第1章 第1节 实数-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

第一部分 第一章数与式 立足教材 过基础 第一节实数 阶教材知识全梳理 知识点①实数的分类 1.实数的分类 按定义分 按大小分 正有理数 「正实数 有理数0 有限小数或无限循环小数 实数0 实数 负有理数 负实数 正无理数) 无理数 无限不循环小数 【特别提醒】0既不是正数，也不是负数 负无理数 【特别提醒】无理数的几种常见形式： (1)含根号且被开方数是开方开不尽的数，如：2,3： (2)π及化简后含π的数，如：T-3.14: (3)一些具有特殊结构的数，如：0.101001…（相邻两个1之间依次多一个0) 2.正负数的意义 (1)常用正负数来表示一组具有相反意义的量： (2)常见的具有相反意义的量：“零上、零下”“收入、支出”“上升、下降”“增加、减少”“向东、向西”等.举 例：如果收入3元记作+3元，那么支出5元应记作① 知识点②数轴、相反数、绝对值、倒数（重点） (1)三要素：原点、正方向、单位长度（如图）； 原点 正方向 -3-2-10123 数轴 单位长度 (2)实数与数轴上的点是一一对应的： (3)数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数② (4)若数轴上A,B两点表示的数分别为a,b,则A,B两点间的距离为③ 线段AB的 中点表示的数为④ (1)非零实数a的相反数是⑤ 特别地，0的相反数是⑥ (2)实数a,b互为相反数a+b=⑦ 相反数 (3)几何意义：在数轴上，表示互为相反数(0除外)的两个数的点位于原点的两侧，且到原点 的距离⑧ 即这两个点关于原点对称 续表 (1)定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作Ial; [a(a>0), 绝对值 (2)绝对值具有非负性，即1al≥0,1al= 0(a=0), ⑨ (a<0) (1)实数a(a≠0)的倒数是L;特别地，0没有倒数： 倒数 (2)a,b互为倒数ab=0 (3)倒数等于它本身的数是① 知识点③平方根、算术平方根、立方根（重点） a>0 a=0 a<0 性质 (1)正数有② 个平方根，它们互为3 平方根 ±√a 0 无 (2)平方根等于它本身的数是④ 算术平方根 a 0 无 算术平方根等于它本身的数是⑤ 立方根 a(正数) 0 a(负数) 立方根等于它本身的数是⑥ 举例：（±8)2=64，.64的平方根是⑦ 算术平方根是⑧ (-4)3=-64,.-64的立方根是⑨ 知识点④)科学记数法 把一个数表示成a×10”的形式（其中1≤|al<②0 定义 【特别提醒】含计数（量）单位的 n为整数) 数用科学记数法表示时，应先把 方法一：当原数的绝对值≥10时，n是正整数，n=“原数的 计数（量）单位进行换算 整数位数”-1： 常见的计数单位换算： 1千=103,1万=104， n的 当0<原数的绝对值<1时，n是负整数，lnl=原数左起第一 1亿=108； 确定 个非零数字前所有零的个数（含小数，点前的零） 常见的计量单位换算： 方法二：ln=原数变为a时小数点移动的位数；小数点向 1mm=10-3m,1wm=10-6m, 左移动，n为正整数：小数点向右移动，n为负整数 1nm=109m 知识点⑤)实数的大小比较 数轴比较法将要比较的数表示在数轴上，数轴上右边的，点表示的数总比左边的点表示的数 正数>0>负数； 类别比较法 两个负数比较大小，绝对值大的反而②② 如-7②3 作差比较法a-b>0台a>b;a-b=0→a=b:a-b<0→a<b 平方、立方 若a>0,b>0,则a>台a>b(常用于二次根式的大小比较).如23④ 32 比较法 【特别提醒】实数的大小比较的方法还有作商比较法、倒数比较法、特殊值法，根据需要，灵活选用 2 知识点6实数的运算（重点） 加法法则： (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，如 -23+(-5)=5 运算律 (2)异号两数相加，绝对值相等时和为6 :绝对值 (1)加法交换律：a+b=b+a; 不相等时，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值 减去较小数的绝对值，如-8+5=⑦ (2)加法结合律： (3)a+0=8 (a+b)+c=a+(b+c); 四则运算 (4)a+a+a+…+a=②9 (3)乘法交换律：ab=ba; n个a (4)乘法结合律：(ab)c= 减法法则：a-b=a+(-b) a(bc); 乘法法则：(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值 (5)乘法对加法的分配律： 相乘，如2×3-0 a(b+c)=ab+ac 38 ;(2)a×0=① 除法法则：a÷6=a·方(6≠0)，如-93=2 零次幂 a°=33 (a≠0) a=a·a·a·…·a.正数的任何次幂都是正数：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正 n不 乘方 数.如(-2)2=④ ,(-2)3=5 【特别提醒】a2具有非负性，即α≥0，在很多数式运算中会涉及 -1(n为奇数)， -1的奇、 (-1)"= 1(n为偶数). 偶次幂 【特别提醒】注意区分(-1)”和-1”，如(-1)6=6 ,-16=37 负整数 aP=- (a0,p是正整数)，特别地，a1=（(a≠0)，如31=® (3 指数幂 (-3)1=⑩ [a-b(a>b), 去绝对 1a-b1=0(a=b), 值符号 b-a(a<b) 例 计算：(-4)°-√/16+(-2)3÷4 解：原式=1-4+(-8)÷4…先乘方 =1-4-2. 再乘除 =-5.… 最后加减 十十十十十十十十十十十十十十”十十十十十十十十十十十十十十十+十十十十十十十十+十十十 【方法总结】实数混合运算的顺序：(1)先乘方（计算每一小项的值，如乘方、0次幂等），再乘除，最后加 减；(2)有括号时，先计算括号里面的；(3)同级运算按照从左到右的顺序依次进行 3 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1实数的分类(8年1考) (4)将点A向右平移4个单位长度后所对应 1.（人教七下P57T2改编)在下列实数中，是无 的点是 ,表示的数是 理数的是 ,是负数的是 ,是 (5)【拓展设问】若数轴上C,D两点表示的数 整数的是 既不是正数也不是负数 分别是-2和2，F是线段CD的中点，则线段 的是 (填序号) CD的长度为 ,点F表示的数 是 ①3.14，②5，③-6 ④0.i324,⑤m-3.14, 5.如图，数轴上的点P表示的数是 号，®-0.129578，⑨0.3,00 -2-10123 2.新教材素材电荷（人教七上P5T6改编）科 考点3平方根、算术平方根、立方根 学实验表明，原子中的原子核与核外电子所 (8年3考) 6.(人教七下P47复习巩固T4改编)下列说法 带电荷是两种相反的电荷.物理学中规定：原 正确的是 (填序号) 子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷 ①25的平方根是5： 为负电荷.已知氧原子中的核外电子所带电 ②√64的立方根是2： 荷数是8个，则它的核外电子所带电荷可表 ③-42没有算术平方根，但有平方根； 示为 ( ④9的算术平方根是3： A.+8 B.-8 C.8 D.0 255 考点2数轴、相反数、绝对值、倒数（必考） ⑤ √366 3.(2024陕西1题3分)-3的倒数是 ( 考点④科学记数法(8年1考) A.3 B.3 C.3 D.-3 7.(人教七上P45T1改编)用科学记数法表示下 列各数： 7 变式的相反数是 绝对值是 (1)4000= 倒数是 (2)0.000000305= (3)11.73亿= 4.（北师七上P28例1改编)如图，点A,B,C,D, (4)20纳米= 米。 E在数轴上分别表示5个数 D B 变式将用科学记数法表示的数还原： E CA -3-101 3.54×105= (1)点C对应的实数是 其倒数 8.(2020陕西3题改编)2025年《政府工作报 是 绝对值是 告》中提到“2024年国内生产总值达到134.9 (2)图中5个点表示的数互为相反数的是点 万亿元”，这个数据用科学记数法可表示为 和点 ( (3)图中5个点到点A的距离相等的点 A.13.49×105亿元 B.1.349×105亿元 是 C.1.349×106亿元 D.1.349×10亿元 考点5实数的大小比较(8年1考) 12.(2024陕西10题3分)小华探究“幻方”时， 1 提出了一个问题：如图，将0，-2，-1,1,2这 9(北师八上P507改编)在实数-6，-20， 五个数分别填在五个小正方形内，使横向三 -√5,2,5，-1,2，T中，最大的数是 ,最 个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中 小的数是 ,比-2小的数是 间位置的小正方形内的数可以是 绝对值最小的数是 (写出一个符合题意的数即可)》 变式比较下列各数的大小：3 √10， 3 (填“>”“<”或“=) √5 13.计算： 考点6实数的运算（必考） (1)(2024陕西14题5分) 10.(2025陕西1题3分)计算：-5+4=( 25-(-7)°+(-2)×3； A.1 B.-1 C.9 D.-9 变式4-(-5)= ,4×(-5)= 4÷(-5)= 11.计算： (2)(2019陕西15题5分) (1)(3-π)°=； -2x27+1-31-(3; (2)(-3)3=,(-3)= 3)(-3 (4)(-1)25=_,(-1)202w= (5)I2-51= (3)(-2)x(-9)-6÷(-》. (6)8-(-6)+(-8)= 新教材素材新人教七上溯源一我国古代用算筹来记数和计算 14.魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别 表示正数与负数（白色为正，黑色为负），图1表示的是(+23)+(-54)=-31的计算过程，则图2 表示的计算过程是 +23 -54 =1≡l·0亚·一 图1 图2 A.（-22)+(+23)=+1 B.（-22)+(+32)=+10 C.（+22)+(-32)=-10 D.(+22)+(-23)=-1 温馨提示 请完成分层练习册P1~P2习题 5课堂精讲册 第一部分 立足教材过基础 第一章数与式 2.(1)原式=-5.(2)原式=-5.(3)原式=13. 第一节实数 3.③⑥4.D5.②④⑦6.A 7.解：原式=x2+2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2 ①-5元大国1-61 ,⑤-a60⑦0 当x=1,y=-2时，原式=2×12+(-2)2=2+4=6. ⑧相等⑨-a①1①±1②两B相反数0 8.(1)2x(x-2)(2)(x+2y)(x-2y)(3)x(x+3)2 50,160,±1⑦±8⑧89-4②@10②大2小 (4)m(m+n)(m-n)(5)-(2a+3b)(4a+3b) 9.B10.C11.21 8<2<5-280四-38a四a团-1团0 4 12.(1)973:379 型-27国14-81@-183用 (2)解：.a>b>c>0. 3 .最大的三位数是100a+10b+c,最小的三位数是100c+ 1③5通：③0@，2明：02目3c【变式1斤7 10b+a. .·100a+10b+c-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c), 号4()-2：之；2(2)c:n(3)点D和点E .所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99 整除. (4)B;3(5)4:05.N26.②④⑤7.(1)4×103 (3)495 (2)3.05×10?(3)1.173×10°(4)2×108【变式】354000 第四节分式 8.C9.5;-6;-6和-5：0【变式】<；>10.B ①B≠0②B≠0，C≠0且D≠0③A=0且B≠0 【变式19：-20：-51(1)1(2)-27,81(3)-8 ④不等于0⑤不变⑥，站@x+1-)⑧：，4 y+1 b 4-11(55-2(66() 。12.0(答案不唯一) ⑨ 0不变①加减 2±6 gad±bc c bd bd 13.(1)原式=-2.(2)原式=1+3.(3)原式=19. 5变号⑥不为0 14.B 1.①③6⑦：①③2.x≠3；x=5【变式】x=-3 第二节二次根式 30①4⑦⑧【变式1】-9*-3 xy+3y y ①大于或等于②a③-a④w石·6⑤ ⑥√d 【变式2】解：：a2b和3ab的最简公分母为3a2b2, 6c_6c·3b18bcc-c·a-ac a2b3a262-3a26'3ab3a23am26 ⑧22⑨320-1①221 ①5 5 5.原式=x+2. 5+1 4（1)2(2)(31( x+1 。当=2+1时原式-号 6原式= 【变式1】3；√T-3【变式2】3 1.(1)x≥3(2)x≥-1(3)x≥1且x≠2(4)x>12.C 第一章易错题专练 1.A【变式1】A【变式2】±3【变式3】4【变式4】3 3.(1)10(2)m-3(3)32(4)-3(5)6(6)22 2.A【变式】C3.原式=3x2y. (7)22(8)5+26(9)5(10)1 4.原式=5x+3,当x=2时，原式=13 4.(1)原式=5.(2)原式=-25.(3)原式=4-35 5.2(y+2)(y-2)【变式1】2m(x-y)2 5.D6.3(答案不唯一)【变式】⑩（答案不唯一） 【变式2】m(m-4)【变式3】2(x-3y) 第三节整式 6c7【变式16 ①5②1③和④是⑤不是⑥5ab⑦+b+c ⑧a-b-c⑨相加①a①相减②a"B相乘 8.原式= 中当a=5-1时，原式= 1 5 am⑤a"bG6ab3⑦2a2+2ab8am+an+bm+bn 9. 2(x-1) x+1-2x+23-x x-3 19a2-b2②①a2±2ab+b2②@4a2x②22a+b3m(a+b+c） (x-)(x+)3(x-)(x+3(x-1)(x+1)x+1;2: 42xy②5(a+b)(a-b)西(a±b)2 1.(1)a2+b2(2)(1-15%)a(3)0.8a(4)(8m+100n) 3；0 2