第1章 四边形 单元检测卷 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第1章 四边形 检测卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1.2025年6月5日是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四张图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是(　　) 2.随着人工智能技术的飞速发展，智能机器人逐渐走进人们的生活．如图，某科技公司设计了一款家用服务机器人，其主体外观呈八边形，则该八边形的内角和是(　　) A．840°　 B．960°　 C．1 080°　 D．1 200° (第2题) (第3题) (第4题) 3．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E，F分别是AC，AD的中点，连接EF.已知BC＝8，则EF的长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连接AE，DE.若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为(　　) A．4 B．5 C．3 D．6 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列一个条件后，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A．∠ABC＋∠BCD＝180° B．OA＝OC C．DC∥AB D．AB＝CD (第5题) (第6题) 6．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米后向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走的路程是(　　) A．180米 B．110米 C．120米 D．100米 7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为边AB上一点，且AE＝OA，则∠BOE的度数为(　　) A．20° B．22.5° C．25° D．27.5° (第7题) (第8题) 8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是对角线BD上的一动点，连接AE，以AE为边向右作等边三角形AEF，连接DF，则∠ADF的度数是(　　) A．45° B．50° C．60° D．无法计算 9.如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD的边上的动点，则PG的最小值是(　　) A．1 B. C. D．3 (第9题)　　(第10题) 10．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连接AE，若AB＝2，则AE的长为(　　) A．2 B．4 C. D. 二、填空题(每题3分，共24分) 11.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使矩形ABCD是正方形． 12．已知在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为________． 13．如图，直线l与正五边形ABCDE的AE和BC两边相交得到∠α和∠β，则∠α＋∠β的度数为________． (第13题) (第14题) 14．如图，在▱ABCD(AB≠AD)中，点O为对角线AC的中点，作OM⊥AC交AD于点M.若▱ABCD的周长为20，则△CDM的周长为________． 15．如图，在平行四边形ABCD中，AB<BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BC＝8，DE＝3，则CD＝________. (第15题)　　　(第16题) 16．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，矩形外一点E满足∠EAD＝∠ECD，点O为对角线BD的中点，则OE的长度为________． 17．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿着EF折叠，使点D的对应点G落在BC边上，点A的对应点为点A′.若EF＝，CG＝1，则GF的长为________． (第17题)　　　　(第18题) 18．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过点O，且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE的中点，且∠AOG＝30°. 据此得到四个结论： ①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD. 得到的结论中正确的是________(填写所有正确结论的序号)． 三、解答题(第19～21题每题6分，第22～24题每题8分，第25～26题每题12分，共66分) 19．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F.求证：DF＝CD. 20．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E. (1)求证：CD＝CE； (2)若∠E＝60°，求∠DOC的度数． 21．如图，已知△ABC. (1)按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： ①分别作边AB，AC的中点，记为点D，E； ②连接DE并延长，在DE的延长线上取点F，使EF＝DE； ③连接CF. (2)在(1)所作的图中，试判断四边形DBCF的形状，并说明理由． 22．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD＝2，DB＝2. (1)求证：四边形AEDF是菱形； (2)求四边形AEDF的面积． 23.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8个单位长度的速度从点B出发沿正方形的边BA－AD－DC－CB方向运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t s. (1)当运动时间为________s时，点P与点Q相遇； (2)当BQ∥PD时，求线段DQ的长度； (3)当△PAB和△QAD全等时，求t的值． 24．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)【问题发现】如图①，将正方形ABCD沿直线BE翻折，使点A落在平面内的点A′处．若∠ABE＝30°，则∠A′BC＝________． (2)【解决问题】第一步：如图②，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开． 第二步：如图③，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展开．折痕EF所在直线是不是线段AB的垂直平分线？连接AN，图③中△ABN是什么特殊三角形？请写出解答过程． (3)【拓展应用】已知在矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝6 cm，点P在边AD上，将△ABP沿着直线BP折叠，若点A的对应点A′恰好落在矩形ABCD的对称轴上，则AP的长为__________． 25.已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG.当点E在线段BC上时，如图①，易证AB＝CG＋CE. (1)当点E在线段BC的延长线上时(如图②)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明； (2)当点E在线段CB的延长线上时(如图③)，直接写出AB，CG，CE之间的关系． 26．【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△CBE′，延长AE交CE′于点F，连接DE. 　 【猜想证明】 (1)试判断四边形BEFE′的形状，并说明理由； (2)如图②，若DA＝DE，猜想线段CF与E′F之间的数量关系并加以证明； 　 【解决问题】 (3)如图①，若BE＝9，CF＝3，直接写出DE的长．(结果可含根式) 答案 一、1.D　2.C　3.A　4.A　5.D　6.D　7.B　8.C　9.A 10．C 【点拨】如图，过点E作EH⊥AD于点H，交BC于点M.因为G是AB的中点，AB＝2，所以BG＝AB＝1.因为四边形ABCD为正方形，所以∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，BC＝AD＝AB＝2，AD∥BC.因为EH⊥AD，所以EH⊥BC.所以∠CME＝90°.所以∠MCE＋∠CEM＝90°.因为四边形CEFG为正方形，所以CE＝CG，∠GCE＝90°.所以∠MCE＋∠GCB＝90°，所以∠GCB＝∠CEM.在△GCB和△CEM中， 所以△GCB≌△CEM.所以ME＝BC＝2，CM＝BG＝1.因为∠DAB＝∠B＝∠HMB＝∠HMC＝∠DCB＝∠D＝90°， 所以四边形HDCM、四边形ABMH为矩形．所以DH＝CM＝1，HM＝AB＝2.所以AH＝AD－DH＝1，EH＝HM＋EM＝4.所以AE＝＝. 二、11.AC⊥BD(答案不唯一)　12.30　13.144°　14.10 15．5　16. 17. 【点拨】因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝CD，∠A＝∠ADC＝∠DCG＝90°.如图，连接DG，过点E作EH⊥DC于点H，所以∠ADH＝∠DHE＝∠EHF＝∠A＝∠C＝90°.所以四边形ADHE是矩形．所以AD＝EH.所以CD＝EH.由折叠得EF⊥DG，DF＝GF，所以∠FDG＋∠DFE＝90°.又因为∠FEH＋∠DFE＝90°，所以∠FDG＝∠FEH.所以△DGC≌△EFH.所以DG＝EF＝.因为CG＝1，所以DC＝＝3. 设DF＝GF＝x，则CF＝3－x，在Rt△CFG中，根据勾股定理，得CG2＋CF2＝GF2，所以12＋(3－x)2＝x2，解得x＝.所以GF＝. 18．①③④ 【点拨】因为EF⊥AC，点G是AE的中点，所以OG＝AG＝GE＝AE.因为∠AOG＝30°，所以∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°－∠AOG＝60°.所以△OGE是等边三角形，故③正确．设AE＝2a，则OE＝OG＝a，由勾股定理得，AO＝＝a.因为O为AC的中点，所以AC＝2AO＝2a.因为∠OAB＝30°，∠B＝90°，所以BC＝AC＝a.在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝3a.因为四边形ABCD是矩形，所以CD＝AB＝3a.所以DC＝3OG，故①正确．因为OG＝a，BC＝a，所以OG≠BC，故②错误．因为S△AOE＝OE·OA＝a·a＝a2，S矩形ABCD＝AB·BC＝3a·a＝3a2，所以S△AOE＝S矩形ABCD，故④正确．综上所述，正确的结论是①③④. 三、19.【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，所以∠ABE＝∠F. 因为点E为AD的中点，所以AE＝DE. 在△ABE和△DFE中， 所以△ABE≌△DFE.所以AB＝DF.所以DF＝CD. 20．(1)【证明】因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝CD，AB∥ED. 又因为BE∥AC，所以四边形ABEC是平行四边形． 所以AB＝CE.所以CD＝CE. (2)【解】因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝BD. 因为四边形ABEC是平行四边形，所以BE＝AC.所以BD＝BE. 又因为∠E＝60°，所以△BDE是等边三角形．所以∠DBE＝60°. 因为AC∥BE，所以∠DOC＝∠DBE＝60°. 21．【解】(1)①②③如图． (2)四边形DBCF为平行四边形．理由如下： 因为D，E分别为AB，AC的中点， 所以DE为△ABC的中位线．所以DE∥BC，DE＝BC. 因为EF＝DE，所以DE＝DF.所以DF＝BC. 又因为DF∥BC，所以四边形DBCF为平行四边形． 22．(1)【证明】因为DE∥AC，DF∥AB， 所以四边形AEDF是平行四边形． 因为△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是BC的中点， 所以AD平分∠CAB.所以∠CAD＝∠BAD. 因为DE∥AC，所以∠FAD＝∠ADE. 所以∠BAD＝∠ADE.所以DE＝AE. 所以四边形AEDF是菱形． (2)【解】因为△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是BC的中点， 所以AD⊥CB.所以∠ADB＝90°. 所以S△ADB＝AD·DB＝2， ∠ADE＋∠BDE＝90°，∠DAE＋∠B＝90°. 由(1)可知，∠DAE＝∠ADE，AE＝DE. 所以∠BDE＝∠B.所以BE＝DE.所以AE＝BE. 所以S菱形AEDF＝2S△ADE＝S△ADB＝2. 23．【解】(1)3.2 (2)如图①.因为BQ∥PD，所以点Q只能在边AD上． 因为四边形ABCD是正方形，所以AD∥BC. 所以四边形BQDP是平行四边形．所以BP＝DQ.所以2t＝2×8－8t.所以t＝1.6.所以DQ＝2×8－8t＝3.2. (3)①当点Q在边AB上时，如图②.由题意得AB＝AD，∠B＝∠DAQ.要使△PAB和△QAD全等，只能是△PAB≌△QDA，所以BP＝AQ.所以8－8t＝2t.所以t＝0.8； ②当点Q在边AD上时，不能构成△QAD； ③当点Q在边CD上时，如图③，要使△PAB和△QAD全等，只能是△PAB≌△QAD， 所以BP＝DQ.所以2t＝8t－16.所以t＝； ④当点Q在边BC上时，△QAD不是直角三角形，而△PAB是直角三角形，所以不能全等． 综上，当△PAB和△QAD全等时，t的值为0.8或. 24．【解】(1)30° (2)折痕EF所在直线是线段AB的垂直平分线，△ABN是等边三角形．理由：因为对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，所以AE＝BE，AB⊥EF.所以EN垂直平分AB.所以AN＝BN. 由折叠的性质可得AB＝BN， 所以AB＝BN＝AN.所以△ABN为等边三角形． (3)3 cm或 cm 【点拨】如图①，当点A′在BC上时，因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠ABC＝90°.由折叠可知A′B＝AB＝3 cm，∠BA′P＝∠A＝90°.因为BC＝6 cm，所以A′C＝3 cm＝A′B.所以点A′是BC的中点．所以点A′在矩形ABCD的对称轴上．因为∠A＝∠ABA′＝∠BA′P＝90°，A′B＝AB，所以四边形ABA′P是正方形．所以AP＝BA＝3 cm. 如图②，当点A′落在矩形ABCD的对称轴EF上时，连接AA′，由(2)可知：△ABA′是等边三角形，所以∠ABA′＝60°.所以易得∠ABP＝∠A′BP＝30°.所以BP＝2AP.因为BP2＝AP2＋AB2，AB＝3 cm，所以AP＝ cm(负值已舍去)．综上所述，AP的长为3 cm或 cm. 25．【解】(1)AB＝CG－CE.证明如下： 因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC，AB∥DC. 又因为∠BAC＝60°，所以△ABC是等边三角形． 所以∠ABC＝60°，AB＝AC. 因为∠EAG＝∠BAC＝60°， 所以∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAG. 因为AB∥DC，所以∠BAC＝∠ACD＝60°＝∠ABC. 在△ABE和△ACG中， 所以△ABE≌△ACG.所以BE＝CG. 因为BC＝CD，所以CE＝DG. 易得C，D，G共线，所以AB＝CD＝CG－DG，所以AB＝CG－CE. (2)AB＝CE－CG. 26．【解】(1)四边形BEFE′是正方形．理由如下： 由题意知∠AEB＝∠CE′B＝90°，BE＝BE′，∠EBE′＝90°，所以∠BEF＝90°.所以四边形BEFE′是矩形． 因为BE＝BE′，所以四边形BEFE′是正方形． (2)CF＝E′F.证明如下： 如图，过点D作DH⊥AE于点H. 因为DA＝DE，DH⊥AE，所以AH＝AE，∠ADH＋∠DAH＝90°. 因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝AB，∠DAB＝90°. 所以∠DAH＋∠BAE＝90°.所以∠ADH＝∠BAE. 又因为AD＝AB，∠AHD＝∠BEA＝90°， 所以△ADH≌△BAE.所以AH＝BE＝AE. 由旋转的性质知AE＝CE′. 因为四边形BE′FE是正方形，所以BE＝E′F. 所以E′F＝CE′.所以CF＝E′F. (3)DE＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $