第4章几何图形初步解答题题型突破 （七大题型） 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

第4章几何图形初步解答题题型突破2025-2026学年 沪科版七年级上册（七大题型） 题型一：作直线、射线、线段与尺规作图 1.如图，已知点，，，请按下列要求画图． （1）画直线和线段； （2）画射线，并在射线上用尺规作线段，使得（注：不写作法，保留作图痕迹）． 2.如图，已知直线和直线外三点，，，请按下列要求画图： （1）画线段： （2）画射线； （3）延长到，使得； （4）在直线上找一点，使得最小，并说明你的作图依据：________． 3.如图，已知线段a，b，c，用尺规求作一条线段AB，使得AB＝a+b﹣2c．（不写作法，保留作图痕迹） 4.如图，在同一平面内有一条线段和线段外一点D，按要求完成下列作图： （1）画直线和射线； （2）在线段的延长线上取点C，使（不写作法，保留作图痕迹）； （3）在（1）的条件下，比较线段的大小：______（填“＞”“<”或“=”），理由是_____． 题型二：与线段中点有关的计算 1.如图，点C为线段AB的中点，点E为线段 CB上的点，点D为线段AE的中点，若AB=15，CE=4.5，求线段AD的长度． 2.已知A、B、C是线段上的点，，点C是的中点，若，求的长． 3.如图，点C是线段AB上一点，点D是线段BC的中点，且，． (1)求线段AC的长； (2)若点E在直线AB上，且，求线段DE的长． 4.如图所示，已知线段AB=6cm，C是AB的中点，点D在AC上，且CD=2AD，E是BC的中点，求线段DE的长． 题型三：与线段n等分点有关的计算 1.如图，C、D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，M、N分别为AC、DB的中点，且AB=24cm，求线段MN的长． 2.如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长． 3.如图，已知点E是的中点，，，，求线段的长． 4.如图，已知线段AB，点C在AB的延长线上，AC＝BC，D在AB的反向延长线上，BD＝DC． （1）设线段AB长为x，用含x的代数式表示BC和AD的长度． （2）若AB＝12cm，求线段CD的长． 题型四：与线段有关的动点问题 1．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 2.如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为3，BC＝2，AB＝6． (1)点A，B对应的数分别为：__________、__________。 (2)动点M，N分别同时从A、C出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动．P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝CN，设运动时间为t（t>0）． ①点P，Q对应的数分别为___________、____________（用含t的式子表示）； ②t为何值时OP＝BQ． 3．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值， ②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 4．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1) 若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2) 若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3) 在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 题型五：与角平分线有关的计算 1．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数． 2.如图，直线ED上有一点O，∠AOC＝∠BOD＝90°，射线OP是∠AOD的平分线， （1）说明射线OP是∠COB的平分线； （2）写出图中与∠COD互为余角的角． 3.如图，已知，，是内部的一条射线，且平分． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数（用含x的式子表示）． 4.如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的平分线，射线OE在∠BOC内． (1)若OE平分∠BOC，求∠DOE的度数； (2)若∠COE=2∠BOE，∠DOE=108°，求∠COE的度数． 题型六：角n等分线有关的计算 1．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数． 2.如图，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，∠AOB︰∠BOC=3︰2，若∠BOE=13°，求∠DOE的度数. 3.如图，已知是的平分线，若，求的度数． 4.如图，直线，相交于点，和互余，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 题型七：旋转成动角问题 1．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE． （1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数； （2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数； （3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数． 2.如图①，O是直线上的一点，是直角，平分． （1）若，则____________°，____________°； （2）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； （3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系：__________________．（不用证明） 3.如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图①，若，求的度数； （2）在图①，若，直接写出的度数_________（用含a的代数式表示）； （3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 4．新定义问题 如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．） 【阅读理解】 （1）角的平分线 　 　这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】 （2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 　 　； 【解决问题】 （3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值． 【答案】 第4章几何图形初步解答题题型突破2025-2026学年 沪科版七年级上册（七大题型） 题型一：作直线、射线、线段与尺规作图 1.如图，已知点，，，请按下列要求画图． （1）画直线和线段； （2）画射线，并在射线上用尺规作线段，使得（注：不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 【小问1详解】 解：直线和线段如图所示； ； 【小问2详解】 解：线段如图所示， ； 2.如图，已知直线和直线外三点，，，请按下列要求画图： （1）画线段： （2）画射线； （3）延长到，使得； （4）在直线上找一点，使得最小，并说明你的作图依据：________． 【答案】解：（1）如图，线段BC即为所求； （2）如图，射线AC即为所求； （3）如图所示； （4）如图，点M即为所求； 作图依据是：两点之间，线段最短. 故答案为：两点之间，线段最短. 3.如图，已知线段a，b，c，用尺规求作一条线段AB，使得AB＝a+b﹣2c．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，在射线AM上截取线段，，在线段CD上截取线段，线段AB即为所求作． 4.如图，在同一平面内有一条线段和线段外一点D，按要求完成下列作图： （1）画直线和射线； （2）在线段的延长线上取点C，使（不写作法，保留作图痕迹）； （3）在（1）的条件下，比较线段的大小：______（填“＞”“<”或“=”），理由是_____． 【答案】 【小问1详解】 如图，直线和射线即为所求； 【小问2详解】 如图，点C即为所求； 【小问3详解】 解：，理由是两点之间线段最短． 故答案为：，两点之间线段最短． 题型二：与线段中点有关的计算 1.如图，点C为线段AB的中点，点E为线段 CB上的点，点D为线段AE的中点，若AB=15，CE=4.5，求线段AD的长度． 【答案】 解：∵点C为线段AB的中点，AB=15， ∴AC=AB=7.5， ∴AE=AC+CE=7.5+4.5=12， ∵点D为线段AE的中点， ∴AD＝AE＝6． 2.已知A、B、C是线段上的点，，点C是的中点，若，求的长． 【答案】 解：∵，， ∴， 又∵点C是的中点， ∴， ∴． 3.如图，点C是线段AB上一点，点D是线段BC的中点，且，． (1)求线段AC的长； (2)若点E在直线AB上，且，求线段DE的长． 【答案】 (1) 解∵点D是线段BC的中点，CD＝3 cm， ∴BC=2CD=6 cm， ∴AC＝AB-BC＝16-6＝10（cm）． (2) （2）∵AC＝10 cm，CD＝3 cm， ∴AD＝AC＋CD＝10＋3＝13（cm）． 当点E在点A左侧时为E1， DE1＝AD＋AE1＝13＋2＝15（cm）． 当点E在点A右侧时为E2， DE2＝AD－AE2＝13－2＝11（cm）． ∴线段DE的长为11 cm或15 cm． 4.如图所示，已知线段AB=6cm，C是AB的中点，点D在AC上，且CD=2AD，E是BC的中点，求线段DE的长． 【答案】 ∵AB=6cm，C是AB中点， ∴AC=BC=AB=3cm， 又∵AB=6cm， ∴AC=BC==3cm ， ∵E是BC中点， ∴CE=BC=1.5cm， ∵CD=2AD  AD+DC=AC， ∴AD+2AD=AC=3AD， ∴AD=1cm,CD=2cm， ∴DE=CD+CE= 2+1.5=3.5cm. 题型三：与线段n等分点有关的计算 1.如图，C、D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，M、N分别为AC、DB的中点，且AB=24cm，求线段MN的长． 【答案】 解：∵AC：CD：DB=1：2：3，AB=24cm， ∴AC=4cm，CD=8cm，DB=12cm， ∵M、N分别为AC、DB的中点， ∴MC=AC=2cm，DN=BD=6cm， ∴MN=MC+CD+DN=16cm． 2.如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长． 【答案】 解：（1）线段AB＝20，BC＝15， ∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5． 又∵点M是AC的中点． ∴AM＝AC＝×5＝，即线段AM的长度是． （2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3， ∴CN＝BC＝×15＝6． 又∵点M是AC的中点，AC＝5， ∴MC＝AC＝， ∴MN＝MC+NC＝，即MN的长度是． 3.如图，已知点E是的中点，，，，求线段的长． 【答案】 解：E是BC的中点，BE=AC=3cm， ∴BC=2BE=6（cm）， ∴AC=3×5=15（cm）， 则AB=AC-BC=15-6=9（cm）， ∵AD=DB，AD+DB=AB， ∴DB+DB=9， ∴DB=6， ∴DE=DB+BE=6+3=9（cm）． 4.如图，已知线段AB，点C在AB的延长线上，AC＝BC，D在AB的反向延长线上，BD＝DC． （1）设线段AB长为x，用含x的代数式表示BC和AD的长度． （2）若AB＝12cm，求线段CD的长． 【答案】（1）；（2）cm． 【详解】（1）如图，设线段AB长为x， ， ， 即. ，BD＝DC， ， ， ， ， （2）， 当AB＝12cm时，cm． 题型四：与线段有关的动点问题 1．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 【答案】(1)解：∵M是线段AP的中点，∴， ， ∵， ∴， 解得． (2)解：∵，，， ∴， 即为定值24． (3)解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧． ∵，，，， ∴， 所以MN的长度无变化是定值． 2.如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为3，BC＝2，AB＝6． (1)点A，B对应的数分别为：__________、__________。 (2)动点M，N分别同时从A、C出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动．P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝CN，设运动时间为t（t>0）． ①点P，Q对应的数分别为___________、____________（用含t的式子表示）； ②t为何值时OP＝BQ． 【答案】(1)-5、1； (2)①、；②或t=6． （1） ∵点C对应的数为3，BC=2， ∴点B对应的数为3-2=1， ∵AB=6， ∴点A对应的数为1-6=-5． 故答案为-5、1． （2） ①∵动点M，N分别同时从A、C出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动，且运动时间为t ∴AM=3t，CN=t ∵P为AM的中点，Q在CN上，且CQ=CN， ∴AP=t，CQ=t ∵点A对应的数为-5，点C对应的数为3 ∴点P对应的数为-5+t，点Q对应的数为3+t． ②∵OP=BQ． ∴|0-（-5+t）|=|3+t-1|． 解得：t=或t=6． 3．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值， ②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 【答案】解：（1）根据题意知，，， ，， ， ，， 故答案为：，； （2）①根据、的运动速度知：， ， ，即， ， ， ； ②当点在线段上时，如图， ， 又， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ， 又， ， ； 综上所述：或1． 4．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (4) 若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (5) 若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (6) 在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． (2)解：设运动时间为t， 则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t， 即BM＝3AM， ∴AM=BM 故答案为：． (3)解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM ∴AB﹣AM＝3AM， ∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB， ∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB， ∴=1,即=． 综上所述＝或 题型五：与角平分线有关的计算 1．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数． 【答案】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠AOB＝×90°＝45°，∠COF＝∠BOF＝∠BOC， ∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠BOC＝2∠BOF＝30°； ∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°． 2.如图，直线ED上有一点O，∠AOC＝∠BOD＝90°，射线OP是∠AOD的平分线， （1）说明射线OP是∠COB的平分线； （2）写出图中与∠COD互为余角的角． 【答案】（1）见解析；（2）∠BOC和∠AOE． 【详解】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOD﹣∠AOC＝∠AOD﹣90°＝∠AOD﹣∠BOD， ∴∠COD＝∠AOB， ∵射线OP是∠AOD的平分线；∴∠POA＝∠POD， ∴∠POA﹣∠AOB＝∠POD﹣∠COD，∴∠POB＝∠POC， ∴射线OP是∠COB的平分线； （2）∵∠COD＝∠AOB，∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOE＝∠BOC，∵∠COD+∠BOC＝90°， ∴图中与∠COD互为余角的角有∠BOC和∠AOE． 3.如图，已知，，是内部的一条射线，且平分． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数（用含x的式子表示）． 【答案】（1）（2） 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， 平分， ， ， ． 4.如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的平分线，射线OE在∠BOC内． (1)若OE平分∠BOC，求∠DOE的度数； (2)若∠COE=2∠BOE，∠DOE=108°，求∠COE的度数． 【答案】(1)90° (2)72° (1) ∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC， ∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC． ∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°， ∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°． (2) 设∠BOE=x， ∵∠COE=2∠BOE， ∴∠COE=2x， ∴∠AOC=180°－3x． ∵OD平分∠AOC， ∴∠COD=∠AOC． ∵∠COD＋∠COE═∠DOE=108°， ∴(180°－3x)＋2x=108°，x=36°． ∴∠COE=72°． 题型六：角n等分线有关的计算 1．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数． 【答案】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝4x， ∴∠AOB＝5x， ∵OD平分∠AOB， ∴， ∴＝， ∴x＝24°， ∴∠AOB＝5x＝5×24°＝120°． 2.如图，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，∠AOB︰∠BOC=3︰2，若∠BOE=13°，求∠DOE的度数. 【答案】解：设∠AOB=3x，∠BOC=2x． 则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x． ∵OE是∠AOC的平分线， ∴∠AOE═∠AOC＝x， ∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=3x−x＝x， ∵∠BOE=13°， ∴x＝13°， 解得：x=26°， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠BOC＝x＝26°， ∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=26°+13°=39°． 3.如图，已知是的平分线，若，求的度数． 【答案】设∠AOC=2x°，∠AOB=7x°，由，求出x=8，可求∠AOB=7x°=56° 由OD是∠AOB的平分线，可得∠AOD=∠AOB=即可． ∵∠AOC：∠AOB=2：7， ∴设∠AOC=2x°，∠AOB=7x°， ∵ ∴2x=16 ∴x=8 ∴∠AOB=7x°=7×8°=56° ∵OD是∠AOB的平分线， ∴∠AOD=∠AOB=． 4.如图，直线，相交于点，和互余，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】（1） 解：∵∠BOD和∠AON互余， ∴∠BOD+∠AON=90°， ∵∠AON=∠COM， ∴∠BOD+∠COM=90°， ∴∠MOB=180°-（∠BOD+∠COM）=90°； （2） 解：设∠COM=x，则∠BOC=5x， ∴∠BOM=4x， ∵∠BOM=90°， ∴4x=90°， 解得x=22.5°， ∴∠BOD=90°-22.5°=67.5°． 题型七：旋转成动角问题 1．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE． （1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数； （2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数； （3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数． 【答案】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴＝35°，＝10°， ∴∠DOE＝45°； （2）∠DOE的大小不变等于45°， 理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE＝ ＝ ＝＝45°； （3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝45°或135°． 如图①，则为45°；如图②，则为135°．（说明过程同（2）） 2.如图①，O是直线上的一点，是直角，平分． （1）若，则____________°，____________°； （2）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； （3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系：__________________．（不用证明） 【答案】（1）60°，15°；（2）∠DOE；（3）∠AOC=360°-2∠DOE． 【解析】（1）∵，∴∠BOC=180°-∠AOC=150°， ∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×150°=75°， 又∵∠COD是直角，∴∠BOD=90°-∠AOC=60°，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-75°=15°， 故答案为：60°，15°； （2）∵，∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-α， ∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=， 又∵∠COD是直角，∴∠DOE=∠COD-∠COE=； （3）∠AOC=360°-2∠DOE； 理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE，  则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（∠DOE-90°），所以得：∠AOC=360°-2∠DOE； 故答案为：∠AOC=360°-2∠DOE． 3.如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图①，若，求的度数； （2）在图①，若，直接写出的度数_________（用含a的代数式表示）； （3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 【答案】（1）14°；（2）；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE−∠AOF＝90° 【解析】（1）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°， ∴∠BOC＝180°−∠AOC＝152°，∠COE＝∠BOC，∠COD＝90°． ∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−76°＝14°．即∠DOE＝14°； （2）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a， ∴∠DOE＝90°−＝．故答案是：； （3） ①∠AOC＝2∠DOE．理由： ∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE． ∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°． ∴∠AOC＋2（90°−∠DOE）＝180°．化简，得∠AOC＝2∠DOE； ②2∠DOE−∠AOF＝90°． 理由：∵， ∴2∠AOF＋∠BOE＝（∠AOC−∠AOF）， ∴2∠AOF＋∠BOE＝∠AOC−∠AOF． 又∵∠AOC＝2∠DOE，∴∠AOF＝∠DOE−∠BOE，∴∠AOF＝∠DOB． ∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE． ∴∠AOF＋180°−∠AOC＝90°．∴∠AOF＋180°−2∠DOE＝90°． 化简，得2∠DOE−∠AOF＝90°． 故答案为：（1）14°；（2）；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE−∠AOF＝90° 4．新定义问题 如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．） 【阅读理解】 （1）角的平分线 　 　这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】 （2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 　 　； 【解决问题】 （3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值． 【答案】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是； （2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x， 由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°， ②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x， 由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°， ③设∠AOC＝x，则∠BOC＝x， 由题意得，x+x＝45°，解得x＝30°， 故答案为：15°或22.5°或30°； （3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t， 若射线OA是∠MON的幸运线， 则∠AON＝，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝； ∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝； ∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝； 当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60， 若射线ON是∠AOM的幸运线， 则∠AON＝∠MOA即15t﹣60＝×20t，解得t＝12（舍）； ∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝； ∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝36（舍）； 故t的值是或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $