专题26.3 反比例函数（章节复习）知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

该初中数学讲义通过“知识梳理+考点讲练”系统构建反比例函数复习体系，用表格对比呈现图象与性质，模型归纳k的几何意义等要点，清晰梳理概念、表达式确定等知识脉络及内在联系。 讲义亮点是23个考点分层练设计，如k的几何意义面积计算、与一次函数交点问题，培养抽象能力和推理意识。基础夯实与培优拔高题组满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升复习效率。

专题26.3 反比例函数（章节复习） （知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：反比例函数的概念 2 知识点梳理02：反比例函数的图象与性质 2 知识点梳理03：反比例函数表达式的确定 2 知识点梳理04：系数k的几何意义 3 知识点梳理05：反比例函数与一次函数 3 知识点梳理06：反比例函数中的三个模型 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：用反比例函数描述数量关系 4 考点2：根据定义判断是否是反比例函数 5 考点3：根据反比例函数的定义求参数 6 考点4：求反比例函数值 6 考点5：由反比例函数值求自变量 7 考点6：判断(画)反比例函数图象 8 考点7：已知反比例函数的图象，判断其解析式 10 考点8：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 11 考点9：已知双曲线分布的象限，求参数范围 12 考点10：判断反比例函数的增减性 13 考点11：判断反比例函数图象所在象限 14 考点12：已知反比例函数的增减性求参数 16 考点13：比较反比例函数值或自变量的大小 17 考点14：已知比例系数求特殊图形的面积 18 考点15：根据图形面积求比例系数(解析式) 19 考点16：求反比例函数解析式 22 考点17：反比例函数与几何综合 24 考点18：反比例函数、二次函数图象综合判断 28 考点19：一次函数与反比例函数图象综合判断 29 考点20：一次函数与反比例函数的交点问题 31 考点21：一次函数与反比例函数的实际应用 34 考点22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 36 考点23：实际问题与反比例函数 40 中考真题 实战演练 42 难度分层 拔尖冲刺 48 基础夯实 48 培优拔高 50 知识点梳理01：反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 知识点梳理02：反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点梳理03：反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 知识点梳理04：系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 知识点梳理05：反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点梳理06：反比例函数中的三个模型 考点1：用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 【规范解答】解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 【变式训练】（2023·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【思路点拨】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 考点2：根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）下列函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义判断，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此即可获得答案． 【规范解答】解：A. ，整理为，是一次函数，不符合题意； B. ，化简为，是正比例函数，x的次数为1，不符合题意； C. ，是正比例函数，x的次数为1，不符合题意； D. ，符合（），是反比例函数． 故选：D ． 【变式训练】（24-25九年级下·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【规范解答】解：A、是反比例函数，故该选项不符合题意； B、是反比例函数，故该选项不符合题意； C、不是反比例函数，故该选项符合题意； D、是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 考点3：根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·单元测试）当 时，是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限． 【答案】2 【思路点拨】本题考查反比例函数的图像性质，根据反比例函数的性质得，且，即可求出． 【规范解答】解：∵是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限， ∴，且， 解得， 故答案为：2． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）反比例函数中，k与x的取值情况是（   ） A．取全体实数 B．取全体实数 C． D．k、x都可取全体实数 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了反比例函数的定义．利用反比例函数的概念：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数．其中是自变量，自变量的取值范围是不等于0的一切实数，即可得出答案． 【规范解答】解：反比例函数（k为常数，）的自变量的取值范围是：． 故选：C． 考点4：求反比例函数值 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可． 【规范解答】解：∵反比例函数， ∴， A、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； B、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意． C、∵，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意； D、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； 故选：C． 【变式训练】（2025·河北邯郸·二模）已知反比例函数的图象上有两点和，且满足：，，则的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上的点的横纵坐标一定满足其解析式，则，根据题意可得，则可推出，再由可得，据此可得答案． 【规范解答】解：点和点在反比例函数的图象上， ， ∵， ∴，即， ∴， 又， ∴解得， ，即， ∴． ， ， 故答案为：3． 考点5：由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 【规范解答】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， ， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质．将点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可． 【规范解答】解：将代入得： 解得：， 故选：B． 考点6：判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆·期中）反比例函数图像一定经过的点是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据每个选项中x的值求出y的值，与点的坐标比较即可作出判断． 【规范解答】解：A、当时，，所以点在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； B、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； C、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； D、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练】（2025·河南安阳·二模）如图，A，B，D都在格点(网格线的交点)上，是的中位线，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的三个点，再画出反比例函数的图象． (3)将点A向左平移，当平移距离等于________时，点A恰好落在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)1 (3)6 【思路点拨】本题考查求反比例函数解析式，画反比例函数图象，平移等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）将点C代入反比例函数解析式求出k，即可得解； （2）根据8的约数可分别取，列表求出函数值，从而描点连线即可； （3）求出点A的坐标，找出反比例函数图象上与点A的纵坐标相等的点，根据两点间的距离回答即可． 【规范解答】（1）解：将点代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）列表格如下： x 1 2 8 y 8 4 1 描点连线得： （3）∵是的中位线，， ∴点C是的中点， 又∵反比例函数的图象经过点， ∴点A向左平移6个单位长度，则可使得点A恰好落在这个反比例函数的图象上， 故答案为：6． 考点7：已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆万州·期中）下列点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的特点，先得出反比例函数，然后一一计算并判断即可． 【规范解答】解：根据反比例函数，则反比例函数中， ．，该点不在反比例函数图像上，故该选项不符合题意； ．，该点不在反比例函数图像上，故该选项不符合题意； ．，该点在反比例函数图像上，故该选项符合题意； ．，该点不在反比例函数图像上，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·课后作业）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，掌握函数图象在哪个象限内与相关参数的关系是解题的关键． 先判断出一次函数与反比例函数的图象在哪个象限内，再判断出k、b的大小即可． 【规范解答】解：∵一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上． ∴. ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 综上所述， ． 故选C． 考点8：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象关于轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A．∵函数的， ∴在每一个象限内，随的增大而增大，故该选项错误； B．函数的图象是关于原点对称的双曲线，故该选项错误； C．∵点在函数图象上， ∴， ∵， ∴点和点都在图象上，故该选项正确； D．∵函数在每一个象限内，随的增大而增大， ∴当时，，故该选项错误． 故选C． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，，是反比例函数图象上不同的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，且，，三点不在同一条直线上．若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的对称性是解题的关键．根据反比例函数的对称性得到、的坐标，代入反比例函数中，即可求得． 【规范解答】解：由题意可知、两点关于直线或关于直线对称， 当、两点关于直线对称时，点，， ； 当、两点关于直线对称时，点，， ，即． 故答案为：． 考点9：已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南衡阳·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，判断点坐标所在象限，根据反比例函数的图象分布确定的符号，进而判断点的象限． 【规范解答】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限， ， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，请写出一个满足条件的值： 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查的是反比例函数的图象与系数的关系．先根据反比例函数的图象位于第二、四象限得出的取值范围，进而可而得出答案． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 考点10：判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（24-25九年级下·广东惠州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象过第一、三象限 C．若，则 D．点、是图象上的两点，，则 【答案】C 【思路点拨】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可． 【规范解答】A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意； B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意； C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意； D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（2024·云南·模拟预测）已知为反比例函数，下列结论不正确的是（  ） A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点 C．图象在第二、四象限 D．若，则 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐一判断即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：A、，每个象限内，随增大而增大，说法错误，故选项符合题意； B、图象必经过点，说法正确，故选项不符合题意； C、，双曲线的两支分别位于第二、四象限，说法正确，故选项不符合题意； D、若，则，说法正确，故选项不符合题意； 故选：A． 考点11：判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（    ） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【思路点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式.反比例函数的图象经过点，将P点代入解析式即可求出k.根据反比例函数图象性质当时反比例函数图象位于第一、三象限，当时反比例函数图象位于第二、四象限. 【规范解答】解：将代入得 解得 ∵ ∴图象位于第二、四象限. 故选：D 【变式训练】（23-24九年级下·湖南株洲·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是根据函数解析式中系数的符号，分别确定一次函数图象经过的象限和反比例函数图象所在的象限，再判断两者的符号是否一致． 先明确：一次函数中，（图象必过y轴正半轴），时过一、二、三象限，时过一、二、四象限；反比例函数中，时图象在一、三象限，时图象在二、四象限；再逐一分析选项中两函数的符号是否一致，一致则为正确选项． 【规范解答】解：一次函数：（图象必过y轴正半轴），故时过一、二、三象限，时过一、二、四象限． 反比例函数：时图象在一、三象限，时图象在二、四象限． A、一次函数过一、二、三象限（则），反比例函数在二、四象限（则），符号矛盾，此选项不符合题意； B、一次函数过二、三、四象限（与矛盾，不存在此情况），此选项不符合题意； C、一次函数过一、二、四象限（则），反比例函数在一、三象限（则），符号矛盾，此选项不符合题意； D、一次函数过一、二、四象限（则），反比例函数在二、四象限（则），符号一致，此选项符合题意． 故选：D． 考点12：已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据二次函数和反比例函数图象的知识，进行作答，即可求解． 【规范解答】解：根据二次函数图象当时，随着x的增大而减小，当或时，反比例函数随着x的增大而减小， ∴当时，，均随着的增大而减小， 故答案为：． 【变式训练】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知一个函数具有以下条件：①该函数图象是双曲线；②当时，y随x的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数关系式： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了利用已知条件写解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知条件可以确定此函数的解析式一般形式，再分析得出符合要求的解析式，即可得出答案． 【规范解答】解：∵①该函数图象是双曲线；②当时，y随x的增大而增大， ∴符合上述条件的函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 考点13：比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（2023九年级下·河南洛阳·竞赛）若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是反比例函数图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答即可． 【规范解答】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x增大而减小， ∵在第一象限， ∴， ∵点、在第三象限，且， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级下·广东中山·期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．（请用“”连接） 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据，得到反比例函数的图象在一、三象限，再根据点所在象限，结合反比例函数的增减性，即可解题． 【规范解答】解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ∵点、、在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∵、在第一象限的图象上，又y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 考点14：已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃天水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义求出和，再根据平行四边形的性质求解即可． 【规范解答】∵四边形为平行四边形， ∴轴，， ∵点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 考点15：根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（2025·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 【答案】8 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故答案为：8． 【变式训练】（2024·重庆·模拟预测）如图，为等腰三角形，，反比例函数过点B，若，则k为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 作轴于点，利用三线合一性质得到，进而得出，再利用反比例函数系数的几何意义得到，解出，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定的值． 【规范解答】解：如图，作轴于点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数过点B， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数经过第二、四象限， ∴， ∴． 故选：A． 考点16：求反比例函数解析式 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)4 【思路点拨】（1）根据两个函数都过点，利用待定系数法，即可确定、，从而得到函数表达式； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，利用三角形面积的割补法，将的面积转化为与的面积差，结合三角形面积公式计算出结果． 【规范解答】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， ， 一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， ， 点是反比例函数图象上一点， ， 设直线的表达式为， 可得， 解得， 直线的表达式为， 延长DB交y轴于点E， 当时，， ， ， ． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，已知矩形的顶点，C都在反比例函数的图象上，，求： (1)反比例函数的解析式； (2)矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的面积，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）把代入即可得到结论； （2）先求出点的纵坐标，代入解析式后求出横坐标，即可得到点坐标，进而求出，通过矩形的面积求解即可． 【规范解答】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：由题意可知，， ∴点的纵坐标为， 代入，可得， ∴点C的坐标为， ． 故． 考点17：反比例函数与几何综合 【典例精讲】（2024·天津·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A、B两点，其中，设点A关于原点中心对称的点为，直线的解析式为； (1)当或时， 判断的大小并简要说明理由； (2)对于一般情形，请证明． 【答案】(1)，理由见详解 (2)证明见详解 【思路点拨】（1）分别讨论当或时，的大小，先设点A和中心对称点的坐标，代入直线l解析式转化为，联立双曲线解析式后进行整理因式分解求得，此时计算出点B的坐标，再利用勾股定理求出、和的长度，利用勾股定理的公式判断是否为直角三角形，最终求出对应角度即可； （2）先设，则，点在直线上和双曲线上，联立两个方程得到，此时该方程有两个根，说明直线l与双曲线有两个不同的交点A，B，从而得出点B的坐标，根据已知直线解析式将，B两点代入解析式中得到，之间的关系，进而得出结论． 【规范解答】（1）解：当时， 设，则， ∵点A在直线l上， ∴，即， ∴直线l的解析式为， 联立， 整理得：， 因式分解得： ， ∴或，则， ∴， ， ∴ ， 而， ∴， 根据勾股定理逆定理可得，； 当时， 设，则， ∵点A在直线l上， ∴，即， ∴直线l的解析式为， 联立， 整理得：， 因式分解得：， ∴或，则， ∴， ， ∴ ， 而， ∴， 根据勾股定理逆定理可得，， 综上所述，． （2）证明：设，则， ∵在双曲线上， ∴，即， 又∵在直线上， ∴，移项可得， ∴直线l的解析式为：， 联立方程，得， ∴此时，则，点， ，则，即点， ∵直线的解析式为，点，点在直线上， ∴将两点代入解析式后得到：， 由得：， 又∵点A在上，将代入上式：， ∴，即， 若，则，代入得， 又∵，故， 此时直线l过原点，交点A，B关于原点对称，即，直线无法确定，与题意不符， 故只能是． 【变式训练】（2024·河南周口·模拟预测）如图， 已知 A、B是反比例函数 图象上的两点，轴， 交y轴于点 C． 动点P从坐标原点O出发， 沿(图中“→”所示路线)匀速运动， 终点为C． 过P作轴， 轴， 垂足分别为M、N． 设四边形 的面积为S，P点运动时间为 t，则S关于t的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据反比例函数的性质，三角函数的应用，分类解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【规范解答】解： 设, ①当点 P在上运动时， ， ， 固定， 因此S是以y轴为对称轴的二次函数，开口向上； ②当点 P在上运动时， 设 P 点坐标为， 则， 为定值， 故 B、D 选项错误； ③当点 P在上运动时，S随t的增大而逐渐减小，故C选项错误． 故选：A． 考点18：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2025·安徽六安·二模）在同一坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】该题主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质．根据的符号，对函数的图象位置和的图象进行判断，逐一判断即可． 【规范解答】解：当时，函数的图象在一，三象限，此时同号， A．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项符合题意； B．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； C．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项不符合题意； 当时，函数的图象在二，四象限，此时异号， D．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级下·陕西安康·期中）已知二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意：，整理得， 解得：． 故选：C． 考点19：一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 【规范解答】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 【答案】或 【思路点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，表示出直线解析式，得出，求解即可，同理，当在原点左侧时，，求解即可． 【规范解答】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ； ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． ∴的取值范围是或． 故答案为：或． 考点20：一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据函数图象上点的坐标特征，将点，代入一次函数，求出、的值，再将点代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的表达式； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 【规范解答】（1）解：由题意可知，点，在一次函数的图象上， ，， ，， ，， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：直线向下平移个单位， 平移后的函数解析式为， 联立， 整理得：， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得：或， ， 不符合题意，舍去， ． 【变式训练】（2025·江西赣州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求出一次函数与反比例函数的解析式． (2)过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，连接．请你补全图形，并求出的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)图形见详解，的面积为5 【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用．熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质是解题关键． （1）将点分别代入一次函数和反比例函数求出，即可； （2）按题意画出，根据图像之间的交点和图像与坐标轴的交点求出点和点的坐标，确定然后确定出的底和高即可计算出的面积． 【规范解答】（1）解：将点代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 将点代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为． （2）解：如图， 将代入，得 解得， ， 过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C， 点的横坐标为3， 将代入，得， 解得， ， 的底边长，的高， ． 考点21：一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题， 先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案． 【规范解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 考点22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为理想函数，这两个点称为函数，的一对理想点．例如，函数与函数为理想函数，点和点是这两个函数的一对理想点． (1)请写出函数与函数的一对理想点 ；（写出一对即可） (2)若对于任意实数k，函数与始终为理想函数，求b的值； (3)若函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点，求的取值范围． 【答案】(1)和（或和） (2) (3) 【思路点拨】（1）根据新定义，设和是这两个函数的一对理想点，列出方程，解方程求解即可； （2）将新定义得出，根据与值无关得出，即可求解； （3）设和是这两个函数的一对理想点，只存在一对理想点，根据题意得出，则关于的方程，有两个相等的实数根，得出，代入代数式，根据二次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：依题意，设和是与函数这两个函数的一对理想点， ∴，整理，得， 解得：或，经检验，是所列方程的解， ∴和或和是这两个函数的理想点， 故答案为：和（或和）； （2）解：∵对于任意实数k，函数与始终为理想函数， ∴， ， 即， ∴，， ∴； （3）解：∵函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点， 设和是这两个函数的一对理想点， ∴， 即关于的方程，有两个相等的实数根， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值0， ∴． 【变式训练】（24-25九年级下·山西晋城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，能用图象解不等式是解题的关键． （1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将将、代入即可求解； （2）由 得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【规范解答】（1）解：将代入得， ， 解得：， 反比例函数的表达式为， ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数中，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或， 的坐标为或； （3）解：由图象得 或． 考点23：实际问题与反比例函数 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏苏州·月考）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】(1) (2)这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受 【思路点拨】（1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于30的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要9分钟即可得到答案． 本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． 【规范解答】（1）解：图象经过点， 设， 则，解得， ； 当时，， ， ， 当时，图象是线段AB，则该段函数是一次函数，点， 设， 则， 解得， ； 当时，， ， （2）当时，， ， 当时，， ， 注意力指标不低于30的时间为分钟， ， 这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【变式训练】（24-25九年级下·河南许昌·开学考试）在力的作用下，物体会在F的方向上发生位移，力F所做的功满足．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示． (1)力F所做的功是多少？ (2)写出F与s之间的函数解析式． (3)当时，求s的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）把，，代入计算即可得解； （2）由题意可得，结合（1）可得，即可得解； （3）将代入（2）中的关系式计算即可得解． 【规范解答】（1）解：把，，代入可得，力F所做的功是； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得， ∴F与s之间的函数解析式； （3）解：当时，， 解得． 1．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，的面积是2，则k的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查一次函数的图像与坐标轴的交点问题，根据已知图形的面积求值，根据点坐标，求出值，根据的面积求出点横坐标，代入直线解析式，求出点坐标，进而求出k的值即可． 【规范解答】解：把，代入，得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 当时，； ∴， ∴； 故答案为：6． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于A，B两点，与轴交于点．若，的面积为5，的值为 ．    【答案】12 【思路点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数相结合，交点坐标和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上性质． 设点A的坐标为，点B的坐标为，得到，，由勾股定理得出，求得，，然后利用三角形的面积列出一元二次方程，最后求解即可． 【规范解答】解：设点A的坐标为，点B的坐标为，则，是方程=的两个根， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴=， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2024·江西赣州·中考真题）如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点，若，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像上点的坐标特征，勾股定理，熟练掌握反比例函数 （为常数，）的图像是双曲线，图像上的点的横纵坐标的积是定值，即是解题的关键． 作轴，轴，与交于，先利用一次函数图像上点的坐标特征得到，得为等腰直角三角形，则，所以，且为等腰直角三角形，则，设点坐标为，则点坐标为，根据反比例函数图像上点的坐标特征得到，解得，这样可确定点坐标为，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征得到． 【规范解答】解：作轴，轴，与交于，如图， ∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， 当时，；当时，， ∴点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， ∴，即， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， 代入，得点的纵坐标为，点的纵坐标， 即点的坐标为， 点坐标为， ∵双曲线过点两点， ∴， 解得， ∴点坐标为， ， 故选：D． 4．（2024·辽宁抚顺·中考真题）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求出反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，从而可得点．即，设点，则，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：把点代入，得． 反比例函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 当时，， ∴点．即， 设点， 则． 解得， ∵点在第一象限， ， ∴点的坐标为． 故选： C． 5．（2024·广东·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．求： (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积． (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2)，6 (3)，或 【思路点拨】（1）先将B点坐标代入反比例函数中求出m的值，然后将点A点坐标代入可求出A点坐标，接下来结合A与B坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式. （2）首先令，求出C点坐标，进而将分成两个三角形分别计算面积再加和即可； （3）观察图象可知A点到原点之间与B点的右边区域符合要求，据此写出答案. 【规范解答】（1）解：∵的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴代入，得，， 解得， ∴， ∴，，代入，得， 解得， ∴ （2）解：由（1）知，，直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象看出，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是，或 基础夯实 1．（23-24八年级下·全国·期中）反比例函数的图像经过点，则该函数的图像在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数的图像，时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图像的性质即可求解． 【规范解答】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴该反比例函数经过第二、四象限． 故选：B． 2．（2025·云南丽江·一模）如图，这是反比例函数在第一象限内的图像．若的面积是2，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据的面积是2，即可解答，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 【规范解答】解：的面积, ， 点是反比例函数在第一象限内的图像上的点． 故， 故选：C． 3．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可． 本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键． 【规范解答】解：函数的图象与直线交于点和点， ， ， 根据中心对称性质，得， 故答案为：． 4．（2025·青海西宁·一模）根据反比例函数和一次函数的图象，请写出它们的一个相同点 ；一个不同点 ． 【答案】 图象都经过点（答案不唯一 ） 两个函数的图象的形状不同（答案不唯一 ） 【思路点拨】本题考查反比例函数图象与一次函数的图象的综合判断，根据反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，进行作答即可． 【规范解答】解：∵，， ∴当时，，， ∴两个函数的图象都经过点； ∵的图象为双曲线，的图象为一条直线， ∴两个函数的图象的形状不同． 故答案为：图象都经过点，两个函数的图象的形状不同． 5．（2025·贵州黔东南·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）将点，点坐标代入反比例函数解析式可求的值，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象可求不等式的解集． 【规范解答】（1）解：反比例函数的图象过点， ． 反比例函数的解析式为． 一次函数的图象过， ，即． 一次函数的解析式为． （2）解：根据函数图象可得：不等式的解集为或． 培优拔高 6．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解． 【规范解答】解：延长交轴于点， 轴， 轴． 点在函数的图象上， ． 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于， 故选：C． 7．（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义．过点D作轴于点F，过点B作轴于点E，设点，则，根据，结合相似三角形的性质写出点B和点D的坐标，再结合的面积列出方程求解即可． 【规范解答】解：过点D作轴于点F，过点B作轴于点E， 则 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，， ， ∵点B和点D在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， ∴，即 ， 解得． 故选：D． 8．（2025·湖北·模拟预测）已知四个点的坐标分别是，，，，从中随机选取一个点，这个点在反比例函数图象上的概率是 ． 【答案】/0.5 【思路点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征和概率问题，解题的关键是判断四个点中在反比例函数图像上的点． 先通过反比例函数判断在反比例函数图像上的点，然后再计算概率． 【规范解答】解：， ， ，，，， ∴和在反比例函数图像上， 四个点中在反比例函数图像上的点的概率是． 故答案为：． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，反比例函数（）的图象经过点B与点D，点B的纵坐标为3． （1）k的值为 ； （2）E为该反比例函数图象上的一点，若的面积等于正方形的面积，则点E的坐标为 ． 【答案】 或 【思路点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质． （1）依据题意，分别过B、D作轴于E，轴于F，进而可得（），故，，又点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上，则，，从而，结合D在反比例函数上， 从而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得，，反比例函数为，则，又，则，则，又设E为，则，进而计算可以得解． 【规范解答】解：（1）如图，分别过B、D作轴于E，轴于F， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴． ∵，， ∴（）． ∴，． ∵点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上， ∴，． 又∵A为， ∴，， ∴． 又∵D在反比例函数上， ∴， ∴． 故答案为：； （2）由题意，结合（1）可得，，反比例函数为， ∴． 又∵， ∴． ∴． 设E为， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、， (1)求直线与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． (3)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查一次函数、反比例函数交点问题，待定系数法求解析式， （1）把代入得出，进而求出点坐标，代入一次函数解析式可求解； （2）设直线与轴的交点为，先求出点坐标，由面积的和差关系可求，即可求解． （3）根据图象确定一次函数在反比例函数上方对应的自变量范围即可． 【规范解答】（1）解：把代入得， 解得：， ∴ 把代入得， ∴， 将，代入得 解得： ∴ （2）如图，设直线与轴的交点为， 设点， 直线与轴的交点为， 点， ，， ， ， 或． （3）∵，， 根据函数图象可得时x的取值范围为或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.3 反比例函数（章节复习） （知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：反比例函数的概念 2 知识点梳理02：反比例函数的图象与性质 2 知识点梳理03：反比例函数表达式的确定 3 知识点梳理04：系数k的几何意义 3 知识点梳理05：反比例函数与一次函数 3 知识点梳理06：反比例函数中的三个模型 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：用反比例函数描述数量关系 4 考点2：根据定义判断是否是反比例函数 5 考点3：根据反比例函数的定义求参数 5 考点4：求反比例函数值 5 考点5：由反比例函数值求自变量 5 考点6：判断(画)反比例函数图象 5 考点7：已知反比例函数的图象，判断其解析式 6 考点8：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 7 考点9：已知双曲线分布的象限，求参数范围 7 考点10：判断反比例函数的增减性 7 考点11：判断反比例函数图象所在象限 7 考点12：已知反比例函数的增减性求参数 8 考点13：比较反比例函数值或自变量的大小 8 考点14：已知比例系数求特殊图形的面积 9 考点15：根据图形面积求比例系数(解析式) 9 考点16：求反比例函数解析式 10 考点17：反比例函数与几何综合 11 考点18：反比例函数、二次函数图象综合判断 12 考点19：一次函数与反比例函数图象综合判断 13 考点20：一次函数与反比例函数的交点问题 13 考点21：一次函数与反比例函数的实际应用 14 考点22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 15 考点23：实际问题与反比例函数 16 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 20 知识点梳理01：反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 知识点梳理02：反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点梳理03：反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 知识点梳理04：系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 知识点梳理05：反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点梳理06：反比例函数中的三个模型 考点1：用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【变式训练】（2023·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 考点2：根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）下列函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 考点3：根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·单元测试）当 时，是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）反比例函数中，k与x的取值情况是（   ） A．取全体实数 B．取全体实数 C． D．k、x都可取全体实数 考点4：求反比例函数值 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·河北邯郸·二模）已知反比例函数的图象上有两点和，且满足：，，则的值为 ． 考点5：由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 考点6：判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆·期中）反比例函数图像一定经过的点是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】（2025·河南安阳·二模）如图，A，B，D都在格点(网格线的交点)上，是的中位线，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的三个点，再画出反比例函数的图象． (3)将点A向左平移，当平移距离等于________时，点A恰好落在这个反比例函数的图象上． 考点7：已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆万州·期中）下列点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·课后作业）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 考点8：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象关于轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【变式训练】（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，，是反比例函数图象上不同的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，且，，三点不在同一条直线上．若，则 ． 考点9：已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南衡阳·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】（24-25九年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，请写出一个满足条件的值： 考点10：判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（24-25九年级下·广东惠州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象过第一、三象限 C．若，则 D．点、是图象上的两点，，则 【变式训练】（2024·云南·模拟预测）已知为反比例函数，下列结论不正确的是（  ） A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点 C．图象在第二、四象限 D．若，则 考点11：判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（    ） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【变式训练】（23-24九年级下·湖南株洲·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 考点12：已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 ． 【变式训练】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知一个函数具有以下条件：①该函数图象是双曲线；②当时，y随x的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数关系式： ． 考点13：比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（2023九年级下·河南洛阳·竞赛）若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·广东中山·期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．（请用“”连接） 考点14：已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃天水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【变式训练】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 考点15：根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（2025·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 【变式训练】（2024·重庆·模拟预测）如图，为等腰三角形，，反比例函数过点B，若，则k为（    ） A． B．4 C． D． 考点16：求反比例函数解析式 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，求的面积． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，已知矩形的顶点，C都在反比例函数的图象上，，求： (1)反比例函数的解析式； (2)矩形的面积． 考点17：反比例函数与几何综合 【典例精讲】（2024·天津·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A、B两点，其中，设点A关于原点中心对称的点为，直线的解析式为； (1)当或时， 判断的大小并简要说明理由； (2)对于一般情形，请证明． 【变式训练】（2024·河南周口·模拟预测）如图， 已知 A、B是反比例函数 图象上的两点，轴， 交y轴于点 C． 动点P从坐标原点O出发， 沿(图中“→”所示路线)匀速运动， 终点为C． 过P作轴， 轴， 垂足分别为M、N． 设四边形 的面积为S，P点运动时间为 t，则S关于t的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 考点18：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2025·安徽六安·二模）在同一坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·陕西安康·期中）已知二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点19：一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 考点20：一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【变式训练】（2025·江西赣州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求出一次函数与反比例函数的解析式． (2)过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，连接．请你补全图形，并求出的面积． 考点21：一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 考点22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为理想函数，这两个点称为函数，的一对理想点．例如，函数与函数为理想函数，点和点是这两个函数的一对理想点． (1)请写出函数与函数的一对理想点 ；（写出一对即可） (2)若对于任意实数k，函数与始终为理想函数，求b的值； (3)若函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点，求的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级下·山西晋城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的的取值范围． 考点23：实际问题与反比例函数 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏苏州·月考）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【变式训练】（24-25九年级下·河南许昌·开学考试）在力的作用下，物体会在F的方向上发生位移，力F所做的功满足．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示． (1)力F所做的功是多少？ (2)写出F与s之间的函数解析式． (3)当时，求s的值． 1．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，的面积是2，则k的值为 ． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于A，B两点，与轴交于点．若，的面积为5，的值为 ．    3．（2024·江西赣州·中考真题）如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点，若，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（2024·辽宁抚顺·中考真题）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·广东·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．求： (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积． (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 基础夯实 1．（23-24八年级下·全国·期中）反比例函数的图像经过点，则该函数的图像在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 2．（2025·云南丽江·一模）如图，这是反比例函数在第一象限内的图像．若的面积是2，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 4．（2025·青海西宁·一模）根据反比例函数和一次函数的图象，请写出它们的一个相同点 ；一个不同点 ． 5．（2025·贵州黔东南·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集． 培优拔高 6．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 8．（2025·湖北·模拟预测）已知四个点的坐标分别是，，，，从中随机选取一个点，这个点在反比例函数图象上的概率是 ． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，反比例函数（）的图象经过点B与点D，点B的纵坐标为3． （1）k的值为 ； （2）E为该反比例函数图象上的一点，若的面积等于正方形的面积，则点E的坐标为 ． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、， (1)求直线与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． (3)直接写出时x的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $