专项突破05 探索与表达规律（代数式）（期末复习讲义-知识回顾+2个重难点培优题型+真题演练 共28题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册精讲练

该初中数学讲义以“知识回顾+重难点培优+真题演练”三阶结构构建探索与表达规律（代数式）单元体系，知识梳理部分通过框架图呈现数字序列、图形/图案、日历三大规律类型，用列表归纳核心方法如相邻项差比分析、拆项法、数形结合列表，清晰呈现重难点分布与内在逻辑。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，如数字类规律中“拆项法处理符号规律”培养抽象能力，图形类规律通过“分解图形结构求火柴棒根数”发展推理意识，真题演练包含新情景问题如“知识塔积木总数计算”。基础题与综合题结合适配不同学生，配套方法指导与验证技巧，助力教师精准教学和学生自主高效复习。

专项突破05 探索与表达规律（代数式） （知识回顾+2个重难点培优题型+真题演练 共28题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：数字序列规律 1 知识点梳理02：图形/图案规律 1 知识点梳理03：日历规律 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 数字类规律探索 3 题型2 图形类规律探索 7 期末真题 实战演练 10 知识点梳理01：数字序列规律 概念： 给出看似无规律或规律不明显的数列，要求学生找出通项公式（第 n 项）。 ①核心方法 观察相邻项关系： 计算相邻项的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有规律（如二级等差）。 ②拆项法 将每一项拆分成几部分（如符号、整数部分、分子分母）分别找规律。特别强调符号规律（正负交替）的处理。 与序号 n 建立联系： 列出表格，写出序号 n 和对应项 aₙ，寻找 aₙ 关于 n 的表达式（可能是 n 的一次式、二次式、乘方等）。这是最关键的一步。 特殊值验证： 将得到的代数式 aₙ = f(n) 代入 n=1, 2, 3 等小值，看结果是否与已知项匹配。 知识点梳理02：图形/图案规律 1、基本性质 点阵（小圆点、小正方形排列）、火柴棒拼搭图形（搭三角形、正方形、小鱼等）。 核心问题： 求第 n 个图形中点的总数、火柴棒的根数、某种基本图形的个数（如三角形的个数）。 核心方法： 数形结合 & 列表： 画出或想象前几个图形 (n=1,2,3,4)，数出目标量（如火柴棒数 sₙ），列表记录序号 n 和 sₙ。 2、分析增量 观察相邻图形之间目标量的增加量是否有规律？增加量本身是否有规律？（例如，每次增加固定根数 -> 等差数列；每次增加量递增 -> 可能与 n 有关）。 3、分解图形结构 将第 n 个图形分解成不变的“底座”部分和随 n 变化的“增长”部分，或者分解成若干种基本单元。 ①（火柴棒三角形）： 第 n 个三角形可以看作由 n 行组成，第1行1根，第2行2根...第n行n根，则总根数 sₙ = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。 ②（火柴棒正方形）： 第 n 个正方形可能由 n x n 个小正方形组成，需要分析横放和竖放火柴棒的数量规律。 ③（点阵）： 点阵可能按矩形 (n x m)、三角形、或者特定形状排列，分析行数、列数与 n 的关系。 寻找与序号 n 的关系： 基于列表或结构分析，尝试将 sₙ 表达为 n 的代数式（一次、二次等）。 知识点梳理03：日历规律 1、基本概念 在给定的日历表中（通常给出局部），探索方框圈定的若干数字（如 3x3 九宫格、2x2 方块、一行、一列、对角线）之间的关系。 核心方法： 设定中心/起点： 用字母（如 a）表示关键位置（如中心数、左上角数）。 2、利用等差关系 日历中横行相邻数差 1，竖列相邻数差 7（一周天数）。这是最核心的规律！ 代数表示其他位置： 用含 a 的式子表示方框中其他位置的数。 3、运算与化简 对方框内所有数进行求和、求积或比较特定位置数的差/和，将表达式化简，观察结果（往往是常数或与 a 无关的简单式子）。 得出结论： 如“九宫格中9个数的和等于中心数的9倍”，“2x2 方框中对角线和相等”。 题型1 数字类规律探索 【精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期中）阅读探究：；；；；…根据发现的规律，可得 ． 【答案】1185 【思路引导】本题主要考查了数字规律探索，通过观察给定的等式，发现从1到n的平方和公式为 ，所求式子为从到的和，可转化为从1到15的平方和减去从1到5的平方和，代入公式计算即可． 【规范解答】解：∵； ； ； ； … ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：1185． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）西安市近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，它的分子结构图与结构简式如图1所示（由10个原子，8个原子组成）．按照这个规律，第20个图中C原子的个数为（   ） A．80 B．122 C．86 D．124 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出C原子的个数，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由所给图形可知， 第1个图中C原子的个数为； 第2个图中C原子的个数为； 第3个图中C原子的个数为； …， 所以第n个图中C原子的个数为个． 当时，（个）， 即第20个图中C原子的个数为124个． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·福建莆田·期中）十九世纪的时候，与发明了“一棵树”称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列、从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层的，，，，…，按照这个规律，若位于第m层第n个数（从左往右数），则 ． 【答案】66 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，由图可得，向右发散的 真分数，规律是，向左发散的都是假分数，规律是，结合，得出在第8层， 由图可得，左边有个数，左边有个数，左边有个数，左边有个数，左边有个数，从而求出左边有个数，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【规范解答】解：由图可得，向右发散的 真分数，规律是，向左发散的都是假分数，规律是， ∵， ∴在第8层，即， 由图可得，左边有个数，左边有个数，左边有个数，左边有个数，左边有个数， ∴左边有个数， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·四川·期中）北师大版教材中第二章习题中，同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用同底数幂乘法法则及乘法分配律计算即可； （2）设，则，两式相减并计算即可； （3）根据题意令，则，将两式作差后再利用题干中的方法计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：设，① 将得：，② 得：， ∴， ∴； （3）解：设，① 将得：，② 得：， 由（2）可知， ∴． ∵若， ∴， ∴， ∴． 题型2 图形类规律探索 【精讲】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 【答案】10002 【思路引导】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律；由题意易得，，，，…..；由此可知：第n个图形有，然后问题可求解． 【规范解答】解：由题意得：，，，，…..；由此可知：第n个图形有， ∴； 故答案为10002． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面内，一只电子蚂蚁从数轴上原点O出发，按竖直向上、水平向右、竖直向下、水平向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第n次移动到，则三角形的面积是（   ）． A．514 B． C． D．1011 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上点的移动规律，根据题意可得点在数轴上，可得的位置，由此可得，根据三角形面积的计算方法即可求解，掌握数轴上点的移动规律是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，可得分别表示的数为， ∴点在数轴上，， ∵， 如图所示，      ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：C ． 【变式2】（25-26七年级上·山东德州·期中）在求的值时，发现，，…，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 【答案】19900 【思路引导】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．根据题意得出，再根据题干提供的信息求出的值即可． 【规范解答】解：依题意，， ∴ ． 故答案为：19900． 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·期中）【阅读理解】 我们知道，，那么结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即，第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第n行n个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为_______，因此，_______． 【解决问题】 根据以上发现，计算：的结果为_______． 【答案】[规律探究]，，；[解决问题]1351 【思路引导】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形的变换方式得出圆圈个数及圆圈中对应位置数和的变化规律是解题的关键． [规律探究]根据所给旋转方式，发现三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数的和都是，据此即可解决问题； [解决问题]根据上面发现的规律进行计算即可． 【规范解答】解：[规律探究]由题知， 这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数和均为， 因为每个三角形数阵中都有个数， 所以三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为， 因此，． 故答案为：，，； [解决问题]由上面发现的规律可知， 原式 故答案为：1351． 1．（24-25七年级上·陕西安康·期末）让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得；…．以此类推，则的值为（   ） A．26 B．65 C．122 D．123 【答案】C 【思路引导】本题考查了数字类规律探究．解题的关键在于理解题意，根据题意推导出一般性规律．由题意知，，，则，；，；，；……可推导一般性规律为：每3个循环一次，根据，可得，然后判断作答即可． 【规范解答】解：由题意知，，， ∴，， ∴，， ∴，， …… ∴可推导一般性规律为：每3个循环一次， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式：x，，，，，…，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 所给单项式的系数依次为：1，4，9，16，…， 所以第n个单项式的系数可表示为：． 所给单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…， 所以第n个单项式的次数可表示为：n， 所以第n个单项式可表示为：． 故选：D． 3．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）某类简单化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，当分子结构模型中氢原子个数为120个时，碳原子个数为，则的值是（   ） A．61 B．60 C．59 D．58 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用：观察前面四幅图可知当分子结构模型中碳原子个数为m个时，氢原子个数为，据此规律求解即可． 【规范解答】解：根据题意得： 当分子结构模型中碳原子个数为1个时，氢原子个数为， 当分子结构模型中碳原子个数为2个时，氢原子个数为， 当分子结构模型中碳原子个数为3个时，氢原子个数为， 当分子结构模型中碳原子个数为4个时，氢原子个数为， …… 当分子结构模型中碳原子个数为m个时，氢原子个数为， 当时，． 故选：C 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，按照图形变化的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是（   ） A．1012 B．1013 C．3036 D．3038 【答案】D 【思路引导】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图形中黑色正方形的数量是解题的关键． 仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案． 【规范解答】解：根据图形变化规律可知： 第1个图形中黑色正方形的数量为2， 第2个图形中黑色正方形的数量为3， 第3个图形中黑色正方形的数量为5， 第4个图形中黑色正方形的数量为6， 第5个图形中黑色正方形的数量为8， ．．．， 当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个； 当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为个， 当时，． 故选：D． 5．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过计算前几项找出循环规律是解题的关键．根据差倒数的定义依次求出前几项，找出循环规律，再根据循环周期计算的值． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴该数列以，，依次循环． ∵， ∴． 故选：A． 6．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）张老师将正整数按照如图所示的方式依次排列，假设1600在第m行，从左向右第n个位置，则的值等于（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】B 【思路引导】本题考查了数字变化类的规律探索； 分析得出规律：第n行有个数字，最后一个数字为，可得1600是第40行，第79个数，然后计算即可． 【规范解答】解：由图可得： 第1行有个数字，最后一个数字为， 第2行有个数字，最后一个数字为， 第3行有个数字，最后一个数字为， 第4行有个数字，最后一个数字为， … ∴第n行有个数字，最后一个数字为， ∵， ∴1600是第40行的最后一个数字， ∵， ∴1600是第40行，第79个数， ∴， ∴， 故选：B． 7．（20-21七年级上·四川成都·期末）下图是一组有规律的图案，第1个图由4个基本图案组成，第2个图由7个基本图案组成，……第（是正整数）个图案是由 个基本图案组成． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了图形类规律探索，归纳总结出图形的规律是解题的关键． 观察前3个图中的基本图案个数，归纳出第个图中的基本图案个数为，即可解答． 【规范解答】解：第1个图中的基本图案个数为， 第2个图中的基本图案个数为， 第3个图中的基本图案个数为， …… 依此类推，第个图中的基本图案个数为， ∴第（是正整数）个图案是由个基本图案组成． 故答案为：． 8．（10-11七年级下·江西抚州·期末）将一个正的纸片剪成4个全等的小正，再将其中的一个按同样的方法剪成4个更小的正，…．如此下去，结果如下表： 所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … 则 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了整式的规律变化问题， 先分别求出前几次的数字变化规律，即可得出答案. 【规范解答】解：剪1次所得正三角形的个数为（个）； 剪2次所得正三角形的个数为（个）； 剪3次所得正三角形的个数为（个）； 剪4次所得正三角形的个数为（个）； 剪n次所得正三角形的个数为（个）. 故答案为：. 9．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止．那么2017，2018，2019，2020这四个数中 可能是剪出的纸片数 【答案】2017，2020 【思路引导】本题主要考查了规律探究，整式加减的应用，根据题意得出一般规律，是解题的关键．根据剪纸的规律，第一次取块，共有：块，第二次取块，共有，第n次取块，共有：块，从而得出只要能够写成的形式，就能够得到，然后根据，，即可得出答案． 【规范解答】解：第一次取块，则分为了块，加上留下的块，共有： （块）， 第二次取块，则分为了块，加上留下的块，共有： （块）， … 第n次取块，则分为了块，共有： （块）， 从中看出，只要能够写成的形式，就能够得到， ∵，， ∴这四个数中2017，2020可能是剪出的纸片数． 故答案为：2017，2020． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律；由题意易得每个正方形的左上角是按连续的正整数进行排列，右上角是按从3开始的连续整数进行排列，左下角是右上角数字的平方，右下角是每个正方形的其他三个数之和，由此问题可求解． 【规范解答】解：由题意得：每个正方形的左上角是按连续的正整数进行排列，右上角是按从3开始的连续整数进行排列，左下角是右上角数的平方，右下角是每个正方形的其它三个数之和， ∴， ∴； 故答案为． 11．（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知整数，，，，…，满足下列条件：，，，，…，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应项的值． 【规范解答】解：由题意可得，，，，，，……， 观察其规律可得：，． 故答案为：． 12．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在无限大的正方形网格中，按规律涂色，图中涂色部分小正方形的个数分别为5，9，15．根据此规律，图中涂色部分的小正方形的个数是 ． 【答案】423 【思路引导】本题考查了图形的规律探究，找到序号与涂色部分的小正方形的个数之间的关系是解题的关键． 观察图形可知第n个图形涂色部分的小正方形的个数是，将代入求解即可． 【规范解答】解：因为图中涂色部分的小正方形的个数是（个）， 图中涂色部分的小正方形的个数是（个）， 图中涂色部分的小正方形的个数是（个）， 所以依此类推图中涂色部分的小正方形的个数是（个）． 故答案为：423． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是 ；第次输出的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数字的变化类、求代数式的值，根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第次输出的结果，本题得以解决．解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，写出所求次数的输出结果． 【规范解答】解：由题意可得， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， …， 由上可得，从第二次输出结果开始，以，，依次循环出现， ∵， ∴第次输出的结果是． 故答案为：；． 14．（22-23七年级上·江苏苏州·月考）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了用代数式表示的规律型问题，理解差倒数的定义，并正确归纳出一般规律是解题关键．先根据差倒数的定义分别求出，，的值，观察规律，发现三个数一循环，求的余数，余1，与相同，余2与相同，余0与相同，即可确定的值． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 通过结果发现，三个数一个循环， 2023被3除，结果为，被3除余1， 因此． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (1)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． 【答案】(1)见解析 (2)55 【思路引导】此题考查了从不同方向看几何体、图形的规律类问题，正确画图和找到规律是关键． （1）根据从不同方向看到的形状作图即可； （2）找到规律进行解答即可． 【规范解答】（1）解；根据题意可得， （2）根据题意可得， 第1层小正方体的个数为1个， 第2层小正方体的个数为个， 第3层小正方体的个数为个， 第4层小正方体的个数为个， …… 按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共（个） 故答案为： 16．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放． (1)按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒(用n的代数式表示，并化简）． (2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由． (3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 (3)作图见详解 【思路引导】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系，找出规律是解题的关键． （1）根据图示找出规律即可求解； （2）根据（1）中的规律计算即可求解； （3）由（2）的计算可得，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，需要改变摆放方式，结合图形即可求解． 【规范解答】（1）解：第1个图有1个正方形需要根小棒， 第2个图有2个正方形需要根小棒，即， 第3个图有3个正方形需要根，即， ∴第个正方形需要（根）， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，摆出6个正方形时是第6个图形， ∴，即需要根小棒， ∴用18根小棒摆不出6个正方形； （3）解：根据题意，第3个图中有3个正方形，需要10根小棒， 由（2）可知，按照题目中的图形摆放得到6个正方形需要19根， ∴改变摆放方式，如图所示， ∴摆放时需要根小棒，即不多于18根小棒， ∴符合题意． 17．（24-25七年级上·山东威海·期末）火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．下面是小明同学利用火柴按照一定的规律拼摆的一组图形： (1)填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 ... 三角形的个数 1 2 3 ... 正方形的个数 3 5 ... 火柴棒总根数 12 20 ... (2)按此规律拼摆的第个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总很数是_____；（用含n的代数式表示） (3)按这种方法拼摆出的第100个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总根数是_____． 【答案】(1)见解析 (2)n；； (3)100；201；804 【思路引导】主要考查了图形类规律探索．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点． （1）根据题意，数出图中的三角形、正方形、火柴棒数量即可； （2）由（1）可知，找出数量的变化规律，即可得到答案； （3）把代入，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：如下表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 …… 拼成三角形个数 1 2 3 4 5 …… 拼成的正方形个数 3 5 7 9 11 …… 所用火柴棒总根数 12 20 28 36 44 …… （2）解：第n个图中，三角形有n个，正方形：个，所有火柴棒有根； （3）解：当时，， ； 所以，按这种拼图方法拼出的第100个图形三角形有100个，正方形201个，共需要火柴棒804根． 18．（24-25七年级上·福建·期末）新定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”． 理解： （1）直接写出计算结果：_________． （2）关于除方，下列说法正确的有_________（把正确的序号都填上）； ；对于任何正整数，； ； 负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数． 应用： （3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式） 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：________； （4）计算：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据新定义运算的规则，把运算转化为一般的有理数运算，根据有理数运算的法则进行计算即可． 根据新定义运算的规则可知，根据有理数的除法法则进行计算即可； 根据除方的定义把除方转化为一般的有理数的除法，再根据有理数的除法法则进行计算即可判断； 首先根据除方的定义可知，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，根据有理数的乘法法则进行计算得到规律； 根据得到的规律，把除方转化为乘方，然后再进行计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：；   解： ，时正确，符合题意； ，正确，符合题意； ，，，不符合题意； 负数的下奇数次方含有负号为奇数个，结果是负数，正确； 负数的下偶数次方负号为偶数个，结果是正数，正确．故符合题意； 故答案为：．                               解：， 故答案为：；                        解：，                          ． 19．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，某影厅共有16排座位，第1排有m个座位，第2排比第1排多6个座位，第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多n个座位． (1)用含m，n的式子表示该影厅所有的座位数； (2)图中的阴影区域为居中区域，仔细观察图形，若，，求该影视厅的居中区域的座位数． 【答案】(1)个 (2)该影视厅的居中区域的座位数为214个 【思路引导】本题主要考查了图形变化的规律、列代数式及代数式求值，能根据题意用，表示出每排的座位数是解题的关键． （1）根据所给座位的个数关系，先得出第2排的座位数，再进一步得出第3排的座位数，即可求解； （2）用表示出图中阴影部分座位数的个数，再将的值代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由题知， 因为第1排有个座位，第2排比第1排多6个座位， 所以第2排的座位个数为个． 又因为第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多个座位， 所以第3至16排的座位个数为个． ， 所以影厅所有的座位数有个； （2）解：由阴影部分可知， 第1排阴影部分中的座位个数为个， 第2排阴影部分中的座位个数为个， 第3至16排阴影部分中每排的座位个数都为个， 所以阴影部分中的座位总个数为：（个， 当时，（个， 即该影视厅的居中区域的座位数为214个． 20．（24-25七年级上·湖南常德·期末）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【思路引导】本题主要考查了新运算的定义与理解、整式的加减，熟练掌握新运算的理解和指数运算是解题的关键； （1）①根据新定义直接代入化简即可； ②根据新定义的运算，将运算展开，从左往右一次作“”运算，得到，将代数式A代入即可； （2）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴当，，，时， ， ． 故答案为：；． ②∵， ∴当，，时， ． 故答案为： （2）解：∵由（1）同理可得，，， ∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破05 探索与表达规律（代数式） （知识回顾+2个重难点培优题型+真题演练 共28题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：数字序列规律 1 知识点梳理02：图形/图案规律 1 知识点梳理03：日历规律 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 数字类规律探索 3 题型2 图形类规律探索 7 期末真题 实战演练 10 知识点梳理01：数字序列规律 概念： 给出看似无规律或规律不明显的数列，要求学生找出通项公式（第 n 项）。 ①核心方法 观察相邻项关系： 计算相邻项的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有规律（如二级等差）。 ②拆项法 将每一项拆分成几部分（如符号、整数部分、分子分母）分别找规律。特别强调符号规律（正负交替）的处理。 与序号 n 建立联系： 列出表格，写出序号 n 和对应项 aₙ，寻找 aₙ 关于 n 的表达式（可能是 n 的一次式、二次式、乘方等）。这是最关键的一步。 特殊值验证： 将得到的代数式 aₙ = f(n) 代入 n=1, 2, 3 等小值，看结果是否与已知项匹配。 知识点梳理02：图形/图案规律 1、基本性质 点阵（小圆点、小正方形排列）、火柴棒拼搭图形（搭三角形、正方形、小鱼等）。 核心问题： 求第 n 个图形中点的总数、火柴棒的根数、某种基本图形的个数（如三角形的个数）。 核心方法： 数形结合 & 列表： 画出或想象前几个图形 (n=1,2,3,4)，数出目标量（如火柴棒数 sₙ），列表记录序号 n 和 sₙ。 2、分析增量 观察相邻图形之间目标量的增加量是否有规律？增加量本身是否有规律？（例如，每次增加固定根数 -> 等差数列；每次增加量递增 -> 可能与 n 有关）。 3、分解图形结构 将第 n 个图形分解成不变的“底座”部分和随 n 变化的“增长”部分，或者分解成若干种基本单元。 ①（火柴棒三角形）： 第 n 个三角形可以看作由 n 行组成，第1行1根，第2行2根...第n行n根，则总根数 sₙ = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。 ②（火柴棒正方形）： 第 n 个正方形可能由 n x n 个小正方形组成，需要分析横放和竖放火柴棒的数量规律。 ③（点阵）： 点阵可能按矩形 (n x m)、三角形、或者特定形状排列，分析行数、列数与 n 的关系。 寻找与序号 n 的关系： 基于列表或结构分析，尝试将 sₙ 表达为 n 的代数式（一次、二次等）。 知识点梳理03：日历规律 1、基本概念 在给定的日历表中（通常给出局部），探索方框圈定的若干数字（如 3x3 九宫格、2x2 方块、一行、一列、对角线）之间的关系。 核心方法： 设定中心/起点： 用字母（如 a）表示关键位置（如中心数、左上角数）。 2、利用等差关系 日历中横行相邻数差 1，竖列相邻数差 7（一周天数）。这是最核心的规律！ 代数表示其他位置： 用含 a 的式子表示方框中其他位置的数。 3、运算与化简 对方框内所有数进行求和、求积或比较特定位置数的差/和，将表达式化简，观察结果（往往是常数或与 a 无关的简单式子）。 得出结论： 如“九宫格中9个数的和等于中心数的9倍”，“2x2 方框中对角线和相等”。 题型1 数字类规律探索 【精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期中）阅读探究：；；；；…根据发现的规律，可得 ． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）西安市近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，它的分子结构图与结构简式如图1所示（由10个原子，8个原子组成）．按照这个规律，第20个图中C原子的个数为（   ） A．80 B．122 C．86 D．124 【变式2】（25-26七年级上·福建莆田·期中）十九世纪的时候，与发明了“一棵树”称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列、从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层的，，，，…，按照这个规律，若位于第m层第n个数（从左往右数），则 ． 【变式3】（25-26七年级上·四川·期中）北师大版教材中第二章习题中，同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 题型2 图形类规律探索 【精讲】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面内，一只电子蚂蚁从数轴上原点O出发，按竖直向上、水平向右、竖直向下、水平向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第n次移动到，则三角形的面积是（   ）． A．514 B． C． D．1011 【变式2】（25-26七年级上·山东德州·期中）在求的值时，发现，，…，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·期中）【阅读理解】 我们知道，，那么结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即，第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第n行n个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为_______，因此，_______． 【解决问题】 根据以上发现，计算：的结果为_______． 1．（24-25七年级上·陕西安康·期末）让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得；…．以此类推，则的值为（   ） A．26 B．65 C．122 D．123 2．（24-25七年级上·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式：x，，，，，…，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）某类简单化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，当分子结构模型中氢原子个数为120个时，碳原子个数为，则的值是（   ） A．61 B．60 C．59 D．58 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，按照图形变化的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是（   ） A．1012 B．1013 C．3036 D．3038 5．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D．5 6．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）张老师将正整数按照如图所示的方式依次排列，假设1600在第m行，从左向右第n个位置，则的值等于（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 7．（20-21七年级上·四川成都·期末）下图是一组有规律的图案，第1个图由4个基本图案组成，第2个图由7个基本图案组成，……第（是正整数）个图案是由 个基本图案组成． 8．（10-11七年级下·江西抚州·期末）将一个正的纸片剪成4个全等的小正，再将其中的一个按同样的方法剪成4个更小的正，…．如此下去，结果如下表： 所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … 则 ． 9．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止．那么2017，2018，2019，2020这四个数中 可能是剪出的纸片数 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为 ． 11．（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知整数，，，，…，满足下列条件：，，，，…，以此类推，则的值为 ． 12．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在无限大的正方形网格中，按规律涂色，图中涂色部分小正方形的个数分别为5，9，15．根据此规律，图中涂色部分的小正方形的个数是 ． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是 ；第次输出的结果是 ． 14．（22-23七年级上·江苏苏州·月考）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 15．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (1)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． 16．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放． (1)按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒(用n的代数式表示，并化简）． (2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由． (3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图． 17．（24-25七年级上·山东威海·期末）火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．下面是小明同学利用火柴按照一定的规律拼摆的一组图形： (1)填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 ... 三角形的个数 1 2 3 ... 正方形的个数 3 5 ... 火柴棒总根数 12 20 ... (2)按此规律拼摆的第个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总很数是_____；（用含n的代数式表示） (3)按这种方法拼摆出的第100个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总根数是_____． 18．（24-25七年级上·福建·期末）新定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”． 理解： （1）直接写出计算结果：_________． （2）关于除方，下列说法正确的有_________（把正确的序号都填上）； ；对于任何正整数，； ； 负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数． 应用： （3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式） 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：________； （4）计算：． 19．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，某影厅共有16排座位，第1排有m个座位，第2排比第1排多6个座位，第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多n个座位． (1)用含m，n的式子表示该影厅所有的座位数； (2)图中的阴影区域为居中区域，仔细观察图形，若，，求该影视厅的居中区域的座位数． 20．（24-25七年级上·湖南常德·期末）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $