小专题培优3 一线三等角模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

小专题培优3一线三等角模型 (8年2考)》 ///I典例精讲// 模型特点 一线：三个等角的顶点落在同一条直线上；三等角：∠1=∠2=∠3 两三角形在 直线同侧 常见模型 两三角形在 直线异侧 (I)△ACP∽△BPD; 结论 (2)若AC=BP或AP=BD或CP=PD,则△ACP≌△BPD 通过“三角形的内角和等于180”和“同角（等角）的余角（补角）相等”证明角相等.当 解题策略 图中有边对应相等，证全等；否则，证相似 例1如图，已知点P在线段AB上，点C,D在AB同侧，分别作CA⊥AB,DB⊥AB,连接CP, DP,且CP⊥DP (1)证明：△ACP∽△BPD: (2)添加一组条件，使得△ACP≌△BPD,并写出证明过程. 例2(2025西安灞桥区校级模拟)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE, BE⊥CE,垂足分别是D,E,AD=6,BE=2,求DE的长. 8 /////11111AI巩固练习II//// 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点A作AE⊥AC,且AE=AC,过点E作ED⊥AB分别交 AB,AC于点F,D.若BC=3,AE=7,则CD的长为 D 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，D,E为AD上两点，∠ADB=∠AEC=120°， 则BD,CE与DE间的数量关系为 3.【问题背景】(1)如图，点B,C,D在同一条直线上，∠B=∠ACE=∠D,求证：△ABC∽ △CDE: 【问题探究】(2)在(1)的条件下，若C为BD的中点，求证：AC2=AB·AE. 4.如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEC=90°，A,D,E三点在一条直 线上，求证：∠BDC=90. 9 5.如图，P,D分别是∠ABC的边BA,BC上的点，连接PD,以PD为边，在PD的右侧作等边 三角形DPE,连接BE,BD=4,∠ABC=60°.求△BDE的面积. D 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6,点D在线段BC上运动（点D不与点B,C 重合)，连接AD,作∠ADE=45°，DE交AC于点E. (1)求证：△ABD∽△DCE; (2)若△ADE是等腰三角形，求DC的长 B D 10例2证明：如解图，延长AD交BC于点F, .·BE平分∠BAC,AD⊥BE」 △ABF是等腰三角形，且∠2=∠AFB. 又∠AFB=∠1+∠C,.∠2=∠1+∠C. 【变式片【变式219 例33【解析】解法一：如解图1，在BA上截取BF=BC, 连接FE.BD平分∠ABC,.∠CBE=∠FBE.BC= BF,BE=BE,∴.△CBE≌△FBE(SAS),∴.CE=FE..AB =2BC,.AB=2BF,F是AB的中点.E是BD的中 点.FE是△1BD的中位线FE=0=3,CE=3, P 解图1 解图2 解法二：如解图2，延长BC至点G,使CG=BC,连接DG AB=2BC,.AB=BG.BD平分∠ABC,.∠GBD= ∠ABD.BD=BD,∴.△BDG≌△BDA(SAS),.DG=DA =6.·E是BD的中点，C是BG的中点，.CE是△BDG 的中位线CE=之0G=3. 例4解：解法一：如解图1，过点D作DE∥AB交BC于点 E,∴.∠ABD=∠BDE. .·BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC, ∴.∠BDE=∠DBC,.BE=DE 设BE=DE=a,则CE=8-a. 0E怎S8兰解得0 31 8 .BE=DE= 3.CE-16 CD.CE 3·ADBE =2. A E 解图1 解法二：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于 点F, B 解图2 .∠FAB=∠ABD,∠F=∠DBC. BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC, .∠FAB=∠F,.BF=AB=4. ,CD_CB_8=2 AF//BD,AD-FB 4 1.5 2.证明：如解图，过点E作EM⊥BC于点M. .∠A=∠D=90°， B ∴.DA⊥AB,DA⊥CD. BE平分∠ABC,AE=EM. E是AD的中点，.AE=DE=EM. .·DA⊥CD,EM⊥BC, D ∴.CE平分∠DCB. 3.证明：解法一：如解图1，过点D分别作AB,AC的垂线，垂 足分别为M,N, ∴.∠DMA=∠DNF=90° :AD平分∠BAC,.DM=DN. .·∠EDF+∠BAC=180° M .∴.∠AED+∠AFD=180° E F .·∠DFN+∠AFD=180°， ---N ∴.∠AED=∠DFN, B D C 解图1 ∴.△DEM≌△DFN(AAS), ∴.DE=DF G F E B D H 解图2 解图3 解法二：如解图2，在AB上截取AG=AF,连接DG .AD平分∠BAC..∠GAD=∠FAD. 又.：AD=AD,∴.△ADG≌△ADF(SAS), ∴.∠AGD=∠AFD,DG=DF .:∠EDF+∠BAC=180°. ∴.∠GED+∠DFA=180°，∠GED+∠AGD=180. .∠EGD+∠AGD=180°，∴.∠EGD=∠GED, ∴.DE=DG,∴.DE=DF 解法三：如解图3，延长AC至点H,使AH=AE,连接DH. .·AD平分∠BAC,∴.∠EAD=∠LAD. 又：AD=AD,AE=AH,.△ADE≌△ADH(SAS), .∴.∠AED=∠AHD,DE=DH. .∠EDF+∠BAC=180°，.∠AED+∠AFD=180°. .∠AFD+∠DFH=180°，∴.∠AED=∠DFH=∠AHD, .DF=DH,..DE=DF. 小专题培优3一线三等角模型 例1(1)证明：CA⊥AB,DB⊥AB, .∠A=∠B=90°，∴.∠C+∠CPA=90° ·.·CP⊥DP,.∠CPA+∠DPB=90°， ∴.∠C=∠DPB,∴.△ACP∽△BPD. 19 (2)解：AP=BD(答案不唯一). 证明：由(1)得∠A=∠B=90°，∠C=∠DPB, 又.·AP=BD,.△ACP≌△BPD(AAS). 例2解：AD⊥CE,BE⊥CE, .∠ADC=∠E=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ,∠ACB=90°，∴.∠BCE+∠ACD=90°， .∴.∠CAD=∠BCE I∠ADC=∠CEB. 在△CAD和△BCE中」 ∠CAD=∠BCE. AC=BC. ∴.△CAD≌△BCE(AAS),∴.AD=CE=6,CD=BE=2, .DE=CE-CD=6-2=4. 1.4 2.DE=CE-BD 3.证明：(1).·∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE,∠ACE= ∠B,.∠BAC=∠DCE. .∠B=∠D,∴.△ABC△CDE (2)由(I)得，△ABC∽△CDE,CD-DE CE AB BC AC C为BD的中点BC=CD,BC-CE, AB AC 又：∠B=∠ACE,.△ABC∽△ACE, 六ACAC=AB·AE AB AC 4.证明：如解图，过点B作BF⊥AE交EA的延长线于点F F B 则∠F=∠AEC=90°，∴.∠ABF+∠BAF=90° .·∠BAC=90°，∴.∠BAF+∠CAE=90°， .∴.∠ABF=∠CAE. .'AB=AC,∴.△ABF≌△CAE(AAS),∴.AF=CE,BF=AE. .DE=CE,∴.AF=DE,∴.DF=AE BF=DF,∠BDF=45° ·∠DEC=90°，DE=CE,∴.∠CDE=45°， ·.∠BDC=180°-∠BDF-∠CDE=90°. 5.解：如解图，过点E作EF⊥BC,垂足为F,过点D作DG⊥ BA.垂足为G.在Rt△BGD中，BD=4,∠ABC=60°， w2 A ∠BDG=30°，.BG= .GD=√BD2-BG=25. :△PDE是等边三角形， ∴.∠PDE=60°，PD=DE D FC ∴.∠PDB+∠EDF=180°-∠PDE=120°， .·∠ABC=60°，.∠PDB+∠BPD=180°-∠ABC=120°， ∴.∠BPD=∠EDF :∠PGD=∠DFE=90°，∴.△GPD≌△FDE(AAS), ∴.GD=EF=23」 SA腿=)BD·EE 2×4x23=46 20 6.(1)证明：.：∠BAC=90°，AB=AC ∠B=∠C=45°=∠ADE. ∠BAD+∠B=∠ADC,∠ADC=∠ADE+∠CDE, .∠BAD=∠CDE,·.△ABD∽△DCE (2)解：·∠BAC=90°，AB=AC=6. .BC=√JAB2+AC=62,∠B=∠C=45. 如解图1，△ADE是等腰三角形，且AD=DE. .∠ADE=∠B=45°. .∴.∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB=135°， ∴.∠BAD=∠CDE, /∠ABD=∠DCE. 在△ABD和△DCE中. ∠BAD=∠CDE AD=DE. ∴.△ABD≌△DCE(AAS),∴.DC=AB=6. B D B D 解图1 解图2 如解图2，△ADE是等腰三角形，且AE=DE, 则∠EAD=∠ADE=45°， .∠BAD=∠CAD=45°，∴.AD平分∠BAC, =0ac=32 ·点D不与点B重合，∴.∠DAE<90°， .∴.180°-45°-∠AED<90°，∴.∠AED>45°， .∠AED≠∠ADE, .不存在△ADE是等腰三角形，且AD=AE的情况， 综上所述，DC的长为6或32. 小专题培优4旋转（手拉手)模型 例19【解析】解法一：如解图1，将AD绕点A顺时针旋 转60°得到AE,连接DE,BE,则△ADE为等边三角形， ∠BAC=∠DAE=∠AED=60°，DE=AD=12.∠BAE+ ∠CAE=∠CAD+∠CAE,.∴.∠BAE=∠CAD.在△BAE和 AB=AC, △CAD中 ∠BAE=LCAD,∴.△BAE≌△CAD(SAS), AE=AD. .∠BEA=∠CDA=30°.∠AED=60°，.∠BED=90. 在Rt△BED中，由勾股定理得BE=√BD-DE=9, .CD=9 C E C 解图1 解图2 解法二：如解图2，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得