第4章 幂函数、指数函数与对数函数（3知识&9题型）（期末复习知识清单）高一数学上学期沪教版

第4章 幂函数、指数函数与对数函数（3知识&9题型） 【清单01】幂函数 1.幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示： 3.幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数 x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数 x∈(－∞，0)时，减函数 【清单02】指数函数 1.指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 【清单03】对数函数 1.对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．值域为． 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量． 2.对数函数的图象及性质 函数名称 对数函数 图象 ( 1 ) ( 1 ) 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小． 【题型一】求幂函数的解析式 【例1】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【答案】B 【分析】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【详解】设幂函数的解析式为，则，解得， 所以，. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数图象经过点，则= . 【答案】 【分析】代入求解幂函数的解析式，即可代入求解. 【详解】将代入中可得，故，故 因此， 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出幂函数解析式，再求出函数值即得. 【详解】依题意，设，由，得，解得，即， 所以. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的表达式即可求解. 【详解】点在幂函数的图像上， ，解得， 的表达式为. 故答案为：. 【题型二】幂函数的性质及其应用 【例2-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 【例2-2】（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，即可判断函数的单调递减区间. 【详解】设幂函数为，由题意可知，，则， 即，由幂函数性质可知，函数在单调递减， 因为函数为偶函数，所以在单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故答案为： 【例2-3】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 【例2-4】（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性即可得解. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【例2-5】（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的性质来解答即可. 【详解】， 若幂函数的图像关于轴对称，则， 又幂函数在区间上是严格增函数，则. 故答案为：. 【例2-6】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 【变式2-1】（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格增函数，则实数 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质分析求解. 【详解】由题意可得：，解得或， 若，则在上是严格减函数，不合题意； 若，则在上是严格增函数，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 【变式2-2】（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为： 【变式2-3】（22-23高一上·上海长宁·期末）已知幂函数在区间是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意且为偶数即可. 【详解】解：幂函数在区间上是严格减函数，， 又图像关于y轴对称，可以为偶数， 故满足条件a的值可以为． 故答案为：-2 【变式2-4】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，则为偶函数，所以在上单调递减， 则由不等式可得，平方后整理得， 即，解得，则不等式的解集为. 故答案为：. 【题型三】指数型函数图象 【例3-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像，同时向下平移一个单位得到 结合图象可知：， 故答案为： 【例3-2】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数（常数且）的图像总是经过点 . 【答案】 【分析】根据指数型函数的性质判断. 【详解】当时，，所以函数图象总经过. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的图象过点，根据平移知识可知由此，可得的范围． 【详解】函数的图象过点，至少向下平移个单位才能使图象不过第二象限， 则，即， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数且的图象恒过定点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据得到时，，故图象恒过定点. 【详解】令，解得，此时，故图象恒过定点. 故答案为： 【变式3-3】（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 【答案】 【分析】由指数函数的性质可得. 【详解】当时，， 故图像过定点， 故答案为：. 【变式3-4】（22-23高一上·上海静安·期末）若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】关于x的方程有负根可转化为指数函数与在第二象限有交点，结合图象即可求得实数a的取值范围． 【详解】关于x的方程有负根等价于指数函数与在第二象限有交点， 则当时，与在第二象限有交点， 所以实数a的取值范围． 故答案为：． 【题型四】指数函数的值域与最值 【例4-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 【例4-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为 【答案】 【分析】由指数函数性质得结论． 【详解】，值域是． 故答案为：． 【例4-3】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解. 【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减， 所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最小值是. 故答案为：. 【变式4-1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知是集合A到集合B的函数，若对于实数，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的值域，再根据函数的定义，即可得答案； 【详解】， 根据函数的定义可得. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高一上·上海闵行·期末）若函数，则此函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性求得正确答案. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以最小值为. 故答案为： 【变式4-3】（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可. 【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需， ， ①当时，，满足题意； ②当时，在上单调递减，，故需，即； ③当时，在上单调递增，，故只需，即， 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【变式4-4】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的值域为可计算出的值； （2）根据二次函数的对称轴以及开口方向，分类讨论时函数的最小值，由此可求结果. 【详解】（1）因为的值域为，所以的值域为， 由条件可知，. （2）图象的对称轴为且开口向上， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，在上单调递增，所以， 所以. 【题型五】指数函数的性质及其应用 【例5-1】（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 【例5-2】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的与不等式是同解不等式，则 ， ． 【答案】 【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合二元一次不等式解法进而得到答案. 【详解】因为在上单调递增， 则，即， 即，解得， 因为也是的解， 所以，解得， 此时，即，解得，满足题意. 故答案为：； 【变式5-1】（22-23高一上·上海浦东新·期末）设，则关于x的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由于，根据指数函数的单调性可得，解不等式即可. 【详解】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式5-2】（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)、 (2) (3)是， 【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式； （2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案． 【详解】（1）解：因为函数在上单调递减， 则， 因为函数在上单调递增，则. （2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增， 当时，令，则， 由，则，对称轴， 根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立． 当时，令，由，则，只需， 化简得，解得， 综上所述的取值范围为 （3）解：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以，， 当时，，，； 当时，，， 因为函数在上单调递减，所以，； 当时，，， 因为函数在上单调递增， 所以，. 综上所述： 故是上的“阶收缩函数”，且小正整数. 【题型六】求对数函数的定义域 【例6】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据对数的真数大于0有意义求解. 【详解】因为，所以，即函数的定义域为. 故答案为：. 【变式6-1】（22-23高一上·上海金山·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求该对数型函数的定义域即可. 【详解】要使该函数有意义，则需，解得： 函数的定义域为 故答案为： 【变式6-2】（22-23高一上·上海徐汇·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数函数的真数大于零即可求解. 【详解】由解得， 故答案为: . 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期末）函数 的定义域为 . 【答案】 【分析】利用给定的函数的意义，列出不等式组求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 【题型七】对数型函数图象过定点问题 【例7】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的定点坐标运算求解. 【详解】令，可得，则， 所以定点坐标为. 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且，函数的图像必过定点 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】令，则，，图象过定点， 故答案为：． 【变式7-2】（23-24高一上·上海·期末）若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】结合对数运算，令即可得定点的坐标. 【详解】令得，此时， 即函数（且）恒过定点. 故答案为： 【变式7-3】（22-23高一上·上海金山·期末）已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为 ． 【答案】 【分析】利用对数函数性质可知，只需令即可求出的图像恒过的定点的坐标. 【详解】因为的图像必过，即， 当，即时，， 从而图像必过定点. 故答案为：. 【变式7-4】（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为 【答案】2 【分析】先利用函数过定点得到，再根据，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为函数过定点， 所以，化简可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2， 故答案为：2. 【题型八】对数函数性质及其应用 【例8-1】（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【答案】D 【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关. 【详解】函数， 当时，，单调递增. 当时，单调递增. 则且，，的单调性都为单调递增. 所以函数的单调性与无关. 故选：D 【例8-2】（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【详解】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 【例8-3】（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由且，得出，用均值不等式即可得出答案． 【详解】，且，而函数在上单调递增， ，即，且，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故答案为： 【例8-4】（24-25高一上·上海杨浦·期末）若，则集合共有 个元素. 【答案】2 【分析】根据题意结合对数函数单调性化简集合，即可得结果. 【详解】因为， 则， 所以，共有2个元素. 故答案为：2. 【例8-5】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】依题意可得，令，判断函数的单调性，结合，即可求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以当时， 则不等式的解集是. 故答案为： 【变式8-1】（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【答案】2 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 【变式8-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据其单调性解不等式，可得答案. 【详解】当时，，函数单调递增， 当时，， 由复合型对数函数的单调性“同增异减”可知，函数单调递增， 作出函数大致图象如图： 所以函数是定义在R上的增函数， 因此,不等式等价于， 解得， 故答案为：. 【变式8-3】（22-23高一上·上海徐汇·期末）若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数定义，对的取值范围进行分类讨论即可得出结果. 【详解】由对数函数定义可知，且； 当时，函数在上为单调递减， 若，则，不合题意； 当时，函数在为单调递增， 若，则，满足题意， 此时，解得或； 即实数的取值范围是 【变式8-4】（24-25高一上·上海·期末）甲、乙、丙三位同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围” 提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”; 丙说: “把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”; 参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求 的取值范围 【答案】 【分析】通过对不等式进行变形，将问题转化为求函数的最小值，再根据函数单调性求出最小值，进而确定参数的取值范围. 【详解】首先，由， 因为，两边同时除以（）得到. 然后，设. 对于，令， 在上增大时减小，减小，单调递增，根据复合函数同增异减，在上单调递减； 在上增大时增大，增大，单调递增，所以在上单调递增. 对于，时，单调递减；时，单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增.   接着，求的最小值，. 最后，因为，即，变形为，根据指数函数单调性可得，解得. 故答案为：. 【变式8-5】（24-25高一上·上海·期末）已知，函数； (1)当时，解不等式； (2)若函数的值域为，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到对数不等式，求解不等式即可； （2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式，求解即可. 【详解】（1）由已知 时， 不等式 等价于 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以不等式 的解集为 ． （2）因为函数 的值域为， 即 的值域为， 故 能够取到一切大于0的实数， 当时, ,不符合题意； 当 时， ，不符合题意； 当 时，根据二次函数的图象和性质可得 ，解得或，所以； 综上所述：的取值范围是． 【题型九】幂指对函数综合 【例9-1】（22-23高一上·上海长宁·期末）下列函数在定义域内不是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数、对钩函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为，所以函数是奇函数， 当时，函数单调递增，且， 所以函数是实数集上的严格增函数； 指数函数的底数大于，所以函数是实数集上的严格增函数； 对数函数的底数大于，所以函数是正实数集上的严格增函数； 因为函数在上单调递减，在上单调递增，显然函数在定义域内不是严格增函数， 故选：D 【例9-2】（23-24高一上·上海徐汇·期末）用函数的观点解不等式，该不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解. 【详解】由不等式，得， 令函数，定义域为， 因为，均为定义域内的增函数， 所以在定义域内单调递增，且， 对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【例9-3】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程即可求解. （2）将问题转化为在上有实数解,求函数在上的值域即可. 【详解】（1）由题得即 故方程的解为. （2）由,得 易知在上是严格增函数, 且当时,当时, 故 【变式9-1】（24-25高一上·上海·期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为在区间上是严格减函数，故A错误； 对于B： 在区间上是严格增函数，但 在区间上不存在零点，故B错误； 对于C：，在区间上是严格增函数， 由可得，在区间上且存在零点，故C正确； 对于D：在单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C. 【变式9-2】（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数的图象，并结合端点的取值，结合函数的图象，以及最值，即可判断的取值. 【详解】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选：D 【变式9-3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 【答案】(1)当时；当时，． (2) 【分析】（1）由，得，下面分类讨论：当时，；当时，即可求得的定义域； （2）根据函数的单调性解答即可； 【详解】（1）由，得， 当时，； 当时，； 所以的定义域是当时；当时，． （2）当时，任取，且， 则，所以． 因为，所以，即． 故当时，在上是增函数． ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，即不等式的解为. 【变式9-4】（24-25高一上·上海·期末）完成如下问题： (1)解方程：； (2)设，解不等式：； 【答案】(1)3或4 (2) 【分析】（1）根据对数值运算求值； （2）先应用对数函数单调性及定义域化简列不等式组，最后结合指数函数单调性解指数不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以或； （2）因为单调递增，又因为， 所以， 所以，计算得， 所以，所以解集为. 【变式9-5】（24-25高一上·上海金山·期末）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的单调性和指数函数的单调性解不等式即可； （2）利用对数运算化简函数的解析式，再由对勾函数的单调性和复合函数的单调性判断方法求函数的值域，进而得最小值； （3）利用对数运算将问题转化为方程有唯一解，化简成一元二次方程，根据一元二次方程的根使得对数有意义列不等式，求解即可. 【详解】（1）依题意，由，得，则，，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意知， 由，得，所以函数在区间上单调递增， 所以，则， 所以函数的最小值为. （3）由， 得①，化简得②， 当且时，方程②的解为，， 若是方程①的解，则，解得； 若是方程①的解，则，解得； 由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以. 因此，a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数（3知识&9题型） 【清单01】幂函数 1.幂函数的概念：一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示： 3.幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) 值域 R R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 偶 奇 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数 x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数 x∈(－∞，0)时，减函数 【清单02】指数函数 1.指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 【清单03】对数函数 1.对数函数的概念 函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ．值域为 ． 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量． 2.对数函数的图象及性质 函数名称 对数函数 图象 ( 1 ) ( 1 ) 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小． 【题型一】求幂函数的解析式 【例1】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数图象经过点，则= . 【变式1-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点，则 . 【变式1-3】（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 【题型二】幂函数的性质及其应用 【例2-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ． 【例2-3】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【例2-4】（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为 . 【例2-5】（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ． 【例2-6】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【变式2-1】（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格增函数，则实数 【变式2-2】（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，则实数 ． 【变式2-3】（22-23高一上·上海长宁·期末）已知幂函数在区间是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的 ． 【变式2-4】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 . 【题型三】指数型函数图象 【例3-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 【例3-2】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数（常数且）的图像总是经过点 . 【变式3-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 【变式3-2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数且的图象恒过定点的坐标是 ． 【变式3-3】（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 【变式3-4】（22-23高一上·上海静安·期末）若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围 ． 【题型四】指数函数的值域与最值 【例4-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为 【例4-3】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 【变式4-1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知是集合A到集合B的函数，若对于实数，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·上海闵行·期末）若函数，则此函数的最小值为 . 【变式4-3】（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 【变式4-4】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 【题型五】指数函数的性质及其应用 【例5-1】（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例5-2】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的与不等式是同解不等式，则 ， ． 【变式5-1】（22-23高一上·上海浦东新·期末）设，则关于x的不等式的解集是 . 【变式5-2】（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 【题型六】求对数函数的定义域 【例6】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【变式6-1】（22-23高一上·上海金山·期末）函数的定义域为 ． 【变式6-2】（22-23高一上·上海徐汇·期末）函数的定义域是 . 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期末）函数 的定义域为 . 【题型七】对数型函数图象过定点问题 【例7】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为 . 【变式7-1】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且，函数的图像必过定点 【变式7-2】（23-24高一上·上海·期末）若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是 ． 【变式7-3】（22-23高一上·上海金山·期末）已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为 ． 【变式7-4】（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为 【题型八】对数函数性质及其应用 【例8-1】（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【例8-2】（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【例8-3】（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是 ． 【例8-4】（24-25高一上·上海杨浦·期末）若，则集合共有 个元素. 【例8-5】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 . 【变式8-1】（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【变式8-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围为 ． 【变式8-3】（22-23高一上·上海徐汇·期末）若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是 ． 【变式8-4】（24-25高一上·上海·期末）甲、乙、丙三位同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围” 提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”; 丙说: “把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”; 参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求 的取值范围 【变式8-5】（24-25高一上·上海·期末）已知，函数； (1)当时，解不等式； (2)若函数的值域为，求的取值范围； 【题型九】幂指对函数综合 【例9-1】（22-23高一上·上海长宁·期末）下列函数在定义域内不是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（23-24高一上·上海徐汇·期末）用函数的观点解不等式，该不等式的解集为 . 【例9-3】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【变式9-1】（24-25高一上·上海·期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式9-3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 【变式9-4】（24-25高一上·上海·期末）完成如下问题： (1)解方程：； (2)设，解不等式：； 【变式9-5】（24-25高一上·上海金山·期末）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $