专题03 一次方程与方程组（5知识&7题型&5易错&4方法清单（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材沪科版

该初中数学知识清单聚焦一次方程与方程组，涵盖基础概念、解法、应用及特殊情况等5大知识范畴，配套7类典型题型、5项易错警示和4种解题方法，构建从知识梳理到能力提升的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型突破+易错规避+方法总结”四维架构呈现，如将代入与加减消元法标注为核心解法，通过行程问题实例培养模型意识，易错点中“解方程步骤出错”专题强化运算能力，助力师生精准复习，提升学习效率。

专题03 一次方程与方程组（5知识&7题型&5易错&4方法清单） . 【清单01】一次方程与方程组的基础概念 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程，其一般形式为（、为常数，且）。例如、等。 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，一般形式为（、、为常数，且，）。比如、。 二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，方程组中含有两个未知数，且每个方程都是整式方程。例如。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。一元一次方程有且只有一个解；二元一次方程有无数个解，其解可以表示为（为任意实数）；二元一次方程组的解是两个方程的公共解，通常只有一组解（特殊情况可能无解或有无数组解）。 解方程与解方程组：求方程或方程组的解的过程叫做解方程或解方程组。 【清单02】一元一次方程的解法 解一元一次方程的核心是通过等式的性质，逐步将方程转化为（为常数）的形式，具体步骤如下： 【清单03】二元一次方程组的解法 二元一次方程组的解法核心是“消元”，即把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，常见方法有两种： 代入消元法：先从其中一个方程中求出一个未知数的表达式（用含另一个未知数的式子表示），再把这个表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程，求解后再代入求出另一个未知数的值。 加减消元法：在两个方程的两边分别乘以适当的数，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，然后把两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一元一次方程，进而求解。 【清单04】一次方程与方程组的应用 列一次方程（组）解决实际问题的关键是找出题目中的等量关系，具体步骤： 常见的实际应用题型包括：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、利润问题（利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%）、浓度问题、和差倍分问题、配套问题等。 【清单05】一次方程与方程组的特殊情况 一元一次方程的特殊解：当时，若，方程有无数个解；若，方程无解。 二元一次方程组的特殊解：对于方程组， 当时，方程组有唯一一组解； 当时，方程组有无数组解； 当时，方程组无解。 【题型一】一次方程与方程组的概念辨析 【例1】（2024秋•吉林期末）下列各式是一元一次方程的是（　　） A．x+8 B．3x2+1＝2 C．5x+y＝3 D．x﹣1＝0 【变式1-1】（2025春•开福区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025秋•重庆月考）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．3x﹣6＝x B．3x＝2y C． D．2x﹣3y＝x2 【题型二】一元一次方程的解法 【例2】（2024秋•莒南县期末）下列在解方程的过程中，变形正确的是（　　） A．将“”去分母，得“3x﹣（x﹣2）＝1” B．将“2x﹣（x﹣2）＝1”去括号，得“2x﹣x﹣2＝1” C．将“x+1＝2x﹣3”移项，得“x﹣2x＝﹣1﹣3” D．将“2x＝3”，系数化为1，得“x” 【变式2-1】（2025秋•姜堰区期中）整式ax﹣3b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式ax﹣3b对应的值，则关于x的方程ax﹣4＝3b的解为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax﹣3b 12 8 4 0 ﹣4 ﹣8 A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3 【变式2-2】（2024秋•古蔺县期末）下列变形正确的是（　　） A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3 B．由，去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3） C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1 D．把中的分母化为整数得 【题型三】二元一次方程组的解法 【例3】（2025春•葫芦岛月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5+② C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 【变式3-1】（2025春•莆田期中）二元一次方程a1x+b1y＝c1的解为二元一次方程a2x+b2y＝c2的解x为则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025秋•沙坪坝区校级期中）已知关于x、y的方程组，若x﹣2y＝1，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 【题型四】一次方程与方程组的特殊解问题 【例4】（2024秋•东港区期末）已知关于x的方程6x﹣（a+5）＝3+4x有正整数解，则负整数a的所有可能的取值的积为（　　） A．8 B．﹣8 C．48 D．﹣48 【变式4-1】（2025秋•庐阳区校级期中）如果a，b为定值时，关于x的方程，无论k为何值时，它的根总是2，则a+b的值为（　　） A．18 B．15 C．12 D．10 【变式4-2】（2025春•顺义区期末）已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论： ①当k＝0时，该方程组的解和方程x﹣2y＝﹣1的解相同； ②存在有理数k，使得x+y＝0； ③当3x+5y＞3时，k； ④对于任意有理数k，x+3y的值始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 【题型五】一次方程与方程组的应用（行程问题） 【例5】（2025秋•哈尔滨校级期中）小明和小聪一起去操场跑步，小明跑一圈要用5分钟，小聪跑一圈要用4分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，（　　）分后小聪超出小明一整圈． A． B． C．20 D．40 【变式5-1】（2024秋•河东区期末）小明和小伟分别从A、B两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达B地．则A、B两地间的距离为（　　） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【题型六】一次方程与方程组的应用（工程、利润等其他问题） 【例6】（2024秋•曲靖期末）新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，每件标价为400元，若按标价的8折出售，仍可获利60元，则这款羽绒服每件的进价为（　　） A．220元 B．240元 C．260元 D．280元 【变式6-1】（2025春•济宁期末）我市积极推进全国文明城市建设，对城内部分河道进行整治．现有一段长1200米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治50米，共用时28天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？淇淇和嘉嘉所列的方程组分别如图所示，下列判断正确的是（　　） 淇淇 解：设甲工程队整治河道x米， 乙工程队整治河道y米． 由题意，得， 嘉嘉 解：设甲工程队工作了m天，乙工程队工作了n天． 由题意，得， A．只有淇淇列的方程组正确 B．只有嘉嘉列的方程组正确 C．淇淇和嘉嘉列的方程组都正确 D．淇淇和嘉嘉列的方程组都不正确 【变式6-2】（2024秋•富锦市期末）一个书包在进价的基础上调高20%后标价，现因为促销活动所有商品一律打9折，这个书包现在的售价为86.4元，那么这个书包的进价是（　　）元． A．84.6元 B．90元 C．80元 D．100元 【题型七】开放型问题（补充条件或设计方案） 【例7】（2025春•鼓楼区期末）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：，则答案中另一个方程应为（　　） A．3a+b＝12 B． C． D． 【变式7-1】（2025•确山县二模）写一个关于x，y的二元一次方程组　　 ． 【变式7-2】（2024秋•临沭县期末）请写出一个同时符合下列条件的一元一次方程：（1）未知数系数是；（2）使它的解为﹣3，那么这个方程可以是　　 ． 【题型一】概念理解不清致错 【例1】（2024秋•高台县期末）已知方程（5+a）x|a|﹣4+3＝0是一元一次方程，则a的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．±5 D．0 【变式1-1】（2025秋•武侯区校级期中）|m﹣2|x+3y|m﹣1|＝23是关于x，y的二元一次方程，则m＝（　　） A．2 B．0 C．1 D．﹣1 【变式1-2】（2025春•富锦市期末）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【题型二】解方程时步骤出错 【例2】（2025秋•武侯区校级期中）下面是某同学解方程的过程，请仔细阅读，并完成以下任务： 解方程：． 解：去分母，得3（x﹣1）﹣2（2x﹣3）＝1…① 去括号，得3x﹣3﹣4x﹣6＝1…② 　　 ，得3x﹣4x＝1+3+6…③ 合并同类项，得﹣x＝10…④ 系数化为1，得x＝﹣10…⑤ （1）该同学的解答过程在第　　 步开始就出现错误；（填写对应编号） （2）该同学求解过程中，第③步中的横线上应填的步骤是　　 ； （3）请你写出此方程的正确解答过程． 【变式2-1】（2024秋•安阳县期末）下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程：． 解：去分母，得3（x﹣1）﹣2（x﹣4）＝2，……第一步 去括号，得3x﹣3﹣2x+8＝2，……第二步 　　 ，得3x﹣2x＝2+3﹣8，……第三步 合并同类项，得x＝﹣3．………第四步 （1）请补充完整题目中的横线部分，这一步的解题依据是 　　 ； （2）这位同学从第 　　 步开始出现错误，具体的错误是 　　 ； （3）求解此方程． 【题型三】解方程组时消元出错 【例3】（2025春•武都区期末）用加减消元法解方程组下列结果正确的是（　　） A．要消去x，可以将①×3﹣②×5 B．要消去y，可以将①×5+②×2 C．要消去x，可以将①×5﹣②×2 D．要消去y，可以将①×3+②×2 【变式3-1】（2025春•寒亭区期末）解关于x，y的方程组，下列消元方法正确的是（　　） A．②×2+①，消去x B．由②得代入①，消去y C．①×2﹣②×3，消去x D．由②得y＝2x+3代入①，消去y 【变式3-2】（2025春•盐山县期末）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（　　） A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 【题型四】列方程（组）时等量关系错误 【例4】（2024秋•旬邑县期末）小逸的爸爸比小逸大27岁，5年前小逸的爸爸的年龄是小逸的10倍，设小逸现在的年龄为x岁，小逸的爸爸现在的年龄为y岁，根据题意可列方程组：　． 【变式4-1】（2025•湖北模拟）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．若设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为　　 ． 【变式4-2】（2025秋•扬州期中）3月12日是植树节，阳光学校组织了植树活动．已知八年级师生共植树70棵，比七年级师生植树数量的1.5倍还多10棵，若设七年级师生植树x棵，则可列方程为　　 ． 【题型五】无法厘清形积问题中的数量关系导致错误 【例5】（2025•广西模拟）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025•深圳校级二模）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025春•新会区校级期末）如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为1．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为x，y，则根据题意可得到的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【题型一】概念辨析解题技巧 核心技巧：紧扣定义关键词（如“一个未知数”“次数为1”“整式方程”），逐一排除不符合条件的选项；对于含参数的方程，需同时满足“次数要求”和“系数不为0”两个条件。 【例1】（2024秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的方程（k﹣2）x|k﹣3|+1＝2025是一元一次方程，则k的值是 　　 ． 【变式1-1】（2024秋•金凤区校级期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 　　 ． 【变式1—2】（2025春•商水县校级月考）若是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　　 ． 【题型二】解方程（组）解题技巧 核心技巧：解一元一次方程时，按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤进行，每一步注意符号和漏乘问题；解二元一次方程组时，根据方程特点选择消元方法（未知数系数为1或-1时优先用代入消元法，系数成倍数关系时优先用加减消元法）。 【例2】（2025秋•越秀区校级期中）若|x+2y﹣5|+（2x+y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为　　 ． 【变式2-1】（2024秋•颍州区期末）小林在解方程去分母时，方程右边的﹣1漏乘了6，因而求得方程的解为x＝﹣8，原方程的正确解为x＝ 　　 ． 【变式2-2】（2025春•蔡甸区校级期末）“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为　　 ． 【题型三】实际应用解题技巧 核心技巧：先梳理题目中的数量关系，找出关键等量关系（行程问题：路程和/差=速度和/差×时间；工程问题：工作量和=效率和×时间；利润问题：售价=进价×（1+利润率）等），设未知数时优先设直接未知数，复杂问题可设间接未知数，列方程后需检验解的实际意义。 【例3】（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【变式3-1】（2024•陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间． 【变式3-2】（2025•滨州）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算等图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【题型四】含参数方程（组）解题技巧 核心技巧：将参数看作常数，按常规方法解方程（组），再根据题目条件（如解为正整数、解相等、无解等）列关于参数的方程或不等式，求解参数的值或取值范围。 【例4】（2024秋•鼓楼区校级期末）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则ab＝　　 ． 【变式4-1】（2025秋•成都校级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解的和为10，则k的值等于　　 ． 【变式4-2】（2024秋•启东市期末）整式ax+b的值随着x的取值的变化而变化，下表是当x取不同的值时对应的整式的值： x ﹣1 0 1 2 3 ax+b ﹣8 ﹣4 0 4 8 则关于x的方程﹣ax﹣b＝﹣8的解是 　 ． 学科网（北京）股份有限公1 / 13 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次方程与方程组（5知识&7题型&5易错&4方法清单） . 【清单01】一次方程与方程组的基础概念 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程，其一般形式为（、为常数，且）。例如、等。 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，一般形式为（、、为常数，且，）。比如、。 二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，方程组中含有两个未知数，且每个方程都是整式方程。例如。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。一元一次方程有且只有一个解；二元一次方程有无数个解，其解可以表示为（为任意实数）；二元一次方程组的解是两个方程的公共解，通常只有一组解（特殊情况可能无解或有无数组解）。 解方程与解方程组：求方程或方程组的解的过程叫做解方程或解方程组。 【清单02】一元一次方程的解法 解一元一次方程的核心是通过等式的性质，逐步将方程转化为（为常数）的形式，具体步骤如下： 【清单03】二元一次方程组的解法 二元一次方程组的解法核心是“消元”，即把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，常见方法有两种： 代入消元法：先从其中一个方程中求出一个未知数的表达式（用含另一个未知数的式子表示），再把这个表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程，求解后再代入求出另一个未知数的值。 加减消元法：在两个方程的两边分别乘以适当的数，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，然后把两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一元一次方程，进而求解。 【清单04】一次方程与方程组的应用 列一次方程（组）解决实际问题的关键是找出题目中的等量关系，具体步骤： 常见的实际应用题型包括：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、利润问题（利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%）、浓度问题、和差倍分问题、配套问题等。 【清单05】一次方程与方程组的特殊情况 一元一次方程的特殊解：当时，若，方程有无数个解；若，方程无解。 二元一次方程组的特殊解：对于方程组， 当时，方程组有唯一一组解； 当时，方程组有无数组解； 当时，方程组无解。 【题型一】一次方程与方程组的概念辨析 【例1】（2024秋•吉林期末）下列各式是一元一次方程的是（　　） A．x+8 B．3x2+1＝2 C．5x+y＝3 D．x﹣1＝0 【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．x+8是代数式，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．方程3x2+1＝2是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程5x+y＝3是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．方程x﹣1＝0是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程）是解此题的关键． 【变式1-1】（2025春•开福区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、是三元一次方程组，故本选项错误； B、是分式，不是二元一次方程组，故本选项错误； C、是二元二次方程组，故本选项错误； D、是二元一次方程组，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查的是二元一次方程组，熟知二元一次方程组的定义是解答此题的关键． 【变式1-2】（2025秋•重庆月考）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．3x﹣6＝x B．3x＝2y C． D．2x﹣3y＝x2 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程，逐一分析各选项，即可作答． 【解答】解：3x﹣6＝x化简后为2x＝6，仅含一个未知数，则A不符合题意， 3x＝2y含有两个未知数x和y，且次数均为1，是整式方程，则B符合题意， 中y出现在分母，属于分式方程，则C不符合题意， 2x﹣3y＝x2中x2为二次项，导致未知数的最高次数为2，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【题型二】一元一次方程的解法 【例2】（2024秋•莒南县期末）下列在解方程的过程中，变形正确的是（　　） A．将“”去分母，得“3x﹣（x﹣2）＝1” B．将“2x﹣（x﹣2）＝1”去括号，得“2x﹣x﹣2＝1” C．将“x+1＝2x﹣3”移项，得“x﹣2x＝﹣1﹣3” D．将“2x＝3”，系数化为1，得“x” 【分析】各方程整理得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、将“x1”去分母，得“3x﹣（x﹣2）＝6”，错误； B、将“2x﹣（x﹣2）＝1”去括号，得“2x﹣x+2＝1”，错误； C、将“x+1＝2x﹣3”移项，得“x﹣2x＝﹣1﹣3”，正确； D、将“2x＝3”，系数化为1，得“x”，错误，故选：C． 【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数． 【变式2-1】（2025秋•姜堰区期中）整式ax﹣3b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式ax﹣3b对应的值，则关于x的方程ax﹣4＝3b的解为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax﹣3b 12 8 4 0 ﹣4 ﹣8 A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3 【分析】观察表格可知，x＝0时，ax﹣3b＝0，即﹣3b＝0，解得：b＝0，当x＝1时，ax﹣3b＝﹣4，即a﹣0＝﹣4，求出a的值，把a，b的值代入ax﹣4＝3b即可求出答案． 【解答】解：观察表格可知，x＝0时，ax﹣3b＝0，即﹣3b＝0， 解得：b＝0， 当x＝1时，ax﹣3b＝﹣4，即a﹣0＝﹣4，∴a＝﹣4， 把a＝﹣4，b＝0代入ax﹣4＝3b，得﹣4x﹣4＝0， 解得：x＝﹣1．故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次方程，代数式求值，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【变式2-2】（2024秋•古蔺县期末）下列变形正确的是（　　） A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3 B．由，去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3） C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1 D．把中的分母化为整数得 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．5x＝2x﹣3，移项，得5x﹣2x＝﹣3，故本选项不符合题意； B．1， 去分母，得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），故本选项不符合题意； C．2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1， 去括号，得4x﹣2﹣3x+9＝1，故本选项不符合题意； D．1， 1，故本选项符合题意；故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次方程和等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【题型三】二元一次方程组的解法 【例3】（2025春•葫芦岛月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5+② C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 【分析】根据加减消元法，逐一进行判断即可． 【解答】解：根据加减消元法可知：， 要消去x，可以将方程①×3﹣方程②×2，要消去y，可以将方程①×5+方程②×3 故选：C． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键． 【变式3-1】（2025春•莆田期中）二元一次方程a1x+b1y＝c1的解为二元一次方程a2x+b2y＝c2的解x为则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，根据二元一次方程组的定义解答即可． 【解答】解：由题意可知，既是方程a1x+b1y＝c1的解， 又是方程a2x+b2y＝c2的解， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是．故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的定义是关键． 【变式3-2】（2025秋•沙坪坝区校级期中）已知关于x、y的方程组，若x﹣2y＝1，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】通过两个方程相减，得到含x﹣2y的方程，将其代入，求解含k的一元一次方程，最终完成求解． 【解答】解：， 2x﹣4y＝4k﹣1+k， ，解得：．故选：C． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 【题型四】一次方程与方程组的特殊解问题 【例4】（2024秋•东港区期末）已知关于x的方程6x﹣（a+5）＝3+4x有正整数解，则负整数a的所有可能的取值的积为（　　） A．8 B．﹣8 C．48 D．﹣48 【分析】先解方程，求出x，结合方程有正整数解且a是负整数，可得出a的可能值，再相乘后，即可得出结论． 【解答】解：∵6x﹣（a+5）＝3+4x， ∴x． ∵关于x的方程6x﹣（a+5）＝3+4x有正整数解，且a为负整数， ∴a可以为﹣2，﹣4，﹣6， ∴负整数a的所有可能的取值的积为﹣2×（﹣4）×（﹣6）＝﹣48．故选：D． 【点评】本题考查一元一次方程的整数解，熟练掌握求含参数的一元一次方程整数解的方法是解题的关键． 【变式4-1】（2025秋•庐阳区校级期中）如果a，b为定值时，关于x的方程，无论k为何值时，它的根总是2，则a+b的值为（　　） A．18 B．15 C．12 D．10 【分析】先将方程的根代入原方程并化简得（12﹣b）k＝6﹣2a，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得12﹣b＝0，6﹣2a＝0，再求解即可． 【解答】解：将方程的根，即2，代入原方程并化简得（12﹣b）k＝6﹣2a， ∵当a，b为定值时，对任意的k成立， ∴12﹣b＝0，6﹣2a＝0， 解得：b＝12，a＝3， ∴a+b＝15，故选：B． 【点评】本题考查的是一元一次方程的解，根据题意正确解一元一次方程是解题的关键． 【变式4-2】（2025春•顺义区期末）已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论： ①当k＝0时，该方程组的解和方程x﹣2y＝﹣1的解相同； ②存在有理数k，使得x+y＝0； ③当3x+5y＞3时，k； ④对于任意有理数k，x+3y的值始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】①把k＝0代入关于x，y的方程组，解方程组求出x，y，再代入x﹣2y＝﹣1进行检验，然后判断即可； ②把两个方程相加得x+y＝2k﹣1，再根据x+y＝0，列出关于k的方程，解方程求出看即可； ③把两个方程相加得3x+5y＝4k﹣1，然后根据3x+5y＞3，列出关于k的不等式，解不等式即可； ④解方程组，求出x，y，然后代入x+3y进行计算，最后判断即可． 【解答】解：当k＝0时，关于x，y的方程组为：， ①×2得：2x+4y＝0③，③﹣②得：y＝1， 把y＝1代入①得：x＝﹣2， 把x＝﹣2，y＝1代入x﹣2y＝﹣1， 左边＝﹣2﹣2×1＝﹣4，右边＝﹣1，左边≠右边， ∴当k＝0时，该方程组的解和方程x﹣2y＝﹣1的解不相同，故①错误； ，②﹣①得：x+y＝2k﹣1，∵x+y＝0，∴2k﹣1＝0，2k＝1， ， ∴存在有理数k，使得x+y＝0；故②正确； ，①+②得：3x+5y＝4k﹣1，∵3x+5y＞3，4k﹣1＞3，4k＞4， k＞1， 故③错误；，①×2得：2x+4y＝2k③， ③﹣②得：y＝﹣k+1， 把y＝﹣k+1代入①得：x+2（﹣k+1）＝k，x﹣2k+2＝k， x＝3k﹣2， ∴x+3y＝3k﹣2+3（﹣k+1）＝3k﹣2﹣3k+3＝1， ∴对于任意有理数k，x+3y的值始终不变， 故④正确；综上可知：正确结论的序号是②④，故选：C． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 【题型五】一次方程与方程组的应用（行程问题） 【例5】（2025秋•哈尔滨校级期中）小明和小聪一起去操场跑步，小明跑一圈要用5分钟，小聪跑一圈要用4分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，（　　）分后小聪超出小明一整圈． A． B． C．20 D．40 【分析】小聪超出小明一整圈，即小聪比小明多跑一圈，根据速度差公式，所需时间等于一圈的长度除以速度差． 【解答】解：设一圈长度为S，∵小明速度为，小聪速度为， ∴速度差为， 设t分钟后小聪超出小明一圈， 根据题意可得：， 即，∴t＝20， ∴20分钟后小聪超出小明一整圈．故选：C． 【点评】本题主要考查了追及问题中的速度差应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【变式5-1】（2024秋•河东区期末）小明和小伟分别从A、B两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达B地．则A、B两地间的距离为（　　） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【分析】设小明骑自行车的速度为x千米/分，小伟步行的速度为y千米/分，由等量关系列方程组求解即可得到答案． 【解答】解：设小明骑自行车的速度为x千米/分，小伟步行的速度为y千米/分， 则根据题意列二元一次方程得，， 解得， ∴（千米）， 即A、B两地间的距离为8千米，故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找准等量关系列方程组求解是解决问题的关键． 【题型六】一次方程与方程组的应用（工程、利润等其他问题） 【例6】（2024秋•曲靖期末）新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，每件标价为400元，若按标价的8折出售，仍可获利60元，则这款羽绒服每件的进价为（　　） A．220元 B．240元 C．260元 D．280元 【分析】根据等量关系式：售价﹣成本＝利润，列出售价、成本、利润三者之间的等量关系式即可求解． 【解答】解：设这款羽绒服每件的进价为每件x元，每件标价为400元，若按标价的8折出售，仍可获利60元，400×0.8﹣x＝60， 解得：x＝260， 故这款羽绒服每件的进价为每件260元，故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系式：售价﹣成本＝利润，掌握售价、成本、利润三者之间的等量关系式是解题的关键． 【变式6-1】（2025春•济宁期末）我市积极推进全国文明城市建设，对城内部分河道进行整治．现有一段长1200米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治50米，共用时28天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？淇淇和嘉嘉所列的方程组分别如图所示，下列判断正确的是（　　） 淇淇 解：设甲工程队整治河道x米， 乙工程队整治河道y米． 由题意，得， 嘉嘉 解：设甲工程队工作了m天，乙工程队工作了n天． 由题意，得， A．只有淇淇列的方程组正确 B．只有嘉嘉列的方程组正确 C．淇淇和嘉嘉列的方程组都正确 D．淇淇和嘉嘉列的方程组都不正确 【分析】设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米，结合时间与工作量建立方程组即可，设甲工程队工作了m天，乙工程队工作了n天．结合时间与工作量建立方程组即可． 【解答】解：根据题意可得， ∴淇淇列的方程组错误； 设甲工程队工作了m天，乙工程队工作了n天．则： ， ∴嘉嘉列的方程组正确；故选：B． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是关键． 【变式6-2】（2024秋•富锦市期末）一个书包在进价的基础上调高20%后标价，现因为促销活动所有商品一律打9折，这个书包现在的售价为86.4元，那么这个书包的进价是（　　）元． A．84.6元 B．90元 C．80元 D．100元 【分析】设这个书包的进价是x元，根据这个书包现在的售价为86.4元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这个书包的进价是x元，根据题意得：90%×（1+20%）x＝86.4， 解得：x＝80， ∴这个书包的进价是80元． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【题型七】开放型问题（补充条件或设计方案） 【例7】（2025春•鼓楼区期末）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：，则答案中另一个方程应为（　　） A．3a+b＝12 B． C． D． 【分析】由3a＝6b可知a表示上山所用时间，b表示下山所用时间，分别求出从家到山顶、从山顶到家所用的时间，两者之差等于上山与下山所用时间之差，由此列出方程即可． 【解答】解：由题意知，3a＝6b表示上山的路程等于下山的路程， ∴a表示上山用的时间，b表示下山用的时间， 由题意知，小明从家到山顶所用时间为12﹣8.5＝3.5（h）， 从山顶回到家所用时间为3﹣1＝2（h）， ∴上山比下山多用时间为：3.5﹣2＝1.5（h）， ∴a﹣b，故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式7-1】（2025•确山县二模）写一个关于x，y的二元一次方程组　（答案不唯一）　 ． 【分析】共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做一元一次方程，叫做二元一次方程组．据此写出一个方程组即可． 【解答】解：根据题意可知，二元一次方程组可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 【变式7-2】（2024秋•临沭县期末）请写出一个同时符合下列条件的一元一次方程：（1）未知数系数是；（2）使它的解为﹣3，那么这个方程可以是　（答案不唯一）　 ． 【分析】未知数系数是，那么含未知数的项就是，解为﹣3时，常数项只要合并起来是即可． 【解答】解：，故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握此知识点是解题的关键． 【题型一】概念理解不清致错 【例1】（2024秋•高台县期末）已知方程（5+a）x|a|﹣4+3＝0是一元一次方程，则a的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．±5 D．0 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程，据此可得出关于a的方程，继而可求出a的值． 【解答】解：由题可得|a|﹣4＝1且5+a≠0， 解得a＝5， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 【变式1-1】（2025秋•武侯区校级期中）|m﹣2|x+3y|m﹣1|＝23是关于x，y的二元一次方程，则m＝（　　） A．2 B．0 C．1 D．﹣1 【分析】根据二元一次方程的定义得出|m﹣1|＝1且|m﹣2|≠0，再根据绝对值的性质计算即可． 【解答】解：若|m﹣2|x+3y|m﹣1|＝23是关于x，y的二元一次方程， 则|m﹣1|＝1且|m﹣2|≠0， 解得m＝0， 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值，根据题意得出|m﹣1|＝1且|m﹣2|≠0是解题的关键． 【变式1-2】（2025春•富锦市期末）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【解答】解：A．选项方程组有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B．选项方程组是二元一次方程组，故符合题意； C．选项方程组方程组中的次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意； D．选项方程组不是二元一次方程组，故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键． 【题型二】解方程时步骤出错 【例2】（2025秋•武侯区校级期中）下面是某同学解方程的过程，请仔细阅读，并完成以下任务： 解方程：． 解：去分母，得3（x﹣1）﹣2（2x﹣3）＝1…① 去括号，得3x﹣3﹣4x﹣6＝1…② 　移项　 ，得3x﹣4x＝1+3+6…③ 合并同类项，得﹣x＝10…④ 系数化为1，得x＝﹣10…⑤ （1）该同学的解答过程在第　①　 步开始就出现错误；（填写对应编号） （2）该同学求解过程中，第③步中的横线上应填的步骤是　移项　 ； （3）请你写出此方程的正确解答过程． 【分析】（1）根据等式的性质，两边都乘以6进行解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤可得答案； （3）按照题目所提供的方法步骤进行计算即可． 【解答】解：（1）该同学的解答过程在第①步开始就出现错误， 故答案为：①； （2）该同学求解过程中，第③步中的横线上应填的步骤是移项， 故答案为：移项； （3）解：去分母，得3（x﹣1）﹣2（2x﹣3）＝6， 去括号，得3x﹣3﹣4x+6＝6， 移项，得3x﹣4x＝6+3﹣6， 合并同类项，得﹣x＝3，系数化为1，得x＝﹣3． 【点评】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是正确解答的关键． 【变式2-1】（2024秋•安阳县期末）下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程：． 解：去分母，得3（x﹣1）﹣2（x﹣4）＝2，……第一步 去括号，得3x﹣3﹣2x+8＝2，……第二步 　移项　 ，得3x﹣2x＝2+3﹣8，……第三步 合并同类项，得x＝﹣3．………第四步 （1）请补充完整题目中的横线部分，这一步的解题依据是 　等式的性质1　 ； （2）这位同学从第 　一　 步开始出现错误，具体的错误是 　去分母时右边的2没有乘6　 ； （3）求解此方程． 【分析】（1）观察解一元一次方程第三步的步骤即可求解； （2）观察解一元一次方程，找出出错的步骤，分析其原因即可； （3）写出解一元一次方程的正确过程即可． 【解答】解：（1）根据解一元一次方程，这一步为移项，这一步的解题依据是等式的基本性质1．故答案为：移项；等式的基本性质1； （2）这位同学从第一步开始出现错误，具体的错误是去分母时右边的2没有乘6． 故答案为：一；去分母时右边的2没有乘6； （3）， 3（x﹣1）﹣2（x﹣4）＝12， 3x﹣3﹣2x+8＝12， 解得：x＝7． 【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 【题型三】解方程组时消元出错 【例3】（2025春•武都区期末）用加减消元法解方程组下列结果正确的是（　　） A．要消去x，可以将①×3﹣②×5 B．要消去y，可以将①×5+②×2 C．要消去x，可以将①×5﹣②×2 D．要消去y，可以将①×3+②×2 【分析】方程组利用加减消元法变形，判断即可． 【解答】解：用加减消元法解方程组时，要消去x，可以将①×5﹣②×2．故选：C． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【变式3-1】（2025春•寒亭区期末）解关于x，y的方程组，下列消元方法正确的是（　　） A．②×2+①，消去x B．由②得代入①，消去y C．①×2﹣②×3，消去x D．由②得y＝2x+3代入①，消去y 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：要消去x，可将①×2﹣②×3，故选项C正确，选项A错误； 由②，得y＝2x﹣3代入①，可消去y，故选项B、D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【变式3-2】（2025春•盐山县期末）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（　　） A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 【分析】观察四位同学的解题过程，找出出错的即可． 【解答】解：，由①得：x ③， 把③代入②得：，去分母得：24﹣9y﹣10y＝10， 解得：y， 由③得：x． 则合作中出现错误的同学为丙．由24﹣9y﹣10y＝5解得：y＝1， ∴合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是：甲、乙、丁，故选：B． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【题型四】列方程（组）时等量关系错误 【例4】（2024秋•旬邑县期末）小逸的爸爸比小逸大27岁，5年前小逸的爸爸的年龄是小逸的10倍，设小逸现在的年龄为x岁，小逸的爸爸现在的年龄为y岁，根据题意可列方程组：　　 ． 【分析】设小明现在的年龄是x岁，小明爸爸现在的年龄为y岁，根据小逸的爸爸比小逸大27岁，5年前小逸的爸爸的年龄是小逸的10倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【解答】解：设小明现在的年龄是x岁，小明爸爸现在的年龄为y岁，根据小逸的爸爸比小逸大27岁，5年前小逸的爸爸的年龄是小逸的10倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是关键． 【变式4-1】（2025•湖北模拟）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．若设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为　　 ． 【分析】分别根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”、“如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”建立方程组即可得． 【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为； 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意是解题关键． 【变式4-2】（2025秋•扬州期中）3月12日是植树节，阳光学校组织了植树活动．已知八年级师生共植树70棵，比七年级师生植树数量的1.5倍还多10棵，若设七年级师生植树x棵，则可列方程为　1.5x+10＝70　 ． 【分析】根据“八年级师生共植树70棵，比七年级师生植树数量的1.5倍还多10棵”列出方程即可． 【解答】解：根据题意，得1.5x+10＝70． 故答案为：1.5x+10＝70． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系． 【题型五】无法厘清形积问题中的数量关系导致错误 【例5】（2025•广西模拟）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组． 【解答】解：根据图示可以列出方程组为：． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 【变式5-1】（2025•深圳校级二模）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据大矩形的长及其内小长方形各边间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵大矩形的长为20，∴x+2y＝20； 观察图形，可知：x＝3y，∴根据题意可列方程组， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 【变式5-2】（2025春•新会区校级期末）如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为1．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为x，y，则根据题意可得到的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】观察图形，从水平方向看，两个边长为y﹣1的部分长度和等于x+1，即2（y﹣1）＝x+1；从垂直方向看，y+1的长度与x﹣1相等，即y+1＝x﹣1．将这两个等量关系组合，得到方程组； 【解答】解：符合条件的二元一次方程组为．故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【题型一】概念辨析解题技巧 核心技巧：紧扣定义关键词（如“一个未知数”“次数为1”“整式方程”），逐一排除不符合条件的选项；对于含参数的方程，需同时满足“次数要求”和“系数不为0”两个条件。 【例1】（2024秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的方程（k﹣2）x|k﹣3|+1＝2025是一元一次方程，则k的值是 　4　 ． 【分析】根据一元一次方程的定义，得出|k﹣3|＝1且k﹣2≠0，由此求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程（k﹣2）x|k﹣3|+1＝2025是一元一次方程， ∴|k﹣3|＝1且k﹣2≠0， 解得：k＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【变式1-1】（2024秋•金凤区校级期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 　1　 ． 【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：|m﹣2|＝1且m﹣3≠0， ∴m＝3或1且m≠3， ∴m＝1，故答案为：1． 【点评】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【变式1—2】（2025春•商水县校级月考）若是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　﹣1　 ． 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【解答】解：若是关于x，y的二元一次方程组，∴， ∴解得：m＝±1，n＝3，∵m≠1，∴m＝﹣1， ∴mn＝（﹣1）3＝﹣1．故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 【题型二】解方程（组）解题技巧 核心技巧：解一元一次方程时，按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤进行，每一步注意符号和漏乘问题；解二元一次方程组时，根据方程特点选择消元方法（未知数系数为1或-1时优先用代入消元法，系数成倍数关系时优先用加减消元法）。 【例2】（2025秋•越秀区校级期中）若|x+2y﹣5|+（2x+y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为　﹣2　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+2y﹣5|+（2x+y﹣3）2＝0， ∴， ②﹣①得：x﹣y＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式2-1】（2024秋•颍州区期末）小林在解方程去分母时，方程右边的﹣1漏乘了6，因而求得方程的解为x＝﹣8，原方程的正确解为x＝ 　﹣13　 ． 【分析】根据小林的错误解法求出a的值，然后根据正确方程求出其解即可． 【解答】解：， 去分母时，方程右边的﹣1漏乘了6，所以2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1， 解得x＝3a+1， 因为此时方程的解为x＝﹣8， 所以3a+1＝﹣8， 解得a＝﹣3， 所以正确的方程为， 2（2x﹣1）＝3（x﹣3）﹣6， 4x﹣2＝3x﹣9﹣6， 4x﹣3x＝﹣9﹣6+2， x＝﹣13， 故答案为：﹣13． 【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． 【变式2-2】（2025春•蔡甸区校级期末）“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为　　 ． 【分析】先将原方程组变形为，令，，利用换元法求解即可． 【解答】解：将方程组中每一个方程两边同除以5，得， 令，，则， 由题意可得：，∴，解得，故答案为：． 【点评】本题考查换元法解二元一次方程组，正确进行计算是解题关键． 【题型三】实际应用解题技巧 核心技巧：先梳理题目中的数量关系，找出关键等量关系（行程问题：路程和/差=速度和/差×时间；工程问题：工作量和=效率和×时间；利润问题：售价=进价×（1+利润率）等），设未知数时优先设直接未知数，复杂问题可设间接未知数，列方程后需检验解的实际意义。 【例3】（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【分析】设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元列方程组即可解得答案． 【解答】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 根据题意得：， 解得， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 【变式3-1】（2024•陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间． 【分析】设这次小峰打扫了xh，则爸爸打扫了（3﹣x）h，利用小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量＝总工作量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这次小峰打扫了xh，则爸爸打扫了（3﹣x）h， 根据题意得：1， 解得：x＝2． 答：这次小峰打扫了2h． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式3-2】（2025•滨州）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算等图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【分析】根据算筹图2列出方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴算筹图2所表示的方程组为，该方程组的解为． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型四】含参数方程（组）解题技巧 核心技巧：将参数看作常数，按常规方法解方程（组），再根据题目条件（如解为正整数、解相等、无解等）列关于参数的方程或不等式，求解参数的值或取值范围。 【例4】（2024秋•鼓楼区校级期末）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则ab＝　﹣4　 ． 【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【解答】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx﹣a）＝6﹣3（2x+bk）， ∴2kx﹣2a＝6﹣6x﹣3bk， 整理得（2x+3b）k+6x＝2a+6， ∵无论k为何值，方程的解总是2， ∴2a+6＝6×2，2×2+3b＝0， 解得a＝3，，∴．故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键． 【变式4-1】（2025秋•成都校级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解的和为10，则k的值等于　24　 ． 【分析】消元的方法有：代入消元法与加减消元法，能根据方程组特点，灵活选择解方程组的方法是解题的关键．将两式相加得5x+5y＝2k+2，即得，再根据已知列方程求解即可． 【解答】解：，①+②得，2x+3x+3y+2y+＝k+2k， 5x+5y＝2k+2， ∴， ∵二元一次方程组的解的和为10，， 解得：k＝24．故答案为：24． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 【变式4-2】（2024秋•启东市期末）整式ax+b的值随着x的取值的变化而变化，下表是当x取不同的值时对应的整式的值： x ﹣1 0 1 2 3 ax+b ﹣8 ﹣4 0 4 8 则关于x的方程﹣ax﹣b＝﹣8的解是 x＝3　 ． 【分析】由表中数据得到关于a、b的二元一次方程组，求解后将a、b代入方程﹣ax﹣b＝﹣8求解即可得到答案． 【解答】解：由x＝0，ax+b＝﹣4；x＝1，ax+b＝0可得，， 解得，∴关于x的方程﹣ax﹣b＝﹣8为﹣4x﹣（﹣4）＝﹣8，∴4x＝12，解得x＝3，故答案为：x＝3． 【点评】本题考查解二元一次方程组及一元一次方程，读懂题意，列出二元一次方程组是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公1 / 26 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $