ②小孔O到蜡烛的距离为． ③小孔O到屏幕上像的距离为． 则屏幕上像的高度是 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了小孔成像中的相似三角形应用．解题的关键是根据小孔成像原理判断出蜡烛与像对应的三角形相似再利用相似三角形的对应边成比例求解像的高度． 根据小孔成像原理，蜡烛、小孔O与像构成两个相似三角形；利用相似三角形对应高的比等于对应距离的比，列出比例式，代入已知数据计算像的高度． 【规范解答】解：由小孔成像原理可知，蜡烛通过小孔O成像时与是相似三角形． 相似三角形的对应边成比例，即． 已知，代入比例式得： 化简得，解得． 故答案为：9． 1．（2024·陕西西安·中考真题）如图，的对角线相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行四边形性质和判定，相似三角形性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知可证四边形为平行四边形，则，因为，且，可证，且相似比为，设长为，根据列方程求解即可． 【规范解答】解：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设长为， 则， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 则． 故答案为：． 2．（2024·天津·中考真题）直角三角形中，直角边上有一点M，斜边上有一点P，已知，的面积等于四边形的面积的一半，，，那么直角三角形的面积是 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，比例的计算、三角形面积的计算、相似三角形面积比等于相似比的平方，由已知条件易知，结合是公共角，易证，而已知的面积等于四边形的面积的一半，那么，于是，利用比例计算可求，从而可求，也就易求． 【规范解答】解：如图： ∵，为直角三角形， ∴, 又∵， ∴， 又∵的面积等于四边形的面积的一半， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024·湖南长沙·中考真题）在梯形中，如图 ，，以点A为中心，为半径逆时针旋转90°至AE，顶点恰好落在边上，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，如图，过点作于，过点作于，交的延长线于，则，证明四边形是正方形，则，再证明和是等腰直角三角形，则，，最后根据勾股定理可得结论． 【规范解答】解：解法一：如图，过点作于，过点作于，交的延长线于，则， ， ，， 四边形是矩形， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， ， 由勾股定理得：． 解法二：如图2，过点作，交于， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 4．（2024·安徽·中考真题）如图，点E，F分别是正方形边上的点且，延长至点G，使，连结分别交于点H、K，连接并延长交于M．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据四边形是正方形，得出，证明，得出，结合，，得出，证明，得出，即可得A正确；根据，得出垂直平分，则，即可得B正确；根据是高线，得点是高线的交点，结合过点，得是的高线，即可得C正确；证明，得，根据等腰直角三角形的性质得出，则，即可解答． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴垂直平分， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴是高线， ∴点是高线的交点， ∵连接并延长交于M， ∴过点， ∴是的高线， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故D错误，符合题意； 故选：D． 5．（2024·湖北·中考真题）已知：如图，，，交线段于点． (1)如图，当时．则线段、之间的数量关系为______； (2)如图，当时．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如明，在（2）的条件下，点是边的中点，连接，与交于点，试探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路点拨】（1）易证∽，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作于，如图3.根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，进而可得≌，则有，即可证到； （3）延长到点，使得，连接、，如图3，易证四边形是平行四边形，从而可得 ，，即可得到∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得与的比值，继而求得答案． 【规范解答】（1）解：，， ， ， ， ∽， ． ， ； 故答案为：； （2）猜想：． 理由：过点作于，如图2． 又，， ，， ，， ∵， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； （3）延长到点，使得，连接、，如图3， ，， 四边形是平行四边形， ，， ∽，， ． 设，则有，， ， ， ． 基础夯实 1．（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，．若，则的对应角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等．利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【规范解答】解：， ． 故选：B． 2．（22-23九年级下·北京·开学考试）如图，在中，．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 由可得，再利用相似三角形的性质列比例式即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级下·上海·阶段练习）已知两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形对应高的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质， 根据相似三角形的对应高线的比等于相似比得出答案. 【规范解答】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形对应高的比是. 故选：A. 4．（25-26九年级下·上海普陀·月考）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 【规范解答】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似之比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 故答案为： 5．（24-25九年级下·浙江杭州·期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是，则实像的高是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【规范解答】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是， ∴， ∴ 故答案为：． 6．（22-23九年级下·甘肃武威·期末）已知周长为1，连接三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2006个三角形的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查规律型：图形的变化类，中位线定理，相似三角形性质：相似三角形周长的比等于相似比，根据已知进行分析从而发现规律，根据规律不难求得答案． 【规范解答】解：如图， ∵连接三边中点构成第二个三角形， ∴第二个三角形的三边与第一个三角形的三边的比为， ∴它们相似，且相似比为， ∴第二个三角形的周长是第一个三角形周长的， 以此类推：第2006个三角形的周长是第一个三角形周长的， ∴第2006个三角形的周长为． 故答案为：． 7．（2025·云南·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边，上，且 ，若，则 ． 【答案】15 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，先得出，相似比为，进而得出，即可得出答案． 【规范解答】∵，且， ∴，相似比为， ∴， ∴． 故答案为：15． 8．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，平分，为中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查了线段的中点，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，由线段的中点定义可得，进而证明得到即可求证，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】证明：∵为中点， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 9．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，在平行四边形中，是边上一点，连接是的中点． (1)实践与操作：利用尺规作出，交于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)图见解析 (2)猜想：，证明见解析 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质及判定以及尺规作图，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理和平行四边形对边平行且相等的性质． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法，作出与相等的角，从而得到； （2）先证明，得到，结合是的中点，从而证明，结合平行四边形对边相等的性质，推导与的数量关系． 【规范解答】（1）以为顶点，用尺规作，所作射线交于，则（同位角相等，两直线平行）， （2）解：猜想：． 证明： ， ， 由（1），又 ， ， ， 是的中点，， ， ， 是平行四边形， ， ． 10．（2024·广西桂林·一模）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． （1）根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）由于，则利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 培优拔高 11．（2025·山东泰安·一模）如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查三角形相似的性质和判定，三角形全等的性质和判定，正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点E，可证，则，可证，则，则题目可解． 【规范解答】解：延长交于点E，如图， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 故选：A． 12．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，有三根长度相同横截面为正方形的直条形木块，若将它们靠紧放置在水平地面上时，直线恰在同一个平面上，木块 的体积分别为 ，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造相似三角形． 连接，可证明，则，代入化简得到，则，而，且，则． 【规范解答】解：连接， 设正方形的直条形木块的正方形横截面边长为， ∵直线恰在同一个平面上， ∴点三点共线， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，且， ∴， 故选：D． 13．（2024·新疆·二模）如图，在中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及相似三角形的判定与性质．解题关键在于利用等腰三角形的性质求出底角的度数；依据线段垂直平分线的性质得到线段相等关系；通过角的关系证明三角形相似，进而利用相似三角形的性质进行推理判断．根据这些性质定理逐个选项判断即可． 【规范解答】解：，， ， 由作法可知，垂直平分， ， ， ，A选项结论正确； ， ， ， ，C选项结论正确； 在中， ，B选项结论错误； ，， ， ， ，D选项结论正确． 故选：B． 14．（23-24九年级下·河南周口·期中）如图，与相交于点E，点F在线段上，且，若，，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，设，则，求出，再由，即可求出答案． 【规范解答】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2025·安徽淮南·二模）如图，在四边形中，，，，E为对角线上一点，且，． （1）若，则 ； （2）CD长的最小值为 ． 【答案】 / 4 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，先根据等腰三角形的性质得到，由（1）得，证明得到，，则，进而求得，证明，根据垂线段最短和平行线间的距离处处相等可解答． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴， ，即， 解得， 故答案为：； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点． ， ， 由（1）得， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点运动到时最小，此时， 长的最小值为4． 故答案为：4． 16．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点E是线段的三等分点，且靠近点C，的两边与线段分别交于点F、G，连接分别交于点H、K．若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】先根据等腰直角三角形的性质求出的长，再根据相似三角形的性质得到，从而求得的长，过作于，则四边形是矩形，可得、的长，进一步由勾股定理可求出的长，进而求得的长，然后根据可得的值，再由相似三角形的性质列方程即可求得结果． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 17．（2025·北京东城·一模）如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，设，，则，根据平行四边形的性质得出，，证出，得出比例式，代入求出即可，能求出和求出是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴设，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：6． 18．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在中，于点D，，求AD的长． 【答案】2 【思路点拨】由在中，，根据同角的余角相等，可得，可证得，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【规范解答】解：， ． ， ， ， ． ， ， ． 19．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在正方形中，将绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到，点与点对应，点与点对应，连接，． (1)如图①，求证； (2)如图②，是的中点，连接，求证：； (3)如图③，在（）的条件下，当旋转到，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】()证明即可得出结论，证明，即可得出； ()设正方形的边长为，则，，，证明，，即可得出结论； ()过点作交的延长线于点，证明，得，从而可得到，则，然后在中，由勾股定理求解即可. 【规范解答】（1）证明：∵正方形， ∴，， 由旋转得，， ∴，， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：设正方形的边长为，则， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 由()知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， 解得，(舍去)， ∴． 20．（24-25九年级下·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4 【思路点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为4． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.2 相似三角形 （知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：相似三角形 2 知识点梳理02：平行线分线段成比例 3 知识点梳理03：平行线截三角形相似的定理 4 知识点梳理04：三边关系判定三角形相似定理 4 知识点梳理05：边角关系判定三角形相似定理 5 知识点梳理06：角的关系判定三角形相似定理 5 知识点梳理07：直角三角形相似的判定 5 知识点梳理08：相似三角形对应线段的性质 6 知识点梳理09：相似三角形面积的性质 7 知识点梳理10：利用影子测量物体的高度 8 知识点梳理11：利用标杆测量物体的高度 8 优选题型 考点讲练 9 考点1：利用两角对应相等判定相似 9 考点2：利用三边对应成比例判定相似 9 考点3：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 10 考点4：选择或补充条件使两个三角形相似 11 考点5：相似三角形的判定综合 11 考点6：利用相似三角形的性质求解 12 考点7：证明三角形的对应线段成比例 12 考点8：利用相似求坐标 13 考点9：在网格中画与已知三角形相似的三角形 13 考点10：相似三角形——动点问题 14 考点11：相似三角形的判定与性质综合 14 考点12：相似三角形的综合问题 16 考点13：重心的有关性质 16 考点14：相似三角形实际应用 17 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 21 知识点梳理01：相似三角形 相似三角形 概念 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似 图 示 ∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E，＝＝ 表示 △ABC与△DFE相似可以表示为“△ABC∽△DFE” 读法 三角形ABC相似于三角形DFE 相似比 相似三角形对应边的比就是相似比，若△ABC ∽△DFE，且相似比为k，则＝＝＝k 2. 相似三角形的对应性、顺序性、传递性 内容 示例 图示 对 应 性 两个三角形相似时， 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 如: △ABC∽ △A′B′C′ 不能写成△ABC∽△B′C′A′ 顺 序 性 相似比具有顺序性 如: △ABC∽△ A′B′C′，其相似比为k，则△ A′B′C′∽ △ABC，其相似比为 传 递 性 相似三角形具有传递性 如: △ABC∽△A′B′C′， △A ′B ′C′∽ △ GHK， 则△ABC ∽△ GHK 知识点梳理02：平行线分线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 文字语言 图示 符号语言 基 本 事 实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 如图，若直线l3∥l4∥l5，则有＝，＝，＝. 若AB＝BC， 则DE＝EF 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 如图，若DE∥BC，则有＝，＝，＝ 知识点梳理03：平行线截三角形相似的定理 内容 类别 “A 型” “X 型” 平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 DE∥BC，且DE与AB，AC的延长线相交 DE∥BC，且DE与AB，AC 相交 DE∥BC，且DE与AB，AC的反向延长线相交 知识点梳理04：三边关系判定三角形相似定理 1. 相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图27.2－6，在△ABC和△DEF中，∵ ＝＝，∴△ABC ∽△DEF. 3. 利用三边判断两个三角形是否相似的步骤与方法 步骤 方法 排序 将三角形的三边按从小到大(或从大到小)的顺序排列 计算 分别计算这两个三角形对应边的比值 判断 根据比值是否相等判断两个三角形是否相似 知识点梳理05：边角关系判定三角形相似定理 1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图27.2－9，在△ABC和△DEF中，∵ ＝，且∠B＝∠E，∴△ ABC ∽△ DEF. 知识点梳理06：角的关系判定三角形相似定理 1.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似 2. 数学表达式 如图27.2－11，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝ ∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF. 知识点梳理07：直角三角形相似的判定 1. 直角三角形相似的判定方法 (1)一组锐角相等的两直角三角形相似； (2)两组直角边对应成比例的两直角三角形相似； (3)斜边与一组直角边对应成比例的两直角三角形相似. 2. 数学表达式：如图27.2－13，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， (1)∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. (2)∵∠C＝∠C′＝90°，＝，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. (3)∵∠C＝∠C′＝90°，＝(或＝)，∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 知识点梳理08：相似三角形对应线段的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 图形 推理 结论 相似比 ＝＝＝k 相似比为k 对应高的比 AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高 相似三角形对应高的比等于相似比 对应中线 的比 AM，A′M′分别为△ABC和△A′B′C′的中线 相似三角形对应中线的比等于相似比 对应角平分线的比 AN，A′N′分别为△ABC和△A′B′C′的角平分线 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 周长的比 相似三角形周长的比等于相似比 知识点梳理09：相似三角形面积的性质 图形 推理 结论 相似比 ＝＝＝＝k 相似比为k 面积比 ＝＝k2 相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点梳理10：利用影子测量物体的高度 1. 测量原理：当测量不能直接到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长成比例)来解决. 2. 测量方法：在同一时刻测量出参照物影长BC和被测量物体影长B′C′，再根据参照物的高度AC计算出被测量物体的高度A′C′. 示例 知识点梳理11：利用标杆测量物体的高度 1. 测量原理：用标杆或直尺的高(长) 作为三角形的边构造相似三角形. 2. 测量方法：(1)测量出标杆的长度CD, 观测者眼睛到地面的高度AB； (2)让标杆竖直立于地面, 调整观测者的位置, 使观测者的眼睛A、标杆顶端C 和旗杆顶端E 恰好在一条直线上, 测量出观测者的脚到标杆底端的距离BD和到旗杆底端的距离BF； (3)根据标杆与旗杆平行推导出两个三角形相似, 利用对应边成比例求出旗杆的高度EF. 示例 考点1：利用两角对应相等判定相似 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，，，求证：． 【变式训练】（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：作出劣弧的中点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接交于点F，连接，求证：． 考点2：利用三边对应成比例判定相似 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为 时，与相似． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 考点3：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例精讲】（24-25九年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 考点4：选择或补充条件使两个三角形相似 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 【变式训练】（24-25九年级下·山东东营·期末）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定的是(   ) A． B． C． D． 考点5：相似三角形的判定综合 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，点D在上，的延长线交的外接圆于点E．图中共有a对相似三角形，则a的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式训练】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 考点6：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）若且面积比为，则与的相似比是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·河南驻马店·一模）已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 考点7：证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（23-24九年级下·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2023·广东珠海·一模）如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为． (1)求点的坐标及直线的解析式为_____________，_____________． (2)连接，交线段于点，求的最大值； (3)连接，是否存在点，使得，若存在，求的值．若不存在，请说明理由． 考点8：利用相似求坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·云南保山·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 【变式训练】（23-24九年级下·浙江·期末）已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为 ；若于点，则点到点的最大距离为 ． 考点9：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江金华·期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁铁岭·月考）如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是 ． 考点10：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（24-25九年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为 秒时，与相似． 【变式训练】（2025·四川资阳·二模）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为 ． 考点11：相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（2025·安徽淮南·二模）在矩形中，为对角线上一点（），连接，过点作交的延长线于点，交于点，设． (1)如图1，已知． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）求证：． (2)如图2，若，，求的值． 【变式训练】（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 考点12：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（24-25九年级下·四川成都·开学考试）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【变式训练】（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 考点13：重心的有关性质 【典例精讲】（2025·上海·模拟预测）有一个直角三角形的两直角边分别为8和15，则这个直角三角形的重心与它的外心之间的距离为 ． 【变式训练】（2025·浙江杭州·三模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，若四边形的面积为5，则的面积为（    ）    A．15 B．16 C．18 D．20 考点14：相似三角形实际应用 【典例精讲】（2025·江苏泰州·三模）小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 步． 【变式训练】（2025·贵州黔东南·二模）【跨学科·物理】在实验课上，小明利用小孔成像的原理进行实验．他将一支燃烧的蜡烛（竖直放置）通过小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．已知以下数据： ①蜡烛的高度为． ②小孔O到蜡烛的距离为． ③小孔O到屏幕上像的距离为． 则屏幕上像的高度是 ． 1．（2024·陕西西安·中考真题）如图，的对角线相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点．若，则的长为 ． 2．（2024·天津·中考真题）直角三角形中，直角边上有一点M，斜边上有一点P，已知，的面积等于四边形的面积的一半，，，那么直角三角形的面积是 3．（2024·湖南长沙·中考真题）在梯形中，如图 ，，以点A为中心，为半径逆时针旋转90°至AE，顶点恰好落在边上，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·中考真题）如图，点E，F分别是正方形边上的点且，延长至点G，使，连结分别交于点H、K，连接并延长交于M．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北·中考真题）已知：如图，，，交线段于点． (1)如图，当时．则线段、之间的数量关系为______； (2)如图，当时．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如明，在（2）的条件下，点是边的中点，连接，与交于点，试探究与之间的数量关系． 基础夯实 1．（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，．若，则的对应角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·北京·开学考试）如图，在中，．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·上海·阶段练习）已知两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形对应高的比为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·上海普陀·月考）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 5．（24-25九年级下·浙江杭州·期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是，则实像的高是 ． 6．（22-23九年级下·甘肃武威·期末）已知周长为1，连接三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2006个三角形的周长为 ． 7．（2025·云南·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边，上，且 ，若，则 ． 8．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，平分，为中点，，求证：． 9．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，在平行四边形中，是边上一点，连接是的中点． (1)实践与操作：利用尺规作出，交于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明． 10．（2024·广西桂林·一模）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 培优拔高 11．（2025·山东泰安·一模）如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 12．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，有三根长度相同横截面为正方形的直条形木块，若将它们靠紧放置在水平地面上时，直线恰在同一个平面上，木块 的体积分别为 ，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·新疆·二模）如图，在中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级下·河南周口·期中）如图，与相交于点E，点F在线段上，且，若，，，则的值为 ． 15．（2025·安徽淮南·二模）如图，在四边形中，，，，E为对角线上一点，且，． （1）若，则 ； （2）CD长的最小值为 ． 16．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点E是线段的三等分点，且靠近点C，的两边与线段分别交于点F、G，连接分别交于点H、K．若，，则 ． 17．（2025·北京东城·一模）如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则 ． 18．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在中，于点D，，求AD的长． 19．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在正方形中，将绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到，点与点对应，点与点对应，连接，． (1)如图①，求证； (2)如图②，是的中点，连接，求证：； (3)如图③，在（）的条件下，当旋转到，若，求的长． 20．（24-25九年级下·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $