专题28.3 锐角三角函数章节复习 （知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题）-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理锐角三角函数章节知识体系，涵盖锐角三角函数定义、解直角三角形及坡度坡角、仰角俯角等应用，用思维导图呈现概念内在联系，突出重难点分布，培养学生从数学角度观察现实世界的抽象能力与几何直观。 讲义亮点在于25个考点讲练的递进式设计，每个考点配套典例精讲与变式训练，如考点22仰角俯角问题结合生活情境构建模型，培养推理能力与应用意识。中考真题演练与基础夯实、培优拔高分层练习，助力不同层次学生提升，支持教师实施精准教学与学生自主复习。

专题28.3 锐角三角函数（章节复习） （知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数的定义 2 知识点梳理02：解直角三角形 2 知识点梳理03：解直角三角形的应用 3 知识点梳理04：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 3 知识点梳理05：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：正弦的概念辨析 3 考点2：求角的正弦值 4 考点3：已知正弦值求边长 4 考点4：求角的余弦值 5 考点5：余弦的概念辨析 5 考点6：已知余弦求边长 6 考点7：求角的正切值 7 考点8：正切的概念辨析 8 考点9：已知正切值求边长 8 考点10：特殊三角形的三角函数 9 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 9 考点12：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 10 考点13：用计算器求锐角三角函数值 10 考点14：根据特殊角三角函数值求角的度数 10 考点15：已知角度比较三角函数值的大小 11 考点16：利用同角三角函数关系求值 11 考点17：互余两角三角函数的关系 12 考点18：三角函数综合 12 考点19：解直角三角形的相关计算 13 考点20：解非直角三角形 13 考点21：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 14 考点22：仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 14 考点23：方位角问题(解直角三角形的应用） 16 考点24：坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 17 考点25：其他问题（解直角三角形的应用） 18 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 20 基础夯实 20 培优拔高 22 知识点梳理01：锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点梳理02：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点梳理03：解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点梳理04：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点梳理05：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 考点1：正弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江杭州·期中）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2023·福建宁德·一模）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图． 自动扶梯的长为，倾斜角为α，则自动扶梯的垂直高度等于（   ） A． B． C． D． 考点2：求角的正弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·河南濮阳·月考）已知在中，，，，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径是6.5，，则的值为 ． 考点3：已知正弦值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点落在平行四边形内的点处，且，如果，，，那么的长为 ． 【变式训练】（2025·湖南衡阳·一模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 考点4：求角的余弦值 【典例精讲】（2025·浙江绍兴·三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以为直径的圆经过点C、D，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，是的切线，点A为切点，连接，，若，，则 ． 考点5：余弦的概念辨析 【典例精讲】（2023·重庆渝中·三模）如图，是的直径，延长至切于点，过点作交于点，连接．若，则的长为(    )    A．3 B． C． D． 【变式训练】（2024九年级下·全国·专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则 ． 考点6：已知余弦求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的长为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点在上，点在上，点，在对角线上．若四边形的是正方形，则的长是（   ） A． B． C．5 D． 考点7：求角的正切值 【典例精讲】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动．过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到．设与重叠部分图形的面积为S． (1)的值为________． (2)当点E与点C重合时，求的长． (3)点D在边上，当是直角三角形时，求S的值． (4)点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为2时，直接写出线段的长． 【变式训练】（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，正方形中，点为边上一点，将沿翻折得到，延长交边于点． (1)求证：； (2)如图，连接，若，求的值； (3)如图，连接，交于，交于，交于，在（2）的结论下，若，求的长． 考点8：正切的概念辨析 【典例精讲】（2024·浙江温州·二模）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．若的面积为7，且，则的值为（    ）． A． B．3 C． D． 【变式训练】（2024九年级下·上海·专题练习）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，A、两点的坐标分别为和，如果将绕着原点旋转后，点A落在轴上，点落在点处，那么的值为 ． 考点9：已知正切值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，连接，过点作的切线，交于点，交的延长线于点． (1)写出图中一条与相等的线段：__________； (2)连接，求证：； (3)若，求的长． 【变式训练】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形中，边、分别在轴和轴上，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为，则点的坐标为 ． 考点10：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）计算：． 【变式训练】（2024·江西宜春·模拟预测）（1）计算：． （2）如图，在平行四边形中，E，F分别在上，连接，，求证：． 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2025·江西抚州·模拟预测）先化简，再求代数式的值：，其中，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值． 【变式训练】（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）计算： (1)； (2)． 考点12：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（24-25九年级下·河南漯河·期末）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【变式训练】（24-25九年级下·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 考点13：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（2025·山东淄博·一模）请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】（23-24九年级下·北京·单元测试）计算： （精确到）． 考点14：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练】（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在长方形中，对角线，点P 是上一动点，连接，将 沿 折叠，点A 的对应点是，当点落在边 的垂直平分线上时， 的度数为 ．    考点15：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏苏州·月考）比较大小（用连接），，，，则 ． 【变式训练】（24-25九年级下·贵州黔东南·月考）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考点16：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 【变式训练】（2024·山东威海·一模）已知线段是⊙的直径，，点A为上一点，平分交于点D．    (1)如图1，过点D作，求证：是的切线； (2)如图2，连接，，若，，求． 考点17：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·广西崇左·阶段练习）在直角三角形中，，且，则 ． 考点18：三角函数综合 【典例精讲】（2025·西藏日喀则·一模）如图，内接于，，过点作，交的直径的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式训练】（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接，将 绕点C逆时针旋转，得到线段 ，连接 ． (1)若最大，则点D坐标为________； (2)若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； (3)若直线经过的圆心，请直接写出直线的函数表达式． 考点19：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（25-26九年级下·山东济南·阶段练习）如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段与交于点E，则 ． 【变式训练】（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为 ． 考点20：解非直角三角形 【典例精讲】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则 ． 【变式训练】（2024·四川广元·中考真题）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度． 考点21：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 【变式训练】（2024·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E，F分别是的三等分点，连接，若四边形的面积9，则的面积是 ． 考点22：仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2025九年级·四川宜宾·专题练习）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【变式训练】（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 考点23：方位角问题(解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，湘府中路是一段东西走向的公路，在省政府（A处）测得小明家（P处）在北偏东方向上，继续往东走到了德思勤（B处）测得我家（P处）在北偏东方向上，请问小明家到湘府路有多远？（参考数据：，结果精确到） 【变式训练】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 考点24：坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【变式训练】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度． 考点25：其他问题（解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图所示的是某小区门口的门禁识别设备的结构示意图，摄像头可以绕连接点O进行上下旋转．摄像头部分，点O为旋转中心，，绕点O上下旋转过程中，支撑杆垂直于水平地面，不小于，（结果保留一位小数，参考数据：）． (1)当时，求摄像头处点A到支撑杆的距离； (2)当摄像头处点A旋转至最低点时，求摄像头处点B到地面的距离． 1．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，点D是边上的动点，过点D作，垂足为E，将沿直线折叠得到，点G，H分别是和上的点，连接，将沿直线折叠使得点B和F重合，连接，当和相似时，的长为 ． 2．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是 ． 3．（2024·四川·中考真题）如图，在边长为的等边中，动点D、E分别在边上，且保持，连接，相交于点P，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在中，，，点是边上的动点（不与点重合），过点作，垂足为，且，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·中考真题）如图．已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； (3)如果 ，求的值． 基础夯实 1．（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，为边上的中线．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古·模拟预测）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 4．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 5．（2024·广东·模拟预测）（1） 计算： （2）解不等式组： 培优拔高 6．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北武汉·三模）如图，某活动小组为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳处测得古亭位于北偏东方向，他们向南走50m到达点，测得古亭位于北偏东方向．古亭与古柳之间的距离约为 m（结果精确到1m，参考数据：）． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是 ． 10．（2025·江西抚州·模拟预测）如图，已知：，平分，且．请探究： (1)如图＜1＞，若以为直径作，分别交、于B、C，求的长； (2)如图＜2＞，若以为弦（不是直径），任作分别交、于、点，则的长是否不变？请说明理由； (3)如图＜3＞，若以为弦（不是直径）作与切于A点，交于点，则的长是多少？请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.3 锐角三角函数（章节复习） （知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数的定义 2 知识点梳理02：解直角三角形 2 知识点梳理03：解直角三角形的应用 2 知识点梳理04：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 3 知识点梳理05：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：正弦的概念辨析 3 考点2：求角的正弦值 4 考点3：已知正弦值求边长 6 考点4：求角的余弦值 9 考点5：余弦的概念辨析 10 考点6：已知余弦求边长 12 考点7：求角的正切值 14 考点8：正切的概念辨析 21 考点9：已知正切值求边长 23 考点10：特殊三角形的三角函数 27 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 28 考点12：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 29 考点13：用计算器求锐角三角函数值 30 考点14：根据特殊角三角函数值求角的度数 30 考点15：已知角度比较三角函数值的大小 33 考点16：利用同角三角函数关系求值 34 考点17：互余两角三角函数的关系 37 考点18：三角函数综合 38 考点19：解直角三角形的相关计算 42 考点20：解非直角三角形 44 考点21：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 46 考点22：仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 48 考点23：方位角问题(解直角三角形的应用） 52 考点24：坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 53 考点25：其他问题（解直角三角形的应用） 56 中考真题 实战演练 59 难度分层 拔尖冲刺 67 基础夯实 67 培优拔高 71 知识点梳理01：锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点梳理02：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点梳理03：解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点梳理04：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点梳理05：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 考点1：正弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江杭州·期中）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可． 【规范解答】解：如图， ∴ 故选C． 【变式训练】（2023·福建宁德·一模）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图． 自动扶梯的长为，倾斜角为α，则自动扶梯的垂直高度等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】直接利用正弦的定义求解即可． 【规范解答】解：由题意可得：，， ∵， ∴， 故选：C． 考点2：求角的正弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·河南濮阳·月考）已知在中，，，，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先求解，再利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案． 【规范解答】解：如图所示： ∵，，， ∴， ，故A正确； ，故B错误； ；故C错误； ，故D错误； 故选：A． 【变式训练】（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径是6.5，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，求一个角的正弦值，连接，将要求的值转化到中求解是解题的关键； 连接，利用题中条件和勾股定理得出的三边长，进而可求的值，根据同弧所对的圆周角相等得，即可作答． 【规范解答】如图，连接， 为直径，的半径是6.5， ， ， ， 又在中，， ， 故答案为： 考点3：已知正弦值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点落在平行四边形内的点处，且，如果，，，那么的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角函数等，如图，过点作于，过点作于，交于，可证四边形是矩形，可得，，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理即可求出的长，添加恰当的辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作于，过点作于，交于， ∵四边形是平行四边形 ， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵将沿直线折叠， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练】（2025·湖南衡阳·一模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 【答案】2 【思路点拨】此题考查了位似图形的性质、正多边形与圆等，解直角三角形等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的面积比为，确定正方形的面积为8，得到正方形的边长为，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：连接，如图所示：    ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形面积为18， ∴正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为2， 故答案为：2． 考点4：求角的余弦值 【典例精讲】（2025·浙江绍兴·三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以为直径的圆经过点C、D，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了利用网格求一个角的余弦，圆周角定理，圆周角定理的推论，解题关键是利用圆周角定理证明相应的角相等． 先利用圆周角定理证明，再求出的余弦值即可得出的余弦值． 【规范解答】解：连结， ∵以为直径的圆经过点C、D， ∴， ∵在同一圆中，与所对的弧是， ∴， ∴的余弦值为， 故选：A． 【变式训练】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，是的切线，点A为切点，连接，，若，，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了切线的性质，勾股定理和锐角三角函数．在直角三角形中，直接利用余弦函数的定义求解即可． 【规范解答】解：是的切线，，， ， ， ， 故答案是：． 考点5：余弦的概念辨析 【典例精讲】（2023·重庆渝中·三模）如图，是的直径，延长至切于点，过点作交于点，连接．若，则的长为(    )    A．3 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】连接，利用平行线的性质和圆周角定理得到，利用切线的性质定理得到，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则． 【规范解答】解：连接，如图，    ， ， ． 切于点， ． ，是的直径， ， 在中， ， 故选：D． 【变式训练】（2024九年级下·全国·专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则 ． 【答案】 【思路点拨】根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示： 大正方形的面积是25，小正方形面积是4， 大正方形的边长，小正方形的边长， ， ， 故答案为：． 考点6：已知余弦求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了垂径定理和圆周角定理，设交于E，根据垂径定理求出，，根据圆周角定理求出，解直角三角形求解即可． 【规范解答】解：设交于E，如图： ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：6 【变式训练】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点在上，点在上，点，在对角线上．若四边形的是正方形，则的长是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【思路点拨】连接，交于点M，根据矩形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，解答即可． 【规范解答】解：连接，交于点M， ∵四边形的是正方形， ∴， ∵矩形，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 考点7：求角的正切值 【典例精讲】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动．过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到．设与重叠部分图形的面积为S． (1)的值为________． (2)当点E与点C重合时，求的长． (3)点D在边上，当是直角三角形时，求S的值． (4)点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为2时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)3 (3)或； (4)的长为7或5或1 【思路点拨】（1）过点A作于点M，由面积可求得，由得，从而求得，在中，由正切函数的定义即可求解； （2）由折叠知，则得，利用正切函数即可求解； （3）分两种情况：及，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （4） 点D在 上：当点E在线段上、点E在线段的延长线上；点D在线段上时，利用对称性及折叠性质即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，过点A作于点M， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：当点C与点E重合时， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，，， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上，S的值为或； （4）解：①点D在上： 当点E在线段上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； ②当点D在线段上时，如图， 由对称知，， ∴； 综上，的长为7或5或1． 【变式训练】（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，正方形中，点为边上一点，将沿翻折得到，延长交边于点． (1)求证：； (2)如图，连接，若，求的值； (3)如图，连接，交于，交于，交于，在（2）的结论下，若，求的长． 【答案】(1)见解析过程； (2)； (3)． 【思路点拨】（1）由折叠的性质可得，，，由可证，可得，即可求解； （2）设，，由勾股定理可求，即可求解； （3）由旋转的性质可得，， ，，由可证，可得，，由可证，可得，可证，由勾股定理可求，，，，通过平行线分线段成比例可求，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）证明：连接， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于，作于，于， ∵ ， ∴设，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍去）， ∴，，，， ∵，，， ∴和为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点8：正切的概念辨析 【典例精讲】（2024·浙江温州·二模）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．若的面积为7，且，则的值为（    ）． A． B．3 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了正切的定义、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 设，由正切的定义可得；再根据全等三角形的性质可得、,再证，依据相似三角形的性质列方程求解可得，再运用线段的和差及勾股定理可得、、、；再证明、，依据相似三角形的性质列方程求解可得，最后根据三角形的面积公式列方程求解即可． 【规范解答】解：如图：设， ∵， ∴， ∵， ∴，, ∴, ∴, ∴，即,解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，, ∴， ∴,即，解得：，解得：， ∵的面积为7， ∴,即，解得：（舍弃负值）， ∴． 故选：D． 【变式训练】（2024九年级下·上海·专题练习）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，A、两点的坐标分别为和，如果将绕着原点旋转后，点A落在轴上，点落在点处，那么的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形变化、旋转的性质、锐角三角函数的定义等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 根据点A的坐标判断出与轴的夹角为，再根据旋转的性质可得，根据等边对等角可得，如图：过点作轴于，然后求出、，再分两种情况求出，最后根据余切的定义列式计算即可解答． 【规范解答】解：， 与轴的夹角为， 旋转后与轴的夹角为且， ， 如图：过点作轴于， 则， 如图，若顺时针旋转，则， ， 若逆时针旋转，则， ， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 考点9：已知正切值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，连接，过点作的切线，交于点，交的延长线于点． (1)写出图中一条与相等的线段：__________； (2)连接，求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据是的直径，得出根据等腰三角形三线合一可得，，进而得出， （2）根据得出，根据得出，进而可得，即可证明； （3）先证明，可得进而得出，，由可得，根据相似三角形的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：或；（任填一个即可） 如解图，连接 是的直径， ，即 根据等腰三角形三线合一可得， （2）证明：连接如图， ， ． ， ， ， ∴； （3）解：如解图， 是的切线， ． 由（2）知， ， ． ， ． 是的直径， ， ． ， ， ， ，即， ， ， ， 由可得， ， ． 【变式训练】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形中，边、分别在轴和轴上，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的折叠，勾股定理，解直角三角形，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质，勾股定理，正切的定义是解题的关键．过点作轴于点，交的延长线于点，则四边形是矩形，根据点的坐标得出，进而根据得出，即可得出的坐标，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点，交的延长线于点，则四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴ ∵点的坐标为， ∴，则， ∴ ∵矩形沿折叠，点落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 考点10：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的综合运算能力，属于基础题，解决本题的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，再合并得出答案． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练】（2024·江西宜春·模拟预测）（1）计算：． （2）如图，在平行四边形中，E，F分别在上，连接，，求证：． 【答案】（1）3；（2）见解析 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算和平行四边形．熟练掌握实数混合运算的顺序和法则，平行四边形的性质与判定定理，是解题的关键． （1）先化简算术平方根，0指数幂，30度的正弦，再乘，加减； （2）首先根据平行四边形的性质得到； 由，可得四边形是平行四边形，得，即可得解． 【规范解答】解：（1）原式． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． ∴． 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2025·江西抚州·模拟预测）先化简，再求代数式的值：，其中，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值． 【答案】， 【思路点拨】此题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值确定出a的值，代入计算即可求出值． 【规范解答】解：原式 ， ∵，且a为整数， ∴，又， ∴， 则当时，原式． 【变式训练】（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，分式的混合运算； （1）根据特殊角的三角函数值，立方根，化简绝对值，零指数幂，进行计算即可求解； （2）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，最后化简计算即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点12：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（24-25九年级下·河南漯河·期末）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰 【思路点拨】根据绝对值和平方的非负性可得，，，求得，，即可求解． 【规范解答】解：由可得 ， 即，， 解得，，则 则为等腰三角形， 故答案为：等腰 【变式训练】（24-25九年级下·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【思路点拨】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【规范解答】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 考点13：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（2025·山东淄博·一模）请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了用计算器计算无理数，特殊角的三角函数值，掌握计算器的使用是关键．根据题意可得需要计算的是的值，由此即可求解． 【规范解答】解：根据题意，运用科学计算器录入后显示的数据为， ∴最接近的整数是2， 故选：C． 【变式训练】（23-24九年级下·北京·单元测试）计算： （精确到）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了三角函数值的混合计算，分别用计算器求出正弦和余弦的结果，然后求和即可． 【规范解答】解：利用计算器可以算出：，， ∴， 故答案为：． 考点14：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，由角平分线的性质求得，由特殊角的三角函数值求得，求得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：B． 【变式训练】（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在长方形中，对角线，点P 是上一动点，连接，将 沿 折叠，点A 的对应点是，当点落在边 的垂直平分线上时， 的度数为 ．    【答案】或 【思路点拨】本题考查的是轴对称的性质，长方形的性质，锐角三角函数的应用，如图，连接交于，证明，，在的垂直平分线上，如图：当落在线段的上方时，重合时，如图：则，，当落在线段的下方时，重合时，落在直线上，如图，再进一步求解即可． 【规范解答】解：如图，连接交于，    ∵在长方形中，对角线， ∴，，， ∴，，在的垂直平分线上， 如图：当落在线段的上方时，重合时，如图：则，，    ∴是等边三角形， ∴． 当落在线段的下方时，重合时，落在直线上，如图，    ∴， ∴； 综上，的度数是或． 故答案为：或． 考点15：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏苏州·月考）比较大小（用连接），，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【规范解答】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·贵州黔东南·月考）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【规范解答】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 考点16：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 【答案】 【思路点拨】本题考查配方法的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求正弦，设、交于点，过作于，设，，则，先证明，得到，再由平分平行四边形的面积，得到，利用勾股定理得到，则，利用配方得到当时，最小，此时最大，进而求得的最小值． 【规范解答】解：设、交于点，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时最大， ∴ 的最小值为 故答案为：． 【变式训练】（2024·山东威海·一模）已知线段是⊙的直径，，点A为上一点，平分交于点D．    (1)如图1，过点D作，求证：是的切线； (2)如图2，连接，，若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）利用圆周角定理得出，进而得出，利用平角定义得出，利用平行线的性质得出，利用切线的判定即可得证； （2）根据弧弦的关系得出，利用勾股定理求出，，利用正弦定义求出，由即可求解． 【规范解答】（1）证明∶连接，    ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，即， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵是直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点17：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值． 利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·广西崇左·阶段练习）在直角三角形中，，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系是解题的关键．根据三角函数的性质，一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，由此即可解答． 【规范解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 考点18：三角函数综合 【典例精讲】（2025·西藏日喀则·一模）如图，内接于，，过点作，交的直径的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接并延长交于点，连接，利用线段的垂直平分线性质，结合切线的判定定理证明即可； （2）连接，根据圆周角定理，得，求得圆的半径，再利用勾股定理两次表示，求得的长，利用三角形中位线定理求的长即可． 【规范解答】（1）证明：连接并延长交于点，连接， ，， 故直线垂直平分线段， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， 由（1）得，， 设， ，， 解得，即， ． 【变式训练】（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接，将 绕点C逆时针旋转，得到线段 ，连接 ． (1)若最大，则点D坐标为________； (2)若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； (3)若直线经过的圆心，请直接写出直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3)和 【思路点拨】（1）当经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大，此时点C，，结合已知，确定点D坐标为，解答即可； （2）过点C作轴于点F，过点D作与点E，得到四边形是矩形，继而得到，证明，得到，继而得到新结论，故． （3）根据直线经过的圆心，结合，判定直线是的切线，利用勾股定理，三角函数，确定点C的坐标，再利用待定系数法确定解析式，利用圆的对称性，确定另一切线的解析式即可． 【规范解答】（1）解：当经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大，此时点C，， 又， 故点D坐标为， 故答案为：． （2）解：过点C作轴于点F，过点D作与点E， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的圆心坐标为，半径长为1， ∴， ∴， 故． （3）解：∵直线经过的圆心， ， ∴直线是的切线， ∴以为直径作圆与交于C，两点，连接，， 则, ∴，， ∴，， 过点C作于点E， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据圆的对称性，得 ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 故直线的解析式为或． 考点19：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（25-26九年级下·山东济南·阶段练习）如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段与交于点E，则 ． 【答案】2 【思路点拨】先证明四边形是平行四边形，从而可得出，再利用平行线的性质与对顶角的性质得出，再利用正切的定义式求解． 【规范解答】解：连接，，，， ∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，，， ， ∴是直角三角形，其中， ． 故答案为：2． 【变式训练】（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用，得到是解题的关键． 由勾股定理先计算，易得，继而得到，再根据和得到，接着解直角三角形，最后利用勾股定理求即可． 【规范解答】连接，过作交的延长线于， 根据题意，， ， ， ，即，解得， 和，M，N分别是的中点， ， , ， ， , ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考点20：解非直角三角形 【典例精讲】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则 ． 【答案】或 【思路点拨】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【规范解答】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【变式训练】（2024·四川广元·中考真题）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度． 【答案】隧道EF的长度米． 【思路点拨】过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设AG=EG=DG=x，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有，最后问题可求解． 【规范解答】解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示： 由题意得：， ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴AG=EG=DG， 设AG=EG=DG=x， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 答：隧道EF的长度米． 考点21：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 【答案】 【思路点拨】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，延长BC，AD交于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴BC=BE-CE=， ∴． 故答案为： 【变式训练】（2024·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E，F分别是的三等分点，连接，若四边形的面积9，则的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】先求，再求；通过求相似比是，即可得到；通过面积关系得到，，那么，即可得到即可得到答案． 【规范解答】解：连接AC，作AM⊥BC,交BC的延长线于点M,连接BD． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴，相似比是 ∴（相似三角形面积比等于相似比的平方） ∵与中底边，高相等 ∴ ∵与中底边，高相等 ∴ ∴ ∴ 故答案是 ． 考点22：仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2025九年级·四川宜宾·专题练习）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【思路点拨】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【规范解答】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 【变式训练】（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【思路点拨】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【规范解答】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 考点23：方位角问题(解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，湘府中路是一段东西走向的公路，在省政府（A处）测得小明家（P处）在北偏东方向上，继续往东走到了德思勤（B处）测得我家（P处）在北偏东方向上，请问小明家到湘府路有多远？（参考数据：，结果精确到） 【答案】 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作，根据三角形的外角性质得到，得到，根据正弦的定义计算，得到答案． 【规范解答】解：如图，过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， ， ， 在中，， ， ， 答：小明家到湘府路有． 【变式训练】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【思路点拨】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用． 作，交延长线于点，作于点，设海里，根据列方程求解，可得从而可得，除以渔船加速后的速度即可． 【规范解答】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 考点24：坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【答案】居民楼的高度约为 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此得出，过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，分别在 和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为， ∵斜坡的坡比， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由题意得：， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ∴居民楼的高度约为． 【变式训练】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度． 【答案】人行天桥的桥面的长度为6米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；作出辅助线，根据坡度比例，进行计算可得米，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：过点D作于点E，过点C作于点F， 由题意得：，米， ∵天桥两边的斜坡，的坡度均为， ∴, ∴米， ∵米， ∴米， ∴人行天桥的桥面的长度为6米． 考点25：其他问题（解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理．过点A作于点G，则，，利用，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到；连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线，可得，可设，，在中，利用勾股定理可得（舍去），从而得到，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点A作于点G，则，， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图，连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线， 在中，，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴可设， ∴， 在中，，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∵， ∴． 即相对点上升了． 故答案为：32； 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图所示的是某小区门口的门禁识别设备的结构示意图，摄像头可以绕连接点O进行上下旋转．摄像头部分，点O为旋转中心，，绕点O上下旋转过程中，支撑杆垂直于水平地面，不小于，（结果保留一位小数，参考数据：）． (1)当时，求摄像头处点A到支撑杆的距离； (2)当摄像头处点A旋转至最低点时，求摄像头处点B到地面的距离． 【答案】(1)摄像头处点A到支撑杆的距离约为 (2)摄像头处点B到地面的距离约为 【思路点拨】（1）如图，过点A作，先求解，再利用的正弦值求解； （2）过点B作垂直于地面于点G，过点O作于点H．可得，进而求得，从而求得，再利用锐角三角函数值，可求出长度，最后求的长度． 【规范解答】（1）解：如图①，过点A作． ，O为的中点， ． ， ． 故摄像头处点A到支撑杆的距离约为． （2）解：如图②，过点B作垂直于地面于点G，过点O作于点H． 根据题意可知，点A旋转至最低点时，． ． ， ， ， ． ． 故摄像头处点B到地面的距离约为． 1．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，点D是边上的动点，过点D作，垂足为E，将沿直线折叠得到，点G，H分别是和上的点，连接，将沿直线折叠使得点B和F重合，连接，当和相似时，的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】先证明，则当和相似时，需要进行分类讨论：①当时，则，证明出四边形为平行四边形，则，由，得到，则，在中，由勾股定理得，再解直角三角形得到；②当时，则，在中，，，设，则，，则，由，得到，解得，即可求解 【规范解答】解：由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当和相似时，分以下两种情况： 如解图①，当时，， ∵， ∴， ∵由翻折得， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 如解图②，当时，， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴, 解得， ∴， 综上所述，当和相似时，的长为或， 故答案为：或． 2．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是 ． 【答案】 【思路点拨】延长交于P，连，作于，证，得，推出；根据，求出，，得到为的中点；证即可求解； 【规范解答】解：延长交于P，连，作于， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴； ∵， ， ； 则为的中点； 由平移可知：， ∴，； ∵， ∴； ∴，即：； ， 故答案为： 3．（2024·四川·中考真题）如图，在边长为的等边中，动点D、E分别在边上，且保持，连接，相交于点P，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【思路点拨】利用全等三角形的性质证明，得出，利用外角求出，构造圆确定点P的运动轨迹是，，连接，证明，求出，利用锐角三角函数求出，通过即可求出最小值． 【规范解答】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P的运动轨迹是，，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2． 故选：B． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在中，，，点是边上的动点（不与点重合），过点作，垂足为，且，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，由，得，由，设，则，通过勾股定理得，，所以，再由直角三角形性质可得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴，解得， ∴，则， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故选：． 5．（2024·山东·中考真题）如图．已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； (3)如果 ，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)3 【思路点拨】（1）首先得到，求出，然后证明出，即可证明； （2）首先得到，，等量代换得到，然后利用勾股定理表示出，进而求解即可； （3）首先由得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 基础夯实 1．（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，为边上的中线．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形的中线，勾股定理，正弦函数，由勾股定理得，再由正弦函数定义即可求解． 【规范解答】解： 为边上的中线， ， ， ， 故选：C． 3．（2025·内蒙古·模拟预测）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 【答案】750 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 根据题意得到过点B作，则四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到，再根据正切值的计算得到，由此即可求解． 【规范解答】解：根据题意，，，，， 如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：750． 4．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 【答案】/7厘米 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键，过点D作，垂足为F，先求出，进而求出，可得出结论． 【规范解答】解：如图所示，过点D作，垂足为F， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2024·广东·模拟预测）（1） 计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）（2） 【思路点拨】本题考查实数的运算，解一元一次不等式组，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算绝对值，特殊角的三角函数值，负指数，算术平方根，然后进行加减计算即可； （2）分别解出两个不等式，然后找到解集的公共部分即可． 【规范解答】解：（1） ， ， ， ； （2）， 解①得：， 解得：， ∴不等式组的解集为． 培优拔高 6．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【规范解答】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【规范解答】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 8．（2025·湖北武汉·三模）如图，某活动小组为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳处测得古亭位于北偏东方向，他们向南走50m到达点，测得古亭位于北偏东方向．古亭与古柳之间的距离约为 m（结果精确到1m，参考数据：）． 【答案】137 【思路点拨】过点作的垂线，交延长线于点．设，则，在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义也表示出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可求出的长，即可求出的长． 【规范解答】解：如图，过点作的垂线，交延长线于点． 由题意得，． 设，则． 在中，． 在中，，， 则， 解得，则（m）． 故答案为：． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是 ． 【答案】 【思路点拨】由菱形的性质得到，根据圆周角定理可得，因为与、分别相切于点、，所以，，利用四边形内角和可求出，进而可得，则都可求，再根据计算，得到答案 【规范解答】解：．四边形是菱形， ， 由圆周角定理得：， 即， 与、分别相切于点、， ，， ∴ ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， 则， ， ， 故答案为：． 10．（2025·江西抚州·模拟预测）如图，已知：，平分，且．请探究： (1)如图＜1＞，若以为直径作，分别交、于B、C，求的长； (2)如图＜2＞，若以为弦（不是直径），任作分别交、于、点，则的长是否不变？请说明理由； (3)如图＜3＞，若以为弦（不是直径）作与切于A点，交于点，则的长是多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)不变，见解析 (3)，见解析 【思路点拨】（1）根据，平分，即可得出，再利用求出即可； （2）首先利用证明，即可得出，进而得出； （3）先得出为等腰三角形，即可求出，即，，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：连接． ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴； （2）解：的长度不变． 理由：连接、，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于D，连接、， ∴，则， ∵与切于A点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，即， ∴， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $