1.5 角平分线 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件围绕角平分线的性质定理、判定定理应用及三角形三条角平分线性质展开，课堂导入通过问题回顾旧知，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步深入探究。 其亮点在于以例1等腰直角三角形计算与证明、例2角平分线交点性质探究为载体，通过作垂线构造全等、符号语言规范表达等，培养学生数学眼光（抽象图形关系）、数学思维（逻辑推理）、数学语言（归纳解题通法）。随堂练习涵盖选择、证明等题型，教师使用可提升教学效率，学生能夯实推理与应用能力。

第2课时 角平分线的性质定理和判定定理的应用 1.5 角平分线 第一章 三角形的证明及其应用 八下数学 BSD 1.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决相关的问题，进一步增强推理能力. 2.知道三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 学习目标 问题 角平分线的性质定理及判定定理是什么？ 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 课堂导入 例1 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1) 已知CD=4cm，求AC的长； (2) 求证：AB=AC+CD. 知识点1 角平分线的性质定理和判定定理的应用 C D A B E 新知探究 (1) 解：∵ AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴ DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵ AC=BC，∴ ∠B=∠BAC(等边对等角). ∵ ∠C=90°，∴ ∠B=×90°=45°. ∴ ∠BDE=90°-45°=45°. ∴ BE=DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中， BD===4cm(勾股定理). ∴ AC=BC=CD+BD=(4+4)cm. C D A B E 知识点1 角平分线的性质定理和判定定理的应用 新知探究 (2) 证明：由(1)的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴ AC=AE(全等三角形的对应边相等). ∵ BE=DE=CD， ∴ AB=AE+BE=AC+CD. C D A B E 知识点1 角平分线的性质定理和判定定理的应用 新知探究 例2 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P. 求证：∠A的平分线经过点P. 分析：要证明∠A的平分线经过点P，需要什么条件? 已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论? 知识点2 三角形三个内角的平分线的性质 P A B N C M 点P到∠A的两边的距离相等 点P到∠ABC， ∠ACB的两边的距离相等 新知探究 证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM是△ABC的角平分线， ∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等). 同理，PE=PF. ∴ PD=PE=PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A的平分线经过点P. 知识点2 三角形三个内角的平分线的性质 P A B N C M D F E 新知探究 知识点2 三角形三个内角的平分线的性质 三角形的角平分线：三角形的三条角平分线交与一点，并且这点到三边的距离相等. 该点称为三角形的内心. 新知探究 符号语言： ① 在△ABC中， ∵ BD，CE，AG分别是∠ABC，∠ACB，∠BAC的平分线， ∴ BD，CE，AG相交于一点P. ② 若过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB， 垂足分别为点M，N，F，则PM=PN=PF. 知识点2 三角形三个内角的平分线的性质 新知探究 知识点2 三角形三个内角的平分线的性质 取一张半透明纸，在半透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有什么发现? 三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部. 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 新知探究 1. 下列说法错误的是( ) A. 三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分 B. 三角形的三条中线相交于一点 C. 直角三角形三条高交于三角形的一个顶点 D. 三角形三条角平分线相交于一点，这个点是三角形的内心 A 随堂练习 12 2. 一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪( ) A. 三条角平分线的交点处 B. 三条高线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 以上都不对 A 随堂练习 13 3. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E在边BC上．AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求证：BE＝CE.    D 遇角平分线，过角平分线上一点向两边作垂线段是常用的辅助线. 分析：要证明线段相等，常通过证明三角形全等，但BE与CE所在三角形显然不全等，故需要构造全等三角形. 随堂练习 14 证明：过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥AD于点G，EM⊥CD于点M. ∵ AE平分∠BAD，DE平分∠ADC， ∴ EF＝EG＝EM， =90°. 在△BEF和△CEM中 ∴ △BEF≌△CEM (AAS)， ∴ BE＝CE. D 随堂练习 15 解题通法 证明线段相等的常用依据 (1)线段中点的定义；(2)等式的基本性质； (3)全等三角形的对应边相等；(4)等角对等边； (5)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； (6)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 随堂练习 16 4. 如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于点D.若OD=2，则△ABC的面积是 . 随堂练习 17 解析：如图，作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点 F，连接OA. ∵ 点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点， ∴ AO为∠BAC的平分线. 又OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC， ∴ OE=OF=OD=2， ∴ S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC =×(AB+BC+AC)×OD =×10×2=10. 随堂练习 18 4. 如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于点D.若OD=2，则△ABC的面积是 . 10 随堂练习 19 5. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD， CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N.求证：FE=FD. 随堂练习 20 证明：如图所示，过点F作FG⊥AC于点G. 又∵ AD平分∠BAC，FM⊥AB， ∴ FM=FG(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理可得FN=FG， ∴ FM=FN. ∵ ∠ACB=90°，CE平分∠ACB， ∴ ∠ECA=45°， ∵ ∠B=60°， G 随堂练习 21 ∴ ∠BAC=30°， ∴ ∠BAD=∠BAC=15°， ∠MEF=∠EAC+∠ECA=30°+45°=75°(三角形外角的性质)， ∴∠NDF=∠BAD+∠B=15°+60°=75°(三角形外角的性质)， ∴ ∠MEF=∠NDF. 在△EMF和△DNF中， ∴ △EMF≌△DNF(AAS)， ∴ FE=FD(全等三角形的对应边相等). 随堂练习 22 $