专题04 几何图形初步（5知识&7题型&5易错&4方法清单）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材沪科版

专题04 几何图形初步（5知识&7题型&5易错&4方法清单） 【清单01】几何图形的基本概念 【清单02】直线、射线、线段的性质与运算 表示方法：直线（直线AB或直线l）、射线（射线OA或射线l）、线段（线段AB、线段a或线段l） 核心性质：两点确定一条直线；两点之间，线段最短 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点（若M是AB中点，则AM=MB=AB） 长度比较：叠合法（将线段一端重合比较另一端）、度量法（用刻度尺测量长度） 线段计算：和差运算（如AC=AB+BC或AC=AB-BC，需结合图形位置关系） 【清单03】角的相关概念与运算 角的定义：由公共端点的两条射线组成的图形（静态定义）；一条射线绕着端点旋转形成的图形（动态定义） 表示方法：∠AOB、∠O、∠1（用数字或希腊字母表示，如∠α） 角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°，1°=60′，1′=60″ 角的分类：锐角（0°<α<90°）、直角（α=90°）、钝角（90°<α<180°）、平角（α=180°）、周角（α=360°） 余角与补角：若∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余；若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补（同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等） 角的平分线：从角的顶点出发，把一个角分成两个相等角的射线（若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB）. 【清单04】相交线中的角 . 【清单05】几何图形初步的作图与计算步骤 . . 【题型一】几何图形的识别与分类 【例1】（2025秋•茂南区期中）下列图形中属于棱柱的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】（2025秋•滦州市期中）如图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　） A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【变式1-2】（2025秋•太原期中）如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（　　） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱 【题型二】直线、射线、线段的性质与计算 【例2】（2025秋•平顶山期中）如图，点B在直线AP上，点M、N分别是线段AB、BP的中点，点B在线段AP上，AP＝15，则线段MN的长度为（　　） A．5 B．7.5 C．15 D．30 【变式2-1】（2025秋•金水区期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（　　）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 【变式2-2】（2025秋•栾城区期中）线段AB上，M为AC的中点，N为DB的中点，AB＝a，CD＝b，MN＝（　　） A． B． C． D． 【题型三】角的度量与运算 【例3】（2025秋•长安区期中）如图所示，把平角∠AOB放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线OC，OD分别对准刻度65°和155°，在∠BOC内部做射线OE，使OD平分∠BOE，则∠COE的度数为（　　） A．45° B．55° C．60° D．65° 【变式3-1】（2025秋•浑南区期中）如图，已知点O在直线AB上，∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，则∠3的度数为（　　） A．36°15′ B．143°45′ C．13°15′ D．36.15° 【变式3-2】（2024秋•元阳县期末）如图，O是直线AB上的一点，过点O作任意射线OM，且OC平分∠AOM，OD平分∠BOM．若∠AOC＝56°，则∠BOD的度数是（　　） A．24° B．30° C．34° D．56° 【题型四】余角、补角的应用 【例4】（2024秋•平城区期末）已知一个角的度数是50°38'，则这个角的补角的度数是（　　） A．39°22' B．49°22' C．130°22' D．129°22' 【变式4-1】（2024秋•平舆县校级期末）若∠α的补角是∠α的余角的三倍，则∠α是（　　） A．60° B．45° C．55° D．50° 【变式4-2】（2024秋•成武县期末）如果一个角的补角比这个角的2倍大30°，那么这个角的余角为（　　） A．20° B．70° C．40° D．50° 【题型五】几何图形的作图 【例5】（2025春•东营区期末）下列关于画图的语言叙述正确的是（　　） A．画直线AB＝10cm B．画射线OB＝10cm C．延长线段AB到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 【变式5-1】（2025•石家庄模拟）根据语句“直线a与直线b相交，点P在直线a上，直线b不经过点P．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024秋•太湖县期末）下列尺规作图的语句错误的是（　　） A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α B．以点O为圆心作弧 C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作∠ABC，使∠ABC＝∠α+∠β 【题型六】几何图形的实际应用题 【例6】（2025秋•灞桥区校级期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（45°角和60°角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1＝22°，则∠2的度数为　　 °． 【变式6-1】（2024秋•徐水区期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的度数是 　　 ． 【变式6-2】（2024秋•吉林期末）如图，在一个广场上的点A和点B两处，分别有一只小狗和一块骨头，小狗想走最短路程吃到骨头，我们知道最短路线是②，其数学理由是　两点之间，线段最短　 ． 【题型七】开放型问题（补充条件或结论）与尺规作图 【例7】（2024秋•南阳期末）阅读下列材料，完成后面任务： 数学课上，老师给出了如下问题：已知点A，B，C均在直线l上，AB＝12，BC＝4，M是AC的中点，求AM的长． 小明的解答过程如下：如图2，∵AB＝12，BC＝4， ∴AC＝AB﹣BC＝12﹣4＝8． 又∵M是AC的中点， ∴AMAC8＝4． 小芳说：“小明的解答不完整．” 任务： （1）你同意小芳的说法吗？如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由． （2）我们发现角的很多规律和线段一样，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，OM平分∠AOC，请直接写出∠AOM的度数． 【变式7-1】（（2023秋•秦都区校级期中）已知线段a，b，点A，P的位置如图所示，画射线AP，并用尺规作图法在射线AP上求作线段AB，使得AB＝AP+b﹣a．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型一】混淆直线、射线、线段的概念与性质 【例1】（2024秋•瑞金市期末）下列说法不正确的是（　　） A．直线MN与直线NM是同一条直线 B．射线PM与射线MP是同一条射线 C．射线PM与射线PN是同一条射线 D．线段MN与线段NM是同一条线段 【变式1-1】（2024秋•复兴区期末）如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．点A在直线BD外 B．点A到点C的距离是线段AC的长度 C．射线AC与射线BC是同一条 D．直线AC和直线BD相交于点B 【变式1-2】（2024秋•龙沙区期末）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为3cm；（3）线段AB和线段BA是同一条线段；（4）射线AB和射线BA是同一条射线；（5）直线AB和直线BA是同一条直线．其中错误的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】角的计算中忽略单位换算或分类讨论 【例2】（2024秋•鄄城县期末）下列各式正确的是（　　） A．1.45°＝145′ B．3600″＝60° C．28°18′18″＝28.33° D．65.25°＝65°15′ 【变式2-1】（2024秋•自贡期末）若∠1＝38°15′，∠2＝38.15°，∠3＝38.25°，则下面说法正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等 【变式2-2】（2024秋•西峡县期末）下列式子中错误的是（　　） A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42′＝50.7° C．98°45′+2°35′＝101°20′ D．108°18′﹣57°23′＝51°55′ 【题型三】正方体展开与折叠时找错相对面 【例3】（2024秋•齐齐哈尔期末）如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025秋•三水区校级期中）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“厉”字一面的相对面上的字是（　　） A．了 B．我 C．的 D．国 【变式3-2】（2025秋•龙华区校级期中）如图为一个正方体的表面展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，面“2”是右面，面“4”在后面（数字和字母均在外表面），则上面是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【题型四】计算线段（角）长度时忽略点（线）的位置导致错解 【例4】（2024秋•鹿寨县期末）如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB＝10cm，BD＝4cm．若点E在直线AB上，且AE＝3cm，则DE的长为（　　） A．3cm B．15cm C．3cm或15cm D．3cm或9cm 【变式4-1】（2024秋•韶关期末）已知线段AB＝4cm，AC＝3cm，且A，B，C三点共线，则BC的长为（　　） A．不能确定 B．1cm C．7cm D．1cm或7cm 【变式4-2】（2024秋•吉首市校级期末）已知∠AOB＝50°，OC是可绕点O旋转的动射线，当∠BOC＝32°时，则∠AOC的度数是（　　） A．18° B．82° C．18°或82° D．82°或50° 【题型五】作图时未保留痕迹或步骤不规范 【例5】（2024秋•北关区校级期末）已知：如图，线段a和线段b． （1）尺规作图：求作线段AB＝a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC＝a﹣b；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长（用含a、b的式子表示）． 【变式5-1】（2024秋•鄞州区期末）如图，同一平面上的点A和线段BC． （1）画射线AC、直线AB； （2）使用尺规，比较2AB与线段BC的大小关系．（要求保留作图痕迹） 【变式5-2】（2024秋•东莞市校级期末）如图，已知线段AB、a、b． （1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． （2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 【题型一】几何图形识别与分类解题技巧 核心技巧：明确平面图形与立体图形的本质区别（是否共面）；立体图形展开图需牢记“正方体11种展开图、圆柱展开图为长方形+两个圆、圆锥展开图为扇形+圆”；折叠时通过“相对面不相邻”判断对应关系。 【例1】（2025秋•新城区校级期中）下列选项中，说法错误的是（　　） A．直三棱柱的侧面是长方形 B．长方体、正方体都是四棱柱 C．圆锥由一个平面和一个曲面围成 D．六棱柱有18条棱、8个侧面、12个顶点 【变式1—1】（2024秋•凉州区校级期末）下列说法不正确的是（　　） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 【变式1—2】（2024秋•任城区期末）如图中的几何体中，由4个面围成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【题型二】直线、射线、线段计算解题技巧 核心技巧：遇到线段计算，优先画图形标注已知条件；涉及“中点”“分点”时，用字母表示线段长度（如设AB=x）；多端点共线问题，分类讨论点的位置（在线段上或延长线上）；牢记“两点之间线段最短”“两点确定一条直线”的应用场景。 【例2】（2025秋•青龙县期中）下列是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（　　） 如图，点C在线段MN上，且MC：CN＝5：4，MN＝36，P是MN的中点，求PC的长． 解：因为MN＝36，MC：CN＝5：4， 所以MC※＝20． 又因为P是MN的中点， 所以MP＝☆MN＝△， 所以PC＝MC﹣◎＝2． A．※代表MN B．☆代表 C．△代表18 D．◎代表CN 【变式2—1】（2024秋•潮南区期末）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（　　） A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm 【变式2—2】（2025秋•沈阳期中）小明进行了如下操作，下列说法中错误的是（　　） ①作射线AM； ②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a； ③在线段DA上截取DB＝b； ④分别找到线段AC，BD的中点E，F． A．AD＝2a B．AB＝2a﹣b C．BC＝a﹣b D．EF 【题型三】角的计算与证明技巧 核心技巧：角的计算先统一单位（度化分、分化秒或反之）；遇“角平分线”“余角”“补角”，优先用等式表示角度关系；对顶角、邻补角的性质直接应用（对顶角相等，邻补角和为180°）；复杂图形中，通过标注字母简化角度关系。 【例3】（2024秋•深圳期末）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在线段BC上，且不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFH：∠EFH＝1：2，∠GFC＝x，则∠EFH的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式3—1】（2024秋•正阳县期末）已知∠AOB＝58°32'，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°41'，则∠BOC的度数是（　　） A．15°51' B．101°13'或15°51' C．101°13' D．105°51' 【变式3—2】（2024秋•吴川市校级期末）如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，则∠BOE的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【题型四】作图与实际应用技巧 核心技巧：作图时遵循“先画已知图形，再按要求逐步作未知部分”，保留作图痕迹（弧、交点）；实际应用题先将场景转化为几何图形（如路线最短转化为线段、角度测量转化为三角板角度计算），再运用几何性质求解。 【例4】（2025秋•沈阳校级期中）如图是小明家、学校和公园所在地的平面位置示意图，其中点O表示小明家，点A，C分别表示学校和公园，已知图上距离OA＝2cm，OC＝2.5cm． （1）写出学校A、公园C分别在小明家O的什么方向上； （2）若公园C到小明家O的实际距离是500m，求学校A到小明家O的实际距离． 【变式4—1】（2024秋•云冈区期末）如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）： （1）作射线AB； （2）作直线AC与直线BD相交于点O； （3）在射线AB上作线段AC′，使线段AC′与线段AC相等． 【变式4—2】（2024秋•樊城区期末）已知三角形ABC，要比较边AB与BC的长短关系，请按要求作图并判断： 要求：（1）利用直尺和圆规完成作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法作图． 判断：AB　＞　 BC（填“＞”“＝”或“＜”）． 学科网（北京）股份有限公11 / 15 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几何图形初步（5知识&7题型&5易错&4方法清单） 【清单01】几何图形的基本概念 【清单02】直线、射线、线段的性质与运算 表示方法：直线（直线AB或直线l）、射线（射线OA或射线l）、线段（线段AB、线段a或线段l） 核心性质：两点确定一条直线；两点之间，线段最短 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点（若M是AB中点，则AM=MB=AB） 长度比较：叠合法（将线段一端重合比较另一端）、度量法（用刻度尺测量长度） 线段计算：和差运算（如AC=AB+BC或AC=AB-BC，需结合图形位置关系） 【清单03】角的相关概念与运算 角的定义：由公共端点的两条射线组成的图形（静态定义）；一条射线绕着端点旋转形成的图形（动态定义） 表示方法：∠AOB、∠O、∠1（用数字或希腊字母表示，如∠α） 角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°，1°=60′，1′=60″ 角的分类：锐角（0°<α<90°）、直角（α=90°）、钝角（90°<α<180°）、平角（α=180°）、周角（α=360°） 余角与补角：若∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余；若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补（同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等） 角的平分线：从角的顶点出发，把一个角分成两个相等角的射线（若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB）. 【清单04】相交线中的角 . 【清单05】几何图形初步的作图与计算步骤 . . 【题型一】几何图形的识别与分类 【例1】（2025秋•茂南区期中）下列图形中属于棱柱的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据“棱柱”的形体特征进行判断即可． 【解答】解：图形中各个几何体的名称为①正方体，②长方体，③球，④圆柱，⑤圆锥，⑥四棱柱，⑦三棱柱， 由棱柱的形体特征可知，棱柱有①正方体，②长方体，⑥四棱柱，⑦三棱柱，共有4个． 故选：B． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确解答的关键． 【变式1-1】（2025秋•滦州市期中）如图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　） A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【分析】根据常见几何体的特征识别即可解答． 【解答】解：如图是美术素描常用的几何体模型，则： 该几何体模型，有几何体：球，正方体，圆柱，棱锥，没有圆锥． 故选：D． 【点评】本题考查了简单几何体的认识，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式1-2】（2025秋•太原期中）如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（　　） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱 【分析】根据立体图形的空间结构进行判断． 【解答】解：根据图形可知，其组成部分可抽象为：圆柱、四棱柱、球， 故在这些抽象出的几何体中不包括：圆锥． 故选：C． 【点评】本题考查了认识立体图形，掌握图形的空间结构是关键． 【题型二】直线、射线、线段的性质与计算 【例2】（2025秋•平顶山期中）如图，点B在直线AP上，点M、N分别是线段AB、BP的中点，点B在线段AP上，AP＝15，则线段MN的长度为（　　） A．5 B．7.5 C．15 D．30 【分析】先根据线段中点的定义证明，然后根据AB+BP＝AP，进行代换求出MN即可． 【解答】解：∵点M、N分别是线段AB、BP的中点， ∴， ∵AB+BP＝AP＝15， ∴，故选：B． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是掌握识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． 【变式2-1】（2025秋•金水区期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（　　）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 【分析】根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【解答】解：以点A开始，有4段，即AM，AC，AN，AB， 以点M开始，有3段，即MC，MN，MB， 以点C开始，有2段，即CN，CB， 以点N开始，有1段，即NB，同理，反向如此， ∴共有（4+3+2+1）×2＝20，故选：A． 【点评】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键． 【变式2-2】（2025秋•栾城区期中）线段AB上，M为AC的中点，N为DB的中点，AB＝a，CD＝b，MN＝（　　） A． B． C． D． 【分析】先由AC+BD＝a﹣b，再根据中点的性质得AM＝MC，BN＝DN，最后由线段的和差关系即可求出结果． 【解答】解：∵AB＝a，CD＝b，∴AC+BD＝a﹣b，∵点M是AC的中点，点N是DB的中点， ∴AM＝MC，BN＝DN， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质． 【题型三】角的度量与运算 【例3】（2025秋•长安区期中）如图所示，把平角∠AOB放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线OC，OD分别对准刻度65°和155°，在∠BOC内部做射线OE，使OD平分∠BOE，则∠COE的度数为（　　） A．45° B．55° C．60° D．65° 【分析】由∠AOD＝155°，求得∠BOD＝180°﹣∠AOD＝25°，因为OD平分∠BOE，所以∠BOE＝2∠BOD＝50°，则∠AOE＝180°﹣∠BOE＝130°，而∠AOC＝65°，则∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝65°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠AOD＝155°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝25°， ∵OD平分∠BOE， ∴∠EOD＝∠BOD， ∴∠BOE＝2∠BOD＝50°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝130°， ∵∠AOC＝65°， ∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝65°， 故选：D． 【点评】此题重点考查角的概念、角平分线的定义、角的计算等知识，推导出∠EOD＝∠BOD，并且求得∠BOE＝2∠BOD＝50°是解题的关键． 【变式3-1】（2025秋•浑南区期中）如图，已知点O在直线AB上，∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，则∠3的度数为（　　） A．36°15′ B．143°45′ C．13°15′ D．36.15° 【分析】根据平角的定义及度分秒的换算即可解答． 【解答】解：∵∠1＝65°15'，∠2＝78°30'， ∴∠1+∠2＝65°15'+78°30'＝143°45'， ∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣143°45'＝36°15'． 故选：A． 【点评】本题考查角的计算，度分秒的换算，掌握度分秒的换算是解题的关键． 【变式3-2】（2024秋•元阳县期末）如图，O是直线AB上的一点，过点O作任意射线OM，且OC平分∠AOM，OD平分∠BOM．若∠AOC＝56°，则∠BOD的度数是（　　） A．24° B．30° C．34° D．56° 【分析】由OC平分∠AOM，可得∠AOM＝2∠AOC＝112°，利用平角的定义可得∠BOM＝68°，最后利用OD平分∠BOM即可求出∠BOD的度数． 【解答】解：∵OC平分∠AOM， ∴∠AOM＝2∠AOC＝2×56°＝112°（角平分线的定义）， ∵∠AOM+∠BOM＝180°， ∴∠BOM＝180°﹣∠AOM＝68°， ∵OD平分∠BOM， ∴（角平分线的定义）． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【题型四】余角、补角的应用 【例4】（2024秋•平城区期末）已知一个角的度数是50°38'，则这个角的补角的度数是（　　） A．39°22' B．49°22' C．130°22' D．129°22' 【分析】互补即两个角的和是180°，用180°﹣50°38′计算即可． 【解答】解：根据补角定义可知： 180°﹣50°38′＝129°22′． 故选：D． 【点评】本题考查了补解的定义，熟练掌握该知识点是关键． 【变式4-1】（2024秋•平舆县校级期末）若∠α的补角是∠α的余角的三倍，则∠α是（　　） A．60° B．45° C．55° D．50° 【分析】根据题意列出180°﹣∠α＝3（90°﹣∠α），然后求解即可． 【解答】解：若∠α的补角是∠α的余角的三倍， 则180°﹣∠α＝3（90°﹣∠α）， 解得∠α＝45°， 故选：B． 【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键． 【变式4-2】（2024秋•成武县期末）如果一个角的补角比这个角的2倍大30°，那么这个角的余角为（　　） A．20° B．70° C．40° D．50° 【分析】根据题意，列出方程，解出x，再根据余角的定义，进行解答，即可． 【解答】解：设这个角的度数为x，则补角为180°﹣x，根据余角的定义可得： 180°﹣x＝2x+30°， x＝50°， ∴该角的余角为40°．故选：C． 【点评】本题考查角的运算，一元一次方程的知识，解题的关键是设这个角的度数为x，则其补角为180°﹣x． 【题型五】几何图形的作图 【例5】（2025春•东营区期末）下列关于画图的语言叙述正确的是（　　） A．画直线AB＝10cm B．画射线OB＝10cm C．延长线段AB到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 【分析】直接利用直线、射线、线段的定义结合尺规作图分别分析得出答案． 【解答】解：A．画直线AB可以，直线没有长度，故此选项不合题意； B．画射线AB可以，射线没有长度，故此选项不合题意； C．延长线段AB到点C，正确，故此选项符合题意； D．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线或三条直线，故此选项不合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了直线、射线的定义，正确把握相关定义是解题关键． 【变式5-1】（2025•石家庄模拟）根据语句“直线a与直线b相交，点P在直线a上，直线b不经过点P．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用几何语言对各选项进行判断． 【解答】解：直线a与直线b相交，点P在直线a上，直线b不经过点P，即P点不是两直线的交点，所以图形为．故选：D． 【点评】本题考查了尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． 【变式5-2】（2024秋•太湖县期末）下列尺规作图的语句错误的是（　　） A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α B．以点O为圆心作弧 C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作∠ABC，使∠ABC＝∠α+∠β 【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出结论． 【解答】解：A、作一个角等于已知角的倍数是常见的尺规作图，正确； B、画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误． C、以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，正确； D、作∠ABC，使∠ABC＝∠α+∠β，正确故选：B． 【点评】本题考查常见的易错点，需在做题过程中加以熟练掌握． 【题型六】几何图形的实际应用题 【例6】（2025秋•灞桥区校级期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（45°角和60°角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1＝22°，则∠2的度数为　37　 °． 【分析】先用45°减去∠1的度数求出重合部分的角的度数，再用60°减去∠2的度数即可得到答案． 【解答】解：∵∠1＝22°，∴三角板重合部分的角的度数＝45°﹣∠1＝23°， ∴∠2＝60°﹣23°＝37°． 故答案为：37°． 【点评】本题主要考查了角的和差关系，解题的关键是求出重合部分的角度． 【变式6-1】（2024秋•徐水区期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的度数是 　82°　 ． 【分析】根据已知条件可直接确定∠AOB的度数． 【解答】解：∵OA是表示北偏东60°方向的一条射线，OB是表示南偏东38°方向的一条射线， ∴∠AOB＝180°﹣60°﹣38°＝82°， 故答案为：82°． 【点评】本题考查了方向角及角的计算．解题的关键是明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算． 【变式6-2】（2024秋•吉林期末）如图，在一个广场上的点A和点B两处，分别有一只小狗和一块骨头，小狗想走最短路程吃到骨头，我们知道最短路线是②，其数学理由是　两点之间，线段最短　 ． 【分析】根据两点之间，线段最短即可求解． 【解答】解：小狗想走最短路程吃到骨头最短路线是②，其数学理由是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【点评】本题考查了公理“两点之间，线段最短”，熟知公理是解题关键． 【题型七】开放型问题（补充条件或结论）与尺规作图 【例7】（2024秋•南阳期末）阅读下列材料，完成后面任务： 数学课上，老师给出了如下问题：已知点A，B，C均在直线l上，AB＝12，BC＝4，M是AC的中点，求AM的长． 小明的解答过程如下：如图2，∵AB＝12，BC＝4， ∴AC＝AB﹣BC＝12﹣4＝8． 又∵M是AC的中点， ∴AMAC8＝4． 小芳说：“小明的解答不完整．” 任务： （1）你同意小芳的说法吗？如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由． （2）我们发现角的很多规律和线段一样，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，OM平分∠AOC，请直接写出∠AOM的度数． 【分析】（1）当点C在点B右侧时，则AC＝AB+BC，根据线段中点的定义可得AMAC，以此即可解答； （2）分两种情况：①当∠BOC在∠AOB内部时，此时∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，再根据角平分线的性质即可得出∠AOM；②当∠BOC在∠AOB外部时，此时∠AOC＝∠AOB+∠BOC，再根据角平分线的性质即可求解． 【解答】解：（1）同意小芳的说法，小明的解答过程补充如下， 当点C在点B右侧时，如图， ∵AB＝12，BC＝4， ∴AC＝AB+BC＝12+4＝16， ∵M是AC的中点， ∴AMAC16＝8， ∴AM的长为4或8； （2）①当∠BOC在∠AOB内部时，如图， ∵∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°， ∵OM平分∠AOC，∴∠AOM30°； ②当∠BOC在∠AOB外部时，如图， ∵∠AOB＝100°，∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝140°，∵OM平分∠AOC， ∴∠AOM70°．综上，∠AOM的度数为30°或70°． 【点评】本题主要考查线段中点的定义、角平分线的性质，根据题意，学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键． 【变式7-1】（（2023秋•秦都区校级期中）已知线段a，b，点A，P的位置如图所示，画射线AP，并用尺规作图法在射线AP上求作线段AB，使得AB＝AP+b﹣a．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作法：1．作射线AP；2．在射线AP上截取 PC＝b；3．在线段CA上截取 CB＝a．A则AB即为所求． 【解答】解：如图所示， 证明：∵AC＝AP+PC，AC＝AB+BC， ∴AB+BC＝AP+PC， ∴AB+a＝AP+b， ∴AB＝AP+b﹣a． 【点评】本题考查尺规画线段以及线段的和差，解题的关键是掌握尺规作图的方法． 【题型一】混淆直线、射线、线段的概念与性质 【例1】（2024秋•瑞金市期末）下列说法不正确的是（　　） A．直线MN与直线NM是同一条直线 B．射线PM与射线MP是同一条射线 C．射线PM与射线PN是同一条射线 D．线段MN与线段NM是同一条线段 【分析】根据直线，射线，线段的表示方法，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、直线MN与直线NM是同一条直线，选项正确，不符合题意； B、射线PM与射线MP不是同一条射线，选项错误，符合题意； C、射线PM与射线PN是同一条射线，选项正确，不符合题意； D、线段MN与线段NM是同一条线段，选项正确，不符合题意．故选：B． 【点评】本题考查直线，射线，线段的表示方法，熟练掌握射线的端点不同，射线不同是解题的关键． 【变式1-1】（2024秋•复兴区期末）如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．点A在直线BD外 B．点A到点C的距离是线段AC的长度 C．射线AC与射线BC是同一条 D．直线AC和直线BD相交于点B 【分析】根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【解答】解：选项A．点A在直线BD外，正确，故不符合题意； 选项B．点A到点C的距离是线段AC的长度，正确，故不符合题意； 选项C．射线AC与射线BC不是同一条，不正确，故符合题意； 选项D．直线AC和直线BD相交于点B，正确，故不符合题意；故选：C． 【点评】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点． 【变式1-2】（2024秋•龙沙区期末）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为3cm；（3）线段AB和线段BA是同一条线段；（4）射线AB和射线BA是同一条射线；（5）直线AB和直线BA是同一条直线．其中错误的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：（1）两点确定一条直线，但两点确定一条线段是错误的，因此（1）不正确； （2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确； （3）线段AB和线段BA是同一条线段，因此（3）正确； （4）射线AB和射线BA是两条不同的射线，因此（4）不正确； （5）直线AB和直线BA是同一条直线，因此（5）正确， 综上所述，错误的结论有（1）（2）（4），共3个，故选：C． 【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键． 【题型二】角的计算中忽略单位换算或分类讨论 【例2】（2024秋•鄄城县期末）下列各式正确的是（　　） A．1.45°＝145′ B．3600″＝60° C．28°18′18″＝28.33° D．65.25°＝65°15′ 【分析】按照角的度量单位进行转化即可判断． 【解答】解：A．1.45°＝（1.45×60）′＝87′，故本选项错误，不符合题意； B．3600″＝（3600÷60）′＝60′＝1°，故本选项错误，不符合题意； C．28°18′18″＝28°18.3′＝28.305°，故本选项错误，不符合题意； D．65.25°＝65°+（0.25×60）′＝65°15′，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确1°＝60′，1′＝60″． 【变式2-1】（2024秋•自贡期末）若∠1＝38°15′，∠2＝38.15°，∠3＝38.25°，则下面说法正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等 【分析】将∠1进行换算，即可得到答案． 【解答】解：∠1＝38°15′＝38.25°，∠2＝38.15°， 故∠1＝∠3， 故选：C． 【点评】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键． 【变式2-2】（2024秋•西峡县期末）下列式子中错误的是（　　） A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42′＝50.7° C．98°45′+2°35′＝101°20′ D．108°18′﹣57°23′＝51°55′ 【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位华大单位除以进率，度分秒的加减，相同单位相加减，可得答案． 【解答】解：A、38.78°＝38°46′48″，故A正确； B、50°42′＝50.7°，故B正确； C、98°45′+2°35′＝101°20′，故C正确； D、108°18′﹣57°23′＝50°55′，故D错误； 故选：D． 【点评】本题考查了度分秒的换算，大单位化小单位乘以进率，小单位华大单位除以进率，度分秒的加减，相同单位相加减． 【题型三】正方体展开与折叠时找错相对面 【例3】（2024秋•齐齐哈尔期末）如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据展开图可知，黑白两圆所在的小正方形为相对面，两个三角形所在小正方形为相邻面可排除A，B，由阴影三角形与白色圆的位置可排除C，据此进行判断即可． 【解答】解：根据正方体的表面展开图，可知该正方体可能为： ． 故选：D． 【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握正方体的展开图是关键． 【变式3-1】（2025秋•三水区校级期中）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“厉”字一面的相对面上的字是（　　） A．了 B．我 C．的 D．国 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此即可求解． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “我”的对面是“国”， “的”的对面是“害”，“厉”的对面是“了”，故选：A． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手解决问题是解题的关键． 【变式3-2】（2025秋•龙华区校级期中）如图为一个正方体的表面展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，面“2”是右面，面“4”在后面（数字和字母均在外表面），则上面是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】从不同方向看几何体，正方体展开图中相隔一个面的两个面互为对面．找出相对面，再根据相对面上的两个数字之和相等，即可求解． 【解答】解：由正方体展开图的特点可知，面“2”与面“x”相对，面“4”与面“10”相对，面“6”与面“y”相对， ∵面“2”在右面，面“4”在后面， ∴面“x”在左面，面“10”在前面，面“6”在下面，面“y”在上面， ∵相对面上的两个数字之和相等， ∴2+x＝6+y＝4+10， ∴x＝12，y＝8， ∴上面是8，故选：B． 【点评】本题考查了正方体的相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 【题型四】计算线段（角）长度时忽略点（线）的位置导致错解 【例4】（2024秋•鹿寨县期末）如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB＝10cm，BD＝4cm．若点E在直线AB上，且AE＝3cm，则DE的长为（　　） A．3cm B．15cm C．3cm或15cm D．3cm或9cm 【分析】由题意易得BC＝8cm，CD＝BD＝4cm，则有AC＝2cm，然后分当点E在点A右侧时和当点E在点A左侧时，进而求解即可． 【解答】解：由条件可知BC＝8cm，CD＝BD＝4cm．∵AB＝10cm， ∴AC＝2cm． 如图①，当点E在点A右侧时．因为AE＝3cm，所以CE＝1cm， 所以DE＝CD﹣CE＝4﹣1＝3（cm）； 如图②，当点E在点A左侧时， 因为AE＝3cm，所以DE＝AE+AC+CD＝3+2+4＝9（cm）． 综上所述，DE的长为3cm或9cm；故选：D． 【点评】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质及和差关系； 【变式4-1】（2024秋•韶关期末）已知线段AB＝4cm，AC＝3cm，且A，B，C三点共线，则BC的长为（　　） A．不能确定 B．1cm C．7cm D．1cm或7cm 【分析】根据点C与点A的位置分两种情况进行解答即可． 【解答】解：AB＝4cm，AC＝3cm，且A，B，C三点共线， 当点C在点A的右侧时，BC＝AB﹣AC＝1cm， 当点C在点A的左侧时，BC＝AB+AC＝7cm， 故选：D． 【点评】本题考查两点间的距离，理解两点间距离的定义是正确解答的关键． 【变式4-2】（2024秋•吉首市校级期末）已知∠AOB＝50°，OC是可绕点O旋转的动射线，当∠BOC＝32°时，则∠AOC的度数是（　　） A．18° B．82° C．18°或82° D．82°或50° 【分析】分当OC在∠AOB的内部和外部两种情况，画出图形，结合图形，即可求解． 【解答】解：当OC在∠AOB的内部时如图1，∠AOC＝50°﹣32°＝18°； 当OC在∠AOB的外部时如图2，∠AOC＝50°+32°＝82°， 所以∠AOC的度数为18°或82°．故选：C． 【点评】本题考查了角度的和差计算，分类讨论数形结合是关键． 【题型五】作图时未保留痕迹或步骤不规范 【例5】（2024秋•北关区校级期末）已知：如图，线段a和线段b． （1）尺规作图：求作线段AB＝a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC＝a﹣b；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长（用含a、b的式子表示）． 【分析】（1）在射线AF上截取AP＝b，在射线PF上截取PB＝a，则AB＝a+b，在射线AE上截取AQ＝a，在线段QA上截取QC＝b，则AC＝a﹣b； （2）根据线段中点的性质得出，即可求解． 【解答】解：（1）在射线AF上截取AP＝b，在射线PF上截取PB＝a，则AB＝a+b， 在射线AE上截取AQ＝a，在线段QA上截取QC＝b，则AC＝a﹣b；如图所示，AB，AC即为所求； （2）∵AB＝a+b，AC＝a﹣b，M、N分别是AB、AC的中点， ∴，， ∴． 【点评】本题考查了作线段等于已知线段，线段的和差，线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 【变式5-1】（2024秋•鄞州区期末）如图，同一平面上的点A和线段BC． （1）画射线AC、直线AB； （2）使用尺规，比较2AB与线段BC的大小关系．（要求保留作图痕迹） 【分析】（1）按照要求分别作出射线AC、直线AB即可； （2）在BC上两次截取BA，先作出2AB，再比较即可． 【解答】解：（1）如图所示，射线AC、直线AB即为所求作； （2）如图所示，2AB＜BC． 【点评】本题主要考查了作线段（尺规作图），画出直线、射线、线段等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧是解题的关键． 【变式5-2】（2024秋•东莞市校级期末）如图，已知线段AB、a、b． （1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． （2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据线段的画出和线段的中点的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）①如图所示，线段BC即为所求， ②如图所示，线段AD即为所求； （2）∵AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm， ∴CD＝8+6+10＝24cm， ∵点E为CD的中点， ∴DEDC＝12cm，∴AE＝DE﹣AD＝12﹣10＝2cm． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，利用了线段中点的性质，线段的和差． 【题型一】几何图形识别与分类解题技巧 核心技巧：明确平面图形与立体图形的本质区别（是否共面）；立体图形展开图需牢记“正方体11种展开图、圆柱展开图为长方形+两个圆、圆锥展开图为扇形+圆”；折叠时通过“相对面不相邻”判断对应关系。 【例1】（2025秋•新城区校级期中）下列选项中，说法错误的是（　　） A．直三棱柱的侧面是长方形 B．长方体、正方体都是四棱柱 C．圆锥由一个平面和一个曲面围成 D．六棱柱有18条棱、8个侧面、12个顶点 【分析】根据三棱柱、四棱柱、圆锥以及六棱柱的形体特征进行判断即可． 【解答】解：A．直三棱柱的侧面是长方形，因此选项A不符合题意； B．长方体、正方体都是四棱柱，因此选项B不符合题意； C．圆锥由一个平面和一个曲面围成，因此选项C不符合题意； D．六棱柱有18条棱、6个侧面、12个顶点，因此选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握三棱柱、四棱柱、圆锥以及六棱柱的形体特征是正确解答的关键． 【变式1—1】（2024秋•凉州区校级期末）下列说法不正确的是（　　） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 【分析】根据棱柱和圆锥的特征求解即可． 【解答】解：A、五棱柱有7个面、15条棱，选项说法错误，符合题意； B、圆锥的底面是圆，选项说法正确，不符合题意； C、棱柱的上下底面是完全相同的图形，选项说法正确，不符合题意； D、长方体与正方体都有六个面，选项说法正确，不符合题意．故选：A． 【点评】本题考查了认识立体图形征，掌握立体图形的特征是关键． 【变式1—2】（2024秋•任城区期末）如图中的几何体中，由4个面围成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据图形逐个分析各个几何体有几个面，然后作出正确选择． 【解答】解：A是由5个面；B有三个面；C是四面体；D有三个面．故选C． 【点评】本题主要考查对图形的认识． 【题型二】直线、射线、线段计算解题技巧 核心技巧：遇到线段计算，优先画图形标注已知条件；涉及“中点”“分点”时，用字母表示线段长度（如设AB=x）；多端点共线问题，分类讨论点的位置（在线段上或延长线上）；牢记“两点之间线段最短”“两点确定一条直线”的应用场景。 【例2】（2025秋•青龙县期中）下列是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（　　） 如图，点C在线段MN上，且MC：CN＝5：4，MN＝36，P是MN的中点，求PC的长． 解：因为MN＝36，MC：CN＝5：4， 所以MC※＝20． 又因为P是MN的中点， 所以MP＝☆MN＝△， 所以PC＝MC﹣◎＝2． A．※代表MN B．☆代表 C．△代表18 D．◎代表CN 【分析】根据线段的比，线段中点的定义证明即可． 【解答】解：∵MN＝36，MC：CN＝5：4，∴MN＝20， ∵P是MN的中点， ∴MPMN＝18，∴PC＝MC﹣MP＝2， 故※代表MN，☆代表，△代表18，◎代表MP．故选：D． 【点评】本题考查了两点间距离，掌握线段的中点的定义是关键． 【变式2—1】（2024秋•潮南区期末）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（　　） A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm 【分析】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD＝1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB＝（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB＝AB+AB+CD+AB＝3AB+CD， ∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1， ∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为21．故选：B． 【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式2—2】（2025秋•沈阳期中）小明进行了如下操作，下列说法中错误的是（　　） ①作射线AM； ②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a； ③在线段DA上截取DB＝b； ④分别找到线段AC，BD的中点E，F． A．AD＝2a B．AB＝2a﹣b C．BC＝a﹣b D．EF 【分析】根据作图，得出图形中线段之间的和差关系逐项进行判断即可． 【解答】解：由作图可知，AD＝2a，AB＝AD﹣BD＝2a﹣b，BC＝AD﹣AC﹣BD＝2a﹣a﹣b＝a﹣b，EF＝AD﹣AE﹣DF＝2aabab， 因此，选项A、选项B、选项C不符合题意，选项D符合题意，故选：D． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握图形中线段之间的和差关系以及线段中点的定义是正确解答的关键． 【题型三】角的计算与证明技巧 核心技巧：角的计算先统一单位（度化分、分化秒或反之）；遇“角平分线”“余角”“补角”，优先用等式表示角度关系；对顶角、邻补角的性质直接应用（对顶角相等，邻补角和为180°）；复杂图形中，通过标注字母简化角度关系。 【例3】（2024秋•深圳期末）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在线段BC上，且不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFH：∠EFH＝1：2，∠GFC＝x，则∠EFH的度数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，得到∠EFH∠EFB，结合已知条件，得到∠EFB＝180°﹣∠CFE＝180°﹣2x，从而得到结果． 【解答】解：∵∠BFH：∠EFH＝1：2，∴∠EFH∠EFB， ∠C沿着GF折叠，点C落在长方形内部点E处，∠GFC＝x， ∴∠GFC＝∠GFE＝x， ∴∠CFE＝∠GFC+∠GFE＝2x， ∴∠EFB＝180°﹣∠CFE＝180°﹣2x， ∴∠EFH∠EFB（180°﹣2x）＝120°x．故选：B． 【点评】本题考查了角度的计算，正确认识图形，理解折叠导致的角度的等量关系是解题的关键． 【变式3—1】（2024秋•正阳县期末）已知∠AOB＝58°32'，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°41'，则∠BOC的度数是（　　） A．15°51' B．101°13'或15°51' C．101°13' D．105°51' 【分析】分两种情况：当∠AOC在∠AOB的内部时；当∠AOC在∠AOB的外部时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况：当∠AOC在∠AOB的内部时，如图： ∵∠AOB＝58°32'，∠AOC＝42°41'， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝58°32'﹣42°41'＝57°92'﹣42°41'＝15°51′； 当∠AOC在∠AOB的外部时，如图： ∵∠AOB＝58°32'，∠AOC＝42°41'， ∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝58°32'+42°41'＝100°73′＝101°13′； 综上所述：∠BOC的度数是101°13'或15°51'，故选：B． 【点评】本题考查了角的计算，分两种情况讨论是解题的关键． 【变式3—2】（2024秋•吴川市校级期末）如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，则∠BOE的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【分析】设∠DOE＝x，则∠BOE＝3x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可． 【解答】解：设∠DOE＝x，则∠BOE＝3x，∵∠COE＝70°， ∴∠DOC＝70°﹣x， ∵OC平分∠AOD，∴∠AOD＝2•∠DOC＝140°﹣2x， 由∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°得：140°﹣2x+x+3x＝180°， 解得x＝20°， ∴∠BOE＝60°． 故选：D． 【点评】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键． 【题型四】作图与实际应用技巧 核心技巧：作图时遵循“先画已知图形，再按要求逐步作未知部分”，保留作图痕迹（弧、交点）；实际应用题先将场景转化为几何图形（如路线最短转化为线段、角度测量转化为三角板角度计算），再运用几何性质求解。 【例4】（2025秋•沈阳校级期中）如图是小明家、学校和公园所在地的平面位置示意图，其中点O表示小明家，点A，C分别表示学校和公园，已知图上距离OA＝2cm，OC＝2.5cm． （1）写出学校A、公园C分别在小明家O的什么方向上； （2）若公园C到小明家O的实际距离是500m，求学校A到小明家O的实际距离． 【分析】（1）根据方向角和距离表示位置进行解答即可； （2）设学校A到小明家O的实际距离是x米．根据题意列方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得∠NOA＝90°﹣45°＝45°，∠CON＝90°﹣60°＝30°， 所以学校A在小明家北偏东45°方向上，公园C在小明家北偏西30°方向上． （2）设学校A到小明家O的实际距离是x米．由题意，得， 解得x＝400． 答：若公园C到小明家O的实际距离是500m，则学校A到小明家O的实际距离是400米． 【点评】此题考查了方向角和一元一次方程的应用，熟练掌握方向角是解题的关键． 【变式4—1】（2024秋•云冈区期末）如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）： （1）作射线AB； （2）作直线AC与直线BD相交于点O； （3）在射线AB上作线段AC′，使线段AC′与线段AC相等． 【分析】（1）（2）按要求作图；（3）根据作一条线段等于已知线段作图即可． 【解答】解：（1）作射线AB，如图所示； （2）作直线AC与直线BD相交于点O，如图所示； （3）作法：以A为圆心，线段AC′的长为半径，在射线AB上画弧，交射线AB于C′，线段AC′就是所求． 【点评】本题考查了作线段、直线和射线的基本作图，还考查了角平分线的定义，难度不大，属于基础题． 【变式4—2】（2024秋•樊城区期末）已知三角形ABC，要比较边AB与BC的长短关系，请按要求作图并判断： 要求：（1）利用直尺和圆规完成作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法作图． 判断：AB　＞　 BC（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】（1）根据线段的和差，可得答案； （2）根据线段的作法，可得答案； 【解答】解：（1）方法一：在线段AB上截取BC′＝BC， 方法二：在射线BC上截取BA′＝BA； （2）由图可得：AB＞BC； 故答案为：＞． 【点评】本题考查了线段的长短比较，熟练掌握线段的和差，线段的作法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公30 / 30 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $