精品解析：甘肃省 张掖市第一中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学练习 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 2. 若，则（ ） A. 6 B. C. 1 D. 3. 下列图形是常见的交通指示图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是运动会领奖台，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 7. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 九年级（1）班文学小组在图书共享活动中互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书．如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（　　） A. 5 B. C. 7 D. 10. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点在反比例函数的图象上，那么______，该函数的图像位于第______象限． 12. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________． 13. 如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1，如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，，，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则，，的大小关系为______（用小于号连接）. 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 15. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m． 16. 如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程： （1） （2） 19. 化简：已知，求的值． 20. 如图，在△ABC中，点D、E分别为AB和AC上的点，DE∥BC，AD=3BD，S△ABC=48，求S△ADE. 21. 画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 22. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 四、解答题：本大题共5小题，共40分，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在中，，，，所对的边分别为，，，且，，求这个直角三角形的其他元素（，，，边长精确到1）． 24. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 25. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求点的坐标； （2）当的面积为9时，求一次函数的表达式． （3）根据图象，写出使一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 26. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． （1）出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ （2）在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 27. （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 填空：①的度数为______，②线段之间的数量关系为______． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系．并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义即可求解． 【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割． 故选：D 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键． 2. 若，则（ ） A. 6 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质即可得出结果． 【详解】解：等式两边乘以，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键． 3. 下列图形是常见的交通指示图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 4. 如图是运动会领奖台，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：领奖台的主视图是： 故选：A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项， 当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6. 如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由即可求解； 【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴， ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识，结合图像进行求解是解题的关键． 7. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：B 【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 8. 九年级（1）班文学小组在图书共享活动中互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书．如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 每个同学赠送本图书，x名同学共赠送本，据此列出方程． 【详解】解：设全组共有x名同学， ∵每个同学向其他成员赠送一本图书， ∴每个同学赠送本图书． ∵共有x名同学， ∴总互赠图书数量为本． 又∵全组共互赠132本图书， ∴． 故选：B． 9. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（　　） A. 5 B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】∵把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置， ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25， ∴AD=DC=5， ∵DE=2， ∴Rt△ADE中， 故选D． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 10. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过作平面镜，可得，，而，再建立方程，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作平面镜， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点在反比例函数的图象上，那么______，该函数的图像位于第______象限． 【答案】 ①. ②. 二、四##四、二 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，k等于点的横坐标与纵坐标的乘积；再根据k的符号判断反比例函数图象所在的象限． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 所以． 由于， 所以反比例函数的图象位于第二、四象限． 故答案为：，二、四． 12. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能， ∴一粒米落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数． 13. 如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1，如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，，，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则，，的大小关系为______（用小于号连接）. 【答案】 【解析】 【分析】先根据这块砖的重量不变可得压力的大小不变，且，再根据反比例函数的性质（增减性）即可得． 【详解】解：这块砖的重量不变， 不管三个面中的哪面向下在地上，压力的大小都不变，且， 随的增大而减小， 三个面的面积之比是， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 【答案】20 【解析】 【分析】设小孔到的距离为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，列式解答即可． 本题考查了跨学科综合，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设小孔到的距离为，根据光学原理，得到， 故， 故， 故， 解得． 故答案为：20． 15. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m． 【答案】50 【解析】 【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝， ∴， ∵BC＝30m， ∴， 解得：AB=50m， 即迎水坡面AB的长度为50m． 故答案为：50 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 16. 如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， 在中，， 同理，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 先进行零指数幂和负整数指数幂，余弦函数值计算，再计算二次根式的乘法，合并同类项即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 化简：已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 根据比例关系设参数，代入表达式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴设（）， 则， ， ∴． 20. 如图，在△ABC中，点D、E分别为AB和AC上的点，DE∥BC，AD=3BD，S△ABC=48，求S△ADE. 【答案】 【解析】 【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵AD=3BD， ∴， 又∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 21. 画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】 解：该几何体的三视图如下： ． 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 根据三视图的定义去判断即可． 【详解】略 22. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【答案】（1）抽到丙款的概率是 （2）两人选择的聊天机器人互不相同的概率是 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先用树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人， ∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图，如图， 共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 四、解答题：本大题共5小题，共40分，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在中，，，，所对的边分别为，，，且，，求这个直角三角形的其他元素（，，，边长精确到1）． 【答案】，， 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形问题和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形的三边关系．在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来． 根据三角形内角和等于180°即可求出∠A的度数；根据∠B的正弦值和b的长度可求出c的长度；根据∠B的正切值和b的长度可求出a的长度． 【详解】解：在中，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴． 24. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】（1）1152元 （2）75元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据降价后的每件利润和销售量计算总利润； （2）设降价x元，根据利润公式列方程求解，选择降价多的方案以优惠最大，再求销售价． 【小问1详解】 解：降价8元，每件利润为（元）， 销售量为（件）， 利润为（元）， 答：降价8元，每天销售T恤衫的利润为1152元； 【小问2详解】 解：设每件T恤衫降价x元，则销售价为元， 每件利润为元， 销售量为件， 由题意得， 整理得， 解得， ∵优惠最大， ∴取， 销售价为（元）． 答：每件T恤衫的销售价应该定为75元． 25. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求点的坐标； （2）当的面积为9时，求一次函数的表达式． （3）根据图象，写出使一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函的交点问题．掌握待定系数法求解函数解析式、用点的坐标表示图形面积是解题关键． （1）将点代入求解即可得到答案； （2）求出点，再将点，代入求解即可得到答案； （3）直接根据图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设点，连接， ∵的面积为9， ∴， 解得：， ∴， 将点，代入一次函数得， ， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：根据图象可知，当一次函数值大于反比例函数值时，． 26. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． （1）出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ （2）在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3秒 （2） 解：不存在，理由如下： 设秒后的面积是16， ． ， 整理得， ∴该方程无解， 不存在时间使得的面积是16． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，根据勾股定理可得，然后再代入相应数据可得方程，再解即可； （2）设秒后的面积是，利用矩形面积的面积周围三个三角形面积和列方程即可． 【小问1详解】 设秒后点、的距离是点、距离的2倍， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 当时， ， 解得：，（舍去）； 答：3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； 【小问2详解】 略 27. （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 填空：①的度数为______，②线段之间的数量关系为______． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）①② （2）；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，，即， ∴， ∴． ∴． 在等腰直角中，为斜边上的高， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，证明三角形全等成为解题的关键． （1）由条件和均为等边三角形，易证，从而得到：．由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出的度数，即可； （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出；根据，可得，所以，据此判断出． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①②； （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $