精品解析：青海省西宁市七一中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

西宁市七一中学2025-2026学年第一学期期中学情评估九年级数学 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，不可能事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 买一张彩票，中奖500万 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天太阳从西方升起 3. 已知，点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，则一元二次方程的解为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 某工厂经过两年时间将某种产品产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：；；；对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B运动，过点D作的垂线，垂足为点E．设点D的运动时间为x秒，的面积为y（当A，D，E三点共线时，不妨设），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共10小题，每题2分，共20分） 9. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为__________． 10. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 11. 某市要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为______． 12. 从中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为__________． 13. 如图所示的花朵图案，要与原来的图形完全重合，至少要绕其中心旋转____度． 14. 二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，m=_____． 15. 二次函数，该函数的顶点坐标为______． 16. 如图，P是等边内一点，连接AP，CP，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为______． 17. 在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点旋转，得到点，则点的坐标是___________． 18. 已知二次函数，当时，函数的最大值是______． 三．解答题（共8小题，19题10分，20~22题每题8分，23~25题每题10分，26题12分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，的顶点坐标分别为，，， （1）画出关于轴的对称图形； （2）将绕原点顺时针旋转，得到； （3）的面积是 ． 21. 中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解． （1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月日的概率是 ，抽到三顾茅庐的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 22. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 23. 已知关于一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 24. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于27元，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，． （1）求一次函数表达式； （2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）点是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标及的最小值． 26. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市七一中学2025-2026学年第一学期期中学情评估九年级数学 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义对选项进行逐一分析即可得解． 【详解】解：选项A，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项A错误； 选项B，符合中心对称图形定义，是中心对称图形，符合题意，选项B正确； 选项C，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项C错误； 选项D，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项D错误． 故选：B． 2. 下列事件中，不可能事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 买一张彩票，中奖500万 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天太阳从西方升起 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件类型的区分，需熟记不可能事件、必然事件和随机事件的概念．根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），判断各选项：A、B为随机事件，C为必然事件，D为不可能事件． 【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故本选项不符合题意； B、买一张彩票，中奖500万，是随机事件，故本选项不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，故本选项不符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 已知，点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点中心对称的对称点的坐标，根据关于原点中心对称的对称点的坐标的横纵坐标与原坐标的横纵坐标互为相反数即可得解． 【详解】解：点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是， 故选：C． 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设该方程的另一个根为t，则根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而问题可求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选B． 5. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，则一元二次方程的解为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，抛物线对称性，理解抛物线是轴对称图形是解题的关键．根据抛物线是轴对称图形，利用抛物线上对称的点到对称轴的距离相等得出方程的解． 【详解】解：与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线， 个到对称轴的距离是2， 抛物线与x轴另一交点到对称轴的距离也是2，所以交点坐标是 一元二次方程的解为， 故选：． 6. 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．设平均每年的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均每年的增长率为x，根据题意得， 故选：A． 7. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：；；；对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号，即， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故正确； 当时，，故正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴函数的最大值为：， ∴当为任意实数时，有， ∴，故正确； 综上所述，正确的有， 故选：． 8. 如图，在等边中，，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B运动，过点D作的垂线，垂足为点E．设点D的运动时间为x秒，的面积为y（当A，D，E三点共线时，不妨设），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点D的运动可知，当点D运动到点C时，用时，由此可排除D选项；当点D在上，即时，由点D的运动可知，，，，所以，由此可排除A和B选项，当点D在上，即时，经过验证，C选项正确． 【详解】解：根据题意可知， ①当点D在上，即时， ，， 根据二次函数的图象和性质，开口向上，当时，，可排除A和B选项 ②当点D在上，即时，如图， 由点D的运动可知， ， 在中，， 根据二次函数的图象和性质，开口向下，当时，，可排除D选项，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键． 二．填空题（共10小题，每题2分，共20分） 9. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程未知数最高次为2，二次项系数不为零即可求解． 【详解】∵是关于x的一元二次方程 ∴ 解得 故答案为：-2． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记未知数最高次为2，二次项系数不为0的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 10. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式非负时，方程有实数根． 【详解】解：方程的判别式为， 由题意得，即， 解得． 故答案为：． 11. 某市要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 单循环赛的总比赛场数公式为，总比赛场数为6，由此列方程即可． 【详解】解：赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，所以总比赛场数为， 参赛的每两个队之间都要比赛一场，因此总比赛场数为， 即． 故答案为：． 12. 从中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得． 【详解】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果， ∴使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为， 故答案为：. 【点睛】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键． 13. 如图所示的花朵图案，要与原来的图形完全重合，至少要绕其中心旋转____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，掌握相关知识是解决问题的关键．该图形被平分成8部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：花朵图案，至少要旋转后，才能与原来的图形重合． 故答案：． 14. 二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，m=_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点纵坐标=抛物线最值，列出关于m的方程，解答即可． 【详解】根据抛物线顶点坐标公式得： ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数最值问题，准确理解顶点坐标的横纵坐标是解题关键． 15. 二次函数，该函数顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质． 将二次函数化为顶点式，进而作答即可． 【详解】解：， 所以顶点坐标为． 故答案为：． 16. 如图，P是等边内一点，连接AP，CP，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，根据旋转前后对应边相等证明是等边三角形，即可求解； 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转 ，得到， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：2. 17. 在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点旋转，得到点，则点的坐标是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定和性质． 分两种情况作答即可． 【详解】以原点为旋转中心，把点逆时针旋转，得到点，可知，， 如图，作轴交轴于D，作轴交轴于C， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴； 以原点为旋转中心，把点顺时针旋转，得到点， 同理可得； 故答案为：或 18. 已知二次函数，当时，函数的最大值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的对称性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴当时，y取得最小值， 当时， 当时，． ∴函数最大值为 0， 故答案为：0． 三．解答题（共8小题，19题10分，20~22题每题8分，23~25题每题10分，26题12分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解：  或  解得： 【小问2详解】 解： ∴ 解得： 20. 如图，的顶点坐标分别为，，， （1）画出关于轴的对称图形； （2）将绕原点顺时针旋转，得到； （3）的面积是 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，旋转作图，割补法求面积． （1）根据要求作图即可； （2）根据要求作图即可； （3）根据割补法计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：． 故答案为：． 21. 中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解． （1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月日的概率是 ，抽到三顾茅庐的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月的概率是，抽到三顾茅庐的概率是； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：所有可能出现的结果列表如下： （甲，乙） 由表格可知共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相等，其中两张卡片都是神话故事的有，两种， 甲、乙两人都抽取到神话故事的概率：． 22. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 【答案】2秒或4秒后的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，三角形面积公式及一元二次方程的建立与求解，先分析点P、Q的运动情况，表示出和的长度，根据三角形面积公式列出方程并求解方程即可． 【详解】解：设x秒后的面积等于， 在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动， ，， ， ， 解得：，， 即2秒或4秒后的面积等于． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 24. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于27元，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，． （1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围． 【答案】（1） （2），当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确计算出函数的解析式是解题关键． （1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式． （2）根据利润＝单件利润×数量求出W与x的函数表达式，利用二次函数的性质可推出当时商场可获得最大利润． （3）由推出解出x的值即可． 【小问1详解】 ． ∵当时，；当时，， ∴， 解得， 所求一次函数的表达式为； 【小问2详解】 ， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于27元，元， ∴， ∴当时， ， ∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 【小问3详解】 令，解方程， 解得，， ∵抛物线的开口向下， ∴， 又∵， 所以当时，． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）点是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标及的最小值． 【答案】（1），直线； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，三角形三边关系． （）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式，即可作答； （2）根据三角形三边关系及勾股定理作答即可． 【小问1详解】 解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：连接，可知， 当M在D上时，，达到最小值， ∵， ∴点的坐标为， 即点M的坐标为； 当时，， ∴， ∴ 26. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式的最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ 【答案】（1）；（2）；（3）米 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、因式分解的应用； （1）根据完全平方公式，添加一次项系数一半的平方，即可求解； （2）仿照阅读材料用配方法因式分解即可； （3）设长方形的边，则，根据长方形的面积公得出羊圈的面积，根据配方法得出最值，即可求解； 【详解】（1）∵， 故答案为：． （2）解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． （3）解：设长方形的边，则 ∴ ∵ ∴当时，羊圈的面积取得最大值， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $