小专题培优1 与中点有关的辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

一、小专题培优 小专题培优1与中点有关的辅助线作法 ////1111144」 典例精讲I/1// 类型1构造中位线(8年4考) 园方法解读 例1如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D,E分别为 情形1：有两个中点时 AB,BC的中点，EF⊥AC于点F,G为EF的中点，连接DG, (D,E分别是AB,AC的中，点) (1)连接两中点构造中位线。 则DG的长为 D入E连接DE.DAE B C B C D (2)连接两条线段的端，点，构 造含中位线的三角形. P D人E连接BCD△ E 例2如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是BC, B B-----) CD上的动点，连接AF,EF,M,N分别是EF,AF的中点，连 结论：DE∥BC且DE= 接MN,则MN的最大值为 2 BC △ADE∽△ABC. 情形2：只有一个中点时 (D为AB的中点) (1)在三角形内作平行线. 过，点D作 H DE∥BC 例3(2025陕师大附中模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A= D E 90°，D是AC的中点，连接BD,E是BD的中点，连接CE. B 若AB=3CD,CE=4,则AB的长为 结论：DE= 2BC,△ADE △ABC. (2)在三角形外作平行线. --0 例4多解法如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D为AC边的中 作法：过点A作AC∥DE,交 点，点E在BC边上，连接DE.若AB=4,∠DEC=60°，则 BE的延长线于点C,或延长 BE到C,使BE=CE,连接AC. DE的长为 结论：①DE∥AC;②DE= 解法一：过点D作DH∥AB,得DH= 2,解R△DEH求解 2AC;8△DBE△ABC: 解法二：过点A作AHDE交CB的延 1 长线于点H,解R△ABH求解 类型2构造中线(8年3考) 园方法解读 例5如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为BC边的情形1：当遇直角三角形斜边 中点，MN⊥AC于点N,则MN的长度为 上的中点时，考虑作斜边上的 中线.(D为斜边AB的中点) 变式如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=50°，点D是 BC的中点，延长BA至点E,使得AE=BD,连接DE,则 结论：CD=AD=BD= 2AB. ∠BED的度数为 情形2：当遇等腰三角形底边 上的中点时，考虑作底边上的 中线，利用“三线合一”解题 (AB=AC,D是BC的中点) B D 例6如图，在△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=90°，O为 连接AD BC的中点，BD,CE相交于点A,∠BAC=120°.求证：DE=OE. 结论：AD⊥BC,AD平分∠BAC 变式如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD,E,F分 别为AC,BD的中点，连接EF.若AC=8,则EF的长 为 2 类型3构造倍长中线（或类中线) 园方法解读 例7如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，情形1：当遇三角形中存在中 E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F,连接EF.若 线时，考虑倍长中线构造全等 BE=2,CF=√3，则EF的长为 三角形.(AD是BC边上的中 线) 倍长中线 构造全等B力C B D C E 例8多解法如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F, 辅助线作法1：延长AD至，点 连接BF并延长交AC于点E,使AE=EF,求证：BF=AC. E,使得DE=AD,连接BE; 解法一：延长AD至点H,使DH=AD,连接 辅助线作法2：过点B作BE∥ BH,用倍长中线构造全等 AC交AD的延长线于点E. 解法二：延长FD至点G,使DG=DF,连接 CG,用倍长类中线构造全等 结论：△BDE≌△CDA. 情形2：当遇三角形中存在一 条线段过一边的中点时，考虑 延长这条线段，作等线段或作 平行线与这条线段的延长线 交于一点构造全等三角形 (D是边BC的中点，E是边 AB上一点) A 倍长类中线 E 构造全等 E B D C 辅助线作法1：延长ED到，点 变式如图，在△ABC中，CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是F,使DF=ED,连接CF; △ABD的中线.求证：∠C=∠BAE. 辅助线作法2：过点C作CF∥ AB交ED的延长线于点F. 结论：△BDE≌△CDF. 3 /iI巩固练习II/II/I/ 1.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是CD,AD的中点，EF⊥AB.若BC=13,AB=5,则EF 的长为 () A.6 B.5 C.4 D.3 第1题图 第2题图 第3题图 变式题图 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D,E分别是AC,AB的中点，延长BC至点F,使CF= 3BF,连接DE,DE若AB=12,则DF的长为 3.如图，在△ABC中，D为AC的中点，过点D作DE⊥AC交AB于点F,交CB的延长线于点 E.若F为DE的中点，BF=5,则AF的长为 变式(2025龙东地区)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D,E分别在边AB和BC上，且 AD=4,CE=3,连接DE,点M,N分别是AC,DE的中点，连接MN,则MW的长为() 12 13 C.2 0.5 4.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC交AB于点D,连接AO并延长交⊙O于点 E,连接DE.若AB=12,CD=3,则DE的长为 C F 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.如图，在口ABCD中，点E是CD的中点，连接AE,过点E作EF⊥AE,交BC于点F,连接 AF.若∠AFB=28°，则∠DAE的度数为 6.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边CD,BC上的动点，连接AE,EF,G,H分别为 AE,EF的中点，连接GH.若∠B=60°，AB=6,BC=8,则GH的最小值为 ,最大值 为 7.易错如图，在四边形ABCD中，E,F分别为对角线AC,BD的中点.若AD=2,BC=4,则EF 的取值范围是 4重难题型册 一、小专题培优 小专题培优1与中点有关的辅助线作法 .△ABE≌△FDE(SAS), .AB=DF,∠BAE=∠DFE. 例1 9 4 例2万例342例445 3 :∠ADB是△ADC的外角， 例5号（变式120 .'.∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD ∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD, 例6证明：如解图，连接0D. ·.∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD. ∠BDC=∠BEC=90°，O为BC .∠ADF=∠ADC. 的中点， AB=DC...DF=DC. ∴.OD=OE=OB=OC (AD=AD .∴.∠CBA=∠BDO,∠BCA=∠CEO. 在△ADF和△ADC中 ∠ADF=∠ADC ,·∠BAC=120°，∴.∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°， FD=CD. '∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA,∠COD=∠CBA+ .△ADF≌△ADC(SAS),∴.∠C=∠AFD, ∠BDO=2∠CBA. ..∠C=∠BAE. .∠B0E+∠C0D=120°，.∠D0E=60°， 1.A2.63.15【变式】A4.3√/35.14° .△DOE是等边三角形，.DE=OE 【变式】4 ):√3【解析】如解图，连接4AF~G,H分别为4E, 6. 例7√7 例8证明：解法一：如解图，延长AD至点H,使DH=AD,连 EF的中点，GH=子4，当AP1BC时，4F最短，即此 接BH, 时GH最短，如解图1.∠B=60°，4B=6.BF=。AB= 2 ·AD是△ABC的中线，.BD=CD 又·∠ADC=∠HDB,AD=HD .△ADC≌△HDB(SAS), 3=yF:35团=35即6m的经小值 .AC=HB,∠CAD=∠A 为33 2 当点F与点C重合时，AF最长，即此时GH最 .·AE=EF,∴.∠EAF=∠AFE .·∠AFE=∠BFH,.∠H=∠BFH 长，如解图2.过点A作AP⊥BC,AP=35,BP=3, .BF=BH.·.BF=AC. .CP=BC-BP=5,.AC=√Ap+CP=2√3，GH= 解法二：如解图，延长FD至点G,使DG=DF,连接CG, 2√/13 .AD是△ABC的中线，.BD=CD. 2 =√3，即GH的最大值为√3. 在△BDF和△CDG中， (BD=CD, ∠BDF=∠CDG B DF=DG. C(F ∴.△BDF≌△CDG(SAS), 解图1 解图2 ∴.BF=CG,∠BFD=∠G. 7.1≤EF<3【解析】如解图，设AB :·AE=EF,∴.∠EAF=∠EFA=∠BFD 的中点为G,连接EG,FG.:F是 .∠G=∠CAG,.AC=CG,.BF=AC. 【变式】证明：如解图，延长AE BD的中点GF= 2D=1.E 到点F,使EF=AE,连接DF 是AC的中点，EG=BC=2 .AE是△ABD的中线」 21 .BE=ED, 在△EFG中，根据三角形的三边关系，得EG-GF<EF< 在△ABE和△FDE中， EG+GF,当E,F.G三点共线时，EF=EG-GF=1,即1≤ EF<3. BE=DE. ∠AEB=∠FED, 小专题培优2与角平分线有关的辅助线作法 AE=FE. 例12mm 18