专题03 二次函数（6知识8题型3易错）（期末复习知识清单）九年级数学上学期沪教版五四制

该初中数学二次函数知识清单系统梳理了二次函数核心内容，涵盖6大知识清单8类典型题型和3项易错点，构建了从概念性质到表达式应用再到综合题突破的递进式学习支架，助力学生全面掌握二次函数知识体系。 清单通过表格对比不同形式二次函数的图象性质，分类呈现待定系数法实际应用等题型，标注图象与系数关系等易错点，培养学生的抽象能力推理意识和模型意识。如“二次函数与相似三角形综合”总结分类讨论思路，“实际应用”明确解题六步骤，既方便学生自主复习，也为教师教学设计提供精准参考。

专题03 二次函数（6知识&8题型&3易错） 【清单01】二次函数 1、二次函数： 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 2.二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）依据定义判断一个函数是不是二次函数时，解析式中表示函数的这个代数式应是最简的。例如这个函数不是二次函数。 （3）在具体问题中，有时只研究函数解析式，需要研究函数的定义域时，如果未加说明，那么函数的定义域由解析式确定；否则，必须指明函数的定义域。 （4）在实际应用问题中，要注意函数的定义域，自变量x的取值应符合实际意义。 【清单02】二次函数的图象与性质 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 【清单03】二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【清单04】二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 （1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. （2）一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 【清单05】二次函数的实际应用 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 【清单06】二次函数综合 1.二次函数中线段有关综合题 （1）线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 （2）线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 （3）线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 2.二次函数中角度有关综合题 （1）角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 （2）二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 （3）特殊角问题 运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45°构造等腰直角三角形，遇 30°、60°构造等边三角形，遇 90°构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 3.相似三角形的存在性 寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。 确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。 根据相似三角形的性质列方程求解： 导边处理：若已找到一组相等角，可根据 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。 导角处理：根据 “有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A = ∠D，则讨论∠B = ∠E 或∠B = ∠F 的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。 解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。 4.平行四边形的存在性 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类; 2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定) 3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解 常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形 分类讨论: 当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标; 当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解. 4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可 5.矩形、菱形、正方形存在性 1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。 2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。 3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。 6.梯形存在性 问题形式：找一点构成梯形（一组对边平行）。 解题方法：利用平行边斜率相等，设动点坐标后，分情况讨论哪组对边平行（如AB∥CD或AC∥BD），列斜率等式求解，注意排除平行四边形的情况（两组对边都平行）。 等腰梯形附加两腰相等，直角梯形附加有一个角是直角。 【题型一】二次函数的概念 【例1】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海普陀·月考）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【变式1-2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是 ． 【题型二】二次函数的图象和性质 【例2-1】（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2-2】（2025·上海崇明·一模）已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 【变式2-1】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）将二次函数和的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2-2】（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果抛物线的对称轴是直线，那么b的值等于 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）二次函数的图像上有两个点、，那么 （填“”“”或“”）． 【题型三】待定系数法求二次函数解析式 【例3-1】（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 【例3-2】（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【例3-3】（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 【变式3-1】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 【变式3-2】（2025·上海宝山·一模）一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 【变式3-3】（23-24九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【变式3-4】（24-25九年级上·上海·期末）已知二次函数的部分对应值如下表，求的值： 编号 … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 0 1 2 3 4 5 … … ______ 0 ______ 5 12 … 小海和小申对这道题展开讨论： 【小海】我认为，通过编号2、3、4（或其它任意3个编号）可以算出这条抛物线的解析式，接着求出的值． 【小申】我认为不需要计算就可以求出值，可以______． (1)采用【小海】的方法，求的值； (2)补充【小申】的发言并填写表格中的数据； (3)结合本题，谈谈你对这类题型做法的启示． 【题型四】二次函数的实际应用 【例4-1】（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【例4-2】（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【例4-3】（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 【变式4-1】（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【变式4-2】（2025·上海徐汇·一模）已知菱形的周长为C，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为S，那么S关于C的函数解析式是 ． 【变式4-3】（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【变式4-4】（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【题型五】二次函数新定义问题 【例5】（23-24九年级上·上海宝山·期末）平面直角坐标系中，在轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与轴的交点的距离之和最小的点，称为这条抛物线与轴的“亲密点”，那么抛物线与x轴的“亲密点”的坐标是 ． 【变式5】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 【题型六】二次函数与锐角三角比综合 【例6】（2025·上海虹口·一模）如图．在平面直角坐标系中．已知抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧）．与轴交于点．连接，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合）．点关于轴的对称点恰好在直线上． 求点的坐标； 点是抛物线上一点且在对称轴左侧．连接．如果，求点的坐标． 【变式6】（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 【题型七】二次函数中的翻折与旋转 【例7-1】（24-25九年级上·上海·期末）我们将平面直角坐标系中的图形D和点 P给出如下定义：如果将图形D绕点 P顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形D关于点 P的“垂直图形”． 已知点A的坐标为，点B的坐标为，关于原点O的“垂直图形”记为，点A、B的对应点分别为点，． (1)请写出：点的坐标为 ；点的坐标为 ； (2)请求出经过点 A、B、的二次函数解析式： (3)请直接写出经过点 A、B、A'的抛物线的表达式为 ． 【例7-2】（2025·上海静安·一模）已知抛物线上，其与部分对应值如下表： x … … y … … (1)求此抛物线的表达式； (2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与轴的交点为（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长． 【变式7-1】（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【变式7-2】（2025·上海崇明·一模）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． (1)求该抛物线的表达式： (2)点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边的直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 【题型八】二次函数与相似三角形综合 【例8-1】（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【例8-2】（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【变式8-1】（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【变式8-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)把抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线，记抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为，如果，求此时点D的坐标． 【题型一】图象与系数关系判断失误 1．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【题型二】平移变换规律应用错误 4．（23-24九年级上·上海崇明·期末）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ． 6．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 7．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是 ． 8．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 9．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 10．（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 11．（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【题型三】忘记分类讨论或分类讨论不全面出错 12．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 13．（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 14．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 15．（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 16．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 17．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数（6知识&8题型&3易错） 【清单01】二次函数 1、二次函数： 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 2.二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）依据定义判断一个函数是不是二次函数时，解析式中表示函数的这个代数式应是最简的。例如这个函数不是二次函数。 （3）在具体问题中，有时只研究函数解析式，需要研究函数的定义域时，如果未加说明，那么函数的定义域由解析式确定；否则，必须指明函数的定义域。 （4）在实际应用问题中，要注意函数的定义域，自变量x的取值应符合实际意义。 【清单02】二次函数的图象与性质 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 【清单03】二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【清单04】二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 （1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. （2）一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 【清单05】二次函数的实际应用 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 【清单06】二次函数综合 1.二次函数中线段有关综合题 （1）线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 （2）线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 （3）线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 2.二次函数中角度有关综合题 （1）角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 （2）二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 （3）特殊角问题 运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45°构造等腰直角三角形，遇 30°、60°构造等边三角形，遇 90°构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 3.相似三角形的存在性 寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。 确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。 根据相似三角形的性质列方程求解： 导边处理：若已找到一组相等角，可根据 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。 导角处理：根据 “有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A = ∠D，则讨论∠B = ∠E 或∠B = ∠F 的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。 解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。 4.平行四边形的存在性 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类; 2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定) 3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解 常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形 分类讨论: 当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标; 当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解. 4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可 5.矩形、菱形、正方形存在性 1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。 2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。 3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。 6.梯形存在性 问题形式：找一点构成梯形（一组对边平行）。 解题方法：利用平行边斜率相等，设动点坐标后，分情况讨论哪组对边平行（如AB∥CD或AC∥BD），列斜率等式求解，注意排除平行四边形的情况（两组对边都平行）。 等腰梯形附加两腰相等，直角梯形附加有一个角是直角。 【题型一】二次函数的概念 【例1】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A．是一次函数，故不符合题意； B．是反比例函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海普陀·月考）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：8． 【题型二】二次函数的图象和性质 【例2-1】（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数，和二次函数的性质，可知该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一定不经过第二象限． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下， ∴该函数图象存在三种情况，如图所示， ∴它的图象一定不经过第二象限， 故选：B． 【例2-2】（2025·上海崇明·一模）已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为和时的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式2-1】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）将二次函数和的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．根据题意画出函数的图象，然后根据函数的图象即可得到结论． 【详解】解：列表： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 7 18 6 描点、连线，可得到这两个函数的图象，如图： 由图象知，这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是， 故选：C． 【变式2-2】（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果抛物线的对称轴是直线，那么b的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，根据二次函数的对称轴为直线即可解答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）二次函数的图像上有两个点、，那么 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 求得二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 二次函数的图像上有两个点、，且， ， 故答案为：． 【题型三】待定系数法求二次函数解析式 【例3-1】（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．根据抛物线在轴右侧的部分是下降的，确定其开口方向和对称轴所在位置，然后根据经过的点的坐标确定解析式即可． 【详解】解：抛物线在轴右侧的部分是下降的， 抛物线开口向下，且对称轴为轴或在轴的左侧， 设抛物线的解析式可以为， 抛物线经过， 抛物线的解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 【例3-2】（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 【例3-3】（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线过 ， 得 抛物线的表达式为：． （2）∵点， ， ， ∵，， ，，， ， ， ． 【变式3-1】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论． 本题考查了轴对称，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 【详解】解：设抛物线上一个点坐标为，其关于y轴的对称点为， 则，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【变式3-2】（2025·上海宝山·一模）一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 【答案】，答案不唯一 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“零点”的定义可知二次函数的图象经过一个点，据此写出一个函数的解析式即可． 【详解】解：∵一个二次函数有且只有一个“零点”， ∴这个二次函数的解析式可以是，答案不唯一． 故答案为：，答案不唯一． 【变式3-3】（23-24九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可． 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得， ∴函数关系式为：， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴解析式为， 过点D作轴交于点E， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 【变式3-4】（24-25九年级上·上海·期末）已知二次函数的部分对应值如下表，求的值： 编号 … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 0 1 2 3 4 5 … … ______ 0 ______ 5 12 … 小海和小申对这道题展开讨论： 【小海】我认为，通过编号2、3、4（或其它任意3个编号）可以算出这条抛物线的解析式，接着求出的值． 【小申】我认为不需要计算就可以求出值，可以______． (1)采用【小海】的方法，求的值； (2)补充【小申】的发言并填写表格中的数据； (3)结合本题，谈谈你对这类题型做法的启示． 【答案】(1)12 (2)表格见详解，可以根据二次函数的对称性求解 (3)见详解（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法求解函数解析式，然后问题可求解； （2）根据表格可得二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）根据题意进行阐述自己的见解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入二次函数解析式得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴； （2）解：由表格可知：点关于抛物线的对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， 所以补充表格如下： 编号 … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 0 1 2 3 4 5 … … 5 0 0 5 12 … ∴由表格可知 ∴小申认为不需要计算就可以判断，可以根据二次函数的对称性进行求解； （3）解：通过本题，我认为对这类题型做法应该根据二次函数的对称性进行求解，这样做比较简单明了． 【题型四】二次函数的实际应用 【例4-1】（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 【例4-2】（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键．设该抛物线的解析式为，结合题意，将点，代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 【例4-3】（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点的坐标是，点、恰好在抛物线上，得到，解得，（不合题意，舍去），得到点的坐标是，得到正方形的边长为，即可求出正方形的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上， ∴， ∴可设点的坐标是， ∵点、恰好在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标是， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积是， 故答案为： 【变式4-1】（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 【变式4-2】（2025·上海徐汇·一模）已知菱形的周长为C，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为S，那么S关于C的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查正切的定义，菱形的性质和面积以及勾股定理．根据菱形的性质得出菱形的边长，由正切的定义得出，再由勾股定理得出的长，由菱形的面积等于底乘以高即可求解． 【详解】解：如图，四边形是菱形，是边上的高， ∵菱形的周长为C， ∴， ∵的正切值为2， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， 菱形面积为， 故答案为：． 【变式4-3】（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． （2）解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． 【变式4-4】（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【答案】(1)球的高度是米 (2)得分100分 (3)的绝对值变小，可以不变（答案不唯一），作图见解析，验证见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接令求解即可； （2）令，解一元二次方程求出方程的根即可判断得分； （3）的绝对值变小，可以不变，假设落地距离为米，保持，再计算说理，即可作图． 【详解】（1）解：当时，， ∴小普把球脱手时，球的高度是米； （2）解：当时，， 整理得， 解得，（舍）， ∵铅球扔出10米的得分为100分， ∴小普得分100分； （3）解：变小，可以不变（答案不唯一）， 假设落地距离为米，保持， 将代入， 则， 解得，此时 作图如图： 【题型五】二次函数新定义问题 【例5】（23-24九年级上·上海宝山·期末）平面直角坐标系中，在轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与轴的交点的距离之和最小的点，称为这条抛物线与轴的“亲密点”，那么抛物线与x轴的“亲密点”的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，求得抛物线的顶点坐标和与轴的交点，然后根据题意求得顶点关于轴的对称点，进一步求得过对称点和与轴的交点的直线解析式，即可求得“亲密点”的坐标． 【详解】解：， 抛物线开口向上，顶点为， 顶点关于轴的对称点为， 当时，， 抛物线与轴的交点为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则 抛物线与轴的“亲密点”的坐标是， 故答案为：． 【变式5】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线与轴交点，平移后得到、坐标；再根据中心对称求出解析式，进而得到与轴交点，平移后得到、坐标；然后表示出、、的长度，最后根据列方程求解 ． 【详解】当时，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，． ， 抛物线的顶点坐标为， 点关于原点的对称点为， 抛物线的“中心对称抛物线”的解析式为， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，， ，，． ， ， 解得， 故答案为：． 【题型六】二次函数与锐角三角比综合 【例6】（2025·上海虹口·一模）如图．在平面直角坐标系中．已知抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧）．与轴交于点．连接，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合）．点关于轴的对称点恰好在直线上． 求点的坐标； 点是抛物线上一点且在对称轴左侧．连接．如果，求点的坐标． 【答案】(1)，点； (2)；点． 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和二次函数的性质，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （）设点，则点P关于轴的对称点，将点的坐标代入即可求解； 在中，，，故设，，，则，求出，所以，从而求出则点即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，点， ∴， ∵， ∴， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴点； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为 ∴把点的坐标代入得，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点关于x轴的对称点， 将点(的坐标代入得， 解得：（舍去），， ∴点 设交抛物线对称轴于点，过点作于点， 由点的坐标得，同上理可得直线的表达式为：，即， 由点的坐标得：， ∵，即， ∴， 在中，，， 故设，则，，， ∴， ∴， ∴点， 由点的坐标得，直线的表达式为， 联立上式和抛物线的表达式得， 解得：（舍去）或， ∴点． 【变式6】（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①连接，过点作直线，根据对称性结合直角三角形斜边上的中线推出为等边三角形，在中，求出的长，进而得到的长，即可得出点的横坐标； ②在中，利用锐角三角函数求出的值，进而求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得：， ∴； （2）①∵， ∴对称轴为直线， ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∵与抛物线的对称轴交于点， ∴为的中点， 连接，过点作直线， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵直线，且点到抛物线对称轴的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：； ②设点到抛物线对称轴的距离为，则点的横坐标为， ∴点的纵坐标为：， 由①可知：点的横坐标为：，则：点的纵坐标为：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：． 【题型七】二次函数中的翻折与旋转 【例7-1】（24-25九年级上·上海·期末）我们将平面直角坐标系中的图形D和点 P给出如下定义：如果将图形D绕点 P顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形D关于点 P的“垂直图形”． 已知点A的坐标为，点B的坐标为，关于原点O的“垂直图形”记为，点A、B的对应点分别为点，． (1)请写出：点的坐标为 ；点的坐标为 ； (2)请求出经过点 A、B、的二次函数解析式： (3)请直接写出经过点 A、B、A'的抛物线的表达式为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，即可得到答案； （2）根据待定系数法求解即可； （3）根据待定系数法求解即可； 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为， 由旋转可知， ， 故答案为：； （2）解：设抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得， ； （3）解：设抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得， ． 【例7-2】（2025·上海静安·一模）已知抛物线上，其与部分对应值如下表： x … … y … … (1)求此抛物线的表达式； (2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与轴的交点为（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式及二次函数图象的性质，折叠的性质，重心的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意，运用两点式，设，运用待定系数法即可求解； （2）①将抛物线的一般式化为顶点式得到点的坐标为，如图所示，过点作垂直轴于点，根据是的重心，得到，则新抛物线的顶点坐标为，根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反，由此即可求解；②设直线与轴的交点为，则关于直线的对称点为，由此得到新抛物线的表达式为，根据它经过原点，得到解得，所以令，代入，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴设抛物线的表达式为， 把代入，， 解得， ∴此抛物线的表达式为． （2）解：①∵， ∴点的坐标为， 如图所示，过点作垂直轴于点， ∴， ∵是的重心， ∴， ∵在直线上，且新抛物线与原抛物线的图像关于直线对称， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∴根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴新抛物线的表达式为； ②设直线与轴的交点为， ∴关于直线的对称点为， ∴新抛物线的表达式为， ∵它经过原点， ∴， 解得， 令，代入， 得，， ∴新抛物线在直线上所截得的线段长为． 【变式7-1】（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【答案】(1)0 (2)这个不动点是 (3)或 【分析】（1）令，得，得，进而得，代入解析式得得，从而得，再把代入解析式即可得解； （2）由得：，根据函数有唯一的不动点得或．把代入，得，求解即可； （3）分和利用解直角三角形，旋转的性质及二次函数的图像及性质即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ． 代入解析式得得 ∴ 当时 当时，． （2）解：由得： ∵有唯一的不动点 解得：（舍）或． 当时， ∴， 这个不动点是． （3）解：①当时，如图 由旋转可得，， ， ∴ ， ②当时，如图，过作于点， 由旋转得， ∴， ，， ∴ 解得， ． 故二次函数解析式为或， 【变式7-2】（2025·上海崇明·一模）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． (1)求该抛物线的表达式： (2)点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边的直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线经过点，，，再建立方程组解题即可； （2）①作轴，垂足为．由题意可得，证明  ，再建立方程求解即可；②作轴于，轴于，证明，可得，设，再进一步解答即可. 【详解】（1）解： 抛物线经过点，，， ，解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ，   ， ，   ， ， 即， 解得，经检验符合题意； ②作轴于，轴于， ， ，   ， 又 ， ， ， 设， 由，   ， ， ， 整理得：， ， . 【题型八】二次函数与相似三角形综合 【例8-1】（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线的表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． （3）解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【例8-2】（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)点坐标为 (3) 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （3）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （3）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 【变式8-1】（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①  ② 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键． （1）函数关系式化为，然后计算解题； （2）先求出点的横坐标为：，点的横坐标为：，①过点B作轴于点E，即可得到，然后代入计算即可； ②由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为，过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N，易证，得到，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 令，解得，， 当 时，，当时，， 即点、的坐标分别为； （2）解：由抛物线的表达式可得点的横坐标为：，点的横坐标为：， ①如果，如图，过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； ②当 时，如图， 由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为， 过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 化简得， 解得或， ∴． 【变式8-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)把抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线，记抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为，如果，求此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点D的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①利用抛物线的平移思想，待定系数法，点重合的意义，解答即可； ②利用分类思想，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，整理解方程解答即可． 【详解】（1）解：将，分别代入解析式，得： 解得：，． ∴抛物线的解析式为：． （2）①解：由题意，得， 抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线， 故抛物线的解析式可设为：． ∴，． 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵点P与点重合， ∴， ∴． ②解：记抛物线对称轴与x轴交于点H，那么，且轴． ∵， ∴． 当点P在点B左侧时， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 同理可证，当点P在点B右侧时，仍有成立， 有：； 解得：， ∴点D的坐标为． 【题型一】图象与系数关系判断失误 1．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将代入解析式，可得，即可判断①，根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，可得，即可判断②；将点代入解析式可得，即可判断③，观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，即可判断④． 【详解】解：二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和， ∴，，故①③正确； ∵根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得， ∴，故②正确； 观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则或或，故④不正确， 故选：C． 2．（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键 根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上， 故①错误； 抛物线的对称轴是直线， 故②正确； 当或时， ， 故m的值为0， 故③正确； ∵图象过原点，对称轴为直线， ∴图象不过第三象限， 故④正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的． 故⑤不正确． ∴正确的有②③④． 故选：C． 【题型二】平移变换规律应用错误 4．（23-24九年级上·上海崇明·期末）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住抛物线顶点的平移；原抛物线的顶点为原点，向左平移3个单位后的顶点坐标为，由此即可得平移后新抛物线的表达式． 【详解】解：抛物线的顶点为原点，原点向左平移3个单位后的坐标为， 由于平移不改变图象的大小与形状，则平移后的新抛物线表达式为； 故选：C． 5．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是， 故答案为：． 6．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 7．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．由题意设点坐标为，根据等边三角形的性质得到，解出的值即可得到答案． 【详解】解：点A在抛物线上， 设点坐标为， 是等边三角形， ，， 或（舍）， ． 故答案为：． 8．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 【答案】(1) (2)向左平移4个单位，再向上平移3个单位 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式； （2）先将原抛物线化为顶点式，求得顶点坐标，然后根据平移的特点，即可写出平移的方法． 【详解】（1）解：抛物线经过点、点、点． ， 解得， 即该抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 的顶点移动到点的位置， 抛物线应向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 故答案为：向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 9．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点坐标为 令，则， ； （2）解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 10．（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先由对称轴求出的值，再把点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为，当的图象的对称轴右边图象过点时，有，解得：；当的图象的对称轴左边图象过点时，有，解得：，从而可知； ②如图1所示，作，设，新抛物线可设为，故，证明，再利用三线合一性质说明，当时，即时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据，解出的值即可得解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为． （2）解：抛物线表达式为， 故，． ①当点在轴上时，新抛物线的解析式可设为， 当的图象的对称轴右边图象过点时，有， 解得：，（舍去）； 当的图象的对称轴左边图象过点时，有， 解得：，（舍去）． 故的取值范围为； ②如图1所示，作， 设，且点为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线， 则新抛物线可设为，又点横坐标为2， 则，故， ， ， ，从而知为中垂线， ，由三线合一性质可得：， 当时，即时，满足题意． 故， ， 即，故， 故． 11．（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)①该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，解直角三角形，求一次函数解析式等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）将变形为顶点式，可得顶点P的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点D的坐标． （2）①过点作轴，垂足为点H．设，得新抛物线解析式，进而可得．再根据推出，列式求出m的值，进而即可求解；②设，根据平移方式得出，再将代入求出c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴点D的坐标为； （2）解：①过点作轴，垂足为点H． 顶点落在线段的延长线上，直线的解析式为， ∴设． ∴新抛物线的解析式为， ∴． ∵x轴轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位． ②被y轴平分，， 设， 原抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位得到新抛物线， ∴， ∵点A在原抛物线上， ∴， 解得，(舍)． ∴． 【题型三】忘记分类讨论或分类讨论不全面出错 12．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【答案】(1)，直线 (2)1或3 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； （2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或1． 13．（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）先求出点，再将点代入，得，解得，可得答案； （2）①先求出新拋物线表达式为，过点作轴，垂足为，得出，可求得，，从而得出，再将点代入，即可求解； ②分两种情况：Ⅰ．当点在线段的延长线上时，Ⅱ．当点在射线上时，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过直线上的点 点在第四象限， 设点，由，得点， 将点代入，得，解得， 得该抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线， 新拋物线表达式为， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，， ， ， 点， 将点代入， 解得； ②设直线与新抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为， 点的坐标为 ， 直线平行于轴， ， ， ， ， 分两种情况： Ⅰ．当点在线段的延长线上时， ， ， ， ， 点的坐标为， Ⅱ．当点在射线上时， ， ， 点在的延长线上， 在直线上取点， 同理可得 ， ， ， ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 14．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 【答案】(1) (2)①    ②， 【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可； （2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：①过点E作于H， ∵射线平分，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴；    ②∵， ∴， 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ； 综上所述，或． 15．（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 【答案】(1)a (2)①；②或 【分析】（1）由，即可求解； （2）①证明，得到，，即可求解； ②证明为等腰直角三角形，且与相似，则为等腰直角三角形，进而求解． 【详解】（1）解：设点A、B的坐标分别为：，， 由抛物线的表达式知，点， 则； （2）解：①，且，则为等腰直角三角形，设点， 过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则，， 即且， 整理得：，则， 故抛物线的表达式为：； ②由点A、B的坐标得：， 解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 由得：，即点； ∵，且， 则为等腰直角三角形， ∵与相似，则为等腰直角三角形， 过点A作轴于点M，则点， 则， 故当点E和点M重合时，即点，符合题意； 如图，取，则为等腰直角三角形， 即点符合题意， 综上，或． 16．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解； （3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴； （3）解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 17．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $