第2章 第5节 一次方程(组)及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

第二章方程（组）与不等式（组） 第五节 一次方程（组)及其应用 阶 教材知识全梳理 知识点①等式的性质 数学表达 在解方程中的应用 性质1 若a=b,则a±c=b±c 移项 若a=b,则ac=bc 去分母 性质2 若a=b(c≠0)，则巴=b 系数化为1 cC 知识点2)一元一次方程及其解法（重点） 1.概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式 2.一元一次方程的解法 例1 解方程】 4x-1 -=1 6 一答题模板+++++++++++++++ 【注意事项】(1)去分母、去括号时，不要漏乘任 解：去分母，得2(3x-1)= 何项： 去括号，得 (2)如果括号外面是“-”，去括号时，括号内的每 移项，得 一项都要变号； 合并同类项，得 (3)移项一定要变号： 系数化为1，得 (4)系数化为1时，分子和分母的位置不要颠倒， 知识点③二元一次方程组及其解法（重点） 例2解方程组： (1)/2y=4,0 15x-2y=3,① (2) 【方法总结】 3x+2y=-1:② 3x+2y=5.② 答题模板 1.基本思想：消元，即二元一次方程组消无一元一次 方程， 解：(1)由①，得 ,③ 2.解法适用情况 把③代入②，得 代入消元法：适用于有一个方程的常数项为0或某个 解得 将 未知数的系数为1或-1. 代入③，得 .方程组的解是 加减消元法：适用于方程组中某一个未知数的系数相等 (2)①+②，得 或互为相反数或易变形为相等或互为相反数的形式， 解得 【知识拓展】三元一次方程组的解法 将 代入①，得 基本思想：消元，即三元一次方程组消元二元一次方程 .方程组的解是 组消元一元一次方程 十十十十十十十十十十十十 16 知识点④一次方程（组）的实际应用（重点） 般步骤： 审：审题，找等量关系 实际问题 方程（组）问题 设：设未知数 答 列：列方程（组） 解 实际问题的解 方程（组）的解 验：检验是否符合实际意义 【特别提醒】对于带单位的应用题，在设未知数和作答时，要带单位 例3根据下列实际问题列方程（组）： 【技巧点拨】常用数量关系： (1)[购买问题]嘉淇到水果店购买苹果和梨，他发 (1)购买、分配问题： 现购买1千克苹果和2千克梨需花费28元，购买2 ①总价=单价×总量； 千克苹果和1千克梨需花费32元.问1千克苹果和 ②甲的量×甲的单价+乙的量×乙的单价=总价 1千克梨的价格分别是多少元？设1千克苹果的价 (2)打折销售问题： 格为x元，1千克梨的价格为y元，则 ①售价=标价（原价）×折扣（如打九折，折扣就 (2)[打折销售问题]某店对某种蓝牙耳机按成本价 是90%)； 提高60%后标价，又以九折优惠卖出，结果每件耳机 ②利润=售价-进价（成本价）. 仍可获利8元.设这种耳机每件的成本为a元， (3)行程问题： 则 路程=速度×时间，即s=t. (3)[行程问题]小涵和小宇一起登同一座山，小涵 ①相遇问题：v甲×相遇时甲的行驶时间+2×相遇 每分钟登高10米，并且先出发30分钟，小宇每分钟 时乙的行驶时间=两地路程； 登高15米，两人同时登上山顶，问山高多少米？设 ②追及问题：若同时出发，则v甲-v,×追及时间= 这座山高x米，则 追及路程； (4)[配套问题]某车间有60名工人生产眼镜，1名 ③航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆 工人每天可生产镜片200个或镜架50个.两个镜片 水速度=静水速度-水流速度 和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架， (4)配套问题： 才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工 m个A和n个B配套：A的数量n=B的数量×m 人生产镜架，则 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点①等式的性质 考点2一元一次方程及其解法（必考，均为涉及） 1.（华师七下P5T1改编)根据等式的性质，下列2.（北师七上P136T1改编)解方程： 变形正确的是 (1)2-7x=2(x-2); A.若x=y,则x+c=y-c B.若ab=bc,则a=c C.若“=，则a=b (2)1-x-12+x 23 D若+疗=1，则3+2=1 17 3.(2021陕西11题3分)幻方，最早源于我国， 考点4一次方程（组）的实际应用 古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各 (8年6考) 行、各列及各条对角线上的三个数字之和均7.(2025陕西11题3分)草莓熟了，学校组织同 相等，则图中a的值为 学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓.小康 和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采 摘的草莓比小悦多2.4kg.已知小康平均每小 -52 时采摘6kg,小悦平均每小时采摘4kg,小康 -3 采摘的时长是 小时 4.（华师七下P21T9改编)已知关于x的方程 8.(2024陕西20题5分)星期天，妈妈做饭，小 ax=3x-4. 峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这 (1)若x=1是方程的解，则a的值为 次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h； (2)若方程无解，则a的值为 若爸爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打 (3)若方程的解是负数，则a的取值范围 扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸 为 爸单独完成剩余的打扫任务.小峰和爸爸这 (4)若方程有非负整数解，则整数a的所有可 次一共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长 能的取值的和为 时间。 考点3二元一次方程组及其解法（必考，均为 涉及) +2y=3,① 5. 多解法解方程组： x-2y=1.② 9.(2021陕西19题5分)一家商店在销售某种 服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件 标价的8折销售10件的销售额，与按这种服 装每件的标价降低30元销售11件的销售额 6(北师八上P132T3改编)已知红=2 是二元 相等.求这种服装每件的标价. (y=1 次方程组 (mx+ny=8, 的解，则3m-n的值为 (nx-my=1 A.7 B.3 C.-17D.11 新教材素材新人教七上数学活动一木杆挂重问题 10.如图，有5个质量一样的重物，有2个挂在木杆的右端，剩余3个挂在木杆的左边，并使左右平衡 (杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂).木杆长acm,支点在木杆的中点处，支点到木杆 左边挂重物处的距离为xcm,把a作为已知数，列出关于x的一元一次方程为 白 温馨提示 请完成分层练习册P9~P11习题 18【变式】原式=x 要使分式有意义，则x≠±2，且x≠0，∴.x=-1 当x=-1时，原式=-1. 第二章方程（组)与不等式（组) 第五节一次方程（组)及其应用 例16-(4x-1):6x-2=6-4x+1:6x+4x=6+1+2:10x=9: 9 x210 例2(1)y=2x-4;3x+2(2x-4)=-1;x=1x=1;y=-2; x=1, y=-2 (2)8x=8:x=1x=1y=1:,y= ∫x=1, 例3(1)了 x+2y=28, (2)(1+60%)a×0.9-a=8 2x+y=32 (3)030-5 15 (4)/y=60, (200x=2×50 C20x? (2)x=1.3.-2 4.(1)-1(2)3(3)a>3(4)2 1x=2, 5.方程组的解为了1 6.A7.1.2 y=2 8.这次小峰打扫了2h. 9.这种服装每件的标价为110元.10.3x=2×)a 第六节分式方程及其应用 例1（x+1):x-3+x+1=x+2;x=4:x=4:x+1≠0：x=4 例2(1)2003000 X=（2)1=兰(3)x=2.5+ 40-xx 1A2方程的解为x=号 3.分式方程的解是x=-3. 4.(1)-1(2)-1或1 5.A种机器人每小时搬运90kg化工原料，B种机器人每小 时搬运70kg化工原料. 6.该商场购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T 恤衫每件的进价是44元. 第七节一元二次方程及其应用 ①是②不是③3④-2⑤-1 例1(1)x1=3+22,x2=3-22 （2)配方法：4：16；x+2;16:x1=2,x2=-6. 公式法：山：4：-12：64：464 =-2±4：1=2，x2=-6. 因式分解法：x-2;x+6;x-2;x+6:x1=2,x2=-6. ⑥-n5⑦tVc®a⑨%四不相等①相等 2a 卫没有B-么仁52x:(,+)2-4 a 0+ x1X2 例2(1)2.8(1+x)2=4【变式】3200(1-x)2=1600 (21+x+x1+x)=121(3)(x-1=36 2 (4)x(x-1)=870(5)x[120-0.5(x-60)]=8800 Ba(1+x)2=b9a(1-x)2=b@a(1+x)2@(n- 2 2n(n-1)3x·b 1.(1)m≠-1(2)-1(3)2x;2;-3x-3;11=1,x=2 【变式】-2 2.(1)x1=2+5,x2=2-√5.(2)x1=0,x2=3, 82=84x35-5 2 3.(1)m<g且m≠-1(2)g(3)m>8 (4)m≤g且a-1(5)m≤g 1 (6)有两个不相等的实数根 4(1)①2：-3②5；2 3 (2)2 5.(1)道路的宽度为2m.(2)道路的宽度应设计为5m. 第八节一元一次不等式（组）及其应用 ①>②>③>④<⑤< 例12(x-1)≤3x-1:2x-2≤3x-1:2x-3x≤-1+2：-x≤1； x≥-1 -4-3-2-101234 ⑥实心圆点⑦空心圆圈⑧左⑨右⑩公共部分 ①x≥b2x<aBa≤x<b④无解 例2张老师最多能购买16本B种笔记本， 5<G≥⑦≤ 1.④⑥【变式】A2.C3.x<-5. 4.不等式组的解集为-3<x<2. 【拓展设问】不等式组的解集在数轴上表示如下： -4-3-2-101234 5.不等式组的解集为x<-1. 6.(1)-2≤x<1:-3 (2)不等式组的解集在数轴上表示如下： -5-4-3-2-1012345 (3)①a≥1②-2<a≤-1 7.C 8.(1)至少需要甲种原料8千克 (2)最多购买甲种原料7千克 第二章易错题专练 1.-3x+3=5x+10 2.①② 解：去分母，得3x-2(x-2)=-(x-1), 去括号，得3x-2x+4=-x+1, 3