第2章 第7节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

第七节一元二次方程及其应用 一阶教材知识全梳理 知识点①一元二次方程及其解法（重点） 1.一元二次方程的相关概念 只含有一个未知数，并且未知数的最 举例：x2+2=0① 一元二次方程：2x2+3x-1= 概念 高次数是2的整式方程 2(x2-4)② 一元二次方程（填“是”或“不是”） 二次项系数一次项系数 一般 举例：方程3x2-2x=1的二次项系数是③ 形式 g+座+生=0a≠0 次项系数是④ ,常数项是⑤ 二次项一次项常数项 【特别提醒】(1)若题目中有“一元二次方程ax2+bx+c=0”,则必然隐含着a≠0这一条件；(2)若题目未 说明方程类型，则需分类讨论：①当a=0,b≠0时，方程是一元一次方程：②当a≠0时，方程是一元二次 方程 2 一元二次方程的解法 例1求下列方程的解： 【方法总结】 (1)方程3(x-3)2-24=0的根为 (1)直接开平方法：形如(x+n)2=p(p≥0)的根为 (2)用三种方法解方程：x2+4x-12=0. x=⑥ ； 配方法：移项、配方，得x+4x+ (2)配方法：适用二次项系数化为1后，一次项系 即( )2= 数为偶数的方程： 解得 (3)公式法：适用于所有一元二次方程，先化为一 公式法：原方程中，a= b= 般形式ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)，方程的 c= 解为x=⑦ ； b2-4ac= (4)因式分解法：形如(x-a)(x-b)=0,方程的解 由求根公式，得x= 为x1=⑧ ,x2=⑨ 即方程的解为 (5)解法选择（优先顺序）： 因式分解法： 直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法 原方程可转化为( =0. 【注意事项】用因式分解法解一元二次方程时，若 即 =0或 0 等号两边含相同的未知数的因式，勿直接约去公 解得 因式，避免漏解。 知识点②一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式与方程根的关系 (根的判别式为b2-4ac,用△表示，即△=b2-4ac)》 (1)△=b2-4ac>0曰一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个0 的实数根； (2)△=b2-4ac=0曰一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个① 的实数根； (3)△=b2-4ac<0台一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)② 实数根 【特别提醒】在使用一元二次方程根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次 项系数不为0这个限制条件： 21 2. 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x,+2=B ,x1x2=④ 【拓展变形】根据完全平方公式(a±b)2=a±2ab+b2将原式转化为x,和x,的积或和有关的形式： (1)x+号=(x,+2)2-⑤ (2)(x,-x2)2=⑥ (3)1+1-0 X12 (4),5=（t)2-2, x2 X1 x1X2 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)a≠0：(2)△≥0. 知识点③)一元二次方程的实际应用 例2根据下列实际问题列方程 【方法总结】常见类型及数量关系： (1)[变化率问题]某市大力推进“以旧换新”政策，某店月销售 (1)变化率问题：设a为原来的量，b 额从一月份的2.8万元增长到三月份的4万元.设这两个月的平 为变化后的量 均增长率为x,则可列方程为 ①若平均增长率为x,增长次数为 变式某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 2,则⑧ 3200元降到了1600元.设平均每月降价的百分率为x,根据题 ②若平均下降率为：，下降次数为 意列出的方程是 2,则9 (2)[病毒传播问题]有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 (2)病毒传播问题：若初始数据为a, 121个人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则 每次传播x个，则第一轮后共有a(1+ 可列方程为 x)个，第二轮后共有20 个 (3)[握手、单循环赛问题]某中学组织篮球比赛，赛制为单循环 (3)握手、单循环赛问题：若共有 形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛若设共有x支 n人，则握手（单循环赛）总次数为 队伍参加比赛，则可列方程为 四 (4)[互赠礼物问题]联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼 (4)互赠礼物问题：若共有n人，则 物，结果共互赠礼物870件.若设参加联欢会的同学有x人，则可 送礼物总份数为② 列出方程为 （5)每每问题：商品的单价每涨a (5)[每每问题]一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了 元，少卖b件，则涨价x元时，少卖 一批树苗.园林公司规定：如果购买树苗不超过60株，每株售价 的数量为8 为120元：如果购买树苗超过60株，在一定范围内，每增加1株， 所出售的这批树苗每株售价降低0.5元.若该校最终向园林公司 支付树苗款8800元.设该校共购买了x株树苗，则可列出方程 22 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点工一元二次方程及其解法（除2025年 (4)若该方程有两个实数根，则m的取值范围 外每年必考，均为涉及) 是 1.（人教九上P4练习T1改编)已知关于x的方 (5)若该方程有实数根，则m的取值范围 程(m+1)x2-3x+1=0. 是 (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范 (6)若m<-1,则该方程的根的情况是 围是 4.(人教九上P16例4改编)已知关于x的一元 (2)若该方程是一元一次方程，则m的值 二次方程x2+3x+k=0的两个实数根分别为 是 X1,X2 (3)若m=1,则该方程的二次项是 (1)当k=2时， 二次项系数是 ,一次项是 ①x1x2= ,尤1+x2= 次项系数是 ,常数项是 11 ②x+x号= 方程的解为 X1 X2 变式若方程(k-2)x1+2x+5=0是一元二次 (2)若x,=2x2,则常数k的值为 方程，则k的值是 考点3一元二次方程的实际应用 2.(北师九上P56T2改编)选择合适的方法解下 5.某校园内有一块长40m、宽30m的矩形场 列一元二次方程： 地，计划在这个场地上修建等宽的道路，剩余 (1)(x-2)2=5; (2)易错x2=3x: 部分种上草坪 (1)如图1，测得草坪的面积是1064m2,求道 路的宽度； (3)x2+6x-16=0: (4)x2+3x=-1. (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地， 就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建 两横两竖等宽的道路（横、竖道路各与矩形的 一条边平行)，如图2所示，剩余部分建为学 生综合实践种植园.要使种植园的面积是场 考点2一元二次方程根的判别式及根与系 数的关系 地面积的。，道路的宽度应设计为多少？ 3.(华师九上P36T8改编)已知关于x的方程 (m+1)x2-3x+2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，则m的 取值范围是 图 图2 (2)若该方程有两个相等的实数根，则m的值 是 (3)若该方程没有实数根，则m的取值范围 是 温馨提示请完成分层练习册P14~P15习题 23【变式】原式=x 要使分式有意义，则x≠±2，且x≠0，∴.x=-1 当x=-1时，原式=-1. 第二章方程（组)与不等式（组) 第五节一次方程（组)及其应用 例16-(4x-1):6x-2=6-4x+1:6x+4x=6+1+2:10x=9: 9 x210 例2(1)y=2x-4;3x+2(2x-4)=-1;x=1x=1;y=-2; x=1, y=-2 (2)8x=8:x=1x=1y=1:,y= ∫x=1, 例3(1)了 x+2y=28, (2)(1+60%)a×0.9-a=8 2x+y=32 (3)030-5 15 (4)/y=60, (200x=2×50 C20x? (2)x=1.3.-2 4.(1)-1(2)3(3)a>3(4)2 1x=2, 5.方程组的解为了1 6.A7.1.2 y=2 8.这次小峰打扫了2h. 9.这种服装每件的标价为110元.10.3x=2×)a 第六节分式方程及其应用 例1（x+1):x-3+x+1=x+2;x=4:x=4:x+1≠0：x=4 例2(1)2003000 X=（2)1=兰(3)x=2.5+ 40-xx 1A2方程的解为x=号 3.分式方程的解是x=-3. 4.(1)-1(2)-1或1 5.A种机器人每小时搬运90kg化工原料，B种机器人每小 时搬运70kg化工原料. 6.该商场购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T 恤衫每件的进价是44元. 第七节一元二次方程及其应用 ①是②不是③3④-2⑤-1 例1(1)x1=3+22,x2=3-22 （2)配方法：4：16；x+2;16:x1=2,x2=-6. 公式法：山：4：-12：64：464 =-2±4：1=2，x2=-6. 因式分解法：x-2;x+6;x-2;x+6:x1=2,x2=-6. ⑥-n5⑦tVc®a⑨%四不相等①相等 2a 卫没有B-么仁52x:(,+)2-4 a 0+ x1X2 例2(1)2.8(1+x)2=4【变式】3200(1-x)2=1600 (21+x+x1+x)=121(3)(x-1=36 2 (4)x(x-1)=870(5)x[120-0.5(x-60)]=8800 Ba(1+x)2=b9a(1-x)2=b@a(1+x)2@(n- 2 2n(n-1)3x·b 1.(1)m≠-1(2)-1(3)2x;2;-3x-3;11=1,x=2 【变式】-2 2.(1)x1=2+5,x2=2-√5.(2)x1=0,x2=3, 82=84x35-5 2 3.(1)m<g且m≠-1(2)g(3)m>8 (4)m≤g且a-1(5)m≤g 1 (6)有两个不相等的实数根 4(1)①2：-3②5；2 3 (2)2 5.(1)道路的宽度为2m.(2)道路的宽度应设计为5m. 第八节一元一次不等式（组）及其应用 ①>②>③>④<⑤< 例12(x-1)≤3x-1:2x-2≤3x-1:2x-3x≤-1+2：-x≤1； x≥-1 -4-3-2-101234 ⑥实心圆点⑦空心圆圈⑧左⑨右⑩公共部分 ①x≥b2x<aBa≤x<b④无解 例2张老师最多能购买16本B种笔记本， 5<G≥⑦≤ 1.④⑥【变式】A2.C3.x<-5. 4.不等式组的解集为-3<x<2. 【拓展设问】不等式组的解集在数轴上表示如下： -4-3-2-101234 5.不等式组的解集为x<-1. 6.(1)-2≤x<1:-3 (2)不等式组的解集在数轴上表示如下： -5-4-3-2-1012345 (3)①a≥1②-2<a≤-1 7.C 8.(1)至少需要甲种原料8千克 (2)最多购买甲种原料7千克 第二章易错题专练 1.-3x+3=5x+10 2.①② 解：去分母，得3x-2(x-2)=-(x-1), 去括号，得3x-2x+4=-x+1, 3