期末复习08圆期末冲刺必备讲义(1)(知识梳理+题型精析+备考强化通关)2025-2026学年人教版九年级数学上册

期末复习08圆期末冲刺必备讲义(1) 期末必备 知识点梳理 1.基础核心概念 2.重要定理及推论 3.位置关系量化判断 4核心应用及解题方法. 5.高频易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.圆的核心概念辨析 2.圆的周长与面积计算及应用 3.垂径定理的基础求值问题 4.垂径定理的实际场景应用 5.弧.弦.圆心角的关系:求值类问题 6.弧.弦.圆心角的关系:证明类问题 7.圆周角定理的理解与应用 8.同弧/等弧对应的圆周角相等 9.半圆(直径)所对的圆周角是直角 10.90度圆周角所对弦为直径的判定 11.圆内接四边形的角度求解方法 期末备考 强化通关 单选题(7) 填空题(7) 解答题(7) 【知识点01.基础核心概念】 一、基础核心概念 1.圆的定义： ① 运动定义：同一平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，端点A形成的封闭曲线就是圆，O是圆心，OA是半径，记作“圆O”； ② 集合定义：平面内所有到定点（圆心O）距离等于定长（半径）的点的集合。 2.圆的确定条件： ① 基本要素：圆心（定位置）、半径（定大小），缺一不可； ② 过点作圆规律：过1个点可作无数个圆；过2个点可作无数个圆（圆心在线段垂直平分线上）；过不在同一直线上的3个点可作1个圆（圆心是三边垂直平分线交点，即三角形外心），同一直线上的3个点不能作圆。 3.关键相关概念： 弦：连接圆上任意两点的线段，过圆心的弦是直径，直径是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分，分优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）、半圆，劣弧用2个字母表示（如弧AB），优弧用3个字母表示（如弧ACB）； 等弧：同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧； 等圆：半径相等、能完全重合的两个圆，与圆心位置无关； 同心圆：圆心相同、半径不相等的两个圆，无公共点。 4.圆心角：顶点在圆心的角，如角AOB（OA、OB为半径），其度数等于所对弧的度数。 5.圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角，两个条件缺一不可。 6.圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形。 【知识点02.重要定理及推论】 1.圆的对称性相关：① 轴对称性：任意一条直径所在的直线都是对称轴（无数条），注意对称轴是直线，不是直径；② 中心对称性：以圆心为对称中心，旋转任意角度都能与自身重合。 2.垂径定理及推论： 核心定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（优弧和劣弧）； 拓展推论（知二推三）：一条直线满足“过圆心、垂直弦、平分弦（非直径）、平分劣弧、平分优弧”五个条件中的任意两个，就能推出另外三个； 重点推论：① 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧；② 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦所对的弧；③ 两条平行弦所夹的弧相等。 3.弧、弦、圆心角关系定理： 核心定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等； 双向推论：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中，任意一组量相等，其余三组量都相等； 关键前提：必须在“同圆或等圆中”，否则结论不成立。 4.圆周角定理及推论： 核心定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半； 拓展推论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半； 重点推论： ① 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等； ② 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径； ③ 圆内接四边形的对角互补，任意一个外角都等于它的内对角。 5.圆周角与圆心角的位置关系： ① 圆心在圆周角的一边上：圆心角是圆周角的2倍； ② 圆心在圆周角内部：圆周角等于两个分角之和，总和是圆心角的一半； ③ 圆心在圆周角外部：圆周角等于两个分角之差，差值是（大圆心角-小圆心角）的一半。 【知识点03.位置关系量化判断】 点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d； 1 d大于r：点在圆外； 2 d等于r：点在圆上； 3 d小于r：点在圆内。四、核心应用与解题方法 【知识点04.核心应用及解题思路】 1. 弦长计算模型： ① 公式：半径的平方 = 弦心距的平方 + （弦长÷2）的平方（r=半径，d=弦心距，l=弦长）； ② 步骤：过圆心作弦的垂线（辅助线）→ 构建直角三角形（半径为斜边）→ 代入公式计算。 2.辅助线添加技巧： ① 遇直径：连接圆上一点构建直角三角形； ② 遇弦：作圆心到弦的垂线，用垂径定理； ③ 遇圆周角：连接圆心与圆周角顶点，转化为圆心角； ④ 遇圆内接四边形：利用对角互补或外角等于内对角的性质找角关系。 3.综合题型解题步骤： ① 标注已知条件：明确半径、弦长、角度、直径等； ② 作辅助线：根据题型需求构建合适的辅助线； ③ 转化量关系：将圆周角转化为圆心角，弦长转化为半弦长+弦心距+半径的直角三角形关系； ④ 计算或证明：结合勾股定理、角度和差等知识求解。 4.常见应用场景： ① 求弦长、半径、弦心距； ② 求角度（圆心角、圆周角） ③ 证明线段相等、角相等、弦是直径；④ 解决桥洞高度、水管截面等实际问题。 【知识点05.高频易错点警示】 1.垂径定理推论中，忽略“弦不是直径”的条件，误用“平分弦的直径垂直于弦”（如两条直径互相平分但不垂直）； 2.应用弧、弦、圆心角关系定理时，遗漏“同圆或等圆”的前提； 3.混淆“弧长相等”与“弧相等”，忽略等弧需“同圆或等圆且能重合”的条件； 4.判断圆周角时，遗漏“顶点在圆上”或“两边都与圆相交”的条件； 5.用90度圆周角证明直径时，忽略“角的顶点在圆上”的前提； 6.计算弦长时，忘记将弦长取半，直接代入勾股定理； 7.找圆内接四边形的外角对应的内对角时出现错误。 【题型1.圆的核心概念辨析】 【典例】给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【跟踪训练1】如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点， 连接．有如下结论：；；平分；；；四点共圆．其中正确的结论有： ．（填写序号） 【跟踪训练2】下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2.圆的周长与面积计算及应用】 【典例】如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【跟踪训练1】某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 【跟踪训练2】把一个周长为18.84分米的圆平均分成两个半圆，每个半圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米． 【题型3.垂径定理的基础求值问题】 【典例】如图，在中，弦，圆心O到弦的距离，则的半径为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【跟踪训练1】已知是的直径，弦 于点， 若，，则的长为 ． 【跟踪训练2】如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（   ） A． B． C． D． 【题型4.垂径定理的实际场景应用】 【典例】如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（   ）． A．5 B． C．6 D． 【跟踪训练1】已知一根排水管的截面为圆，记圆心为O，被水面截得弦长为4米．半径长为3米，若点M为圆形水管的最低点，则点M到水面的距离是 米． 【跟踪训练2】人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1是一个竹筒水容器，图2是该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【题型5.弧.弦.圆心角的关系:求值类问题】 【典例】如图，在⊙O中，，，则的度数为 ． 【跟踪训练1】如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 【题型6.弧.弦.圆心角的关系:证明类问题】 【典例】如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪训练1】“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 【跟踪训练2】如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 【题型7.圆周角定理的理解与应用】 【典例】如图，已知是的两条直径，，则的度数为 ． 【跟踪训练1】如图，点，，在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】在上有两点A和B，，点C是圆上异于A和B的一点，则 ． 【题型8.同弧/等弧对应的圆周角相等】 【典例】如图，弦交于点，连接．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，为的直径，点A为弧的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是弧的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，于点E，则的周长是 ． 【题型9.半圆(直径)所对圆周角是直角】 【典例】如图，是的直径，弦与交于点E，连结，，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，是的直径，若，，则的长等于 ． 【跟踪训练2】如图，是的直径，为上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；作射线，与相交于点．若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【题型10.90度圆周角所对弦为直径的判定】 【典例】如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为 ． 【跟踪训练1】下列说法正确的是（） A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．的圆周角所对的弦是直径 【跟踪训练2】如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 【题型11.圆内接四边形的角度求解方法】 【典例】如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为 ． 【跟踪训练2】如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，的直径与弦相交于P，，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 6．如图，四边形是矩形，分别是边，上的动点（不与端点重合），且，过点作直线的垂线，垂足为，连接．设，，的最大值为．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．①③ D．①②③ 7．如图，线段，以O为圆心，2为半径作．点P为上的动点，连接，并将绕点A逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 二.填空题 8．如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 9．如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 10．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 11．如图，内接于，，，点P是上异于点A、B、C的一动点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 12．如图，在中，，是高线，延长交的外接圆于点E，连接．若，圆的面积为，则的长是 ． 13．如图，为的弦，，为圆上的两个动点，记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为． 若，给出如下四个结论： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述结论中一定正确的有 （填写所有正确结论的序号）． 14．如图，是的直径，点是弦的中点，在上，连接，若，，，则 ． 三.解答题 15．在中，，为弦，为直径，于E，于F． (1)如图1，若过圆心O，求的度数； (2)如图2，若与相交于G证明：． 16．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 17．某地有一座抛物线形拱桥（如图①），桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即）． (1)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ (2)若此桥为圆弧形拱桥（如图②，其中点O为圆心，） ①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度； ②那么宽，船舱顶部高出水面的货船能否通过这座桥？ 18．一个装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，． (1)如图1，当时，作于点C，并交半圆O于点D，若水面截线，求水截面最大深度的长． (2)将图1中的水倒出一部分，得到图2，直径一端点B刚好与点N重合．水截面最大深度为13，请计算此时水面截线的长． 19．如图，已知是的直径，于点E，点P为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连接，则的度数为 ； (2)如图2，连接、、、．若平分交于点F，求的长； (3)如图3，连接、、，在点P的运动过程中（不与B、C两点重合），请问的值是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出这个值． 20．如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，．点M为上一点，过P作于D点，求证：； (3)如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连，，．求的值． 21．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 ∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上． （1）请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习08圆期末冲刺必备讲义(1) 期末必备 知识点梳理 1.基础核心概念 2.重要定理及推论 3.位置关系量化判断 4核心应用及解题方法. 5.高频易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.圆的核心概念辨析 2.圆的周长与面积计算及应用 3.垂径定理的基础求值问题 4.垂径定理的实际场景应用 5.弧.弦.圆心角的关系:求值类问题 6.弧.弦.圆心角的关系:证明类问题 7.圆周角定理的理解与应用 8.同弧/等弧对应的圆周角相等 9.半圆(直径)所对的圆周角是直角 10.90度圆周角所对弦为直径的判定 11.圆内接四边形的角度求解方法 期末备考 强化通关 单选题(7) 填空题(7) 解答题(7) 【知识点01.基础核心概念】 一、基础核心概念 1.圆的定义： ① 运动定义：同一平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，端点A形成的封闭曲线就是圆，O是圆心，OA是半径，记作“圆O”； ② 集合定义：平面内所有到定点（圆心O）距离等于定长（半径）的点的集合。 2.圆的确定条件： ① 基本要素：圆心（定位置）、半径（定大小），缺一不可； ② 过点作圆规律：过1个点可作无数个圆；过2个点可作无数个圆（圆心在线段垂直平分线上）；过不在同一直线上的3个点可作1个圆（圆心是三边垂直平分线交点，即三角形外心），同一直线上的3个点不能作圆。 3.关键相关概念： 弦：连接圆上任意两点的线段，过圆心的弦是直径，直径是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分，分优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）、半圆，劣弧用2个字母表示（如弧AB），优弧用3个字母表示（如弧ACB）； 等弧：同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧； 等圆：半径相等、能完全重合的两个圆，与圆心位置无关； 同心圆：圆心相同、半径不相等的两个圆，无公共点。 4.圆心角：顶点在圆心的角，如角AOB（OA、OB为半径），其度数等于所对弧的度数。 5.圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角，两个条件缺一不可。 6.圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形。 【知识点02.重要定理及推论】 1.圆的对称性相关：① 轴对称性：任意一条直径所在的直线都是对称轴（无数条），注意对称轴是直线，不是直径；② 中心对称性：以圆心为对称中心，旋转任意角度都能与自身重合。 2.垂径定理及推论： 核心定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（优弧和劣弧）； 拓展推论（知二推三）：一条直线满足“过圆心、垂直弦、平分弦（非直径）、平分劣弧、平分优弧”五个条件中的任意两个，就能推出另外三个； 重点推论：① 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧；② 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦所对的弧；③ 两条平行弦所夹的弧相等。 3.弧、弦、圆心角关系定理： 核心定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等； 双向推论：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中，任意一组量相等，其余三组量都相等； 关键前提：必须在“同圆或等圆中”，否则结论不成立。 4.圆周角定理及推论： 核心定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半； 拓展推论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半； 重点推论： ① 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等； ② 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径； ③ 圆内接四边形的对角互补，任意一个外角都等于它的内对角。 5.圆周角与圆心角的位置关系： ① 圆心在圆周角的一边上：圆心角是圆周角的2倍； ② 圆心在圆周角内部：圆周角等于两个分角之和，总和是圆心角的一半； ③ 圆心在圆周角外部：圆周角等于两个分角之差，差值是（大圆心角-小圆心角）的一半。 【知识点03.位置关系量化判断】 点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d； 1 d大于r：点在圆外； 2 d等于r：点在圆上； 3 d小于r：点在圆内。四、核心应用与解题方法 【知识点04.核心应用及解题思路】 1. 弦长计算模型： ① 公式：半径的平方 = 弦心距的平方 + （弦长÷2）的平方（r=半径，d=弦心距，l=弦长）； ② 步骤：过圆心作弦的垂线（辅助线）→ 构建直角三角形（半径为斜边）→ 代入公式计算。 2.辅助线添加技巧： ① 遇直径：连接圆上一点构建直角三角形； ② 遇弦：作圆心到弦的垂线，用垂径定理； ③ 遇圆周角：连接圆心与圆周角顶点，转化为圆心角； ④ 遇圆内接四边形：利用对角互补或外角等于内对角的性质找角关系。 3.综合题型解题步骤： ① 标注已知条件：明确半径、弦长、角度、直径等； ② 作辅助线：根据题型需求构建合适的辅助线； ③ 转化量关系：将圆周角转化为圆心角，弦长转化为半弦长+弦心距+半径的直角三角形关系； ④ 计算或证明：结合勾股定理、角度和差等知识求解。 4.常见应用场景： ① 求弦长、半径、弦心距； ② 求角度（圆心角、圆周角） ③ 证明线段相等、角相等、弦是直径；④ 解决桥洞高度、水管截面等实际问题。 【知识点05.高频易错点警示】 1.垂径定理推论中，忽略“弦不是直径”的条件，误用“平分弦的直径垂直于弦”（如两条直径互相平分但不垂直）； 2.应用弧、弦、圆心角关系定理时，遗漏“同圆或等圆”的前提； 3.混淆“弧长相等”与“弧相等”，忽略等弧需“同圆或等圆且能重合”的条件； 4.判断圆周角时，遗漏“顶点在圆上”或“两边都与圆相交”的条件； 5.用90度圆周角证明直径时，忽略“角的顶点在圆上”的前提； 6.计算弦长时，忘记将弦长取半，直接代入勾股定理； 7.找圆内接四边形的外角对应的内对角时出现错误。 【题型1.圆的核心概念辨析】 【典例】给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 【跟踪训练1】如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点， 连接．有如下结论：；；平分；；；四点共圆．其中正确的结论有： ．（填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了四点共圆，全等三角形的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出正确；再求出，根据翻折可得利用三角形的内角和定理可得，判断出正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出不正确；根据含度角的直角三角形的性质可以判断正确；判断出和不全等，从而得到，判断出正确，根据全等三角形的性质得到，得到四点共圆，判断出正确，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴，，， ∴ ，故正确； ∴， 由翻折的性质得， 又∵， ∴，故正确； 过作于点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴不能证明平分，故错误； 假设正确，而是直角三角形，若，则， 又，， ∴， 而题干中没有说和的数量关系， ∴也不能被证明，故不正确； 在和 中， ， ，， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴四点共圆，故正确； 综上所述，结论正确的是； 故答案为：． 【跟踪训练2】下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、直径、等圆和等弧的定义． 根据圆的基本概念逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，说法（1）正确； 弧不一定是半圆，也可能是优弧或劣弧，说法（2）错误； 圆内一点只有是圆心时才能作无数条直径，否则只能作一条直径，说法（3）错误； 半径相等的两个圆是全等的，因此是等圆，说法（4）正确； 能够重合的弧是等弧，仅长度相等不一定能重合，说法（5）错误； ∴错误的说法的个数是3个． 故选：C． 【题型2.圆的周长与面积计算及应用】 【典例】如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 【跟踪训练1】某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】先算出图①和图②中水池边沿的周长，再分析两者周长的关系． 【详解】解：设图①中每个外圆的直径为， ∴图①中水池边沿的周长为． 设图②中三个内圆的直径分别为、、，外圆的直径为，且， ∴图②中水池边沿的周长为外圆周长加上三个内圆的周长，即： ． ∴图①和图②水池边沿的周长相等，即砌水池边沿需要的材料一样多． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，解题关键是根据圆的周长公式，分别计算出图①和图②中水池边沿的周长，再进行比较． 【跟踪训练2】把一个周长为18.84分米的圆平均分成两个半圆，每个半圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米． 【答案】 15.42 14.13 【分析】本题考查圆的周长和面积公式，先利用周长公式求得，再利用圆的周长和面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：15.42；14.13． 【题型3.垂径定理的基础求值问题】 【典例】如图，在中，弦，圆心O到弦的距离，则的半径为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 根据，得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴根据勾股定理得：， 即的半径为5． 故选：A． 【跟踪训练1】已知是的直径，弦 于点， 若，，则的长为 ． 【答案】1或9/或 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理的应用，根据题意做出图形是本题的解题关键，注意分类讨论．结合垂径定理和勾股定理，在中，求得的长，则或，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 的直径， ， 于点， ， 在中，， ， 如图： 同理，可求得， 此时， 故的长是或， 故答案为：或． 【跟踪训练2】如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．过点作的垂线交于点，交半圆于点，由轴对称的性质可知，，由勾股定理可得，再利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，交半圆于点， ， ， 由轴对称的性质可知，， 在中，， 是半径，， ， 故选：A． 【题型4.垂径定理的实际场景应用】 【典例】如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（   ）． A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，理解垂径定理的作用是解题的关键．由垂径定理求得，中利用勾股定理即可求得半径． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， 设圆的半径为， ， ， ， ， ， 解得，． 故选：A． 【跟踪训练1】已知一根排水管的截面为圆，记圆心为O，被水面截得弦长为4米．半径长为3米，若点M为圆形水管的最低点，则点M到水面的距离是 米． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 利用垂径定理求出，然后再分情况讨论即可． 【详解】解：如图，水面为，， ∵，， ∴， ∴， 当在圆心下方时，， 当在圆心上方时，， 故答案为：或．    【跟踪训练2】人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1是一个竹筒水容器，图2是该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故选B． 【题型5.弧.弦.圆心角的关系:求值类问题】 【典例】如图，在⊙O中，，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握三者关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系和等式的性质解答即可． 【详解】解：在⊙O中，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 【跟踪训练2】如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了四量关系定理，取的中点D，连接，，得出根据，得出，从而得出，即可求出，从而得出答案． 【详解】解：取的中点D，连接，，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型6.弧.弦.圆心角的关系:证明类问题】 【典例】如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 【跟踪训练1】“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理，根据D是的中点，得到，三线合一，得到，，设半径为，在中，利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的一部分，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 【跟踪训练2】如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴O到的距离相等， 由题意，不一定成立， 结合选项可知，选项B、C、D结论成立，不符合题意；选项A结论不一定成立，符合题意； 故选：A． 【题型7.圆周角定理的理解与应用】 【典例】如图，已知是的两条直径，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆心角度数是圆周角度数的2倍可求出的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵是的两条直径，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，点，，在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，由圆周角定理得，由得，最后根据三角形内角和定理可解答问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪训练2】在上有两点A和B，，点C是圆上异于A和B的一点，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质并分情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：如图，当C点在优弧上，利用圆周角定理得到的度数；当点在上，利用圆内接四边形的性质得到的度数． 【详解】解：如图，    当C点在优弧上，则； 当点在上，则； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【题型8.同弧/等弧对应的圆周角相等】 【典例】如图，弦交于点，连接．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键． 根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：由图可知：所对圆周角的是或． 故选：C． 【跟踪训练1】如图，为的直径，点A为弧的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理作答即可． 连接，根据圆周角定理得出，确定所对的圆心角为，得出其所对的圆周角为，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可知，所对的圆周角， ∴其所对的圆心角为， 所对的圆心角为， ∴其所对的圆周角为， 又∵点A是的中点， ∴． 故选：C． 【跟踪训练2】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是弧的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，于点E，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等边三角形的性质，阿基米德折弦定理，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质以及阿基米德折弦定理即可得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【题型9.半圆(直径)所对圆周角是直角】 【典例】如图，是的直径，弦与交于点E，连结，，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连结，由是的直径，得，则，而，且，，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：连结， 是的直径， ， ， ∴， ，且，， ， ， 故选：A 【跟踪训练1】如图，是的直径，若，，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【跟踪训练2】如图，是的直径，为上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；作射线，与相交于点．若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理及推论、勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题关键，连接，得出，求出，再证明，即可求出结论． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， 由作图知，平分， ， ， ， ， 故选：C． 【题型10.90度圆周角所对弦为直径的判定】 【典例】如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，由圆周角定理得是圆形镜面的直径，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， ∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练1】下列说法正确的是（） A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．的圆周角所对的弦是直径 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，包括圆周角定理、垂径定理及其推论，以及等弧的概念．需要根据初中数学知识逐一判断选项的正确性． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，因为一条弦对应两个互补的圆周角（除非弦为直径），故该选项错误，不符合题意． B．长度相等的两条弧不一定是等弧，必须在同圆或等圆中才能称为等弧，故该选项错误，不符合题意． C．平分弦的直径平分弦所对的弧．当弦不是直径时，根据垂径定理，直径平分弦则垂直于弦，并平分弧；当弦是直径时，任意一条直径都平分该弦（直径），但只有与它垂直的直径才能平分它所对的弧（半圆）．但垂径定理通常要求弦非直径，故该选项错误，不符合题意． D．的圆周角所对的弦是直径，这是圆周角定理的推论，正确，符合题意． 故选：D． 【跟踪训练2】如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，根据圆周角定理得到则为直径，即点在上，，然后根据含角的直角三角形边的关系求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴为直径，即点在上， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦是直径，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握：的圆周角所对的弦是直径． 【题型11.圆内接四边形的角度求解方法】 【典例】如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，得到，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【跟踪训练1】如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为 ． 【答案】50 【分析】此题重点考查圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．连接，由，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 是中点， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 【跟踪训练2】如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，运用圆周角定理及圆内接四边形的性质求角的度数是解题关键，根据圆内接四边形的性质可求出的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， 是的直径， ， ； 故选：B． 1．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 2．如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 3．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 4．如图，的直径与弦相交于P，，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子进行变形是解题的关键． 过点作 连接根据垂径定理可得根据得到对式子进行变换，即可求出半径． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）． 故选：B． 5．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 如图，取弧的中点E，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取弧的中点E，连接， ，， ， ， ， ． 故选：B． 6．如图，四边形是矩形，分别是边，上的动点（不与端点重合），且，过点作直线的垂线，垂足为，连接．设，，的最大值为．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】如图所示，连接，交与点，取的中点为，连接，根据勾股定理得到，根据点的运动得到，当点在中点时，则点在中点，此时，由此可判定①；由点的轨迹得到当点运动时，点在以为直径，点为圆心的上运动，得到当点与点重合时，为的直径，此时的最大值为可判定②；由此得到，即，由三角形三边数量关系得到，可判定③；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，连接，交与点，取的中点为，连接， ∴， ∵分别是边，上的动点（不与端点重合），且， ∴，即， 当点在中点时，则点在中点， ∴，且，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即点是的中点， ∵， ∴， 当点运动时，点在以为直径，点为圆心的上运动， ∴当点与点重合时，为的直径，此时的最大值为， ∴，故②错误； 在中，，即， ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴， 当点三点共线时，取到等号， ∴， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①③， 故选：C ． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，点的轨迹与圆的基础知识，三角形三边数量关系等知识的综合运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定方法和性质的运用，圆的基础知识，三角形三边数量关系的计算方法是解题的关键． 7．如图，线段，以O为圆心，2为半径作．点P为上的动点，连接，并将绕点A逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，作，且，连接，，证明，可得，在以点D为圆心，半径为2的圆上，结合，可得当共线时，最大，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，作，且，连接，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在以点D为圆心，半径为2的圆上， 在中，， ∴， ∵， 当共线时，最大， 即长度的最大值为. 故选：A． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，三角形三边关系的应用，圆的基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 二.填空题 8．如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 9．如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 【详解】解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 10．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 11．如图，内接于，，，点P是上异于点A、B、C的一动点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等边对等角可得，分两种情况：当点在劣弧上时，连接，则此时，当时，此时；当时，；当时，此时，此时点与点重合，不符合题意；当点在优弧上时，此时，再结合等腰三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， 如图，当点在劣弧上时，连接，则此时， ∵为等腰三角形， ∴当时，此时， ， ∴， ∴； 当时，， ， ∴， ∴； 当时，此时，此时点与点重合，不符合题意； 当点在优弧上时，此时， ， ∵为等腰三角形， ∴此种情况下，只存在一种情况，此时， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 12．如图，在中，，是高线，延长交的外接圆于点E，连接．若，圆的面积为，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，因式分解法解一元二次方程． 根据等腰三角形三线合一得到，，，根据圆周角定理得到，可知，根据等角对等边得到，可知，即，根据可知是圆的直径，根据圆的面积为求出，根据勾股定理得到，可知，即，代入得到，求解一元二次方程即可． 【详解】解：∵，是高线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴是圆的直径， ∵圆的面积为， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）． 故答案为：． 13．如图，为的弦，，为圆上的两个动点，记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为． 若，给出如下四个结论： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述结论中一定正确的有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了圆的性质、弧的度数、垂径定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握知识点推理是解题的关键． 根据圆的性质、等边对等角、三角形的内角和定理，表示出，，结合，即可证明①正确；将旋转到和拼合，使得和重合，由，得出，旋转后点、、在同一直线上，，求出，根据勾股定理即可证明④正确；根据等边三角形的判定与性质，推出，得出，根据“角所对的直角边是斜边的一半”，得出，结合勾股定理即可证明②正确；根据弧的中点，得出，则，结合垂径定理，推出时，，得出只有当时，③成立，综合得出答案即可． 【详解】解：∵，弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故①正确， 如图，将旋转到和拼合，使得和重合， ∵，若， ∴，旋转后点、、在同一直线上，， 解得：， ∴，， 故④正确， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确， ∵若为弧的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴只有当时，③成立， 故③不正确， 综上所述，一定正确的有①②④， 故答案为：①②④． 14．如图，是的直径，点是弦的中点，在上，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、圆的弧与圆心角的关系及直角三角形的性质与勾股定理，解题的关键是通过构造等弧推导圆心角的关系得到，再结合垂径定理与直角三角形的相关性质计算弦长． 构造等弧得到对应圆心角相等，结合垂径定理推出；利用的度数及得出，在中求出；在中用勾股定理求出，进而得到的长度． 【详解】解：取上一点，使，连接 ∵，且， ∴，故①． ∵② ∵是弦的中点， ∴（垂径定理）， 又，则③（三线合一） 得：， 又（平角定义）， ∴． 即，又， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 即． 在中，． ∵是中点， ∴． 故答案为：． 三.解答题 15．在中，，为弦，为直径，于E，于F． (1)如图1，若过圆心O，求的度数； (2)如图2，若与相交于G证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，由垂径定理得，再根据圆心角定理得，进而可证为等边三角形，即可求解； （2）连接，由垂径定理和圆心角定理证得，进而得，从而证得，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为直径，，，过圆心O， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为直径，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、圆心角定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆心角定理是解题的关键． 16．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 【答案】(1)或或或（写一个即可）； (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据幸福四边形的定义分情况讨论，将表示为，列式求解即可； （2）根据条件证明，由幸福四边形的定义即可证明结论； （3）①连接，由幸福四边形的性质，证明，由圆周角定理的推论证明结论； ②过E作于点H，在中由勾股定理求出的长． 【详解】（1）∵，，， ∴， 若，则，解得； 若，则，解得（舍去）； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 故答案是：或或或（写出一个即可）； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为幸福四边形； （3）①证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为幸福四边形， ∴， 而， ∴， ∵D、G、C、E四点共圆， ∴， ∴， ∴是的直径； ②过E作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 17．某地有一座抛物线形拱桥（如图①），桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即）． (1)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ (2)若此桥为圆弧形拱桥（如图②，其中点O为圆心，） ①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度； ②那么宽，船舱顶部高出水面的货船能否通过这座桥？ 【答案】(1)货船不能顺利通过这座桥 (2)①该圆弧形拱桥所在圆的半径为；②货船能顺利通过这座拱桥 【分析】本题考查了垂径定理的应用、二次函数的应用．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）以D为坐标原点建立坐标系如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后把代入，求得函数值，比较，即可得到此时货船能否顺利通过这座桥； （2）①首先连接，设这座拱桥所在圆的半径为x米，由垂径定理，易得方程，解此方程即可求得半径；②连接，则米，可求得此时的高，即可求得的长，比较，即可得到此时货船能否顺利通过这座拱桥． 【详解】（1）解：货船不能顺利通过这座桥，理由： 以D为坐标原点建立坐标系如图， 根据题意得：，， ∴，，， 设抛物线为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴抛物线为， 设， ∵轴， ∴， ∴M点横坐标为， 把代入，得， ∴， ∴货船不能顺利通过这座桥； （2）解：①连接， 根据题意得：，， 则， 设这座拱桥所在圆的半径为， 则，， 在中，， 则， 解得：， ∴该圆弧形拱桥所在圆的半径为； ②货船能顺利通过这座拱桥．理由： 连接， 设， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∵， ∴货船能顺利通过这座拱桥． 18．一个装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，． (1)如图1，当时，作于点C，并交半圆O于点D，若水面截线，求水截面最大深度的长． (2)将图1中的水倒出一部分，得到图2，直径一端点B刚好与点N重合．水截面最大深度为13，请计算此时水面截线的长． 【答案】(1)水截面最大深度的长为． (2)水面截线的长为． 【分析】本题考查圆的垂径定理和勾股定理的综合应用，利用“垂径定理”构造直角三角形，结合勾股定理计算线段长度是解题关键． （1）连接，根据、的长度，在中，利用勾股定理求出，进而求出． （2）将水槽和地面的切点与圆心相连，与水面交于点，根据和水截面最大水深可求出，在中，利用勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，连接． ， ， ， ， ． 答：水截面最大深度的长为． （2）解：如图，设水槽与地面的切点为，连接与交于． ，， ， ， 根据题意可知，， ， ， ． 答：水面截线的长为． 19．如图，已知是的直径，于点E，点P为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连接，则的度数为 ； (2)如图2，连接、、、．若平分交于点F，求的长； (3)如图3，连接、、，在点P的运动过程中（不与B、C两点重合），请问的值是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出这个值． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质可得，再结合得出为等边三角形，即可得解； （2）由垂径定理可得，由圆周角定理可得，由角平分线的定义可得，证明，得出，即可得解； （3）由题意可得垂直平分，连接，，则，由（1）可知，，将绕A点顺时针旋转至，则，，，，证明、、三点共线，过A作于，则，设，则，证明出，即可得解． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ， ； （3）解：由题可得，直径，， ∴垂直平分， 如图，连接，，则， 由（1）可知，， 将绕A点顺时针旋转至， ，，，， 四边形为圆内接四边形， ， ， ∴、、三点共线， ， 过A作于，则， ∵， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 20．如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，．点M为上一点，过P作于D点，求证：； (3)如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连，，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）作，交的延长线于，如图2，证明，由全等三角形的性质可得出，证出四边形为正方形，得出，则可得出结论； （3）作于，如图3，由（2）得，证出为等腰直角三角形，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， 为直径， ， ， ， ， ； （2）证明：作，交的延长线于，如图2， ，，， 为直径， ， ， 四边形为矩形， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ， ； （3）解：作于，如图3， 由（2）得， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 21．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 ∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上． （1）请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______． 【答案】（1）A，2；（2） （3） 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握对称的性质，能够确定点的运动轨迹是解题的关键； （1）利用对称性可知，再由圆的定义可得在以A为圆心，2为半径的圆上； （2）作O点关于直线l的对称点，则在以为圆心，2为半径的的圆上，再求点的运动路径即可； （3）作O点关于直线l的对称点M，在以M为圆心，2为半径的的圆上，当直线l经过直径时，有最小值2，当直线l经过点A时，有最大值． 【详解】（1）∵点B为线段中点， ∴ ∴O、A点关于直线l对称 ∵点P关于直线l的对称点为， ∴ ∴以A为圆心，2为半径的圆上； （2）作O点关于直线l的对称点 ∵点P关于直线l的对称点为， ∴ ∵点P是上一动点， ∴在以为圆心，2为半径的的圆上， ∴点的运动路径长 （3）作O点关于直线l的对称点M ∵点P关于直线l的对称点为， ∴在以M为圆心，2为半径的的圆上 当直线l经过直径时，有最小值2, 当直线l经过点A时，有最大值 ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $