安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|1-2x<5},B=x>0,则A∩B= A.(3,+∞) B.(1,+∞) C.(-1,1) D.(-∞,-2) 2.若函数y=ax-1+(a>0且a≠1)恒过定点P,则点P的坐标是 A.1, B.(-1,0) C.0, D.2, 3.在下列区间中,函数f(x)=2x-3x-2的零点所在的区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 4.已知x>0,y>0,m>0,且(mx-y)-=9,则m的最小值为 A.4 B.8 C.9 D.16 5.若a=log32,b=log0.53,c=2-1.2,则a,b,c的大小关系为 A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 6.已知函数f(x)=(x+1)4+3|x+1|,使得f(x-1)>f(2x)成立的x的取值范围是 A.0, B.-1, C.-1,- D.-, 7.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度等于x2-x1.函数y=|logax|的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,2],若区间[m,n]的长度的最小值为,则实数a= A. B. C.2 D.4 8.已知函数f(x)=log2x(x≥2),若方程f(4x+1)-f(k·2x+k)=x有唯一实根,则实数k的取值范围为 A.{k|k=1} B.{k|k>} C.{k|k>或k<1} D.{k|k>或k<0} 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.“-3<x<2”的一个必要不充分条件可以是 A.x>-3 B.0<x<1 C. -3<x<3 D.x<1 10.已知函数f(x)满足f(x+y)≥f(x)+f(y),则f(x)的解析式可以是 A.f(x)=x3(x≥0) B.f(x)=2x+1 C.f(x)=2x-1(x≥0) D.f(x)=ln (x≥0) 11.已知函数f(x)=若方程f(x)=k有三个不等的实数解x1,x2,x3且x1<x2<x3,则 A.k∈(-3,0) B.x3∈, C.x1x3+x2x3∈-,- D.x1x2<1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设函数f(x)=f(-6)+f(log26)=　　　　.  13.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如表所示.若某户居民某月交纳水费90元,则该月用水量为　　　　m3.  每户每月用水量 水费 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 14.已知对任意x∈R,2x+2≤ax2+bx+c≤2x2-2x+4恒成立,若b>0,则-a的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=(2a2-3a+2)ax是指数函数. (1)求f(x)的解析式; (2)解不等式:loga(6-x)>loga(x-4). 16.(15分)已知二次函数f(x)=x2-bx+6的图象过点(2,2). (1)求f(x)的解析式,并写出函数y=f(x)的单调递增区间(不要求证明); (2)求不等式f(x)>2x+1的解集. 17.(15分)根据下列已知条件,求出相关最值: (1)已知2x+y=++2(x,y>0),求2x+y的最小值; (2)已知x,y是正数,且x3+8y3=2,求x2+8y2+3xy的最大值.(提示:若a,b,c>0,a3+b3+c3≥3abc) 18.(17分)已知函数f(10x)=x2+2x+a,f(1)=3. (1)求f(x)的解析式; (2)若对任意的x∈[1,1000],k[f(x)]2-lg x·f(x)>2kf(x)-2lg x恒成立,求k的取值范围. 19.(17分)已知x∈R,我们定义函数f(x)表示不小于x的最小整数,例如:f(e)=3,f(-1.9)=-1. (1)若f(x)=2024,求实数x的取值范围; (2)求函数g(x)=4+的值域,并求满足f(4x-f(x))=f(g(x))的实数x的取值范围; (3)设m(x)=x+a·-,h(x)=,若对于任意的x1,x2,x3∈(1,3],都有m(x1)>|h(x2)-h(x3)|,求实数a的取值范围. 参考答案 1.B　因为A={x|x>-2},B={x|x<-2或x>1},所以A∩B=(1,+∞). 2.A　当x=1时,ax-1=1,所以函数y=ax-1+恒过定点1,. 3.D　由题意,f(3)=23-3×3-2=-3<0,f(4)=24-3×4-2=2>0,由零点存在定理,得函数f(x)=2x-3x-2的零点所在的区间为(3,4). 4.D　由(mx-y)-=9,得m--+1=9,即+=m-8.因为x>0,y>0,m>0,所以+=m-8≥2=2.令t=>0,则t2-2t-8≥0,解得t≥4或t≤-2(舍去),即≥4,m≥16.故m的最小值是16. 5.B　=log3<a=log32<log33=1,b=lo3=-log23<0,0<c=2-1.2<2-1=,故b<c<a. 6.C　易知函数f(x)=(x+1)4+3|x+1|的图象是关于直线x=-1对称的,且在(-1,+∞)内单调递增,所以若f(x-1)>f(2x),则|x-1+1|>|2x+1|,解得-1<x<-. 7.B　作出函数y=|logax|的图象(图略),要使定义域区间[m,n]的长度最小,则m<n=1,m=1-=,|logam|=loga=2,则a=. 8.A　∵f(x)的定义域为[2,+∞),∴4x+1≥2,解得x≥0,∴f(4x+1)的定义域为[0,+∞).由得k≥在[0,+∞)恒成立.∵y=在[0,+∞)上单调递减,当x=0时,ymax=1,最大值为1,∴k≥1.又f(4x+1)-f(k·2x+k)=x,∴log2(4x+1)-log2(k·2x+k)=x,化简得(k-1)·(2x)2+k·2x-1=0. 令2x=t(t≥1),则(k-1)t2+k·t-1=0在[1,+∞)上有唯一实数根. 令g(t)=(k-1)t2+k·t-1,t∈[1,+∞), 当k=1时,令g(t)=0,则t=1,即2x=1,x=0符合题意,所以k=1; 当k>1时,Δ=k2+4k-4>0,所以只需g(1)=2k-2≤0,解得k≤1,因为k>1,所以此时无解.综上,实数k的取值范围是{k|k=1}. 9.AC　设M={x|-3<x<2},选项对应的集合为N, 因为题中所求的是“-3<x<2”的一个必要不充分条件,所以M是N的真子集.故选AC项. 10.AC　(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3≥x3+y3,故A项正确; 2(x+y)+1<2x+1+2y+1,故B项错误; 若f(x)=2x-1(x≥0),因为当x≥0,y≥0时,2x-1≥0,2y-1≥0,所以(2x-1)(2y-1)≥0,则2x·2y-(2x+2y)+1≥0,即2x+y-1≥2x-1+2y-1,所以f(x+y)≥f(x)+f(y),故C项正确; 若f(x)=ln =ln1+(x≥0),因为函数y=1+在[0,+∞)上单调递减,函数y=ln x是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(x)>0,令x1>x2≥0,若D项满足条件,则f(x1)-f(x2)=f((x1-x2)+x2)-f(x2)≥f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)>0,即f(x1)≥f(x2),所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,与f(x)=ln (x≥0)的单调性矛盾,D项错误. 11.CD　f(x)的大致图象如图所示.若方程f(x)=k有三个不等的实数解,则根据图象可得k∈(-4,3],且x1+x2=-2.令-2+ln x=-3,得x=,令-2+ln x=-4,得x=,则x3∈,,x1x3+x2x3∈-,-,x1x2=(-x1)(-x2)≤2=1,当且仅当x1=x2时,等号成立,因为x1≠x2,所以x1x2<1. 12.5　f(-6)=-1+log28=2,f(log26)===3,∴f(-6)+f(log26)=5. 13.20　设用水量x m3,交纳水费为y元,由题可知y=,当y=90时,解得x=20. 14.-1　令x=1,则4≤a+b+c≤4,故a+b+c=4.对任意x∈R,2x+2≤ax2+bx+c,则ax2+(b-2)x+c-2≥0恒成立,∴Δ=(b-2)2-4a(c-2)=(a+c-2)2-4a(c-2)=(a-c+2)2≤0,∴c=a+2,此时b=2-2a,∴-a=-a=+(2-2a)-1≥-1,当a=,b=,c=时,取等号,此时2x2-2x+4-(ax2+bx+c)=x2-(2+)x+≥0成立,∴-a的最小值为-1. 15.解:(1)∵函数f(x)=(2a2-3a+1)ax是指数函数,a>0且a≠1, ∴2a2-3a+2=1,可得a=或a=1(舍去),∴f(x)=. (2)由lo(6-x)>lo(x-4),得x-4>6-x>0,则5<x<6,解集为{x|5<x<6}. 16.解:(1)因为函数f(x)=x2-bx+6的图象过点(2,2), 所以f(2)=4-2b+6=2,b=4,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-4x+6. f(x)=x2-4x+6=(x-2)2+2,故函数y=f(x)的单调递增区间为[2,+∞). (2)f(x)>2x+1,即x2-4x+6>2x+1,即x2-6x+5>0,解得x<1或x>5. 故不等式f(x)>2x+1的解集为(-∞,1)∪(5,+∞). 17.解:(1)2x+y=++2,可得2x+y-2=+,等式两边同时乘以“2x+y”得(2x+y-2)(2x+y)=+(2x+y)=4++≥8,当且仅当y=2x时,等号成立.令t=2x+y,∴(t-2)·t≥8,解得t≤-2(舍去)或t≥4,即(2x+y)min=4. (2)∵3×1×x×x≤1+x3+x3,3××y×y≤+y3+y3,3×1×x×2y≤1+x3+8y3, ∴x2+4y2+3xy≤=,当且仅当x=2y=1时,等号成立. 18.解:(1)f(1)=f(100)=a=3,令t=10x>0,则x=lg t,f(t)=(lg t)2+2lg t+3, 故f(x)=(lg x)2+2lg x+3. (2)不等式k[f(x)]2-lg x·f(x)>2kf(x)-2lg x在[1,1000]上恒成立. 转化为[f(x)-2][kf(x)-lg x]>0在[1,1000]上恒成立, 因为当x∈[1,1000]时,f(x)=(lg x+1)2+2≥3,所以f(x)-2>0, 则kf(x)-lg x>0在[1,1000]上恒成立,即k>在[1,1000]上恒成立. 当lg x=0时,k>0,当lg x≠0时,因为==≤==, 当且仅当lg x=,即x=1时,等号成立,所以k>. 19.解:(1)由f(x)表示不小于x的最小整数,f(x)=2024,得2023<x≤2024,所以实数x的取值范围是(2023,2024]. (2)函数g(x)的定义域为[0,+∞),而函数y=ln(+1)+1在[0,+∞)上单调递增,值域为[1,+∞),因此0<≤1,即有4<4+≤5,所以函数g(x)的值域为(4,5],则f(g(x))=5.由f(4x-f(x))=f(g(x)),得f(4x-f(x))=5,则有4<4x-f(x)≤5,由x≥0,f(x)≥0,必有3x-1<4x-f(x)≤4x,则必须满足解得1<x<2,f(x)=2,4<4x-2≤5,解得<x≤.所以实数x的取值范围,. (3)当x∈(1,3]时,h(x)=,函数y=x+-2在(1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,因此函数h(x)在(1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减,h(x)max=h(2)=2.而h(1)=,h(3)=,于是h(x)在(1,3]上的值域为,2,∀x2,x3∈(1,3],|h(x2)-h(x3)|<2-=,依题意,∀x∈(1,3],x+a·-≥,可得af(x)≥2x-x2. 当x∈(1,2]时,2a≥2x-x2,即2a≥1,a≥,当x∈(2,3]时,3a≥2x-x2,即3a≥0,a≥0, 所以实数a的取值范围为a≥. ( 第 7 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $