小专题培优2 与角平分线有关的辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

重难题型册 一、小专题培优 小专题培优1与中点有关的辅助线作法 .△ABE≌△FDE(SAS), .AB=DF,∠BAE=∠DFE. 例1 9 4 例2万例342例445 3 :∠ADB是△ADC的外角， 例5号（变式120 .'.∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD ∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD, 例6证明：如解图，连接0D. ·.∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD. ∠BDC=∠BEC=90°，O为BC .∠ADF=∠ADC. 的中点， AB=DC...DF=DC. ∴.OD=OE=OB=OC (AD=AD .∴.∠CBA=∠BDO,∠BCA=∠CEO. 在△ADF和△ADC中 ∠ADF=∠ADC ,·∠BAC=120°，∴.∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°， FD=CD. '∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA,∠COD=∠CBA+ .△ADF≌△ADC(SAS),∴.∠C=∠AFD, ∠BDO=2∠CBA. ..∠C=∠BAE. .∠B0E+∠C0D=120°，.∠D0E=60°， 1.A2.63.15【变式】A4.3√/35.14° .△DOE是等边三角形，.DE=OE 【变式】4 ):√3【解析】如解图，连接4AF~G,H分别为4E, 6. 例7√7 例8证明：解法一：如解图，延长AD至点H,使DH=AD,连 EF的中点，GH=子4，当AP1BC时，4F最短，即此 接BH, 时GH最短，如解图1.∠B=60°，4B=6.BF=。AB= 2 ·AD是△ABC的中线，.BD=CD 又·∠ADC=∠HDB,AD=HD .△ADC≌△HDB(SAS), 3=yF:35团=35即6m的经小值 .AC=HB,∠CAD=∠A 为33 2 当点F与点C重合时，AF最长，即此时GH最 .·AE=EF,∴.∠EAF=∠AFE .·∠AFE=∠BFH,.∠H=∠BFH 长，如解图2.过点A作AP⊥BC,AP=35,BP=3, .BF=BH.·.BF=AC. .CP=BC-BP=5,.AC=√Ap+CP=2√3，GH= 解法二：如解图，延长FD至点G,使DG=DF,连接CG, 2√/13 .AD是△ABC的中线，.BD=CD. 2 =√3，即GH的最大值为√3. 在△BDF和△CDG中， (BD=CD, ∠BDF=∠CDG B DF=DG. C(F ∴.△BDF≌△CDG(SAS), 解图1 解图2 ∴.BF=CG,∠BFD=∠G. 7.1≤EF<3【解析】如解图，设AB :·AE=EF,∴.∠EAF=∠EFA=∠BFD 的中点为G,连接EG,FG.:F是 .∠G=∠CAG,.AC=CG,.BF=AC. 【变式】证明：如解图，延长AE BD的中点GF= 2D=1.E 到点F,使EF=AE,连接DF 是AC的中点，EG=BC=2 .AE是△ABD的中线」 21 .BE=ED, 在△EFG中，根据三角形的三边关系，得EG-GF<EF< 在△ABE和△FDE中， EG+GF,当E,F.G三点共线时，EF=EG-GF=1,即1≤ EF<3. BE=DE. ∠AEB=∠FED, 小专题培优2与角平分线有关的辅助线作法 AE=FE. 例12mm 18 例2证明：如解图，延长AD交BC于点F, BD平分∠ABC,·∠ABD=∠DBC, .∠FAB=∠F,.BF=AB=4. AF∥BD, CD_CB-8-2. AD FB 4 1.5 2.证明：如解图，过点E作EM⊥BC于点M. .·BE平分∠BAC,AD⊥BE. .∠A=∠D=90°， .△ABF是等腰三角形，且∠2=∠AFB. .DA⊥AB,DA⊥CD 又.∠AFB=∠1+∠C,.∠2=∠1+∠C. BE平分∠ABC,.AE=EM, 【变武号【变式219 :E是AD的中点，∴AE=DE=EM .·DA⊥CD,EM⊥BC 例33【解析】解法一：如解图1，在BA上截取BF=BC, .CE平分∠DCB. 连接FE.BD平分∠ABC,.∠CBE=∠FBE.BC= 3.证明：解法一：如解图1，过点D分别作AB,AC的垂线，垂 BF,BE=BE,.△CBE≌△FBE(SAS),.CE=FE.:AB 足分别为M,N, =2BC,.AB=2BF,F是AB的中点.E是BD的中 .∴.∠DMA=∠DNF=90° 点.E是△ABD的中位线FE=子0=3CE=3 :AD平分∠BAC,.DM=DN. ·∠EDF+∠BAC=180° M ∴.∠AED+∠AFD=180° .·∠DFN+∠AFD=180°， B ∴.∠AED=∠DFN. C 解图1 .△DEM≌△DFV(AAS), ∴.DE=DF. 解图1 解图2 解法二：如解图2，延长BC至点G,使CG=BC,连接DG ,AB=2BC,.AB=BG.BD平分∠ABC,.∠GBD= ∠ABD.BD=BD,.△BDG≌△BDA(SAS),DG=DA =6.:E是BD的中点，C是BG的中点，CE是△BDG 的中位线CE=之0G=3. B D B 解图2 解图3 例4解：解法一：如解图1，过点D作DE∥AB交BC于点 解法二：如解图2，在AB上截取AG=AF,连接DG E,∴.∠ABD=∠BDE. .·BD平分∠ABC,·.∠ABD=∠DBC, AD平分∠BAC,.∠GAD=∠FAD. 又.AD=AD,∴.△ADG≌△ADF(SAS), ∴.∠BDE=∠DBC,∴.BE=DE 设BE=DE=a,则CE=8-a. ∴.∠AGD=∠AFD,DG=DF ·∠EDF+∠BAC=180°， E器号-号号 31 .∠GED+∠DFA=180°，∠GED+∠AGD=180°. 8 .∠EGD+∠AGD=180°，∴.∠EGD=∠GED, BE=DE三；cE=6.2=g=2.■ 3ADBE :DE=DG,..DE=DF. A 解法三：如解图3，延长AC至点H,使AH=AE,连接DH. D .AD平分∠BAC,∴.∠EAD=∠IAD. 又：AD=AD,AE=AH,.△ADE≌△ADH(SAS), E ∴.∠AED=∠AHID,DE=DH 解图1 .∠EDF+∠BAC=180°，.∠AED+∠AFD=180° 解法二：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于 :∠AFD+∠DFH=180°，∴.∠AED=∠DFH=∠AHD 点F, .DF=DH...DE=DF. 小专题培优3一线三等角模型 例1(1)证明：：CA⊥AB,DB⊥AB, 2 .∠A=∠B=90°，∠C+∠CPA=90° 解图2 .·CP⊥DP,∴.∠CPA+∠DPB=90°， .∠FAB=∠ABD,∠F=∠DBC ∴.∠C=∠DPB,∴.△ACP∽△BPD. 19小专题培优2与角平分线有关的辅助线作法 in典例精讲 类型1角平分线+垂线段→全等三角形(8年3考) 园方法解读 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC 情形1：垂两边 于点D.若CD=m,AB=n,则△ABD的面积是 如图，P是∠AOB的平分线上 一点，PM⊥OA于点M. 例2如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E,AD⊥ 作法：过点P作PN⊥OB于 BE,垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C 点N 结论：△MOP≌△NOP. 情形2：垂中间 如图，OC是∠AOB的平分线， ED⊥OC于点D. 0 —B 作法：延长ED交OB于点F. 结论：△EOF是等腰三角形， Rt△EOD≌Rt△FOD. ,AD平分 变式□如图，在四边形ACDB中，AB=13,AC=1 ∠BAC,BD⊥AD于点D,则CD的长为 B4 变式2如图，M是△ABC的边AB的中点，∠ACN=∠BCN, 且CN上AN,重足为N,AC=3,AMB=5,MN=号，则△1Bc的 周长为 5 类型2角平分线+等线段→全等三角形 园方法解读 例3多解法如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,方法1：截长法 E是BD的中点.若AB=2BC,AD=6,则CE的长为 (AD平分∠BAC) 解法一：裁长法，在BA上裁取BF=BC,连 在AB上 D 接FE,构造全等三角形求解。 截取 AE=AC 解法二：补短法，延长BC至点G,使CG= 连接DE BC,连接DG,构造全等三角形求解 B DC B DC 结论：△AED≌△ACD. 方法2：补短法 (AD平分∠BAC) 延长AC A 至，点F,使 AF=AB BDC连接DFB 结论：△AFD≌△ABD. 类型3角平分线+平行线→等腰三角形(8年1考) 园方法解读 方法1：作一边的平行线 例4多解法如图，在△ABC中，AB=4,BC=8,点D在AC边 如图，点D是∠ABC的平分线 上，且BD平分∠ABC,求CD的值 AD BE上一点 解法一：作一边的平行线，过点D作AB 的平行线，再求解 解法二：作角平分线的平行线，过点A B B 作AF∥BD交CB的延长线于点F,再 作法：过，点D作DF∥BC,交 求解 AB于，点F 结论：△FBD是等腰三角形， FB=FD. 方法2：作角平分线的平行线 如图，BE是∠ABC的平分线， F是AB上一点 G B C 作法：过，点F作FGBE交CB 的延长线于点G 结论：△FBG是等腰三角形， FB=GB. 6 ////III巩固练习I///// 1.如图，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2,AC=3,则BC的长为 D 2.如图，E是AD的中点，BE平分∠ABC.若∠A=∠D=90°，求证：CE平分∠DCB. A B D 3.多解法如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点E,F分别在AB,AC上，连接DE,DF.若 ∠BAC+∠EDF=180°，求证：DE=DF 解法一：作垂线，过点D分别作AB,AC的垂线，构造全等三角形求解 解法二：裁长法，在AB上裁取AG=AF,连接DG,构造全等三角形求解 解法三：补短法，延长AC至点H,使AH=AE,连接DH,构造全等三角形 求解 E D 7