专题01 函数综合（二次函数与反比例函数）（12知识&17题型&1易错&2 方法清单）（期末复习知识清单）九年级数学上学期沪科版

专题01 函数综合（二次函数与反比例函数）（12知识&17题型&1易错&2方法清单） 【清单01】二次函数定义及一般形式 1. 二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的定义及一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 【清单02】二次函数图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0. 【清单03】二次函数图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 k的符号 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 【清单04】二次函数图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 h的符号 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 【清单05】二次函数图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 【清单06】二次函数图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 【清单07】二次函数与x轴交点个数 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 【清单08】二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 【清单09】反比例函数定义与解析式 1.反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 2. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 【清单10】反比例函数的图像特征 反比例函数的图像特征：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 【清单11】反比例函数的性质 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，y随x的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，y随x的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 【清单12】反比例函数的应用 利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型． 注意在自变量和函数值的取值上的实际意义． ②正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 【题型一】二次函数的定义 【例1】下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】安徽省合肥市第四十六中学2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式为常数，且，并能据此判断函数类型是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，对各选项逐个分析，即可求解． 【详解】解：根据二次函数是最高次项为二次且二次项系数不为0的整式函数，可知， A、当，不是二次函数，故选项A不符合题目要求， B、是分式函数，不是二次函数，故选项B不符合题目要求， C、是二次函数，故选项C符合题目要求， D、是一次函数，不是二次函数，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可．一般地，形如是二次函数． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， 解得． 故答案为：2． 【变式1-2】（2024·安徽安庆·二模）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-3】．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【来源】安徽省淮北市濉溪县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如 的函数是二次函数．逐一判断每个函数是否符合定义即可． 【详解】解：①，是二次函数； ②，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ∴ 是二次函数的有①和③，共2个． 故选：B 【题型二】二次函数的图像与性质 【例2】对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【难度】0.85 【来源】四川省泸州市 泸县五中学区 2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． A、图象的开口向上的说法错误； B、当时，y随x的增大而减小的说法正确； C、当时，y随x的增大而减小的说法错误； D、图象的对称轴是直线的说法错误． 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）与二次函数图象形状、开口方向都相同的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的相等，即二次函数图象的形状、开口方向都相同，进行作答即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴与二次函数图象形状不相同、以及开口方向不相同， 故该选项不符合题意； B、∵， ∴与二次函数图象形状相同、但开口方向不相同， 故该选项不符合题意； C、， ∵， ∴与二次函数图象形状、开口方向都相同， 故该选项符合题意； D、∵ ∴与二次函数图象形状不相同、以及开口方向不相同， 故该选项不符合题意； 故选：C 【变式2-3】对于抛物线，下列说法正确的是（  ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．最小值是 【答案】D 【难度】0.85 【来源】海南省屯昌县2025—2026学年上学期九年级数学期中考试试题 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用顶点式可直接得出相关特征． 根据二次函数的顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和最值． 【详解】解：∵抛物线是顶点式，其中，，， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，有最小值． 故A错误（开口向上），B错误（对称轴），C错误（顶点），D正确． 故选：D． 【题型三】待定系数法求二次函数解析式 【例3】已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．求此抛物线的表达式． 【答案】 【难度】0.85 【来源】浙江省杭州市上城区钱学森学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式．设抛物线为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：抛物线对称轴为， 设抛物线为， 又抛物线过，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 【变式3-1】已知抛物线经过点和．求二次函数解析式； 【答案】 【难度】0.85 【来源】四川省泸州市泸县四中学区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点和代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得； 抛物线的关系式为． 【变式3-2】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线，经过，，三点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)当为何值时，函数随的增大而增大？ 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而增大 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数，二次函数的图象和性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）由于已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，然后把代入求出即可； （2）根据二次函数的性质求解． 【详解】（1） 解：由于抛物线经过，， 则可设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：对称轴为直线， 由于，则二次函数开口向下， 当时，函数随的增大而增大． 【变式3-3】根据条件求二次函数的解析式 (1)抛物线过，，三点； (2)抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【来源】安徽省六安市舒城县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）设一般式，用待定系数法求出解析式； （2）设顶点式，用待定系数法求出解析式； 本题考查求二次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求二次函数解析式． 【详解】（1）设出抛物线的解析式为， 将点，代入解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 抛物线与轴交点的纵坐标为， ， 解得． 抛物线的解析式是， 即． 【题型四】二次函数图像综合 【例4】二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】安徽省C20教育联盟2025年九年级中考“功夫”卷（一）数学 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 【变式4-1】．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】安徽省亳州市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题（第一次模拟考试） 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质．根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； D、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，本选项符合题意； 故选：D． 【变式4-2】在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】山东省济宁市太白湖新区中心中学2025-2026学年上学期九年级10月联考数学试题 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质；根据二次函数的图象知：，，求得，，据此判断即可． 【详解】解：观察四个选项，由二次函数的图象知：，， ∴，， ∴一次函数的图象一、三、四象限， 故选：A． 【变式4-3】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2023年山东省泰安市初中学业测试水平数学试题 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，再利用代入解析式，得到进而可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由题图可知，二次函数的图象开口向上， ∴， 又∵对称轴在y轴的右侧． ∴． ∴． 又∵抛物线与y轴正半轴交于一点， ∴， 且当时， 即 ∵一次函数，反比例函数 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．反比例函数的图象在第一、三象限． 综上所述，符合条件的图象是B选项 故选：B. 【题型五】二次函数图像与各项系数之间的关系 【例5】．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【难度】0.85 【来源】辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 根据抛物线的开口方向，对称轴位置可判断①②，根据图象可得当时，可判断③，由图像可得时函数值最大，将化为可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ，故①不正确，不符合题意； 对称轴为， ，即，故②正确，符合题意； 由图可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 抛物线开口方向向下，且对称轴为， 时，取最大值， 由可得， 当时，， 当时，， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的由②③④． 故选：． 【变式5-1】二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【难度】0.85 【来源】湖北省宜城市2025-2026学年九年级上学期期中学业水平测试数学试题 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 根据对称轴公式得到，图象开口向上，与轴负半轴相交，则、，，顶点在处，函数值最小为，结合一元二次方程两根之和的公式进行逐一判断即可． 【详解】解：①根据图象可得，对称轴在轴右侧， 根据对称轴得，， 二次函数图象开口向上，与轴负半轴相交， 则、，， 因此， 故①错误； ②根据对称轴得，， 即， 故②正确； ③当时，， 代入得，， 故③错误； ④顶点在处，函数值最小为， 则对任意都有， 即， 故④正确； ⑤方程，即， 则两根之和为， 故⑤错误， 综上所述，正确的有②④， 故选：A． 【变式5-2】二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【难度】0.65 【来源】广东省汕尾市海丰县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数a、b、c的符号及相关式子的正误． 【详解】解：由抛物线开口向上，得；对称轴，得；抛物线与轴交于负半轴，得． ①（，三数相乘为正），此结论正确； ②，此结论正确； ③，，无法判定，此结论错误； ④顶点时函数取最小值，时，此结论错误． 综上，正确结论有2个． 故选：B． 【变式5-3】如图，已知二次函数（）的部分图象与x轴的正半轴的交点A位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．（m为任意实数） 【答案】C 【难度】0.65 【来源】湖北省孝感市孝南区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断A，特殊点判断B，对称轴判断C，最值，判断D即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴， ∴，，故A选项错误，C选项正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， 由图象可知，当时，函数值小于0， ∴；故B选项错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， ∴， ∴；故选项D错误； 故选C． 【题型六】二次函数平移问题 【例6】将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】A 【难度】0.85 【来源】山东省日照市岚山区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象及性质．通过比较原抛物线的顶点坐标与平移后图象的顶点坐标，确定平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线的顶点为，平移后图象的顶点为， ∴需向上平移个单位． 故选：A． 【变式6-1】将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【来源】 山东省济宁市曲阜市2025-2026学年九年级上学期数学期中测试题 人教版第21-24章（切线部分） 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的平移，熟知平移口诀为左加右减，上加下减，即可解答． 先将二次函数化为顶点式，再根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 把点向右平移2个单位，再向上平移1个单位后所得对应点的坐标为， 所以平移后的抛物线解析式为． 故答案为：． 【变式6-2】．若把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线解析式为 ； 【答案】 【难度】0.85 【来源】广东省潮州市金山实验学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的平移；将解析式化为顶点式，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：原抛物线的顶点为， 向左平移2个单位，顶点横坐标变为； 向上平移3个单位，顶点纵坐标变为， 故新顶点为， 由于平移不改变二次项系数，新解析式为． 故答案为：． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】浙江省绍兴市上虞区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”得出平移后的抛物线的解析式，进而写出顶点坐标即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即， ∴平移后抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【题型七】二次函数最值问题 【例7】函数的图象如图所示，则该函数的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 3 【难度】0.65 【来源】湖北省十堰市丹江口市2025-2026学年九年级上学期期中教学质量监测数学试题 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数在指定区间内的最值问题，解题的关键是结合函数图象确定区间内的最高点和最低点． 观察函数图象在内的最低点纵坐标，得到最小值；再看该区间内的最高点纵坐标，得到最大值． 【详解】解；从函数图象可知∶ 函数在区间内的最低点纵坐标为，因此最小值是； 函数在处的纵坐标为，是该区间内的最高点，因此最大值是． 故答案为：，3． 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 故选：D． 【变式7-2】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 【变式7-3】已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】四川省泸州市合江县第五片区2025-2026学年九年级上学期期中联考数学试题 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，，当时，，则，即可求解． 【详解】解：由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线， 则比距离对称轴远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值， 当时，， 当时，， 则， 解得， 故答案为：2． 【题型八】二次函数与坐标轴交点问题 【例8】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 【变式8-1】若关于x的二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据二次函数与轴有交点则且，进而求出的取值范围即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的二次函数与x轴有交点， ∴且， ∴且， 故选：B． 【变式8-2】已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 【答案】， 【分析】此题考查抛物线与坐标轴的交点问题．根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：由题意可知： 二次函数的对称轴是， 关于的对称点是． 则一元二次方程的两个实数根是，． 故答案为：，． 【变式8-3】已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； （3）观察图象可得当时，当时，在上方，即可求出x的取值范围； （4）利用图象法求出当时函数的取值范围，即为t的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点和， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：函数图象如图所示： 观察图象可知，当时，； （3）解：观察图象可知，当时，或； （4）解：观察图象可知，当时，， ∵当时，关于x的一元二次方程有实根， ∴． 【题型九】二次函数与不等式 【例9】如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.85 【来源】北京市陈经纶中学分校2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 【变式9--1】已知二次函数的图像如图所示， (1)方程的解为______． (2)方程有两个不相等的实数根，则的取值范围______． (3)不等式的解集为______． (4)当时，的取值范围______． (5)当时，随增大而增大，则n的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【难度】0.85 【来源】辽宁省盘锦市双台子区实验中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）先求出二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，再根据二次函数图像的对称性可得这个函数图像与轴的另一个交点坐标为，由此即可得； （2）先得出二次函数的图像与有两个交点，再结合函数图像即可得； （3）不等式表示是二次函数的图象位于轴下方，结合函数图像即可得； （4）求出当时，；当时，；当时，的值最小，最小值为，再根据二次函数图像的增减性求解即可得； （5）根据二次函数图像的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：由函数图像可知，二次函数的对称轴为直线，与轴有两个交点，其中一个交点坐标为， 则这个函数图像与轴的另一个交点坐标为，即， 所以方程的解为， 故答案为：． （2）解：由函数图像可知，二次函数的最小值为， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图像与有两个交点， ∴， 故答案为：． （3）解：不等式表示是二次函数的图象位于轴下方， 则结合函数图像可知，不等式的解集为， 故答案为：． （4）解：由函数图像可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 所以当时的函数值小于当时的函数值，即；当时，的值最小，最小值为， 由上可知，当时，， 所以当时，， 故答案为：． （5）解：由函数图像可知，当时，随的增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 故答案为：． 【变式9--2】二次函数的部分图象和对称轴如图所示． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【来源】北京市海淀区北京大学附属中学2025-2026学年九年级上学期统练9数学试卷 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键， （1）利用待定系数法解函数解析式即可； （2）根据函数图象即可得到当时， x的取值范围； （3）根据图象分两种情况讨论可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得：的图象过点，，对称轴是直线， ∴ 解得： ∴二次函数的表达式为：． （2）解：∵， 令，即， ∴， 解得：， ∴二次函数与轴的两个交点是，， ∵， ∴开口向下， 由函数图象可知：当时， ∴． （3）解：由（1）知，二次函数解析式为：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为：， 由图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，且两个交点的横坐标大于0，即此时有两个不同的正实数根． 当时，与的图象有一个交点，且交点的横坐标大于0，即此时有两个相同的正实数根． 综上可知，当时，总有两个正实数根． 【变式9--3】二次函数的图象如图所示，请根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【难度】0.65 【来源】山东省东营市垦利区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题（五四学制） 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点、二次函数与不等式，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性． （1）由抛物线与轴的交点坐标可得方程的两个根； （2）由抛物线位于轴下方部分图象所对应的自变量的取值范围可得不等式的解集； （3）由图中信息可得二次函数的最大值为2， 若方程有两个不相等的实数根，则k必须小于的最大值，进而可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，，          ∴方程的两个根为，． （2）解：由图象可知，当或时，二次函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为或． （3）解：由图象可知，二次函数的最大值为2， 若方程有两个不相等的实数根，则k必须小于的最大值，则． 【题型十】二次函数实际应用 【例10】某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． (1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． (2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)这个茶园的长为，宽为 (2)当，时，茶园的面积最大，最大面积是 【难度】0.65 【来源】甘肃省庆阳市第五中学2025--2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个茶园的宽为，则长为，由题意可得方程，进而求解即可； （2）设，则有，茶园的面积为，由题意易得，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为，则长为，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，且， 解得：， ∴， ∴长为； 答：这个茶园的长为，宽为 （2）解：设，则有，茶园的面积为， 由题意得：， 由（1）可知：， ∵， ∴当时，茶园的面积为取得最大值，最大值为； 答：当，时，茶园的面积最大，最大面积是． 【变式10-1】某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元． (1)若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】(1) (2)24元 【难度】0.65 【来源】广东省广州市白云区平沙培英学校2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据两次降价后商品的价格从144元变为81元建立方程求解即可； （2）设每件降价m元，每天的利润为W元，根据每天的利润等于每件商品的利润乘以销售量列出W关于m的二次函数关系式，再求出m的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设每件降价m元，每天的利润为W元， 由题意得， ， ∵该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随m增大而增大， ∴当时，W有最大值， 答：每件应降价24元才能使每天获得的利润最大． 【变式10-2】某文具店销售一款进价为元/个的篮球，经统计发现，当销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的函数关系． (1)求与的函数关系式； (2)若文具店计划销售该款篮球每日获利元，且尽可能让利于顾客，求该款篮球的销售单价应定为多少元？ (3)该款篮球销售单价定为多少元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该款篮球的销售单价应定60元 (3)该款篮球销售单价定为元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多800元 【难度】0.65 【来源】贵州省遵义市汇川区2025-2026学年上学期期中九年级数学试卷 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题． （1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式； （2）设当天玩具的销售单价是元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求出答案； （3）设文具店所获日销售利润为，根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． 【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为， 把点和点代入，得 ，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设该款篮球的销售单价应定为元，根据题意得， ， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴该款篮球的销售单价应定60元； （3）解：设文具店所获日销售利润为，根据题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为800； ∴该款篮球销售单价定为元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是800元． 【变式10-3】学校准备在大连理工大学西北门的彩虹桥上悬挂宣传牌，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在彩虹桥上悬挂宣传牌 活动准备 1．到大学基建处查阅彩虹桥框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是位于大连理工大学西北门，在道路上方搭建的一座抛物线型彩虹桥．道路的宽为30，桥拱最高处距离路面的距离为9．为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩和进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱的对称轴对称．桥墩之间的距离．在两个桥墩上搭一个限高横杆． 设计方案 如图2，准备在桥拱下方，横杆上方安装矩形宣传牌，且在上，矩形宣传牌关于桥拱的对称轴对称． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的解析式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式解决相关问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)若学校要求矩形宣传牌的面积为18，且，请你通过计算，判断能否安装上符合要求的宣传牌． 【答案】(1) (2)能，计算见详解 【难度】0.65 【来源】辽宁省大连高新园区2025-2026学年九年级上学期数学期中卷 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数解应用题，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法求抛物线解析式即可得到答案； （2）由（1）中求得的函数解析式，根据题意求出广告牌长与宽，再比较点是否在抛物线型彩虹桥下方，进而确定答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 道路的宽为30， ， 则，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知， 桥墩之间的距离， 、， 则当时，；当时，； 、， ， 设，则，， 矩形宣传牌的面积为18， ，则， 解得或（舍去）， 即，， 则点的横坐标为， 当时，， ，， 到轴的距离， 故能安装上符合要求的宣传牌． 【题型十一】反比例函数定义 【例11】函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【难度】0.65 【来源】黑龙江省大庆市肇源县乡镇五校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 【变式11-1】已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 【答案】 【难度】0.65 【来源】贵州省铜仁市碧江区2024-2025学年上学期9月质量监测九年级数学试题 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求反比例函数解析式、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握反比例函数的定义是关键． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由，解得或， 由，得， ∴． ∴， ∴这个反比例函数的表达式为． 【变式11-2】已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点不在此函数图像上；点在此函数图像上； (3) 【难度】0.65 【来源】贵州省铜仁市碧江区二中初级中学2025－2026学年上学期九年级第一次月考数学考试试卷 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查的是反比例函数的定义与性质，掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可求解； （2）根据待定系数法，把点代入函数的解析式即可求出k的值，再利用代入法判断在不在函数的图像上； （3）分别求出和时的y值，根据函数的增减性判断y的取值范围即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数 ∴且 解得：且 又∵随的增大而增大 ∴即 ∴ （2）由（1）可知： ∴由得：，故点不在此函数图像上； 由得：，故点在此函数图像上； （3）∵反比例函数， ∴在每个象限内y随x的增大而增大， 当时，代入反比例函数得； 当时，代入反比例函数得； ∴的取值范围为：. 【变式11-3】已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】 山东省淄博市博山中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学（五四制）试题 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式求解与求值，熟练掌握反比例函数的定义与代入求值法是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的、值求出比例系数，进而得到函数关系式． （2）将代入第题求出的函数关系式中，计算得出的值． 【详解】（1）解：设（）， 将，代入得， 解得， ∴函数关系式为； （2）解：当时，． 【题型十二】反比例函数的图像与性质 【例12】已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，画图见详解 (2)或 【难度】0.65 【来源】河北省唐山市第十二中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【知识点】判断（画）反比例函数图象、由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： （2）解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 【变式12-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 【变式12-2】已知反比例函数（k常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，求k的值； (2)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若，试写出当时x的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【难度】0.65 【来源】山东省山东省淄博第五中学　（五四制）2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试卷 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数解析式； （1）把点A的坐标代入关系式即可求出k的值； （2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则，即可求出k的范围； （3）当时，确定函数关系式，求出当和时相应的x的值，根据反比例函数的图象和性质，确定x的取值范围. 【详解】（1）解：把点代入反比例函数得：， ∴ 因此k的值为4. （2）解：反比例函数每一支上，y都随x的增大而增大， ∴， ∴. （3）解：当时，反比例函数的关系式为，此时在每个象限内，y随x的增大而减小，如图所示，当时图象都在第三象限， 当时，解得， 当时，解得， ∴x的取值范围为． 【变式12-3】小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是_______； (2)下表是y与x的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 4 1 … 表中的________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的性质：_______； (4)结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则a的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3)图象关于直线对称 (4) 【难度】0.65 【来源】北京市朝阳区2025-2026学年上学期九年级数学期中调研试卷 【知识点】求自变量的取值范围、用描点法画函数图象、y=a（x-h）²+k的图象和性质、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查二次函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据分式有意义的条件可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）根据列表、描点、连线可进行作图，然后根据函数图象可进行求解； （4）根据（3）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴函数的自变量x的取值范围是； 故答案为； （2）解：把代入函数得：，即； 故答案为； （3）解：由（2）中表格可作函数图象如下： 由图象可知：该函数的一个性质可以为图象关于直线对称； 故答案为图象关于直线对称； （4）解：由（3）的图象可知：当点和点在函数的图象上，且成立，则可分： 当点A、B在直线的左侧时，则，此时无解； 当点A、B在直线的右侧时，则，解得：； 当点A、B在直线的两侧时，即，解得，则需满足点A到直线的距离比点B到直线的距离更远，则，此时无解； 综上所述：a的取值范围是； 故答案为． 【题型十三】反比例函数系数K的几何意义 【例13】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接，易得，再根据k的几何意义即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式13-1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义． 连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案．． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，菱形的面积为6 ∴， ∴， 故选C． 【变式13-2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可． 【详解】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【变式13-3】如图，，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，若四边形的面积为4，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】陕西省西安市曲江第一学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图象的性质是关键． 根据题意，设，则，由，代入求值即可． 【详解】解：∵，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点， ∴设，则， ∵垂直于轴于点，垂直于轴于点， ∴，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 【题型十四】反比例函数与一次函数综合 【例14】如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 【变式14-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最远求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点M的坐标，找出反比例函数图象位于一次图象上方时的范围即可； （3）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； （2）解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 由图象可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）解：点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． 【变式14-2】已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据题意，在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (3)分别连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【难度】0.65 【来源】广西壮族自治区来宾市武宣县2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【知识点】公式法解一元二次方程、求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，画反比例函数图象，解一元二次方程，以及一次函数与坐标轴的交点问题． （1）先把代入求出，然后再代入求解即可； （2）根据列表，描点，连线的步骤画图即可； （3）设一次函数图象与y轴交于点C，先求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：列表： x 1 2 4 y 4 2 1 描点，连线，如图， （3）解：如图，设一次函数图象与y轴交于点C， 当时，， ∴， ∴， 联立和得， 解得：， 即， ∴ ． 【变式14-3】【问题】我们知道，反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的？其图象与函数的图象有关系吗？ 【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象． （1）写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整． ①列表、取值（这里自变量x的取值范围是）． x …… 0 2 3 4 5 6 7 …… y …… m 6 3 2 n 1 …… 表格中________， ________． ②描点连线． （2）认真观察图表，联想函数的图象和性质，解答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度得到的，其对称中心的坐标是（________，________）； ②写出函数的增减性性质：当时，y随x的增大而________； 【应用】（3）在上面的坐标系中画出函数的图象，利用你所画的图象，直接写出不等式的解集：________． 【答案】（1）①；；②见解析； （2）①右；1；1；0；②减小； （3）或 【难度】0.65 【来源】山东省济南育秀中学2025--2026学年上学期九年级月考数学试题 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、判断反比例函数的增减性、判断（画）反比例函数图象 【分析】（1）①根据分式有意义的条件可求得自变量的取值范围，当时和当时，代入即可求得m，n的值； ②在坐标系内描点，再利用平滑的曲线连接即可． （2）①当时，将其代入和中求出x的值，再根据左右平移的规律即可求解； ②根据函数图象得出答案即可； （3）联立方程组，解得或，根据函数图象，进而可求得解集． 【详解】（1）解：①由题意得：， 解得：， 自变量x的取值范围是； 当时，， ； 当时，， ； 故答案为：；； ②连线如图： （2）①当时，代入得：，代入得：， ， 函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位长度得到的， 由于的对称中心的坐标是， 则的对称中心的坐标是； ②根据函数图象可知：当时，y随x的增大而减小； （3）联立， 整理得，， 解得：或， 根据函数图象可知：不等式的解集为： 或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、用描点法画函数图象、自变量，熟练掌握反比例函数的图象及性质和作函数图象的基本步骤是解题的关键． 【题型十五】反比例函数与实际问题 【例15】为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【难度】0.65 【来源】河北省石家庄市新华区第二十八中学2025-2026学年上学期九年级10月月考数学试题 - 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、由反比例函数值求自变量、从函数的图象获取信息 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 【变式15-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】(1) (2)这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要8分钟即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，图象是双曲线的一部分，图象经过点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴， ∴， 当时，图象是线段，则该段函数是一次函数，点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式为 （2）解：当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 根据图象可知，注意力指标不低于的时间为（分钟）， ∵， ∴这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【变式15-2】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … (1) ， ； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质 ． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ． 【答案】(1)2， (2)①图象见详解；②当时，y随x的增大而减小 (3) 【难度】0.65 【来源】福建省 福州市 鼓楼区福建省福州第十九中学2023-2024学年九年级下学期数学试卷 【知识点】实际问题与反比例函数、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得电流与电阻R、之间关系为，然后根据表格可代入进行求解即可； （2）①根据题中所给表格可描点、连线作出函数图象即可；②根据函数图象可进行求解； （3）由题意可先画出（）的图象，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴电流与电阻R、之间关系为， ∴当时，则，解得：，即； 当时，则，即； 故答案为2，； （2）解：①所作函数图象如下： ②由图象可知：函数（）的一条性质为当时，y随x的增大而减小； 故答案为当时，y随x的增大而减小； （3）解：由题意可先画出（）的图象，如图所示： ∴由图象可知：当时，的解集为； 故答案为． 【变式15-3】如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧与中点距离处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点的距离（单位：），看弹簧秤的示数（单位：）有什么变化． 第一步，实验测量． 改变弹簧秤与中点的距离，观察弹簧秤示数的值，并做好记录（共记录了7组数据）． 第二步，整理数据． 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 ．．． 5 10 14 20 25 35 40 ．．． ．．． 49 24.5 17.5 12.25 9.8 a 6.125 ．．． 第三步，描点连线． 以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点． 请你根据以上探究过程，完成下列问题： (1)完成第三步，在平面直角坐标系中直接画出这条平滑的曲线； (2)观察这条曲线，猜想符合学过的哪种函数图象，求出关于的函数表达式及的值； (3)如果弹簧秤与中点的距离不能超过，那么弹簧秤的示数应在什么范围？ 【答案】(1)见解析 (2)这条曲线符合反比例函数图象，关于的函数表达式为， (3)大于等于 【难度】0.65 【来源】辽宁省大连市甘井子区2025-2026学年上学期九年级数学期中测试 【知识点】实际问题与反比例函数、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握运用反比例函数的性质是解题关键． （1）利用描点法画对应的曲线即可； （2）根据表格数据，可发现与F的乘积为定值245，则该曲线为反比例函数图象，再计算a的值即可； （3）求出时，的值，再根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；由表格中的数据可得是一个定值， ∴这条曲线符合反比例函数图象， ∴关于的函数表达式为， 在中，当时，， ∴； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴F随L的增大而减小， ∴如果弹簧秤与中点的距离不能超过，那么弹簧秤的示数应满足大于等于． 【题型十六】反比例函数与几何综合 【例16】已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【难度】0.65 【来源】19.6 反比例函数的图象、性质和应用（第2课时 几何意义、实际应用 2大题型提分练）数学北京版九年级上册 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式16-1】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，是直角三角形，的两边分别与函数的图象交于B、A两点，求的值． 【答案】 【分析】过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D.根据条件得到.根据反比例函数比例系数k的几何意义得出利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题． 【详解】解：过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式16-2】如图，已知、是反比例函数与一次函数图象上的两个不同的交点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，若已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】2025年江苏省南京市金陵中学仙林分校中学部七年级数学6月月考试卷 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，涉及反比例函数的图象与性质，反比例系数k的几何意义，先根据函数图像上点的坐标特征得出，，于是，再由反比例函数系数k的几何意义可知，那么，进而可求出答案． 【详解】解：、在反比例函数的图象上， ， 、在一次函数图象上， ， 解得， ， 当时，，随自变量的增大而增大，此时． 【变式16-3】知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【难度】0.65 【来源】专题03反比例函数中4大压轴题型（专项训练）数学湘教版九年级上册 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 【题型十七】二次函数与几何综合 【例17】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)面积的最大值为4，此时点的坐标为 【难度】0.65 【来源】福建省漳州市平和县2025-2026学年 九年级上学期期中数学试卷 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据二次函数的对称性可得点的坐标，再利用待定系数法即可得函数解析式； （2）连接，交直线于点，连接，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得点即为所求，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入求解即可得； （3）过点作轴于点，交于点，设，则，利用三角形的面积公式可得面积与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线， ∴， 将点代入得：，解得， ∴函数解析式为． （2）解：把代入得，， ∴， 如图，连接，交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得， 由两点之间线段最短可知，，此时点即为所求， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴直线上， ∴点的横坐标为1， 将代入函数得：， ∴点的坐标为． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点， 设，则， ∴． ∵，， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为4， 此时， 所以面积的最大值为4，此时点的坐标为． 【变式17-1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图1，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接，，当的面积最大时，求点坐标． ②如图2，过点作轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接．过点作轴于点，的延长线与的延长线交于点，求的值． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；② 【分析】（1）先求出点的坐标为，再根据点，求出直线的解析式，即可求得点的坐标为，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）①如图①，过点作轴交于点，先设点的坐标为，则点的坐标为，再根据，列式，再利用二次函数的性质即可求解； ②如图②，由题意，根据点是抛物线上的一点，点的横坐标为，确定，根据抛物线的对称轴为直线，得出点在直线的右侧，点关于直线对称，，即可确定，，据此求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 点的坐标为， 直线经过点， ，即直线的解析式为， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入抛物线中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①如图①，过点作轴交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ∵， ∴当时，有最大值，此时，， 点的坐标为； ②如图②，由题意得， 点是抛物线上的一点，点的横坐标为， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 点在直线的右侧， 轴， 点关于直线对称， ， ， 点在抛物线上， ， ， ． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式求解，二次函数图象和性质，一次函数的图象和性质．二次函数与三角形面积综合，解直角三角形等知识点，解题的关键是数形结合思想的运用． 【变式17-2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【难度】0.65 【来源】 山东省烟台市芝罘区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（五四制） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或． 【变式17-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段最大值； (3)是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是；抛物线的解析式是 (2)线段最大值为 (3)P点的横坐标是或 【难度】0.65 【来源】重庆市永川北山中学校2024-2025学年上学期九年级数学第一次诊断测试卷 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数及一次函数表达式、二次函数综合题， （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把分别代入与，得到两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是，则，用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到的长，然后根据二次函数的最值得到结论即可； （3）根据，则当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，再分情况：当P在第一象限或当P在第四象限或当P在第三象限，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：把代入， 得 ，解得 ， 所以抛物线的解析式是． 设直线的解析式是， 把代入， 得 ，解得， 所以直线的解析式是； （2）解：设点P的坐标是，则， 因为点P在第四象限， 所以， ， 所以当时，线段最大值为； （3）存在，理由如下： ∵轴，轴， ， ， ， ∴当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，如下图： 当P在第四象限时：，最长时只有， 所以不可能有，即此种情况不存在； 当P在第一象限时：，则， 解得（不合题意，舍去）， 所以P点的横坐标是； 当P在第三象限：，则， 解得（舍去），， 所以P点的横坐标是， 综上所述可知所以P点的横坐标是或． 【题型一】顶点式中确定顶点坐标时易出现符号错误 【例1】下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】福建省福州市仓山区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据二次函数顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：A、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； B、的顶点坐标为，故本选项符合题意； C、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； D、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1—1】已知二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．对称轴为直线 B．顶点为 C．最大值是 D．由抛物线向右平移2个单位长度可以得到 【答案】C 【难度】0.85 【来源】 浙江省杭州市西湖区五校联考2025-2026学年上学期九年级期中数学试题 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；二次函数已给出顶点形式，可直接确定顶点、对称轴和最值；平移需考虑方向和距离，然后问题可求解． 【详解】解：由可知：顶点为，对称轴为直线， ∵， ∴函数有最大值，最大值为， 选项A、B均错误；选项D中，向右平移2个单位得，与给定函数不符； ∴只有C正确； 故选C． 【变式1—2】下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而减小 D．图象的顶点坐标是 【答案】C 【难度】0.85 【来源】辽宁省铁岭市铁岭县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，包括开口方向、顶点坐标、与x轴交点及单调性．通过直接计算和性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数为，即，，， ∴开口向上，故A错误； 令，得，解得，即与x轴有两个交点，故B错误； 对称轴为，且，∴当时，y随x增大而减小，故C正确； 顶点坐标为，故D错误． 故选：C． 【变式1—3】抛物线的顶点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】湖北省十堰市郧县桂花中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式，从而得到顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 【题型一】二次函数一般式化为顶点式-----配方法 【例1】已知二次函数，则其顶点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】四川省泸州市古蔺县茅溪镇初级中学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】将一般式转化为顶点式，即可得出结果． 本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为：， 故选：C． 【变式1—1】抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】浙江省金华市义乌绣湖中学2025-2026学年九年级上租期期中数学试卷 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过配方法将抛物线方程化为顶点形式，即可直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵， 配方法：， ∴顶点坐标为， 故选B 【变式1—2】二次函数的最小值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山东省临沂市临沭县2025-2026学年上学期九年级数学期中学情调研 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查求二次函数的最值，熟练掌握二次函数一般形式化为顶点式是解题的关键． 将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故选：C． 【变式1—3】用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】山西省忻州市偏关县部分学校2025-2026学年上学期期中九年级数学试卷 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查的是利用配方法化抛物线为顶点式，熟练掌握“配方法”是解本题的关键． 先提取二次项系数，然后配成完全平方公式即可求解． 【详解】 ． 故选：A． 【题型二】反比函数设而不求-----设参法 【例2】点为反比例函数图像上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为8，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】河北省石家庄市第十九中学2025－2026学年九年级上学期9月月考数学试卷 【知识点】求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义， 设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式是：，设A点的坐标是，轴于点， 则 ∵的面积为8， ，即， ∴，则， 则这个反比例函数的表达式为：． 故答案为：． 【变式2—1】如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【来源】广西北海市银海区银滩中学2025--2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质．设，先求出，，则，，根据得出方程求出即可． 【详解】解：设， 在中，令，得， 令，得， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解，符合题意， 故答案为：． 【变式2—2】．如图，双曲线经过斜边上的中点，且与交于点，若，则的值为 【答案】4 【难度】0.65 【来源】山东省济南市长清区第五初级中学2025-2026学年上学期九年级期中数学复习卷 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、中点的性质、三角形面积公式是解题的关键． 设，根据A是的中点，可得，再根据，点D在双曲线上，可得，根据三角形面积公式列式求出k的值即可． 【详解】解：设， ∵A是的中点， ∴， ∵，点D在双曲线上， ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：4． 【变式2—3】如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 【答案】8 【难度】0.65 【来源】2025年广东省深圳市中考数学模拟练习试卷（三） 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故答案为：8． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数综合（二次函数与反比例函数）（12知识&17题型&1易错&2方法清单） 【清单01】二次函数定义及一般形式 1. 二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的定义及一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是 系数，b是 系数，c是 项． （3）二次项系数不为 . 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 【清单02】二次函数图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0. 【清单03】二次函数图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 k的符号 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 【清单04】二次函数图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 h的符号 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 【清单05】二次函数图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 【清单06】二次函数图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 【清单07】二次函数与x轴交点个数 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 【清单08】二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 【清单09】反比例函数定义与解析式 1.反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 2. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 【清单10】反比例函数的图像特征 反比例函数的图像特征：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 【清单11】反比例函数的性质 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，y随x的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，y随x的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 【清单12】反比例函数的应用 利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型． 注意在自变量和函数值的取值上的实际意义． ②正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 【题型一】二次函数的定义 【例1】下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为____________． 【变式1-2】（2024·安徽安庆·二模）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】二次函数的图像与性质 【例2】对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）与二次函数图象形状、开口方向都相同的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】对于抛物线，下列说法正确的是（  ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．最小值是 【题型三】待定系数法求二次函数解析式 【例3】已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．求此抛物线的表达式． 【变式3-1】已知抛物线经过点和．求二次函数解析式； 【变式3-2】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线，经过，，三点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)当为何值时，函数随的增大而增大？ 【变式3-3】根据条件求二次函数的解析式 (1)抛物线过，，三点； (2)抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． 【题型四】二次函数图像综合 【例4】二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式4-1】．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A． B． C． D． 【题型五】二次函数图像与各项系数之间的关系 【例5】．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 【变式5-1】二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-2】二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-3】如图，已知二次函数（）的部分图象与x轴的正半轴的交点A位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．（m为任意实数） 【题型六】二次函数平移问题 【例6】将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 【变式6-1】将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为 ． 【变式6-2】．若把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线解析式为 ； 【变式6-3】在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是 ． 【题型七】二次函数最值问题 【例7】函数的图象如图所示，则该函数的最小值是 ，最大值是 ． 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【变式7-3】已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为 ． 【题型八】二次函数与坐标轴交点问题 【例8】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【变式8-1】若关于x的二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式8-2】已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 【变式8-3】已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 【题型九】二次函数与不等式 【例9】如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式9--1】已知二次函数的图像如图所示， (1)方程的解为______． (2)方程有两个不相等的实数根，则的取值范围______． (3)不等式的解集为______． (4)当时，的取值范围______． (5)当时，随增大而增大，则n的取值范围______． 【变式9--2】二次函数的部分图象和对称轴如图所示． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围． 【变式9--3】二次函数的图象如图所示，请根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【题型十】二次函数实际应用 【例10】某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． (1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． (2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式10-1】某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元． (1)若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【变式10-2】某文具店销售一款进价为元/个的篮球，经统计发现，当销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的函数关系． (1)求与的函数关系式； (2)若文具店计划销售该款篮球每日获利元，且尽可能让利于顾客，求该款篮球的销售单价应定为多少元？ (3)该款篮球销售单价定为多少元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【变式10-3】学校准备在大连理工大学西北门的彩虹桥上悬挂宣传牌，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在彩虹桥上悬挂宣传牌 活动准备 1．到大学基建处查阅彩虹桥框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是位于大连理工大学西北门，在道路上方搭建的一座抛物线型彩虹桥．道路的宽为30，桥拱最高处距离路面的距离为9．为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩和进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱的对称轴对称．桥墩之间的距离．在两个桥墩上搭一个限高横杆． 设计方案 如图2，准备在桥拱下方，横杆上方安装矩形宣传牌，且在上，矩形宣传牌关于桥拱的对称轴对称． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的解析式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式解决相关问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)若学校要求矩形宣传牌的面积为18，且，请你通过计算，判断能否安装上符合要求的宣传牌． 【题型十一】反比例函数定义 【例11】函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【变式11-1】已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 【变式11-2】已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 【变式11-3】已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【题型十二】反比例函数的图像与性质 【例12】已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 【变式12-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【变式12-2】已知反比例函数（k常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，求k的值； (2)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若，试写出当时x的取值范围． 【变式12-3】小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是_______； (2)下表是y与x的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 4 1 … 表中的________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的性质：_______； (4)结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则a的取值范围是______． 【题型十三】反比例函数系数K的几何意义 【例13】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 【变式13-1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【变式13-2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．9 B．6 C．3 D．12 【变式13-3】如图，，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，若四边形的面积为4，则的值为 ． 【题型十四】反比例函数与一次函数综合 【例14】如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【变式14-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 【变式14-2】已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据题意，在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (3)分别连接，，求的面积． 【变式14-3】【问题】我们知道，反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的？其图象与函数的图象有关系吗？ 【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象． （1）写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整． ①列表、取值（这里自变量x的取值范围是）． x …… 0 2 3 4 5 6 7 …… y …… m 6 3 2 n 1 …… 表格中________， ________． ②描点连线． （2）认真观察图表，联想函数的图象和性质，解答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度得到的，其对称中心的坐标是（________，________）； ②写出函数的增减性性质：当时，y随x的增大而________； 【应用】（3）在上面的坐标系中画出函数的图象，利用你所画的图象，直接写出不等式的解集：________． 【题型十五】反比例函数与实际问题 【例15】为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【变式15-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【变式15-2】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … (1) ， ； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质 ． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ． 【变式15-3】如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧与中点距离处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点的距离（单位：），看弹簧秤的示数（单位：）有什么变化． 第一步，实验测量． 改变弹簧秤与中点的距离，观察弹簧秤示数的值，并做好记录（共记录了7组数据）． 第二步，整理数据． 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 ．．． 5 10 14 20 25 35 40 ．．． ．．． 49 24.5 17.5 12.25 9.8 a 6.125 ．．． 第三步，描点连线． 以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点． 请你根据以上探究过程，完成下列问题： (1)完成第三步，在平面直角坐标系中直接画出这条平滑的曲线； (2)观察这条曲线，猜想符合学过的哪种函数图象，求出关于的函数表达式及的值； (3)如果弹簧秤与中点的距离不能超过，那么弹簧秤的示数应在什么范围？ 【题型十六】反比例函数与几何综合 【例16】已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【变式16-1】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，是直角三角形，的两边分别与函数的图象交于B、A两点，求的值． 【变式16-2】如图，已知、是反比例函数与一次函数图象上的两个不同的交点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，若已知，则的取值范围是 ． 【变式16-3】知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【题型十七】二次函数与几何综合 【例17】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【变式17-1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图1，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接，，当的面积最大时，求点坐标． ②如图2，过点作轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接．过点作轴于点，的延长线与的延长线交于点，求的值． 【变式17-2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式17-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段最大值； (3)是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【题型一】顶点式中确定顶点坐标时易出现符号错误 【例1】下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 【变式1—1】已知二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．对称轴为直线 B．顶点为 C．最大值是 D．由抛物线向右平移2个单位长度可以得到 【变式1—2】下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而减小 D．图象的顶点坐标是 【变式1—3】抛物线的顶点是（ ） A． B． C． D． 【题型一】二次函数一般式化为顶点式-----配方法 【例1】已知二次函数，则其顶点坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式1—1】抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1—2】二次函数的最小值为（   ） A．0 B． C． D．1 【变式1—3】用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【题型二】反比函数设而不求-----设参法 【例2】点为反比例函数图像上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为8，则这个反比例函数的表达式为 ． 【变式2—1】如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为 ． 【变式2—2】．如图，双曲线经过斜边上的中点，且与交于点，若，则的值为 【变式2—3】如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $