专项突破07 角的计算（期末复习讲义-知识回顾+13个重难点培优题型+真题演练 共41题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册精讲练

该初中数学讲义通过知识梳理系统构建角的计算知识体系，涵盖角的概念、角度制换算、比较运算、方位角及钟表夹角五大知识点，以“点石成金”提示重难点，结合图形示例呈现内在逻辑，培养抽象能力与几何直观。 讲义亮点在于13个分层题型设计，如三角板角度计算、角平分线综合题等，搭配真题演练，强化运算能力与推理意识。每个题型含精讲与变式，基础生掌握方法，优生深化思维，支持自主复习与教师精准教学。

专项突破07 角的计算 （知识回顾+13个重难点培优题型+真题演练 共41题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：角的概念 2 知识点梳理02：角度制及其换算 3 知识点梳理03：角的比较与运算 3 知识点梳理04：方位角 4 知识点梳理05：钟表上有关夹角问题 5 重点难点 考点讲练 5 题型1 画特殊角 5 题型2 钟面角 6 题型3 与方向角有关的计算题 6 题型4 角的单位与角度制 8 题型5 角的度数大小比较 8 题型6 角的比较 9 题型7 三角板中角度计算问题 9 题型8 几何图形中角度计算问题 10 题型9 角度的四则运算 12 题型10 实际问题中角度计算问题 12 题型11 角平分线的有关计算 13 题型12 角n等分线的有关计算 15 题型13 尺规作一个角等于已知角 17 期末真题 实战演练 18 知识点梳理01：角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 【点石成金】 （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 【点石成金】 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 2． 角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点梳理02：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【点石成金】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点梳理03：角的比较与运算 1.角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 2.角的和、差运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【点石成金】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 3.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 【点石成金】 由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点梳理04：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 【点石成金】 （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点梳理05：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 题型1 画特殊角 【精讲】（24-25七年级上·山东德州·期末）如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 【变式】（21-22七年级上·广东深圳·期末）如图，已知∠AOB＝120°，OE平分∠AOB，反向延长边OB至点D，再画∠COE＝70°． (1)请在图中补画出完整图形； (2)结合图形，求出∠DOC的度数． 题型2 钟面角 【精讲】（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【变式】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 题型3 与方向角有关的计算题 【精讲】（24-25七年级上·广东中山·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，．    (1)求射线的方向； (2)射线是射线的反向延长线．若，射线是的平分线吗？若是，请说明理由． 【变式】（22-23七年级上·江苏宿迁·开学考试）（1）海洋馆在游乐场（    ）偏（    ）（    ）°方向（    ）米处． （2）动物园在游乐场南偏西方向1200米处，动漫影院在游乐场北偏东方向800米处，在图中表示它们的位置． 题型4 角的单位与角度制 【精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式】（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 题型5 角的度数大小比较 【精讲】（23-24七年级上·河北唐山·期中）已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）下列说法： ①连接两点间的线段叫做这两点间的距离； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点之间，线段最短； ③若，则点是的中点； ④若，，，则有．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6 角的比较 【精讲】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）（1）通过学习我们知道，比较两个角的大小，有两种方法：方法：度量法，用量角器测量两个角的大小，角度大的角大；方法：重叠法，把两个角的顶点和其中一条边重合，看另一条边的情况来确定．如图，已知 ， ，请用重叠法，比较它们的大小．要求圆规和无刻度的直尺作出图形，并得出它们的大小关系．（保留做题痕迹，铅笔画图后，须再用黑色水笔把线条描清楚） （2）已知在同一平面内的两个角 ， ，若平分，平分，求的度数． 【变式】射线OC在内部，下列条件不能说明OC是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 题型7 三角板中角度计算问题 【精讲】（25-26七年级上·江西吉安·期中）已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点O，，； (1)如图1，将三角尺绕点O逆时针方向转动，当恰好平分时，求度数； (2)如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果，三角尺在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【变式】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）（1）如图1，已知点是线段的中点，，，求的长； （2）如图2，已知两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数． 题型8 几何图形中角度计算问题 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为___________； (2)如图2，直角三角板的边在的内部，若恰好平分，求此时的度数： (3)在图2中，请直接写出与之间的数量关系：___________ 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则________： (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中a为正整数），直接写出所有使的n值． 题型9 角度的四则运算 【精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 题型10 实际问题中角度计算问题 【精讲】（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【变式】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 题型11 角平分线的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【变式】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 题型12 角n等分线的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【变式】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 题型13 尺规作一个角等于已知角 【精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知和． (1)请用直尺和圆规作两个角，使它们分别等于和．（保留作图痕迹） (2)请用两种方法比较这两个角的大小． 【变式】（2025六年级上·全国·专题练习）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交于点，交于点．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 1．如图，已知，平分，平分．则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川资阳·开学考试）如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（20-21七年级上·河南周口·期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26七年级上·贵州·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则 ．（用含的代数式表示）． 7．（21-22七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则 °． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为量角器中心，射线与射线经过的刻度分别为和，从点O引一条射线，使，则的度数为 ． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 10．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为 ．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 11．（20-21七年级上·河北张家口·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（21-22七年级上·吉林通化·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，且． (1)的方向是_______； (2)是的反向延长线，作的平分线，求的度数． 13．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图①，若，则 ； (2)在图①中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的直角三角尺绕顶点O旋转至图②的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系． 14．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 15．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足 ，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破07 角的计算 （知识回顾+13个重难点培优题型+真题演练 共41题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：角的概念 2 知识点梳理02：角度制及其换算 3 知识点梳理03：角的比较与运算 3 知识点梳理04：方位角 4 知识点梳理05：钟表上有关夹角问题 5 重点难点 考点讲练 5 题型1 画特殊角 5 题型2 钟面角 7 题型3 与方向角有关的计算题 8 题型4 角的单位与角度制 10 题型5 角的度数大小比较 11 题型6 角的比较 12 题型7 三角板中角度计算问题 14 题型8 几何图形中角度计算问题 16 题型9 角度的四则运算 20 题型10 实际问题中角度计算问题 22 题型11 角平分线的有关计算 26 题型12 角n等分线的有关计算 29 题型13 尺规作一个角等于已知角 34 期末真题 实战演练 35 知识点梳理01：角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 【点石成金】 （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 【点石成金】 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 2． 角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点梳理02：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【点石成金】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点梳理03：角的比较与运算 1.角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 2.角的和、差运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【点石成金】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 3.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 【点石成金】 由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点梳理04：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 【点石成金】 （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点梳理05：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 题型1 画特殊角 【精讲】（24-25七年级上·山东德州·期末）如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 【答案】(1)答案见解析 (2)两点之间，线段最短 【思路引导】本题考查了线段、射线、角平分线的画法，两点之间线段最短，熟练掌握线段、射线、角平分线的画法是解题的关键． （1）①反向延长射线即可；②用量角器画出的角平分线即可；③用圆规截取即可；④连结，与的交点即为所求； （2）根据两点之间线段最短，可知④中的作图正确． 【规范解答】（1）如图，即为所求的图形； （2）因为两点之间线段最短，所以连结，与的交点P即为所求． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式】（21-22七年级上·广东深圳·期末）如图，已知∠AOB＝120°，OE平分∠AOB，反向延长边OB至点D，再画∠COE＝70°． (1)请在图中补画出完整图形； (2)结合图形，求出∠DOC的度数． 【答案】(1)图见解析 (2)或 【思路引导】（1）先反向延长边至点，再利用量角器画出即可得； （2）根据（1）中的图，分两种情况，先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差可得的度数，然后根据邻补角的定义即可得． 【规范解答】（1）解：先反向延长边至点，再利用量角器画如下图： 或 （2）解：平分，且， ， ①如（1）问中的图1，， ， ； ②如（1）问中的图2，， ， ； 综上，的度数为或． 【考点剖析】本题考查了利用量角器画角、角平分线的运算、邻补角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 题型2 钟面角 【精讲】（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了钟面角、绝对值、角的和差等知识点，确定时针和分针在3点40分时的角度位置是解题的关键． 先确定时针和分针在3点40分时的角度位置，求其差值的绝对值，并取小于180度的角即可解答． 【规范解答】解：∵ 时针每分钟移动度，分针每分钟移动6度， ∴ 在3点40分时，时针角度度，分针角度度． ∴ 两针夹角度． 故选B． 【变式】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键．6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为30度进行求解即可． 【规范解答】解： 6点20分，时针和分针中间相差个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：B． 题型3 与方向角有关的计算题 【精讲】（24-25七年级上·广东中山·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，．    (1)求射线的方向； (2)射线是射线的反向延长线．若，射线是的平分线吗？若是，请说明理由． 【答案】(1)射线的方向为北偏东； (2)射线是的平分线．理由见解析 【思路引导】此题主要考查了方向角，角的和差计算． （1）先求得，再求得，，据此求解即可； （2）先求得，，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ∵， ∴，， ∴射线的方向为北偏东； （2）解：射线是的平分线．理由如下， ∵，， ∴， ∵射线是射线的反向延长线， ∴， ∴， ∴射线是的平分线． 【变式】（22-23七年级上·江苏宿迁·开学考试）（1）海洋馆在游乐场（    ）偏（    ）（    ）°方向（    ）米处． （2）动物园在游乐场南偏西方向1200米处，动漫影院在游乐场北偏东方向800米处，在图中表示它们的位置． 【答案】（1）北、西、40 、1600 （2）见解析 【思路引导】本题主要考查了方向角．熟练掌握方向角的定义，是解决问题的关键． （1）根据题意知，海洋馆在游乐场北偏西方向的1600米处； （2）根据动物园在游乐场南偏西方向1200米处，动漫影院在游乐场北偏东方向800米处，画图． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴海洋馆在游乐场北偏西方向1600米处； 故答案为：北、西、40、1600； （2）动物园在游乐场南偏西方向1200米处，动漫影院在游乐场北偏东方向800米处，在图中表示它们的位置如图所示： 题型4 角的单位与角度制 【精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可； （3）根据角的四则运算法则求解即可； （4）根据角的四则运算法则求解即可； 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【变式】（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查角度的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键，根据题意分两种情况分类讨论：在内部或外部，分别计算的度数． 【规范解答】解：①当在内部时， ∵， ∴， ②当在外部时， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故选：C． 题型5 角的度数大小比较 【精讲】（23-24七年级上·河北唐山·期中）已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】本题考查了角的度数大小比较，以及角的单位换算，熟练掌握角的单位与角度制的换算是解答本题的关键．根据已知条件，将三个角的单位统一化成度，再比较找出相等的两个角，即可解题． 【规范解答】解： ，，， ， 故选：B． 【变式】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）下列说法： ①连接两点间的线段叫做这两点间的距离； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点之间，线段最短； ③若，则点是的中点； ④若，，，则有．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】考查了两点之间的距离、线段中点的定义、以及角的大小的比较根据两点之间的距离的定义，线段的中点的定义以及角的比较即可作出判断． 【规范解答】解：①连接两点间的线段的长度叫做这两点间的距离，故①错误； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点确定一条直线，故②错误； ③若在线段上，，则点是的中点，故③错误； ④若，，，，，则有．故④正确； 故选：A． 题型6 角的比较 【精讲】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）（1）通过学习我们知道，比较两个角的大小，有两种方法：方法：度量法，用量角器测量两个角的大小，角度大的角大；方法：重叠法，把两个角的顶点和其中一条边重合，看另一条边的情况来确定．如图，已知 ， ，请用重叠法，比较它们的大小．要求圆规和无刻度的直尺作出图形，并得出它们的大小关系．（保留做题痕迹，铅笔画图后，须再用黑色水笔把线条描清楚） （2）已知在同一平面内的两个角 ， ，若平分，平分，求的度数． 【答案】（1）见解析，（2）或 【思路引导】本题考查了作一个角等于已知角，角的大小比较，角平分线的定义； （1）根据题意把两个角的顶点和其中一条边重合，看另一条边的情况来确定； （2）分在的内部时，在的外部时，分别画出图形，根据角平分线的定义，结合图形计算即可求解． 【规范解答】解：（1）如图： 把放在上，使和重合，边和重合，和在的同侧， 从图形可以看出包含， 即． （2）如图所示，当在的内部时， ∵ ， ，平分，平分， ∴ 当在的外部时， ∵ ， ，平分，平分， ∴ 【变式】射线OC在内部，下列条件不能说明OC是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.可知B不一定正确. 【规范解答】解：A、当∠AOC= ∠AOB时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠4OB的平分线，故本选项正确； B、当时，OC一定在∠A0B的内部且OC是∠A0B的平分线，故本选项正确；    C、当，只能说明OC在∠AOB的内部，但不能说明OC平分∠AOB，故本选项错误； D、当∠AOC=∠BOC时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠AOB的平分线，故本选项正确. 故选C. 【考点剖析】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线. 题型7 三角板中角度计算问题 【精讲】（25-26七年级上·江西吉安·期中）已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点O，，； (1)如图1，将三角尺绕点O逆时针方向转动，当恰好平分时，求度数； (2)如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果，三角尺在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【思路引导】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：不变，，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴． 【变式】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）（1）如图1，已知点是线段的中点，，，求的长； （2）如图2，已知两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查线段的中点的定义，角的和差运算，掌握同角的余角相等是解题的关键． （1）先推出，根据中点的定义得，进而即可求解； （2）根据同角的余角相等，即可求解． 【规范解答】解：（1）∵， ， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ． 题型8 几何图形中角度计算问题 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为___________； (2)如图2，直角三角板的边在的内部，若恰好平分，求此时的度数： (3)在图2中，请直接写出与之间的数量关系：___________ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算： （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）角的和差关系求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数即可； （3）由题意得，由，得到，据此计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴； （3）解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则________： (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中a为正整数），直接写出所有使的n值． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)n的值为50或70 【思路引导】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论． （1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）当时，，，，然后利用算得答案； （3）从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，②当时③当时，结合（2）进行角的和差计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，在内，在内，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述：的值为50或70． 题型9 角度的四则运算 【精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查角度的四则运算，熟知度分秒的换算、掌握度分秒之间的进率是解题的关键． （1）利用度分秒之间的进率计算即可． （2）利用度分秒之间的进率先算乘除法，再算加法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，角度的四则混合运算； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先把乘法化为除法，再利用分配律进行简便运算即可； （3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号先计算括号内的运算即可； （4）先计算角度的乘法运算，再计算减法运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型10 实际问题中角度计算问题 【精讲】（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【规范解答】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 【变式】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【规范解答】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 题型11 角平分线的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【思路引导】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【思路引导】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到= ，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【规范解答】（1）解：，， ， 是的平分线， = ， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ② ，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 题型12 角n等分线的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4） 【思路引导】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【规范解答】解：（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， 故答案为：7； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ． 故答案为：； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：80． 【变式】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 【答案】(1)①21；②线段的长度不会发生变化，长度为19 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；②根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，即可求解； （3）根据，可得， 从而得到，再由，即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：21 ②∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，长度为19； （2）解：∵射线和射线分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 题型13 尺规作一个角等于已知角 【精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知和． (1)请用直尺和圆规作两个角，使它们分别等于和．（保留作图痕迹） (2)请用两种方法比较这两个角的大小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】本题主要考查作一个角等于已知角和两个角大小比较，解题的关键是熟悉作一个角等于已知角的方法． （1）根据作一个角等于已知角的做法作图即可； （2）用量角器直接测量，或利用作一个角等于已知角的作法比较两个角的大小即可． 【规范解答】（1）解：如图， （2）解：如图， 方法一：由测量法可知∶ ； 方法二：利用作图方法，比较大小； 作，则， 即． 【变式】（2025六年级上·全国·专题练习）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交于点，交于点．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，掌握基本的尺规作图是解题的关键．根据基本的尺规作图判断，本题的尺规作图是作一个角等于已知角，据此判断即可． 【规范解答】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，此选项符合题意； B、∵，即，故该选项正确，此选项不符合题意； C、，故该选项正确，此选项不符合题意； D、，故该选项正确，此选项不符合题意； 故选：A． 1．如图，已知，平分，平分．则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，掌握角的和差计算，角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义求出，，再根据求出结果即可． 【规范解答】解：平分，平分， ，， ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川资阳·开学考试）如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 利用角的和差求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差即可求解． 【规范解答】解：根据题意得，， ∵是的平分线， ， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题主要考查角的和差，角平分线与三等分线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由角平分线得到，结合可得，再根据射线是三等分线可分和两种情况求解可得． 【规范解答】解： 平分，， ， ， ， ∵是三等分线， ∴①若， 则， ； ②若， 则， ； 综上，的度数为或， 故选：C． 4．（20-21七年级上·河南周口·期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角板中的角度运算、角的大小比较，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键．根据角的和差关系以及角的大小比较的方法，并结合图形计算后即可得出结论． 【规范解答】解：A、与的大小关系不确定，故此结论不一定成立，不符合题意； B、的值不固定，故此结论不一定成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 即，故此结论一定成立，符合题意； D、∵， ∴， 即，故此结论不成立，不符合题意； 故选：C． 5．（22-23七年级上·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【规范解答】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 6．（25-26七年级上·贵州·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则 ．（用含的代数式表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查了画一个角等于已知角，角平分线的定义，由画图可得，得到，再利用平角定义求出即可求解，理解作图是解题的关键． 【规范解答】解：由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（21-22七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则 °． 【答案】 【思路引导】本题考查三角尺，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，继而求出，则，即可解得． 【规范解答】解：由图，得 ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为量角器中心，射线与射线经过的刻度分别为和，从点O引一条射线，使，则的度数为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了角的计算，分情况讨论的方法是解答本题的关键．先求得，，再分射线在内部和射线在内部两种情况讨论，利用角的和与差求解即可． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， 当射线在内部时，； 当射线在内部时，； 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了三角板中角度计算问题以及角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真读题干，然后进行分类讨论，逐个情况作图，运用角之间的和差关系分别列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， 如图所示： ∵平分， ∴ ∴， 此时三角板转过的角度为； 当的延长线平分，如图所示： ∴ 则 故， 此时三角板转过的角度为； 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为 ．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 【答案】 【思路引导】本题考查折叠中的角度计算，根据折叠两重合的角度相等求解即可． 【规范解答】解：由正方形可得 第一次折叠可得， ∴， ∴， ∴由第二次折叠可得， ∴ 故答案为：． 11．（20-21七年级上·河北张家口·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题考查角度计算，注意度、分、秒进率为，满向前一个单位进1，不够相减时再向前借1当60． （1）先将度、分、秒分别对应相加，再根据度分秒的进制（进制）进行进位处理，得到最终结果； （2）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可； （3）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 12．（21-22七年级上·吉林通化·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，且． (1)的方向是_______； (2)是的反向延长线，作的平分线，求的度数． 【答案】(1)北偏东 (2)或 【思路引导】本题考查了方向角的认识与角的计算，解题的关键是根据方向角定义确定各角的度数，结合角平分线、角的和差关系进行求解． （1）先计算的度数，再由求出，进而确定的方向； （2）分两种情况，先确定为平角，利用角平分线求出，再结合的度数，通过角的和差计算． 【规范解答】（1）解：如图，设射线表示向北方向， 由题意可得： ∴的方向是北偏东． 故答案为：北偏东； （2）解：①如图，若射线在左侧， ∵是的反向延长线， ∵是的平分线， ， ； ②如图，若射线在右侧， ∵是的反向延长线， ， ∵是的平分线， ， ． 综上所述，为或． 13．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图①，若，则 ； (2)在图①中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的直角三角尺绕顶点O旋转至图②的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查的是角的和差、角平分线的定义的运用． （1）根据角平分线的定义和角的和差运算即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差运算即可得到结论； （3）设，则，根据角平分线的定义得到，进一步可得，于是得到结论． 【规范解答】（1）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：结论：， 理由如下：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【思路引导】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【规范解答】（1）解：，， ， （2）解： 平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 15．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足 ，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了平面内直角三角板在直线上旋转．熟练掌握余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． （1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $