第1章 问题解决策略-反思(课件) 2025-2026学年北师大八年级数学下册

问题解决策略：反思 第一章 三角形的证明及其应用 八下数学 BSD 1.经历证明线段相等，以及证明后的反思过程，了解反思策略的意义、常见视角，进一步强化反思意识. 2.通过反思获得解决问题策略的过程,形成多样的解决问题策略,进一步丰富解决问题的经验，发展解决问题后进行反思的能力. 学习目标 知识点 问题解决策略：反思 问题 证明：等腰三角形两腰上的中线相等. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是边AC，AB上的中线. 求证：BD=CE. A B C E D 新知探究 理解问题 已知条件是什么?目标是什么?将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系? 已知条件：AB=AC，BD和CE分别是边AC， AB上的中线. 目标是求证：BD=CE. 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 理解问题 已知条件是什么?目标是什么?将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系? 由“AB=AC”可知∠ABC=∠ACB， 由BD和CE分别是边AC，AB上的中线， 可知AE=BE，AD=CD. 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 拟定计划 (1) 证明两条线段相等有哪些常用的方法? 证明线段相等可考虑全等三角形、等角对等边、等腰三角形“三线合一”、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、等面积法(有高线)等. 知识点 问题解决策略：反思 新知探究 (2) 以BD为边的三角形有哪些? 以CE为边的三角形呢?其中哪些三角形有可能全等? 以BD为边的三角形：△ABD，△BDC. 以CE为边的三角形：△ACE，△BCE. 可能全等的三角形：△ABD和△ACE， △BDC和△CEB. 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 (3) 找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等?还需要证明哪些边或角相等? △ABD和△ACE， 已知∠A是公共角，AB=AC， 还需要证明的边或角：AD=AE； △EBC和△DCB， 已知：BC是公共边，∠ABC=∠ACB， 还需要证明的边或角：BE=CD. 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 实施计划 按照下述思路写出证明过程，并说明每一步的理由. (1) 通过△ABD≌△ACE，证明BD=CE. 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 证明：∵BD，CE是△ABC的中线， ∴AD=AC，AE=AB. 又∵AB=AC，∴AD=AE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴BD=CE. 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 (2) 通过△CBD≌△BCE，证明BD=CE. 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB. ∵BD，CE是△ABC的中线， ∴CD=AC，BE=AB. 又∵AB=AC， ∴CD=BE. 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 在△CBD和△BCE中， ∴△CBD≌△BCE(SAS). ∴BD=CE. 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 回顾反思 (1) 比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法? 喜欢第一种. 理由：逻辑更简单，能直接利用等腰三角形的腰相等、公共角以及中线带来的边相等，通过“SAS”快速证明三角形全等，步骤简洁，易于把握核心逻辑. 知识点 问题解决策略：反思 新知探究 (2) 根据题目的条件，你还能得到哪些结论? 角的关系 ∠ADB=∠AEC，∠BCE=∠CBD …… 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 (3) 适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论? 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E. 求证：BE=CD. 证明：∵ CD⊥AB，BE⊥AC， ∴ ∠AEB=∠ADC=90°. 又∠A=∠A，AB=AC， ∴ △ABE≌△ACD(AAS)， ∴ BE=CD. 知识点 问题解决策略：反思 A B C D E 新知探究 (4) 本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等. 反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗?你能证明自己结论的正确性吗? 这个三角形是等腰三角形. 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 已知：在△ABC中，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，且BD=CE. 求证：△ABC是等腰三角形(AB=AC). 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D 新知探究 证明：连接DE，过点D作DF∥EC，交BC延长线于F， ∴∠DFB=∠ECB, ∵BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线， ∴点D,E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，即DE∥CF, 又DF∥EC， ∴四边形ECFD是平行四边形， ∴EC=DF, 知识点 问题解决策略：反思 A B C E D F 新知探究 知识点 问题解决策略：反思 又BD=EC， ∴BD=DF, ∴∠DBF=∠DFB, ∴∠DBF=∠ECB, 又BD=CE,BC=CB, ∴△BCD≌△CBE(SAS)， ∴∠DCB=∠EBC， ∴AB=AC. A B C E D F 新知探究 (5) 你认为还可以研究哪些问题? 知识点 问题解决策略：反思 等腰三角形底角的平分线是否相等？ 如果一个三角形的两角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？ 如果一个三角形的两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？ …… 新知探究 解决问题之后，还可以继续进行思考与尝试： ① 条件不变，尝试寻找更多可能成立的结论； ② 适当改变条件(如将条件改成更一般的条件或类似的条件)探究结论是否仍然成立； ③ 研究是否可以将一些条件和结论互换. 知识点 问题解决策略：反思 新知探究 1.(1) 证明：全等三角形对应边上的中线相等； 解：已知：如图，△ABC≌△DEF，AM，DN分别是边BC，EF上的中线. 求证：AM=DN. 随堂练习 22 证明：∵ △ABC≌△DEF， ∴ ∠B=∠E，AB=DE，BC=EF. ∵ AM，DN分别是边BC，EF上的中线， ∴ BM=BC，EN=EF， ∴ BM=EN， ∴ △ABM≌△DEN， ∴ AM=DN. 随堂练习 23 (2) 参考上述命题提出几个新的命题，并说明它们与原来命题的联系与区别. 解：新命题：全等三角形对应角的平分线相等，对应边上的高相等. 联系：都是利用全等三角形的性质与判定证明对应边上的高或中线、对应角的平分线分别相等. 区别：有的利用“SAS”判定全等三角形，有的用“ASA”判定全等三角形，有的用“AAS”判定全等三角形. 随堂练习 24 2. (1) 将0~9这10个数字填写到图中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大； 要使相邻两个数的差的绝对值最大，如图所示，填法不唯一. |9-0|+|1-9|+|8-1|+|2-8|+|7-2|+|3-7|+|6-3|+|4-6|+|5-4|+|0-5| =9+8+7+6+5+4+3+2+1+5 =50. 随堂练习 25 (2) 参考上述问题提出几个新的问题，并说明它们与原来问题的联系与区别. 新问题：将0~9这10个数字填写到图4中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最小. 联系：本质都是通过调整数字排列顺序，控制“相邻两数差的绝对值”，实现总和的极值. 随堂练习 26 (2) 参考上述问题提出几个新的问题，并说明它们与原来问题的联系与区别. 新问题：将0~9这10个数字填写到图4中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最小. 区别：最大化和的核心是“对立极值相邻”，让大数字避开大数字、小数字避开小数字. 最小化和的核心是“连续数字相邻”，让数字按自然顺序衔接，无额外差值. 随堂练习 27 反思通常需要在较为重要的数学知识、较难理解的某些结论、蕴含着重要的数学思想方法、典型的题目等学习研究后开展，反思环节大致有三步： 一是前期解决问题环节，解决某一个问题，继而得出结论； 二是核心反思环节，对前面的问题、学习过程等再思考，反思研究的过程、知识间的关联、方法的优化等，从而得到具有个体特征的更有价值的结论； 三是后期升华环节，学生根据反思形成新认识、加深对新知识的理解，从而提炼出内在规律，对后续相关问题的解决、研究提供策略，体会其普适性与迁移性，并逐步形成反思的习惯. 课堂小结 $