第1章 第3节 整式-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

第三节整式 阶教材知识全梳理 知识点①代数式 用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子.单独的 代数式 个数或一个字母也是代数式 列代数式 找出问题中的数量关系，再用含有数、字母和运算符号的式子表示出来 代数式 (1)直接代入法：如当x=2时，代数式2x+1的值为① 求值 (2)整体代入法（整体思想）：如当x2-2x=1时，代数式-2x2+4x+3的值为② 知识点2) 整式的相关慨念 由数或字母的积组成的式子.（单独的一个数或一个字母 也是单项式) →次数：2+3=5 单项式 系数 (1)系数：单项式中的数字因数： (2)次数：一个单项式中，所有字母的指数的③ 几个单项式的和. 最高次 (1)项：多项式中的每个单项式：（其中不含字母的项叫作 数为3 →常数项为1 多项式 3x3-x+1 常数项) 上，项数为3 (2)次数：多项式中次数最高项的次数 叫作三次三项式 整式 单项式和多项式统称整式 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（所有常数项都是同类项）· 同类项 如3a3与7a3④ 同类项，2a3b2与3a2b3⑤ 同类项 知识点③整式的运算（重点） 1. 整式的加减（实质：合并同类项） 运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 合并同类项 把各同类项的系数相加减，字母连同它的指数不变.如3ab+2ab=⑥ 括号前是“+”，去括号时，括号内各项不变号.如：a+(b+c)=a⑦ 去括号法则 括号前是“-”，去括号时，括号内每一项都变号.如：a-(b+c)=⑧ 口诀：“+”不变，“-”变 2. 幂的运算(m,n为正整数) 同底数幂相乘底数不变，指数⑨ 即am·a”=⑩ 同底数幂相除底数不变，指数① 即am÷a=② (a≠0) 幂的乘方 底数不变，指数B 即(am)"=④ 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)”=⑤ 3. 整式的乘除 单项式乘 把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 单项式 如2ab2.3b=⑥ 8 续表 单项式乘 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如2a(a+b)=⑦ 多项式 多项式乘 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式 如(a+b)(m+n)=⑧ 平方差公式：(a+b)(a-b)=9 完全平方公式：(a±b)2=四 几何背景： 几何背景： -a 乘法公式 ab ab-b" -h (a+b)(a-b a-b2 ab ab (a-b) b 单项式除 把系数和同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 以单项式 指数作为商的一个因式.如12a3b2x÷3ab2=@ 多项式除 先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 以单项式 如(2a2+ab)）÷a=②2 例 先化简，再求值：(x-3)2-(x3+9x)÷x,其中x=-2 ·答题模板+ 【方法总结】整式混合运算的顺序： 解：原式=(x2-6x+9)-(x2+9) … 先算乘方、除法 括号前是“”，去括号 (1)先算乘方，再算乘除，最后算 →时要记得变号 加减； =x2-6x+9-x2-9 去括号 (2)若有括号，先算括号里面的； =-6x. 合并同类项 (3)同级运算按照从左到右的顺 当x=-2时，原式=-6×(-2)=12. …代入求值 序依次进行 知识点④因式分解 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 (1)提公因式法：ma+mb+mc=3 (2)公式法：①a2-b2=5 系数：取各项系数的最大公因数 ②a2±2ab+b2=6 ； 方法 公因式的确定字母：取各项相同的字母 (3)【知识拓展】十字相乘法： 指数：取各项相同字母的最低次数 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 如2x2y和6xy2z的公因式是4 如x2+3x+2=(x+1)(x+2) 有 提取 观察 两项 考虑平 观察是否 公因式 剩余项 方差公式 检查每个多 有公因式 项式是否都 没有 观察 三项考虑完全 分解彻底 多项式 平方公式 步骤 一提 二套 三检查 【特别提醒】因式分解与整式乘法互为逆运算，因式分解完，可用整式乘法运算从结果逆推过 去，检查因式分解结果是否正确 9 知识点⑤)代数推理 课标示例：设abcd是一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，则这个数可以被3整除. 论证如下：abcd=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d), 显然999a+99b+9c可以被3整除，因此，若a+b+c+d可以被3整除，则abcd就可以被3整除 母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1代数式 考点3整式的运算（必考） 1.（人教七上P59T1改编)根据要求列代数式： 4.(2025陕西4题3分)计算2a2·ab的结果为 (1)a,b两数的平方和是 () (2)设甲数为a,乙数比甲数少15%，则乙数为 A.4a2b B.4ab C.2a26 D.2a'b 5.(陕西中考真题组合改编)下列运算正确的是 (3)原价为a元/双的球鞋，“十一”期间八折 ·(填序号) 出售，则售价为 元/双； ①2a2.3a3=5a3:②-a2+2a2=a2; (4)自来水每立方米m元，电每千瓦时n元， ③x9÷x3=x;④(ab)2= 若小明家本月用水8立方米，用电100千瓦 a62; 时，则一共应缴费 元 2.（华师七上P117T17改编)分别在下列条件 5(-子0(a-2)=-4 下，求代数式-3x2+9y-2的值. ⑦oy2.(-y）=-39 (1)x=2,y=1; 6.(人教八上P109思考改编)如图是利用割补 法求图形面积的示意图，下列公式中与之相 对应的是 (2)x2-3y+3=4: (3)(x-1)2+ly-21=0. A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)(a-b)=a2-62 D.(ab)2=a2b2 考点2整式的相关概念 7.（2024陕西15题5分)先化简，再求值： 3.(北师七上P88随堂练习改编)下列说法中， (x+y)2+x(x-2y),其中x=1,y=-2. 正确的是 .(填序号) ①2不是单项式：②单项式y的系数是0； ⑧单项式号的次数是2：④多项式+是五 次二项式：⑤多项式5x2-6xy-1的常数项是 1;⑥3ab2与-5b2a是同类项 10 考点4因式分解(8年2考) 用矩形的个数为 8.分解因式： (1)2x2-4x= (2)x2-4y2= 第1个第2个 第3个 图1 图2 (3)x3+6x2+9x= 十十十州十+十“十十十一十十十十州十“十州十+”十 (4)m3-n2m= 园方法总结 (5)a2-9(a+b)2= 先根据题目示例找出前几个数式或图形的特 考点⑤代数推理 点，确定规律，依此规律求出第n(n≥1)个数 9.(北师八下P105T14改编)3207-4×32026+10× 据.常见类型如下： 3225一定能被( )整除 规律 A.5 B.7 C.8 D.10 类型 数式 (求第n个数) 重难点规律探索 正整数型1,2,3,4,5，… n 10.按一定规律排列的代数式：x2,3x3,5x,7x, 1,3,5,7,9,… 2n-1 奇偶型 9x6,…,第n个代数式是 () 2,4,6,8,10,… 2n A.（2n+1)x"+ B.(2n+1)x" 正负交 1,-1,1,-1,1, (-1)*1 C.(2n-1)xt1 D.(2n-1)x” 替型 -1,1,-1,1,-1, (-1)” 11.(2025陕西10题3分)生活中常按图1的方 平方型 1,4,6,9,16,… n 式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩 乘积型 2,6,12,20,30, n(n+1) 形按规律设计图案，如图2，第1个图案用了 差值固定 n(n+1) 3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个 1,3,6,10,15,… 累积型 2 图案用了7个矩形，…，则第10个图案需要 新教材素材新北师七下综合与实践一设计自己的运算程序 12.若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为x,y和z,则这个三位数可记为y2,易得yz= 100x+10y+z. (1)如果要用数字3,7,9组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数 是 最小的三位数是 (2)如果一个三位数各数位上的数由a,b,c三个数字组成，且a>b>c>0(a,b,c均为整数)，请说 明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除： (3)任选一个三位数，要求个位、十位、百位上的数字各不相同且为正整数，把这个三位数的三个 数字重新排列，得出一个最大的三位数和一个最小的三位数，用最大的三位数减去最小的三位 数，可得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会 得到同一个重复出现的数，将这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.那么“卡普雷卡尔黑洞数” 是 温馨提示 请完成分层练习册P4~P6习题 11课堂精讲册 第一部分 立足教材过基础 第一章数与式 2.(1)原式=-5.(2)原式=-5.(3)原式=13. 第一节实数 3.③⑥4.D5.②④⑦6.A 7.解：原式=x2+2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2 ①-5元大国1-61 ,⑤-a60⑦0 当x=1,y=-2时，原式=2×12+(-2)2=2+4=6. ⑧相等⑨-a①1①±1②两B相反数0 8.(1)2x(x-2)(2)(x+2y)(x-2y)(3)x(x+3)2 50,160,±1⑦±8⑧89-4②@10②大2小 (4)m(m+n)(m-n)(5)-(2a+3b)(4a+3b) 9.B10.C11.21 8<2<5-280四-38a四a团-1团0 4 12.(1)973:379 型-27国14-81@-183用 (2)解：.a>b>c>0. 3 .最大的三位数是100a+10b+c,最小的三位数是100c+ 1③5通：③0@，2明：02目3c【变式1斤7 10b+a. .·100a+10b+c-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c), 号4()-2：之；2(2)c:n(3)点D和点E .所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99 整除. (4)B;3(5)4:05.N26.②④⑤7.(1)4×103 (3)495 (2)3.05×10?(3)1.173×10°(4)2×108【变式】354000 第四节分式 8.C9.5;-6;-6和-5：0【变式】<；>10.B ①B≠0②B≠0，C≠0且D≠0③A=0且B≠0 【变式19：-20：-51(1)1(2)-27,81(3)-8 ④不等于0⑤不变⑥，站@x+1-)⑧：，4 y+1 b 4-11(55-2(66() 。12.0(答案不唯一) ⑨ 0不变①加减 2±6 gad±bc c bd bd 13.(1)原式=-2.(2)原式=1+3.(3)原式=19. 5变号⑥不为0 14.B 1.①③6⑦：①③2.x≠3；x=5【变式】x=-3 第二节二次根式 30①4⑦⑧【变式1】-9*-3 xy+3y y ①大于或等于②a③-a④w石·6⑤ ⑥√d 【变式2】解：：a2b和3ab的最简公分母为3a2b2, 6c_6c·3b18bcc-c·a-ac a2b3a262-3a26'3ab3a23am26 ⑧22⑨320-1①221 ①5 5 5.原式=x+2. 5+1 4（1)2(2)(31( x+1 。当=2+1时原式-号 6原式= 【变式1】3；√T-3【变式2】3 1.(1)x≥3(2)x≥-1(3)x≥1且x≠2(4)x>12.C 第一章易错题专练 1.A【变式1】A【变式2】±3【变式3】4【变式4】3 3.(1)10(2)m-3(3)32(4)-3(5)6(6)22 2.A【变式】C3.原式=3x2y. (7)22(8)5+26(9)5(10)1 4.原式=5x+3,当x=2时，原式=13 4.(1)原式=5.(2)原式=-25.(3)原式=4-35 5.2(y+2)(y-2)【变式1】2m(x-y)2 5.D6.3(答案不唯一)【变式】⑩（答案不唯一） 【变式2】m(m-4)【变式3】2(x-3y) 第三节整式 6c7【变式16 ①5②1③和④是⑤不是⑥5ab⑦+b+c ⑧a-b-c⑨相加①a①相减②a"B相乘 8.原式= 中当a=5-1时，原式= 1 5 am⑤a"bG6ab3⑦2a2+2ab8am+an+bm+bn 9. 2(x-1) x+1-2x+23-x x-3 19a2-b2②①a2±2ab+b2②@4a2x②22a+b3m(a+b+c） (x-)(x+)3(x-)(x+3(x-1)(x+1)x+1;2: 42xy②5(a+b)(a-b)西(a±b)2 1.(1)a2+b2(2)(1-15%)a(3)0.8a(4)(8m+100n) 3；0 2