1.2 等腰三角形 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第1课时 等腰三角形、等边三角形的性质定理 1.2 等腰三角形 第一章 三角形的证明及其应用 八下数学 BSD 1. 探索并证明等腰三角形、等边三角形的性质定理. 2. 能用等腰三角形、等边三角形的性质定理进行计算或证明. 学习目标 我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，请你选择其中一条性质进行证明. 定理 等腰三角形的两个底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角. 课堂导入 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 分析：有哪些结论可以证明两个角相等? 还记得利用折纸的方法探索等腰三 角形的性质吗?这对你有什么启发? 知识点1 等腰三角形的性质定理 A B C 轴对称的性质、全等三角形的对应角相等. 构造全等三角形来推导角相等. 新知探究 证明：如图，取BC的中点D，连接AD. ∵ AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴ △ABD≌△ACD(SSS). ∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 知识点1 等腰三角形的性质定理 A B C D 还有其他证法吗? 新知探究 有. 如图所示，作等腰三角形ABC顶角的平分线AD. ∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴ △ABD≌△ACD(SAS)， ∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 知识点1 等腰三角形的性质定理 A B C D 新知探究 由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征?为什么? 知识点1 等腰三角形的性质定理 A B C D 新知探究 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， AD是中线. 根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD=∠CAD， 所以 AD是等腰三角形ABC 顶角的角平分线. 根据△ABD≌△ACD，还可知∠ADB=∠ADC， 因为∠ADB+∠ADC=180°， 所以∠ADB=∠ADC=90°. 所以AD⊥BC， 即AD是等腰三角形ABC底边上的高. 知识点1 等腰三角形的性质定理 A B C D 新知探究 知识点1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理 ： 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”). 注意：“三线合一”即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”. A B C D 新知探究 符号语言： 在△ABC中，∵ AB=AC， ∠1=∠2 (已知)， ∴ BD=CD，AD⊥BC (“三线合一”). 或∵ AB=AC， BD=CD (已知)， ∴ ∠1=∠2，AD⊥BC (“三线合一”). 或∵ AB=AC， AD⊥BC (已知)， ∴ BD=CD，∠1=∠2 (“三线合一”). 知识点1 等腰三角形的性质定理 1 2 A B C D 新知探究 跟踪训练 如图，在△ABC中，AB=AC， (1) 如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____． (2) 如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝____． (3) 如果有一个内角等于120°， 那么∠A＝____ ，∠B＝____ ，∠C ＝____ ． (4) 如果有一个内角等于50°，那么另两个内角等于多少度？ 解：若∠A=50°，则∠B=∠C=65°； 若∠B=∠C=50°，则∠A=80°. 知识点1 等腰三角形的性质定理 70° 40° 55° 55° 120° 30° 30° A B C 新知探究 知识点1 等腰三角形的性质定理 有关等腰三角形性质的一些结论 (1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等. 新知探究 如图，DE+DF=CH. 等面积法：∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC， ∴ ·AB·CH=·AB·DE+·AC·DF. 又∵ AB=AC，∴ DE+DF=CH. 知识点1 等腰三角形的性质定理 (2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 新知探究 知识点1 等腰三角形的性质定理 (3) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半. 如图，∠HCB=∠BAC. 证明：在Rt△BHC中，∠B=90°-∠HCB， 在等腰三角形ABC中，∠B=(180°-∠BAC)= 90°-∠BAC， ∴90°-∠HCB=90°-∠BAC，即 ∠HCB=∠BAC. 新知探究 思考 等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢?请尝试证明你发现的结论. 如图，在△ABC中，AB=AC=BC. 由AB=AC，可知∠B=∠C； 由BA=BC，可知∠C=∠A. 所以∠A=∠B=∠C=60°. 知识点2 等边三角形的性质定理 A B C 新知探究 知识点2 等边三角形的性质定理 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个 角都等于60°. 新知探究 知识点2 等边三角形的性质定理 等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都重合. B C A 新知探究 知识点2 等边三角形的性质定理 等腰三角形 等边三角形 边 角 三线 合一 对称性 每条边上的中线、高和这边所对的角的平分线都重合(3条) 三个角都相等，且都是60° 轴对称图形(3条对称轴) 轴对称图形(1条对称轴) 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条) 两腰相等 三条边都相等 等边三角形与等腰三角形的性质归纳 新知探究 跟踪训练 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，AB=4，则BD=　　，AD=　　 ，∠BAD=　　　°.  2 A B C D 知识点2 等边三角形的性质定理 2 30 新知探究 回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形性质的经验？ 一般会先研究一般图形的性质，然后再研究特殊图形的性质，并围绕其边、角进行研究，若是三角形，还要研究其高、中线、角平分线的性质. 知识点2 等边三角形的性质定理 新知探究 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，BC=8，求CD的长. 解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴ AD是△ABC底边BC上的中线， ∴ CD=BC=×8=4. A B C D 随堂练习 21 2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：DE=DF. 证明：连接AD. ∵ AB＝AC，D是BC的中点， ∴ AD平分∠BAC (三线合一). 又 DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF. 随堂练习 22 3. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证： ∠ADB＝∠BAC． 证明：∵ AB＝AC，AD＝BD， ∴ ∠B＝∠C，∠B＝∠1.(等边对等角) ∴ ∠C＝∠1. ∵ ∠ADB是△ADC的外角， ∴ ∠ADB＝∠C+∠2. ∴ ∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC. 1 2 随堂练习 23 4. 如图，已知△ABC为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D. （1）求证：△ABE≌△CAF. 证明：∵ △ABC为等边三角形， ∴ ∠BAE=∠C=60°，AB=CA， 在△ABE和△CAF中， ∴ △ABE≌△CAF (SAS). 随堂练习 24 4. 如图，已知△ABC为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D. （2）求∠BDF的度数. 解：由（1）知△ABE≌△CAF ， ∴∠ABE=∠CAF， ∴∠BDF=∠ABE+∠BAF= ∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°. 随堂练习 25 5. 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数. 解：∵ △ADE是等边三角形， ∴ AD=DE=EA，∠ADE=∠DAE=60°. 又D，E是BC的三等分点， ∴ BD=DE=EC，∴ AD=BD，∴ ∠B=∠BAD. ∵ ∠ADE=∠B+∠BAD=60°， ∴ ∠BAD=∠B=30°.同理可得∠EAC=∠C=30°， ∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°. 随堂练习 26 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简述为“三线合一” 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60° 等腰三角形 等边三角形 性质定理 等腰三角形的两个底角相等，简述为“等边对等角” 性质定理 课堂小结 $