专题04 几何图形初步重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材沪科版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03几何图形初步（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 立体图形与平面 了解立体图形与平面图形的区别，体会点、 基础必考点，常出现在小题。 图形 线、面、体之间的整体联系；了解从不同 方向看立体图形的视图概念。 线段相关概念及 能用两点确定一条直线的基本事实，会找 线段的动点问题是高频易错点，能够用时间 应用 线段中点，能运用两点之间线段最短的基 表示出不同动点及线段的长度是解题的突 本事实；能描述两点间距离的定义。 破口。 角相关概念及应 理解角的定义、度量单位及换算，理解角 角度相关运算是常考考点，其中探究和证明 用 平分线的定义；理解余角、补角的定义及 角度之间的数量关系是难点，正确的证明过 性质，能利用余角、补角性质和方位角解 程和规范的书写格式需注意。 决问题。 记·必备知识 ®知识点01 几何图形 1.立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都 在同一平面内，如三角形、圆等。 2.从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视 图。 3.点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面， 面动成体。 屋知识点02直线、射线、线段 1.有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2.线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC=BC=AB。 3.有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4.两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 1/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 屋知识点03 角 1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形 成的图形。 2.角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60,1′=60”。 3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB 是∠AOC的角平分线，则∠AOB=∠BOC=专∠AOC。 4.方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东 或偏西。 ®知识点04 余角和补角 1.如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角： 2.如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。 3同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 破·重难题型 题型一 作图（直线射线线段） 答|题|模|板 如图，平面内有A,B,C三点. B. A c (1)按下列语句作出图形： ! ①作直线AB;②作射线AC;③作线段BC (2)指出图中有哪几条线段. (3)指出图中有几条射线，并写出能用图中字母表示的射线。 (1)解：如图所示； 2/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (2)解：线段AB,BC,AC (3)解：一共有6条射线，射线AB,射线BA,射线AC. 【典例1】如图，已知四点A,B,C,D.根据下列语句，在同一图中画出图形. A· ●D ●C B. (1)画直线AB; (2)画射线AD,BC,交于点P; (3)连接BD,并延长线段BD到点E,使DE=BD. 【变式1】，己知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形. D A. B 乙 (1)画直线AB、线段BC、射线CD; (2)在线段BC上任取一点E(不同于点B,C)连接DE,AE; (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【变式2】，如图，己知平面上四个点A,B,C,D,请根据下列语句用尺规画图并回答问题.（保留作图 痕迹，不写作法) A。 D B c (1)分别画直线AB、线段AC. (2)画出射线AD与射线BC,两射线相交于点P. 3/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)连接CD,延长CD至E,使得DE=CD. (4)在线段AC上找一点Q,使QB+QD的值最小，这样画图的依据是一· 题型二 度分秒相关计算 答|题模板 计算1531942"+26°40'18” 解：1531942"+2640'18" =(153°+26）+(19'+40)+42"+18") =179°+59'+60" =179°+59+1 =179°+60 =180°. 【典例1】计算 (1)98°4536+712234； (2)180°-7832-5147. 【变式1】，计算： (1)13128'-32'15”; (2)5838'27"+47°42'40”. 【变式2】，计算： (1)23°53×3+107°43'÷5； (2)6139'-225'32”. 它题型三线段相关求解 答|题模|板 如图，C为线段AB的中点，点D在线段AC上.若AB=18,BC=3AD,求CD的长. C ⊙ 解：：C为线段AB的中点，AB=18, 4/18 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AC=BC=14B=1x18=9, 2 BC=3AD 3AD=9, 解得：AD=3, CD=AC-AD,AC=9, .CD=AC-AD=9-3=6. 【典例1】如图，已知点B、C、E都是线段AD上的点，AC=AD=10,BD=6,点E是AB的中点. CE B (1)求AE的长； (2)若点F是CD的中点，求EF的长. 【变式1】.如图，已知点C为线段AB上一点，AC=24cm,CB=16cm,D、E分别是AC、AB的中点. 求： D B (1)AD的长度为 (2)DE的长度为； (3)若M在直线AB上，且MB=12cm,求AM的长度. 【变式2】.如图，己知AB=40,M为AB的中点，点P在MB上，N为PB的中点. A MP N B (1)图中共有-条线段： (2)若NB=7,求MP的长. 题型四 线段相关动点问题 答|题模|板 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB,AM和BM,若其中有一条线段的长度是另外一条线 段长度的2倍，则称点M是线段AB的“二倍点” 5/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B D ① ② ③ (1)一条线段的中点这条线段的"二倍点”（填“是”或“不是”)： (2)如图②，若CD=6a,点N是线段CD的二倍点，则CN=-;(用含a的代数式表示) (B)如图③，己知AB=20cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出 发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移 动，设移动的时间为s,求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的二倍点. (1)解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； (2)解：设CN=x,则DN=6a-x, 当DN=2CN时，6a-x=2x, 解得：x=2a; 当CD=2CN时，6a=2x, 解得：x=3a; 当CN=2DN时，x=2(6a-x, 解得：x=4a, 综上所述，CN=2a或3a或4a, 故答案为：2a或3a或4a: (3)解：20÷2=10（秒，20÷3=20秒 当20 <1≤10时，AP=2tcm,PQ=2t+t-20=(3t-20)cm,AQ=AP-P0=2t-(3t-20)=(20-tcm, 3 当AQ=2P2时，20-1=2(3t-20), 解得：1=60」 7； 当AP=2AQ时，21=2(20-t, 解得：t=10; 当P9=2AQ时，31-20=220-t, 解得t=12(不符合题意，舍去)， 6/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 答：当1为9或10时，点0恰好是线段AP的二倍点， 【典例1】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cms、3cms的速 度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上). ← ← A CM D B A M B 图 图1 图2 1 图2 (1)若AB=10cm,当点C、D运动了1s,求AC+MD的值； (2)若点C、D运动时，总有MD=3AC,直接填空：AM=一AB; B)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN,求M的值. AB 【变式1】.如图，P是线段AB上一点，AB=I2cm,C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的 速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上，D在线段BP上)，运动的时间为t. A C P D B (1)当t=2时，PD=2AC,请求出AP的长： (2若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC,请求出AP的长： (3)在(2)的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ-BQ=PQ,求PQ的长. 【变式2】.如图，己知线段AB=20cm,点M从点A出发以1cm/s的速度沿A→B的方向运动，同时点N 从点B出发以3cm/s的速度沿B→A的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动 时间为s B 根据题意回答下列问题： (1)当t=3s时，MW=__;当t=6s时，MN=」 (2)若C为线段AB上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点D ①若AD=2AC,求线段BC的长： 3 ②若BD=4CD,求线段AC的长. 它题型五 答|题|模|板 如图，∠A0B=60°，射线0C在∠AOB内部，将射线0C绕点O逆时针旋转120°得到射线 7/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0D∠C0D=120),0E平分∠B0D. D (1)若∠A0C=20°，则∠E0B=」 (2)探究∠B0E与∠AOC的数量关系，并说明理由. (1)解：∠A0B=60°，∠A0C=20°， ∠B0C=∠A0B-∠A0C=40°. :∠C0D=120°， .∴.∠B0D=∠C0D-∠B0C=120°-40°=80°. :OE平分∠BOD, :∠E0B=∠B0D=40°. 2 故答案为：40°； (2)解：2LB0E-∠A0C=60°，理由： :∠A0B=60°， ∴∠B0C=∠A0B-LA0C=60°-∠A0C. :∠C0D=120°， ∠B0C=∠C0D-∠B0D=120°-∠B0D, ∴60°-∠A0C=120°-∠B0D, ∴.∠B0D-∠A0C=60°. :OE平分∠BOD, ∴∠B0D=2∠B0E, ∴.2∠B0E-∠A0C=60°. 【典例1】·己知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧， ∠A0C=120°，∠D0E=80°. 8/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C D E D A B B A (图1) (图2) (图3) (1)如图1，当0D平分∠A0C时，求∠E0B的度数： (2)点F在射线OB上，若射线0F绕点O逆时针旋转n°(0<n<180且n≠60)，LF0A=3LA0D.当 ∠D0E在∠AOC内部（图2）和∠D0E的两边在射线0C的两侧（图3）时，∠F0E和LE0C的数量关系 是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系 【变式1】.如图，已知∠A0C=120°，OE是∠B0C的角平分线，且∠D0E=80°. D B (1)求∠C0E和∠C0D的度数： (2)在∠AOD内作射线0F,使得∠D0F:∠A0F=3:4,求∠E0F的度数. 【变式2】，已知直线AB上有一点O,在直线AB上方作∠MON=60°，射线OP平分∠AON. Q M B B 图1 图2 (1)如图1，若∠B0N=80°，求∠M0P的度数： (2)如图2，若∠M0P=18°，求∠B0P的度数： (3)若设∠BON=x°，请直接写出用含x的式子表示∠MOP的大小的关系式. 它题型六三角板相关角的计算 答|题模板 如图1，己知∠ABC=50°，有一块三角板BDE与∠ABC共用一个顶点B,其中∠EBD=45°. 9/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 图1 图2 (1)若BD平分∠ABC,求∠EBC的度数； (2)如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转a度(0°<a<90°)，当AB⊥BD时，求LEBC的度数. (1)解： BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC= ∠ABC, 2 :∠ABC=50°， .∠ABD=∠DBC=二×50°=25°， 2 ∠EBC=∠EBD+∠DBC=45°+25°=70°； (2)解：如图， A E 当AB⊥BD时，∠ABD=90 :∠ABD=∠ABC+∠EBD-∠EBC ∠ABC+∠EBD-LEBC=90 ∠EBC=50°+45°-90°=5°. 【典例1】·如图1所示，点O在直线MN上，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边B0,D0 在直线MN上，LAOB=LCOD=90°，OE是∠AOB的平分线，在将三角板COD绕点O逆时针旋转一周的 过程中，解决下列问题. 10/18 专题03 几何图形初步（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 立体图形与平面图形 了解立体图形与平面图形的区别，体会点、线、面、体之间的整体联系；了解从不同方向看立体图形的视图概念。 基础必考点，常出现在小题。 线段相关概念及应用 能用两点确定一条直线的基本事实，会找线段中点，能运用两点之间线段最短的基本事实；能描述两点间距离的定义。 线段的动点问题是高频易错点，能够用时间表示出不同动点及线段的长度是解题的突破口。 角相关概念及应用 理解角的定义、度量单位及换算，理解角平分线的定义；理解余角、补角的定义及性质，能利用余角、补角性质和方位角解决问题。 角度相关运算是常考考点，其中探究和证明角度之间的数量关系是难点，正确的证明过程和规范的书写格式需注意。 知识点01 几何图形 1. 立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都在同一平面内，如三角形、圆等。 2. 从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。 3. 点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面，面动成体。 知识点02 直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2. 线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB。 3. 有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 知识点03 角 1. 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 3. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB是∠AOC的角平分线，则∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 4. 方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西。 知识点04 余角和补角 1.如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角； 2.如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。 3.同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 题型一 作图（直线射线线段） 答｜题｜模｜板 如图，平面内有A，B，C三点． (1)按下列语句作出图形： ①作直线AB；②作射线AC；③作线段BC． (2)指出图中有哪几条线段． (3)指出图中有几条射线，并写出能用图中字母表示的射线． （1）解：如图所示； （2）解：线段 （3）解：一共有6条射线，射线射线，射线． 【典例1】如图，已知四点．根据下列语句，在同一图中画出图形． (1)画直线； (2)画射线，交于点； (3)连接，并延长线段到点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查线段、射线、直线 （1）根据直线的定义可进行作图； （2）根据射线的定义可进行作图； （3）根据线段的定义可进行作图． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：所作图形如图所示． 【变式1】．已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)共有7条线段，6条射线 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握各定义是解题的关键． （1）利用直线、线段、射线的定义作图即可； （2）依据在线段上任取一点E，连接即可； （3）根据线段和射线的定义即可求解． 【详解】（1）解：直线、线段、射线如图所示， （2）解：点，如图所示， （3）解：根据题意可知，线段有，图中共有7条线段；以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有1条，以点为端点的射线共有1条，则共有6条射线． 【变式2】．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，线段的尺规作图，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）以点D为圆心，的长为半径画弧交延长线于点E，则点E即为所求； （4）根据两点之间线段最短可知线段的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图所示，直线、线段即为所求； （2）解：如图所示，射线与射线以及点P即为所求； （3）解：如图所示，点E即为所求； （4）解：如图所示，线段的交点Q即为所求，依据为两点之间线段最短． 题型二 度分秒相关计算 答｜题｜模｜板 计算 解： ． 【典例1】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型三 线段相关求解 答｜题｜模｜板 如图，为线段的中点，点在线段上．若，，求的长． 解：∵为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴． 【典例1】如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点． (1)求的长； (2)若点F是的中点，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据，，求出，再根据中点的定义求出，即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． 因为点是的中点， 所以． （2）解：因为， 所以． 因为，， 所以． 因为点是的中点， 所以， 所以． 【变式1】．如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为或 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据是的中点求出，根据即可求解； （3）分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点． ∴ 故答案为：； （2）∵，， ∴（）， ∵是的中点 ∴， ∴（）， 故答案为：； （3）当在点的右侧时，（）， 当在点的左侧时，（）， ∴的长度为或． 【变式2】．如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长． 【答案】(1)10 (2)6 【分析】本题考查线段定义及线段的中点定义，根据图形进行线段的和与差是解答的关键． （1）根据线段定义求解即可； （2）根据线段中点定义求得，，进而进行线段和与差即可求解． 【详解】（1）解：如图，图中的线段共有（条）， 故答案为：10； （2）解：∵，M为的中点， ∴， ∵N为的中点，， ∴， ∴． 题型四 线段相关动点问题 答｜题｜模｜板 如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． （1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 【典例1】已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 【变式1】．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 【变式2】．如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①，②线段的长为或 【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键； （1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解； （2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解； ②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ， 故答案为：， （2））①由题意，得，， 当点，相遇时，，， 则， 所以， 因为， 所以， 所以； ②由①可得，， 因为， 所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，， 故线段的长为或． 题型五 答｜题｜模｜板 如图，，射线在内部，将射线绕点逆时针旋转得到射线平分． (1)若，则______． (2)探究与的数量关系，并说明理由． （1）解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：； （2）解：，理由： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【典例1】．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，．． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变，． 【变式1】．如图，已知，是的角平分线，且． (1)求和的度数； (2)在内作射线，使得，求的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）可得， ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式2】．已知直线上有一点，在直线上方作，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)若设，请直接写出用含的式子表示的大小的关系式． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图， ∵，，射线平分， ∴， ∴； （3）解：①当位于外部时，如图： 设，则， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴； ②当位于内部时，如图： 设，则， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 题型六 三角板相关角的计算 答｜题｜模｜板 如图1，已知，有一块三角板与共用一个顶点B，其中． (1)若平分，求的度数； (2)如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转度（），当时，求的度数． （1）解：平分， ， ， ， ； （2）解：如图， 当时， ． 【典例1】．如图1所示，点O 在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边在直线MN上，，是的平分线，在将三角板绕点O 逆时针旋 转一周的过程中，解决下列问题． (1)若旋转速度为每秒，t 秒后恰好使得所在射线与所在射线重合如图2所示， 求旋转时间t； (2)在（1）的条件下，将三角板绕 点O 再逆时针旋转，求的余角、补 角的大小； (3)当时，求的度数． （自行画图解决问题） 【详解】（1）解：秒； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如图3， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图4， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的度数为或． 【变式1】．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 【变式2】．直角三角板的一个顶点在直线上，． (1)如图1，三角板在直线上方． ①若，则_____°； ②若平分，则_____°； (2)如图2，三角板在直线下方，．求的度数． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵平分， ∴， ∴， （2）解：由图2可知，， ，， ， ， ． 题型七 探究角的数量关系 答｜题｜模｜板 与有共同的顶点，其中． (1)如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； (2)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． （1）解：. 理由如下： 如图1， ∵，， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：． 理由如下： ∵， ； （3）解：在（2）中的关系不成立，． 理由如下： 如图2， ∵，， ∴． 【典例1】．已知：O 是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图 1，若，求的度数； (2)如图 2，平分，求的度数； (3)当时，绕点 O 以每秒沿逆时针方向旋转 t 秒，请直接写出和之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①时，由题意得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②时， 由题意得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上，时，；时，． 【变式1】．在一个平面内有四条射线，，，，射线平分．射线平分，，．    (1)如图1所示，①当时，求与的度数； ②求的度数； (2)如图2所示，确定与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：①∵， ∴设，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴； ②由①得，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 由（1）得，，， ∵， ∴ ； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴． 【变式2】．如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分， 、， ； （2）解：的值为定值， 理由如下：如图： 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 ，，点C、D在直线的右侧， 射线平分，射线平分， ，， ， 的值为定值； （3）解：当时，如图2：同理（2）得，； 当时，如图3所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 当时，如图4所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 综上，与具有的数量关系为：当时， ；当时，；当时，． 说明：相当于“课堂验收成果”，用“分层、限时”的检测题，帮学生自查“基础是否扎实、难题是否突破”，便于诊断“哪里还要补”。每个版块选取3~5道试题（三个板块选其中两个板块也可），部分可选取最新期末真题并标注题源，综合拓展部分可链接中高考真题，以达到考教衔接。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：由题意得：钟表上的时间下午时， 此时时针位于与中间，分针指到上，中间夹格， ∴时针与分针之间所成的角是：， 故选：A． 2．如图，点是线段上的一点且，点是的中点，点是的中点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出，由线段中点的定义可得，，求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，平角的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．根据角平分线的性质求得，再根据平角的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 4．如图，线段表示一条绳子，现从点处将绳子剪成两段，其中一段长为． （1）若为的中点，则剪断前的绳长为 ； （2）若，则剪断前的绳长为 ． 【答案】 60 48或80 【详解】解：（1）∵若为的中点，其中一段长为 ∴ 故答案为∶60． （2）①当是，， ∴ ∴； ②当， ∴， ∴ 综上所述∶原来绳长为或． 故答案为∶48或80． 5．如图，已知M是线段的三等分点，E是线段的中点，且线段，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差． 先根据M是线段的三等分点求出，再根据E是线段的中点求出，根据计算即可． 【详解】解：M是线段的三等分点且， ， E是线段的中点， ， （）． 6．如图，已知射线分别是和的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：射线分别是和的平分线， ， ， ． （2）射线分别是和的平分线， ， ， ． （3）射线分别是和的平分线， ， ， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：由题意得：钟表上的时间下午时， 此时时针位于与中间，分针指到上，中间夹格， ∴时针与分针之间所成的角是：， 故选：A． 2．如图，点是线段上的一点且，点是的中点，点是的中点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出，由线段中点的定义可得，，求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，平角的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．根据角平分线的性质求得，再根据平角的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 4．如图，线段表示一条绳子，现从点处将绳子剪成两段，其中一段长为． （1）若为的中点，则剪断前的绳长为 ； （2）若，则剪断前的绳长为 ． 【答案】 60 48或80 【分析】本题考查了线段的中点计算，以及线段的和差关系，分类讨论是解题的关键． （1）当点P为的中点，可知对折前的绳长是的2倍，即可计算出结果； （2）分类讨论∶①是，根据可得的长，再根据线段的和差，可得答案；②是，根据，可得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：（1）∵若为的中点，其中一段长为 ∴ 故答案为∶60． （2）①当是，， ∴ ∴； ②当， ∴， ∴ 综上所述∶原来绳长为或． 故答案为∶48或80． 5．如图，已知M是线段的三等分点，E是线段的中点，且线段，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差． 先根据M是线段的三等分点求出，再根据E是线段的中点求出，根据计算即可． 【详解】解：M是线段的三等分点且， ， E是线段的中点， ， （）． 6．如图，已知射线分别是和的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义，能够求出是解此题的关键，求解过程类似． （1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：射线分别是和的平分线， ， ， ． （2）射线分别是和的平分线， ， ， ． （3）射线分别是和的平分线， ， ， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图所示的是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键．先根据光的反射定律和已知条件可得：，从而求出，再根据余角的性质可得即可解答． 【详解】解：根据光的反射定律可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则线段的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段和与差计算、有关线段中点的计算等知识，理解题意，弄清各线段之间的关系是解题关键．首先根据题意解得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：∵点是线段的三等分点，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 故选：C． 3．有一个时钟现在显示3时整，那么经过 分钟，分针和时针第一次重合． 【答案】/ 【分析】本题考查钟表问题，时针走1大格，分针走1圈，1分钟分针走度，时针走度，所以分针每分钟追赶度，3 时整时，时针指向 3，分针指向 12，两者之间的夹角是 （相当于分针需要 “追上” 时针的距离是 ），列方程即可得出答案． 【详解】解：1分钟分针走：（度） 时针走：（度） 设经过x分钟，分针和时针第一次重合， ， 解得：， 故答案为：． 4．将一副三角板按如图所示方式摆放，其中，． （1）若和互补，则的度数为 ； （2）若平分，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板的角度计算，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据题意可得，从而得出，代入数值求解即可． （2）依据题意，，结合，代入数值即可求解． 【详解】（1）解：∵和互补， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论：①； ②若，则；③； ④． 其中正确的结论是 （只填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的计算，准确识图，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键． 设，，，依题意得，，，，则，． ①根据，，据此可对结论①进行判断； ②根据，，再根据得，据此可对结论②进行判断； ③根据，得，再根据得，据此可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据，得，据此可对结论④进行判断． 【详解】解：设，，， ∵E，F分别是线段，的中点， ∴，，，， ∴，， ①∵， ∴， ∴， ∴， 故结论①不正确； ②∵，， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故结论④不正确． 故答案为：②③． 6．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图，填空： (1)画射线； (2)连接； (3)延长至D，使得； (4)在直线上确定点E，使得最小，请写出你作图的依据______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查线段，射线，延长线的定义以及线段的性质，掌握上述定义和性质，是解题的关键． （1）根据射线的定义，即可作图； （2）根据线段的定义，即可作图； （3）根据延长线的定义，即可作图； （4）根据两点之间线段最短即可作图． 【详解】（1）解：射线如图所示； （2）解：线段如图所示； （3）解：线段如图所示； （4）解：点E如图所示， 作图的依据为两点之间线段最短． 7．直线，相交于点，，平分． (1)如图①，若，求和； (2)如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补的角． 【答案】(1)， (2)①；②，， 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）解：①平分，， ，， ， ， ； ②，，，， ， 与互补的角为：，，． 8．如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 【答案】(1)4，4 (2) 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：4，4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别为的中点， ∴， ∵， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $