清单01 有理数（6个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

清单01 有理数（6个考点清单+16种题型解读） 【清单01 有理数】 有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. (2)有理数的分类: ① ② 【清单02 数轴】 数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 【清单03 相反数与绝对值】 相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； 相反数的商为-1. 相反数的绝对值相等 绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； (2) 绝对值可表示为： 或 ； 【清单04 比较有理数大小】 有理数比大小： （1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 【清单05 有理数的混合运算】 倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 【清单06 科学记数法】 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 【考点题型一 正数与负数】 【例1】若收入200元记为元，那么支出50元将记为（  ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-1】机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下： ，，，，，，，，，．其中不合格的零件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔，负数表示低于海平面的某地的海拔． （1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是 ； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是 ． 【变式1-3】某种零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 ．（填“合格”或“不合格”） 【变式1-4】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向. (1)图中{______，______}， {______，______}： (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程； (3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案． 【考点题型二 有理数的分类】 【例2】下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】下列一组数：，，，，，0，2，（相邻两个8之间依次增加一个0）．其中是分数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-2】有下列各数：其中，正整数有m个，负有理数有n个，则的值为 ． 【变式2-3】下列各数中：，3，，，0，，，，其中负分数的个数是 个． 【变式2-4】将下列各数的序号填在相应的横线上． ；；；； ；；；． 整数：___________________________； 负分数：___________________________； 正有理数：___________________________． 【考点题型三 数轴】 【例3】如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动周，点到达点的位置，点表示的数为（   ） A． B． C． D．或 【变式3-1】如图，数轴上有三个数，下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-2】如图，在数轴上A点表示的数为，B点表示的数为6，点C在点A的右侧，点D在点B的左侧，且，则 ．    【变式3-3】如图，将刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的6和4，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为 ． 【变式3-4】已知a、b是有理数，其在数轴上对应的点如图所示． (1)利用圆规在数轴上分别作出对应的点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)用“＜”连接：______． 【考点题型四 化简绝对值】 【例4】若，则值为（　　） A．3 或1 B．或0 C．3或 D．或1 【变式4-1】若，则的值为（    ） A．或3 B．1或 C．1或 D．1或3 【变式4-2】已知，都不是零，写出的所有可能的值 ． 【变式4-3】有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 【变式4-4】有理数在数轴上的位置如图所示， (1)a 0       0     0 (2)化简： 【考点题型五 绝对值非负性】 【例5】若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【变式5-1】已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【变式5-2】已知，则 ； ． 【变式5-3】如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足，若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合． 【变式5-4】已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴． (1)求a，b的值； (2)若另外两点互相重合，则点C表示的数是_________． 【考点题型六 有理数的大小比较】 【例6】有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】关于有理数，，2，下列说法正确的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【变式6-2】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式6-3】对于有理数a，b，如果，，那么 （填“”“”或“”）． 【变式6-4】给出下列5个数：，，，0，4．在这些数中， (1)整数有______，分数有______； (2)互为相反数的是______，绝对值最小的数是______； (3)把这些数用“”号连接起来． 【考点题型七 数轴上的动点问题】 【例7】在数轴上有一个动点从原点出发，每次向正方向或负方向移2个单位长度，经过4次移动后，动点落在表示数4的点上，则动点的不同运动方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式7-1】如图将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则此时点表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】在数轴上，将表示的点先向左移动3个单位后再向右移动6个单位长度，此时这个点表示的数是 ． 【变式7-3】数轴上表示整数的点称为整点，在数轴上任意画出一条长为5个单位长度的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 【变式7-4】如图，数轴上从左到右依次有、、、四个点，、之间的距离为，、之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为的圆形纸片按如图所示的方式放置在点处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点处滚到点处，恰好滚动了（为正整数）圈，则__________（用含的代数式表示），是__________（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求、之间的距离（结果保留）； (3)若点表示的数为，圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求点表示的数． 【考点题型八 有理数的四则混合运算】 【例8】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-2】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-3】计算： (1)； (2)． 【变式8-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型九 有理数的简便运算】 【例9】简便运算 【变式9-1】用简便方法计算． (1)； (2)； (3)． 【变式9-2】计算或简便计算． (1) (2) (3) (4) 【变式9-3】用简便方法计算． (1)； (2)； (3)． 【变式9-4】用简便方法计算 (1)； (2)． 【考点题型十 有理数混合运算的应用】 【例10】近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 【变式10-1】出租车司机王师傅某天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运．现规定如下：向东行驶记为正，向西行驶记为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，该车在鼓楼的什么方向？离出发点多远？ (2)若出租车每千米收费为2元，且每行驶100千米耗油5升，汽油价格每升8元，那么出租车司机王师傅除去汽油费后收入是多少？ 【变式10-2】今年“十一”黄金周，江苏某风景区在七天假期中每天旅客人数变化情况如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少），已知9月30日的游客人数为5万人． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 (1)今年10月4日的游客人数为___________万人； (2)七天内游客人数最多的一天比最少的一天多___________万人； (3)若每万人带来的经济收入约为200万元，则黄金周该景区旅游每天平均收入约为多少万元？ 【变式10-3】某茶叶加工厂计划每天生产，由于各种原因实际每天产量与计划量相比有出入，某周七天的生产情况记录如下（超产为正、减产为负）： ，，，，，， (1)该厂星期日生产茶叶 ； (2)产量最高日比最低日多生产茶叶 ； (3)这一周的实际产量是多少？ (4)若该茶叶厂实行日生产结算制度，按计划每生产茶叶50元，每超产奖10元，每天少生产扣5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式10-4】某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知第一天生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)赶进度期间该厂实行计件工资加浮动工资制度．即：每生产一辆车的工资为60元，超过计划完成任务每辆车则在原来60元工资上再奖励15元；比计划每少生产一辆则在应得的总工资上扣发15元（工资按日统计，每周汇总一次），求该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【考点题型十一 有理数的乘方运算】 【例11】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) (9)． 【变式11-1】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 【变式11-2】观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【变式11-3】阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【变式11-4】我们把“n个相同的数a相乘”记为“”，例如． (1)计算： ， ． (2)观察以下等式： …     由以上规律，我们可以猜测 ． (3)计算：． 【考点题型十二 科学记数法】 【例12】今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白，月球距离地球的平均距离为384000千米，数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】中国新能源汽车产业即将进入市场化发展新阶段．预计今年国内新能源汽车的销量可达辆左右，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】某地数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的倍，达到，则的值为 （用科学记数法表示）． 【变式12-3】台湾省自古以来就是中国领土不可分割的一部分，祖国统一是两岸人民的共同心愿．据统计，台湾省常住人口总数约为人，数据用科学记数法可表示为 ． 【变式12-4】中秋国庆假期期间，无锡锡惠公园在7天中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化单位：万人 (1)已知9月29日的游客人数为3万人，则10月3日的游客人数是 万人． (2)七天内接待旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)如果最少一天接待旅客人，问9月29日接待旅游的人数有多少万人？ 【考点题型十三 算“24”点】 【例13】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式13-1】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式13-2】玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 【变式13-3】玩 “24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次），进行“、、、”四则运算，使其结果为24．现有3，4，，10这四个数，请根据规则列出一条算式，这条算式是 ． 【变式13-4】“24”点游戏的规则是这样的：在整数范围内任意取四个数，然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号），使其结果等于24． 例如：取2、3、6、9这四个数进行运算，得：或或等． (1)用、、5、3这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24； (2)用、3、4、10这四个整数，写出2种不同的算式，使其运算结果为24； (3)用、2、8、11这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24． 【考点题型十四 程序流程图与有理数计算】 【例14】在如图所示的计算程序中，输入1，则输出的结果是（   ） A．0 B． C．1 D．2 【变式14-1】如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A．10 B．10或1 C．10或3 D．10或3或1 【变式14-2】如图，这是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的值是 【变式14-3】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【变式14-4】项目化学习： 项目主题：数学活动课，数字游戏设计 在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： 【列式计算】 （1）列式，并计算： ①经过A、B、C、D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B、C、A、D的顺序运算后，结果是多少？ 【探究应用】 （2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是5，a是______． 【考点题型十五 有理数的定义运算】 【例15】定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．其算符号意义不变，按上述规定计算（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式15-2】新定义：，如：，则 ． 【变式15-3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，例如：，则 ． 【变式15-4】定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号 ，异号 ．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算， ． (2)计算：． 【考点题型十六 绝对值计算中的最值】 【例16】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点，则A、B两点间的最大距离是____________． (4)若数轴上表示数的点位于与4之间，则____________ (5)当______时，的值最小，最小值是____________． 【变式16-1】数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 【变式16-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_______；表示和2两点之间的距离是_______．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么_______． (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值． (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【变式16-3】同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【变式16-4】先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 有理数（6个考点清单+16种题型解读） 【清单01 有理数】 有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. (2)有理数的分类: ① ② 【清单02 数轴】 数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 【清单03 相反数与绝对值】 相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； 相反数的商为-1. 相反数的绝对值相等 绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； (2) 绝对值可表示为： 或 ； 【清单04 比较有理数大小】 有理数比大小： （1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 【清单05 有理数的混合运算】 倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 【清单06 科学记数法】 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 【考点题型一 正数与负数】 【例1】若收入200元记为元，那么支出50元将记为（  ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，根据收入200元记为元，那么支出50元将记为元，即可作答． 【详解】解：∵收入200元记为元， ∴支出50元将记为元， 故选：B． 【变式1-1】机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下： ，，，，，，，，，．其中不合格的零件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，找到数值大于的零件数即可得到答案． 【详解】解：∵要求误差不大于， ∴只有和误差大于， ∴不合格的零件有2个， 故选：B． 【变式1-2】在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔，负数表示低于海平面的某地的海拔． （1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是 ； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是 ． 【答案】 珠穆朗玛峰高出海平面 吐鲁番盆地低于海平面 【分析】本题主要考查正数和负数的定义，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键． （1）根据正数和负数的概念得出结论即可； （2）根据正数和负数的概念得出结论即可． 【详解】解：（1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是珠穆朗玛峰高出海平面， 故答案为：珠穆朗玛峰高出海平面； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是吐鲁番盆地低于海平面， 故答案为：吐鲁番盆地低于海平面． 【变式1-3】某种零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】不合格 【分析】本题主要考查了正负数的意义，由题意可得，根据范围判断30.12mm的零件是否合格即可. 【详解】解：由题意得，该零件合格尺寸范围是， 而， 该零件不合格， 故答案为：不合格． 【变式1-4】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向. (1)图中{______，______}， {______，______}： (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程； (3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案． 【答案】(1)3，4；，0 (2)10 (3) 【分析】本题考查了正负数在网格线中的运动路线问题，数形结合，明确运动规则，是解题的关键． （1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负，分别写出各点的坐标即可； （2）分别根据各点的坐标计算总长即可； （3）将，对应的横纵坐标相减即可得出答案． 【详解】（1）解：图中， 故答案为：3，4；，0． （2）解：由已知可得：表示为，记为，记为， 则该甲虫走过的路程为：． （3）解：由，， 可知：，， ∴点A向右走4个格点，向上走3个格点到点N， ∴应记为． 【考点题型二 有理数的分类】 【例2】下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键． 【详解】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 【变式2-1】下列一组数：，，，，，0，2，（相邻两个8之间依次增加一个0）．其中是分数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查分数的定义，解题的关键是正确理解分数的定义，本题属于基础题型． 根据分数的定义即可求出答案． 【详解】解：，，是分数，共三个， 故选：D． 【变式2-2】有下列各数：其中，正整数有m个，负有理数有n个，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数，根据正整数，负有理数的定义得出它们的个数，再代入计算即可． 【详解】解：正整数有，共1个； 负分数有，共2个， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2-3】下列各数中：，3，，，0，，，，其中负分数的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的分类，小于0的分数为负分数．据此即可作答． 【详解】解：，， ∴，，是负分数，共3个， 故答案为：3． 【变式2-4】将下列各数的序号填在相应的横线上． ；；；； ；；；． 整数：___________________________； 负分数：___________________________； 正有理数：___________________________． 【答案】；；． 【分析】本题考查了整数、负分数、正有理数的定义，先求出，，，然后根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、负分数、正有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：，，，则 整数：； 负分数：； 正有理数：； 故答案为：；；． 【考点题型三 数轴】 【例3】如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动周，点到达点的位置，点表示的数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点表示实数等知识，先由圆的直径计算圆的周长，再由数轴上点表示数即可求解，掌握数轴上点表示实数是解决问题的关键． 【详解】解：圆的直径为个单位长度， 圆的周长为， 该圆上的点 与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动周，点 到达点 的位置，点表示的数为， 故选：B． 【变式3-1】如图，数轴上有三个数，下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查主要利用数轴判断式子的符号，能根据数轴得出正确的结论是解此题的关键．先根据点在数轴上的位置，判断出数的大小关系，进而判断出式子的符号即可． 【详解】由数轴可知， A．若，则或， 成立，故本选项正确； B．若，则或， ，故本选项错误； C．若，则或， 或，故本选项错误； D．若，则或， 或，故本选项错误． 故选：A． 【变式3-2】如图，在数轴上A点表示的数为，B点表示的数为6，点C在点A的右侧，点D在点B的左侧，且，则 ．    【答案】4 【分析】本题考查数轴上点表示的数，求出C、D表示的数即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上A点表示的数为，点C在点A的右侧，， ∴C表示的数为， ∵B点表示的数为6，点D在点B的左侧，， ∴D表示的数为， ∴， 故答案为：4． 【变式3-3】如图，将刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的6和4，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，根据题意可得刻度尺上对应数轴上一个单位长度，刻度尺上“”距离刻度尺上“”的距离为，则刻度尺上“”对应数轴上的数与6的距离为，据此求解即可． 【详解】解：∵刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的6和4， ∴刻度尺上对应数轴上一个单位长度， ∴刻度尺上“”对应数轴上的数为， 故答案为：． 【变式3-4】已知a、b是有理数，其在数轴上对应的点如图所示． (1)利用圆规在数轴上分别作出对应的点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)用“＜”连接：______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查数轴的理解和运用，和利用圆规作出数轴上的对应的点，熟练应用圆规作出数轴上的对应的点是解题的关键． （1）按照尺规作图的作法，在数轴上作图即可， （2）根据数轴从左到右的顺序，就是从小到大的顺序排序即可． 【详解】（1） （2）如图可知， ． 【考点题型四 化简绝对值】 【例4】若，则值为（　　） A．3 或1 B．或0 C．3或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，分两种情况进行求解是关键． 根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或，； 当，时，， 当，时，， 综上，值为3或． 故选：C． 【变式4-1】若，则的值为（    ） A．或3 B．1或 C．1或 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查了化简绝对值，根据即可求解．分类讨论，两种情况即可． 【详解】解：若，则； 若，则； 故选：A 【变式4-2】已知，都不是零，写出的所有可能的值 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了绝对值的定义及分类讨论的思想，要对，所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值． 【详解】解：对，的取值情况分类讨论如下： ①当，都是正数时，； ②当，都是负数时，； ③当，中有一个正数，一个负数时，、、中有一个1，两个，所以和为． ∴的所有可能的值是3或， 故答案为：3或． 【变式4-3】有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值的运用判断出有理数，，，中负数的个数，然后分别讨论求出最大值．本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题． 【详解】解：， 有理数，，，中负数为奇数个． ①若有理数，，，有一个负三个正， 则； ②若有理数，，，有三个负一个正， 则； 所以的最大值是2． 故答案为：2． 【变式4-4】有理数在数轴上的位置如图所示， (1)a 0       0     0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由数轴得，即可得出； （2）因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：由数轴得， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 【考点题型五 绝对值非负性】 【例5】若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 【变式5-1】已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 【变式5-2】已知，则 ； ． 【答案】 8 6 【分析】本题主要考查了方程的解和非负数的性质等知识点，根据非负数的性质得出，，进而求出x、y的值即可，熟练掌握非负数的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：8，6． 【变式5-3】如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足，若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合． 【答案】3 【分析】本题主要考查了非负数的非负性和对称点．先根据可得: ，求出，根据最小的正整数可得，然后根据折叠，使得A点与C点重合，求出对称点，即可得出结果. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因为最小的正整数是1， 所以， 因为折叠，使得A点与C点重合， 所以点A与点C的中点对应的数为：， 点B到2的距离为1，所以与点B重合的数是：， 故答案为：3． 【变式5-4】已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴． (1)求a，b的值； (2)若另外两点互相重合，则点C表示的数是_________． 【答案】(1)， (2)，，5 【分析】本题考查了数轴，非负数的性质，解题的关键是掌握数轴知识，非负数的性质． （1）根据已知条件非负数的性质可得出，的值； （2）由（1）得知，表示的数分别为，1，再分情况讨论，当折叠中心分别为、、点时求点表示的数． 【详解】（1）解：、满足． ，， ，； （2）解：由（1）得点，点表示的数分别为，1， 当以点为中心折叠，点、点互相重合， ， ， ， 点表示的数为； 当以点为中心折叠，点、点互相重合， ， ， 点表示的数为； 当以点为中心折叠，点、点互相重合，，，点表示的数为5． 综上所述点表示的数是：，，5． 故答案为：，，5． 【考点题型六 有理数的大小比较】 【例6】有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，化简绝对值和多重符号，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 故不正确； B．∵， ∴， 故不正确； C．∵， ∴， 故正确；     D．∵， ∴， 故不正确； 故选C． 【变式6-1】关于有理数，，2，下列说法正确的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：A．如果，，那么b不一定小于2，故本选项不符合题意； B．如果，，那么a不一定大于2，故本选项不符合题意； C．如果，，那么，故本选项不符合题意； D．如果，，那么，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式6-2】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解，熟练掌握有理数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】对于有理数a，b，如果，，那么 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小是解题的关键．由，，则得到． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式6-4】给出下列5个数：，，，0，4．在这些数中， (1)整数有______，分数有______； (2)互为相反数的是______，绝对值最小的数是______； (3)把这些数用“”号连接起来． 【答案】(1)，0，4；，； (2)，；； (3) 【分析】（1）根据正整数，0，负整数，分数的含义解答即可； （2）根据相反数与绝对值的含义可得互为相反数的是，，绝对值最小的数是0； （3）利用空间想象结合数轴上各数对应的点在数轴上的位置可得答案． 【详解】（1）解：∵， 在，，，0，4这些数中 整数有，0，4，分数有，； （2）解：互为相反数的是，，绝对值最小的数是0； （3）解：． 【点睛】本题考查的是有理数的分类，相反数，绝对值的含义，有理数的大小比较，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【考点题型七 数轴上的动点问题】 【例7】在数轴上有一个动点从原点出发，每次向正方向或负方向移2个单位长度，经过4次移动后，动点落在表示数4的点上，则动点的不同运动方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】根据数轴的特点找出几种不同的路线即可．本题考查的是数轴，熟知有理数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键． 【详解】解：动点的运动方案有： ； ； ； ；共4种． 故选：C 【变式7-1】如图将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则此时点表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周，得到之间的距离即可得到答案． 【详解】解：直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周， 之间的距离为圆的周长， 点放在数轴的处， 点对应的数为． 故选B． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴的特点以及圆的周长公式，掌握点的移动与点表示的数之间的关系． 【变式7-2】在数轴上，将表示的点先向左移动3个单位后再向右移动6个单位长度，此时这个点表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴上点的平移规律是解题的关键． 根据“左减右加”列式计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，这个点表示的数为： ． 故答案为：1． 【变式7-3】数轴上表示整数的点称为整点，在数轴上任意画出一条长为5个单位长度的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 【答案】5个或6个 【分析】本题考查了数轴的特点，解题的关键在于利用分类的思想解决问题，根据题意分两种情况①当，点在整点时，②当，点不在整点时，讨论求解，即可解题． 【详解】解：当，点在整点时，线段盖住的整点的个数是个； 当，点不在整点时，线段盖住的整点的个数是个； 故答案为：个或个． 【变式7-4】如图，数轴上从左到右依次有、、、四个点，、之间的距离为，、之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为的圆形纸片按如图所示的方式放置在点处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点处滚到点处，恰好滚动了（为正整数）圈，则__________（用含的代数式表示），是__________（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求、之间的距离（结果保留）； (3)若点表示的数为，圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求点表示的数． 【答案】(1)，无理数 (2) (3)或 【分析】本题考查数轴表示数，无理数的意义，掌握数轴上两点距离的计算方法是解决问题的关键． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点处滚动圈到达点处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，且从点处滚动到点滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为圈，为圈，或为圈，为圈． 【详解】（1）解：圆形纸片的直径为，因此周长为，滚动圈的距离为， 而， 所以， 即，是无理数， 故答案为：，无理数； （2）圆形纸片从点处滚动圈到达点处，所以有， 所以， 答：、之间的距离为； （3）由（2）得，， 由于圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，且从点处滚动到点C滚动圈， 因此有①当、的距离为时，则、的距离为，、之间的距离为， 所以、之间的距离为， 又因为点表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当、的距离为时，则、的距离为，、之间的距离为， 所以、之间的距离为， 又因为点表示的数为， 所以点所表示的数为， 答：点表示的数为或． 【考点题型八 有理数的四则混合运算】 【例8】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)20 (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数乘除法计算法则按照从左至右的顺序计算求解即可； （3）根据乘法分配律把原式化为，再求解即可； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)12 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）先变除法为乘法，然后再按照乘法分配律进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-2】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3) (4)11 【分析】本题考查有理数计算． （1）从左到右依次计算即可； （2）从左到右依次计算即可； （3）先计算括号内的，再计算乘法即可； （4）先计算除法和乘法最后算加法． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 【变式8-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先算绝对值，再算乘除，最后算加减即可； （2）先算乘方和括号内的，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式8-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的加减进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算，先括号内，计算乘方，再计算除法； （3）先计算乘除，最后计算加减即可求解； （4）根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式= ； （3）原式 ； （4）原式       ． 【考点题型九 有理数的简便运算】 【例9】简便运算 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练乘法分配律简便计算．先将变形为，再根据乘法分配律进行计算． 【详解】解：原式 ． 【变式9-1】用简便方法计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数运算和乘法运算律； （1）运用乘法结合律求解即可； （2）运用乘法分配律求解即可； （3）运用乘法分配律求解即可． 【详解】（1） （2） （3） 【变式9-2】计算或简便计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，解题关键是掌握对应的运算法则． （1）先去括号，再利用加法交换律和结合律，将能凑整的两个数放在一起运算，最后合并即可； （2）利用有理数的乘法分配律，将括号内的每一项与括号外的数相乘，再把积相加，即可得出结果； （3）先计算乘法，再计算除法，最后计算加法即可； （4）先变形，再利用乘法分配律，将提出来，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式9-3】用简便方法计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)35 (2)100 (3)4 【分析】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算． （1）把除以化成乘上，再运用乘法的分配律进行简算． （2）运用乘法分配律进行计算即可． （3）运用乘法分配律，再算减法即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 【变式9-4】用简便方法计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法的分配律进行简便计算． 【考点题型十 有理数混合运算的应用】 【例10】近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 【答案】(1) (2)这七天一共行驶了千米 (3)这天的行驶费用比原来节省了大约元 【分析】本题主要考查了正负数，有理数混合运算的实际运用，理解正负数的实际意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”，从表格中确定最多一天的路程，最少一天的路程，运用有理数的减法运算即可求解； （2）用7天的平均量之和与7天的超出或不足的量求和即可； （3）计算出7天的总路程，分别算出汽油的费用，电费进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，最多的一天为多于标准，最少的一天为少于标准， ∴， 故答案为：； （2）解：， ∴这七天一共行驶了千米； （3）解：由（2）可知这七天一共行驶了千米， ∴油费为（元）， 电费为（元）， ∵（元）， ∴这天的行驶费用比原来节省了大约元． 【变式10-1】出租车司机王师傅某天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运．现规定如下：向东行驶记为正，向西行驶记为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，该车在鼓楼的什么方向？离出发点多远？ (2)若出租车每千米收费为2元，且每行驶100千米耗油5升，汽油价格每升8元，那么出租车司机王师傅除去汽油费后收入是多少？ 【答案】(1)最后一名乘客送到目的地时，该车在鼓楼的西面，离出发点 (2)56元 【分析】此题考查了有理数加减混合运算的应用，正数与负数，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． （1）将记录的数字相加得到结果，即可做出判断； （2）将记录的数字绝对值相加得到总路程数，算出总收入减去汽油费，即可解答． 【详解】（1）解： 答：最后一名乘客送到目的地时，该车在鼓楼的西面，离出发点． （2）解：， （元）， 答：出租车司机王师傅除去汽油费后收入是56元． 【变式10-2】今年“十一”黄金周，江苏某风景区在七天假期中每天旅客人数变化情况如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少），已知9月30日的游客人数为5万人． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 (1)今年10月4日的游客人数为___________万人； (2)七天内游客人数最多的一天比最少的一天多___________万人； (3)若每万人带来的经济收入约为200万元，则黄金周该景区旅游每天平均收入约为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)万元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，平均数的计算方法， （1）根据9月30日的游客人数为5万人，正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少，运用有理数的加减运算法则即可求解； （2）运用有理数的加减运算分别算出每天的人数，进行比较可得最多一天和最少一天的人数，由此即可求解； （3）分别算出总的游客数量，总的经济收入，再根据平均数的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：已知9月30日的游客人数为5万人，正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少， ∴10月1日的人数为：（万人）， 10月2日的人数为：（万人）， 10月3日的人数为：（万人）， 10月4日的人数为：（万人）， 故答案为：； （2）解：根据题意，10月1日的人数为：（万人）， 10月2日的人数为：（万人）， 10月3日的人数为：（万人）， 10月4日的人数为：（万人）， ∴10月5日的人数为：（万人）， 10月6日的人数为：（万人）， 10月7日的人数为：（万人）， ∴最多的一天的人数为：（万人），最少的一天的人数为：（万人）， ∴（万人）， 故答案为：； （3）解：七天内游客总人数为：（万人）， ∵每万人带来的经济收入约为200万元， ∴总的经济收入为：（万元）， ∴每天平均收入约为万元． 【变式10-3】某茶叶加工厂计划每天生产，由于各种原因实际每天产量与计划量相比有出入，某周七天的生产情况记录如下（超产为正、减产为负）： ，，，，，， (1)该厂星期日生产茶叶 ； (2)产量最高日比最低日多生产茶叶 ； (3)这一周的实际产量是多少？ (4)若该茶叶厂实行日生产结算制度，按计划每生产茶叶50元，每超产奖10元，每天少生产扣5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)21 (2)11 (3)180 (4)9040 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算，比较有理数的大小，对于（1），根据每天的计划产量加上超减产量计算即可； 对于（2），先比较超减产量，再求差可得出答案； 对于（3），用计划总产量加上超减产总量可得答案； 对于（4），用实际产量乘以50元，再加上超产总奖励，然后减去总扣款即可． 【详解】（1）． 所以星期日生产茶叶． 故答案为：21； （2）因为， 所以． 则产量最高日比最低日多生产茶叶； 故答案为：11； （3） ， 所以这一周实际产量是； （4） ． 所以该厂工人这一周工资总额是9040元． 【变式10-4】某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知第一天生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)赶进度期间该厂实行计件工资加浮动工资制度．即：每生产一辆车的工资为60元，超过计划完成任务每辆车则在原来60元工资上再奖励15元；比计划每少生产一辆则在应得的总工资上扣发15元（工资按日统计，每周汇总一次），求该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的加法，即可得答案； （2）根据最大数减最小数，可得答案； （3）根据每辆的价格乘以数量，可得基本工资，再根据每辆的奖金乘以超额的数量，可得奖金，再根据工资加奖金，可得答案； 本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，利用工资加奖金等于实际收入是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：第一天生产204辆； （2）， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆； （3） ， 答：该厂工人这一周的工资总额是84450元． 【考点题型十一 有理数的乘方运算】 【例11】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) (9)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】（）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘法运算，然后计算乘方即可； （）利用乘方逆运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算加法即可； 本题考查了乘方的运算，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是，熟练掌握运算法则． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式； （8）原式； （9）原式 ． 【变式11-1】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 【答案】(1)64 (2) (3) (4) (5)32 (6) (7) (8) (9) 【分析】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． （1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据乘方的意义计算即可； （3）根据乘方的意义计算即可； （4）根据乘方的意义计算即可； （5）根据乘方的意义计算即可； （6）根据乘方的意义计算即可； （7）根据乘方的意义计算即可； （8）根据乘方的意义计算即可； （9）根据乘方的意义计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ． 【变式11-2】观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等 (2) (3)1 【分析】本题考查有理数的乘方， （1 ）根据乘方的定义分别计算可得； （2 ）根据（1 ）中计算结果可得； （3 ）根据所得结论得出，再进一步计算可得． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； ∴每组两个算式的计算结果相等． （2）解：； （3）解： ． 【变式11-3】阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设 则 所以， 即． 【变式11-4】我们把“n个相同的数a相乘”记为“”，例如． (1)计算： ， ． (2)观察以下等式： …     由以上规律，我们可以猜测 ． (3)计算：． 【答案】(1)64，625 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数学归纳整理的能力，解题的关键要分析材料找到题目中规律从而由特殊例子总结出一般规律． （1）根据乘方的运算法则计算即可； （2）根据给出的材料可看出，等号右边x的指数规律是，所以． （3）运用（2）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：64，625； （2）解：根据观察可得：， 故答案为：． （3）解：， ， ， ． 【考点题型十二 科学记数法】 【例12】今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白，月球距离地球的平均距离为384000千米，数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解：本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法表示方法表示数即可． 【详解】解：将一个数表示为，其中，为整数， 故用科学记数法表示为， 故选B． 【变式12-1】中国新能源汽车产业即将进入市场化发展新阶段．预计今年国内新能源汽车的销量可达辆左右，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 【变式12-2】某地数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的倍，达到，则的值为 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题主要考查了科学记数法-表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题关键． 根据把一个较大的数记成的形式，其中a是整数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 【变式12-3】台湾省自古以来就是中国领土不可分割的一部分，祖国统一是两岸人民的共同心愿．据统计，台湾省常住人口总数约为人，数据用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式12-4】中秋国庆假期期间，无锡锡惠公园在7天中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化单位：万人 (1)已知9月29日的游客人数为3万人，则10月3日的游客人数是 万人． (2)七天内接待旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)如果最少一天接待旅客人，问9月29日接待旅游的人数有多少万人？ 【答案】(1)5.4 (2)七天内接待旅游人数最多的是10月2日，最少的是10月6日，它们相差2.2万人 (3)2.6万人 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的混合运算、科学记数法，理解题意，正确列算式是解答的关键． （1）利用正负数的意义和有理数的加减运算求解即可． （2）相对9月29日的游客人数，求得每一天的接待人数变化即可得出结论； （3）由（2）中可知10月6日人数最少，根据相对9月29日接待旅游的人数的变化人数求解即可． 【详解】（1）解：∵9月29日的游客人数为3万人， ∴9月30号游客人数为（万人）； 10月1日游客人数为（万人）； 10月2日游客人数为（万人）， 10月3日游客人数为（万人）， 故答案为：5.4； （2）解：相对9月29日的游客人数，每天的人数变化为： 9月30日的游客变化人数为：万人； 10月1日的游客变化人数为：万人； 10月2日的游客变化人数为：万人； 10月3日的游客变化人数为：万人； 10月4日的游客变化人数为：万人； 10月5日的游客变化人数为：万人； 10月6日的游客变化人数为：万人； ∵，， ∴七天内接待旅游人数最多的是10月2日，最少的是10月6日，它们相差2.2万人； （3）解：∵最少一天是10月6日，接待旅客人，即万人， ∴（万人） ∴9月29日接待旅游的人数有2.6万人． 【考点题型十三 算“24”点】 【例13】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式13-1】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式13-2】玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算的式子解答即可． 【详解】解： ； ． 故答案为：或（答案不唯一）． 【变式13-3】玩 “24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次），进行“、、、”四则运算，使其结果为24．现有3，4，，10这四个数，请根据规则列出一条算式，这条算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式13-4】“24”点游戏的规则是这样的：在整数范围内任意取四个数，然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号），使其结果等于24． 例如：取2、3、6、9这四个数进行运算，得：或或等． (1)用、、5、3这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24； (2)用、3、4、10这四个整数，写出2种不同的算式，使其运算结果为24； (3)用、2、8、11这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查的是有理数的加减乘除混合运算，掌握有理数的加减乘除混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）利用，而，从而可得答案； （2）利用和，从而可得答案 （3）利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：用、、5、3这四个整数，使其运算结果为24， 这个算式为； （2）用、3、4、10这四个整数，使其运算结果为24， 这个算式为或； （3）用、2、8、11这四个整数，使其运算结果为24， 这个算式为． 【考点题型十四 程序流程图与有理数计算】 【例14】在如图所示的计算程序中，输入1，则输出的结果是（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查程序框图的含义，解决本题的关键是要正确根据程序图列式计算；先根据程序图可得：，因为，再把输入程序图可得答案. 【详解】解：先把代入，根据程序图可得：， 因为， 再把输入程序图可得：， 所以输出的结果是1． 故选：C． 【变式14-1】如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A．10 B．10或1 C．10或3 D．10或3或1 【答案】B 【分析】本题考查流程图，解题的关键是看懂流程图，根据流程图的过程进行计算．根据开始输入，则输出y值为1，求出，把y值为4代入求解即可． 【详解】解：∵开始输入，则输出y值为1 ∴ ， 解得， 令， 解得：， 令， ， 解得或（舍去） 综上所述，或． 故选：B 【变式14-2】如图，这是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的值是 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据题中所给运算程序进行代入求解即可． 【详解】解：由题意得： ，； 故答案为． 【变式14-3】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据程序图列出算式计算，直至算出符合题意的结果． 【详解】解：， ， ． 故答案为：6． 【变式14-4】项目化学习： 项目主题：数学活动课，数字游戏设计 在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： 【列式计算】 （1）列式，并计算： ①经过A、B、C、D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B、C、A、D的顺序运算后，结果是多少？ 【探究应用】 （2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是5，a是______． 【答案】（1）①7；②206；（2） 【分析】（1）①根据题意，经过A、B、C、D的顺序运算，列式为，按照运算顺序计算即可． ②根据题意，5经过B、C、A、D的顺序运算，列式为，按照运算顺序计算即可． （2）根据题意，数a经过D，C，A，B的顺序运算，列式为，结果是5，得到，进而解答即可． 本题考查了根据程序式计算，含有乘方的混合运算，解方程，熟练掌握混合运算法则，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：①根据题意，经过A、B、C、D的顺序运算， 列式为 ． ②解：根据题意，5经过B、C、A、D的顺序运算， 列式为， ． （2）解：根据题意，数a经过D，C，A，B的顺序运算，列式为，结果是5， 得到， 整理，得， ， 解得． 【考点题型十五 有理数的定义运算】 【例15】定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．其算符号意义不变，按上述规定计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，理解新运算的计算规则，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A ． 【变式15-1】对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式15-2】新定义：，如：，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义，解题的关键是理解题目所给的新定义的运算法则． 根据题目所给新定义运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：3． 【变式15-3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义．根据，可以求出式子的值． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【变式15-4】定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号 ，异号 ．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算， ． (2)计算：． 【答案】(1)符号取正号，并把绝对值相加；符号取负号，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值 (2)23 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题的关键是根据新定义列出算式． （1）观察运算，即可得出运算法则； （2）根据法则计算即可． 【详解】（1）解：同号符号取正号，并把绝对值相加；异号符号取负号，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值． 故答案为：符号取正号，并把绝对值相加；符号取负号，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值； （2）解：原式． 【考点题型十六 绝对值计算中的最值】 【例16】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点，则A、B两点间的最大距离是____________． (4)若数轴上表示数的点位于与4之间，则____________ (5)当______时，的值最小，最小值是____________． 【答案】(1)3； (2)或； (3)14； (4)； (5)2，7． 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键． （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答； （3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示与的距离加上与的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：由数轴得 表示和两点之间的距离是：； ∴数轴上表示和1两点之间的距离是3； 故答案： ； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案：或． （3）解：由，，得， ，， 所以表示与的距离为，与的距离为， 所以或，或， 当，时，则A、B两点间的最大距离是， 故答案：． （4）解： 所以表示与的距离加上与的距离的和， 因为表示数的点位于与4之间， 所以， 故答案：． （5）解： ， 所以表示与、、的距离之和， ①当时，   ； ②当时，   ； ③当时，   ④当时， ； 综上所述：当时，的值最小，最小值为7． 故答案：2，7． 【变式16-1】数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 【答案】(1)、之间 (2)点 (3)之间 (4)①，；②，；③， 【分析】本题考查了绝对值的性质、数轴上两点之间的距离，采用分类讨论是解此题的关键． （1）分三种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点点点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （2）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在点时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在之间时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点点点的右边时，， 当点在、之间时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； （2）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在点时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在点时，才能使P到三点的距离之和最小 （3）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在之间时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在之间时，才能使P到四点的距离之和最小； （4）解：①由（1）可得：当时，有最小值，最小值为， 的最小值，此时x的范围是； ②由（2）可得：这是在求点到，，三点的最小距离， 当时，有最小值，最小值为； ③由（3）可得：这是在求点到，，，四点的最小距离， 当时，由最小值，最小值为． 【变式16-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_______；表示和2两点之间的距离是_______．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么_______． (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值． (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)3；5；1或 (2) (3)当时，的值最小，最小值为9，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解绝对值方程，化简绝对值，熟知数轴上两点的距离计算公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式即可求出表示4和1的两点之间的距离，表示和2两点之间的距离，再列出方程，解方程即可； （2）根据题意得到，据此化简绝对值即可； （3）当当时，有最小值9，当时，有最小值0，则当时，有最小值0，有最小值9，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示4和1的两点之间的距离是，表示和2两点之间的距离是， ∵表示数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：3；5；1或； （2）解；∵数轴上表示数的点位于与2之间， ∴， ∴ ； （3）解：当时，的值最小，最小值为9，理由如下： 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，有最小值9， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值0，有最小值9， ∴当时，的值最小，最小值为9． 【变式16-3】同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【答案】(1)7；数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离， (2)2， (3)超市的位置应在B，C两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小 【分析】（1）根据题中给出的例子可得出结论； （2）使成立的所有整数，就是−5到数轴上任意一点的距离都等于7的点都符合，找出此点即可； （3）由题意可知，，所以超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【详解】（1）如图（1）可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离，    （2）∵使成立的所有整数，就是数轴上到表示的点距离为7的点所表示的数， ∴如图（2）所示，使成立的所有整数有2，，    （3）由题意可知，且， ∴超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的几何意义是解答此题的关键． 【变式16-4】先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)，1，3.5； (2)，或2； (3)； (4)； (5)1，9． 【分析】本题考查了绝对值和数轴上两点的距离，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． （1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围； （5）表示在数轴上点所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和，讨论两点之间的距离最小即可． 【详解】（1）解：如图， 点与点即为所求，点表示的数是，点表示的数是1， ，两点之间的距离是， 故答案为：，1，3.5； （2）由题意得和之间的距离可表示为， ，两点之间的距离为3， ， 解得：或2， 故答案为：，或2； （3）与的值相等，则所对应的点到的距离，与所对应的点与2所对应的点的距离相等， 可得， ， 故答案为：； （4）要使取得最小值，则所对应的点在所对应的点和2所对应的点之间（包含端点）， 的取值范围是． （5）表示在数轴上点 所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和． 当时，的值最小，最小值为9， 当时，的值最小，最小值为0， 所以当时，的值最小， 最小值为9． 故答案为：1，9． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$