第1章 第2节 二次根式-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

第二节二次根式 一阶教材知识全梳理 知识点①二次根式的相关概念 概念 般地，形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式，a是被开方数 有意义 被开方数① 0 的条件 需同时满足以下两个条件： 最简二 (1)被开方数不含分母，如 次根式 3W02都不是最简二次根式 (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，如8，√ab都不是最简二次根式 知识点2)二次根式的性质与运算（重点） (1)双重非负性：a≥0且a≥0： (2)(Na)2=② (a≥0)： 二次 根式 (3)√=lal= a(a≥0)， ③ (a<0); 的性质 (4)√ab=④ (a≥0，b≥0)； -⑤ (5)Nb (a≥0，b>0) 乘除运算 a·b=⑥ (u≥0,6≥0)万 (a≥0，b>0) 先将各二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，如 二次 加减运算 √⑧+√2=⑧ +√2=⑨ 根式 先乘除，后加减；有括号的先算括号里面的（或先去括号）；同级运算从左往右依 的运算 混合运算 次进行 【特别提醒】二次根式的运算，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最 简二次根式 【知识拓展】(1)常见的非负数及其性质：lal≥0，a2≥0，√a≥0. 举例：若(a+1)2+√b-2+1c-11=0,则a=0 ,b=① ,c=② (2)乘法公式在二次根式中的应用：（√a+b)2=a+2√ad+b:(a+万）（√a-√6）=a-b: (3)分母有理化：若二次根式中含分母，需将二次根式化为分母是有理数的形式， 33x5 1 √5+1 √5 5×5 5-1(5-1)(5+1) 6 知识点③二次根式的估值 例√T在哪两个相邻整数之间？ 步骤： ()2=11 【特别提醒】 (1)先对二次根式平方； (2)找出与平方后所得数字相邻的两个 确定9和16 记住常见的二次根式的大概值，如 2≈1.414,3≈1.732，W5≈2.236， 能开得尽方的整数； 9=3,16=4 (3)对以上两个整数开方： √6≈2.449，√7≈2.646，可提升解题 (4)定范围 3<<4 速度 变式1√I的整数部分为 小数部分为 变式2√T最接近的整数是 二阶 母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1二次根式的相关概念 4.(北师八上P50T8改编)计算： 1.要使下列各式有意义，分别写出x的取值 (1)27÷5× 1 范围： (1)√x-3: (2)x+1 2 (3)金7 2- ；(4)2 Va-1 (2)V27+3 -36x2: 2.(人教八下P10练习T2改编)下列各式是最 简二次根式的是 h.2 1 B.8 D.√0.6 考点2二次根式的性质与运算(8年4考) (3)(-2x6+15-21. 3.计算： (1)(√10)2= (2)√(3-m)2= (3)√18= 考点3二次根式的估值(8年2考，均为涉及) (4)-(-3)2= 5.(北师八上P50T10改编)把下列四个数表示 (5)√/12×√3= 在数轴上，离原点最近的数是 () (6)18-√2= A.-2 B.√6 C.3 D.-√3 (7)W40÷√5= 6.(2025陕西9题3分)满足√2<a<5的整数a (8)(3+√2)2= 可以是 .(写出一个符合题意的数即可) (9)(√48+√3)÷√3= 变式写出一个无理数x,使得3<x<4,则x可 (10)(√5+√2)(5-√2)= 以是 .(写出一个满足条件的x即可) 温馨提示 请完成分层练习册P3习题 7课堂精讲册 第一部分 立足教材过基础 第一章数与式 2.(1)原式=-5.(2)原式=-5.(3)原式=13. 第一节实数 3.③⑥4.D5.②④⑦6.A 7.解：原式=x2+2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2 ①-5元大国1-61 ,⑤-a60⑦0 当x=1,y=-2时，原式=2×12+(-2)2=2+4=6. ⑧相等⑨-a①1①±1②两B相反数0 8.(1)2x(x-2)(2)(x+2y)(x-2y)(3)x(x+3)2 50,160,±1⑦±8⑧89-4②@10②大2小 (4)m(m+n)(m-n)(5)-(2a+3b)(4a+3b) 9.B10.C11.21 8<2<5-280四-38a四a团-1团0 4 12.(1)973:379 型-27国14-81@-183用 (2)解：.a>b>c>0. 3 .最大的三位数是100a+10b+c,最小的三位数是100c+ 1③5通：③0@，2明：02目3c【变式1斤7 10b+a. .·100a+10b+c-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c), 号4()-2：之；2(2)c:n(3)点D和点E .所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99 整除. (4)B;3(5)4:05.N26.②④⑤7.(1)4×103 (3)495 (2)3.05×10?(3)1.173×10°(4)2×108【变式】354000 第四节分式 8.C9.5;-6;-6和-5：0【变式】<；>10.B ①B≠0②B≠0，C≠0且D≠0③A=0且B≠0 【变式19：-20：-51(1)1(2)-27,81(3)-8 ④不等于0⑤不变⑥，站@x+1-)⑧：，4 y+1 b 4-11(55-2(66() 。12.0(答案不唯一) ⑨ 0不变①加减 2±6 gad±bc c bd bd 13.(1)原式=-2.(2)原式=1+3.(3)原式=19. 5变号⑥不为0 14.B 1.①③6⑦：①③2.x≠3；x=5【变式】x=-3 第二节二次根式 30①4⑦⑧【变式1】-9*-3 xy+3y y ①大于或等于②a③-a④w石·6⑤ ⑥√d 【变式2】解：：a2b和3ab的最简公分母为3a2b2, 6c_6c·3b18bcc-c·a-ac a2b3a262-3a26'3ab3a23am26 ⑧22⑨320-1①221 ①5 5 5.原式=x+2. 5+1 4（1)2(2)(31( x+1 。当=2+1时原式-号 6原式= 【变式1】3；√T-3【变式2】3 1.(1)x≥3(2)x≥-1(3)x≥1且x≠2(4)x>12.C 第一章易错题专练 1.A【变式1】A【变式2】±3【变式3】4【变式4】3 3.(1)10(2)m-3(3)32(4)-3(5)6(6)22 2.A【变式】C3.原式=3x2y. (7)22(8)5+26(9)5(10)1 4.原式=5x+3,当x=2时，原式=13 4.(1)原式=5.(2)原式=-25.(3)原式=4-35 5.2(y+2)(y-2)【变式1】2m(x-y)2 5.D6.3(答案不唯一)【变式】⑩（答案不唯一） 【变式2】m(m-4)【变式3】2(x-3y) 第三节整式 6c7【变式16 ①5②1③和④是⑤不是⑥5ab⑦+b+c ⑧a-b-c⑨相加①a①相减②a"B相乘 8.原式= 中当a=5-1时，原式= 1 5 am⑤a"bG6ab3⑦2a2+2ab8am+an+bm+bn 9. 2(x-1) x+1-2x+23-x x-3 19a2-b2②①a2±2ab+b2②@4a2x②22a+b3m(a+b+c） (x-)(x+)3(x-)(x+3(x-1)(x+1)x+1;2: 42xy②5(a+b)(a-b)西(a±b)2 1.(1)a2+b2(2)(1-15%)a(3)0.8a(4)(8m+100n) 3；0 2