暑假预习专题 第15讲 对数函数（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第15讲 对数函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 对数 对数函数 1. 理解对数函数的定义及图像。 2. 掌握对数函数的性质。 3. 掌握利用对数函数的性质解不等式。 学习重点：理解指数函数定义域、值域及底数对图像和单调性的影响，会解指数不等式并求最值。 学习难点：了解指数函数在实际问题（如复利、pH值）中的应用，会建立模型并解释结果的实际意义。 1.对数函数的概念：函数y＝(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量， 函数的定义域是(0，＋∞)，值域为． 注意：判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量． 2.对数函数的图象及性质 函数名称 对数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大； 在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小． 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律：作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 4.若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域. （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同. 5.指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数. （2）图像对称：二者的图像关于直线对称. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 对数函数的图像与性质 知识点1. 对数函数的定义 定义：当底数固定，且 时， 以为底的对数 确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数. 注意： （1）对数函数的定义域为 （全体正数）； （2）当 时， ； （3）当 时， ． 知识点2. 对数函数的图像 图像 对数函数 且 的图像过定点 ，所以讨论与对数函数有关的函数的图像 过定点的问题，只需令真数为 1 ，解出相应的 、 ，即可得到定点的坐标． 掌握三组关系—一底数 与函数图像的关系 （1）底数 与 1 的大小关系决定了对数函数图像的＂升降＂： 当 时，对数函数的图像＂上升＂；当 时，对数函数的图像＂下降＂． （2）底数的大小决定了图像相对位置的高低： 不论是 还是 ，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大． （3）函数 与 且 的图像关于 轴对称． 知识点3. 对数函数的性质 图像 性质 在上是严格增函数 在上是严格减函数 当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时， （1）讨论对数函数的性质时，若底数 的大小不确定，必须分 1 和 两种情况讨论． （2）根据对数函数的性质可知，对数函数 且 的图像都经过点 ，且图像都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数的大致图像． 【经典例题】 【例1】下列函数是对数函数的有 ．①；②；③；④． 【答案】②【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数， 只有②符合；故答案为：②. 【技巧归纳】根据对数函数的定义进行判断即可． 【例2】对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ． 【答案】 【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，. 因此，所求函数解析式为；故答案为：. 【技巧归纳】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式. 【例3】已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由于函数的图像不经过第四象限，所以，即，所以；故填：. 【技巧归纳】根据函数的图像不经过第四象限得到，解不等式求得的 取值范围. 【例4】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为 . 【答案】 【详解】令，可得，则，所以定点坐标为；故答案为：. 【技巧归纳】根据对数函数的定点坐标运算求解. 【例5】如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为 .    【答案】，，， 【详解】的底数都大于1，当时底数大的图低(第一象限内)，所以对应的a值分别为，， 的底数都大于0小于1，当时底数大的图低(第四象限内)，所以对应的a值分别为，， 综合以上分析，可得对应的a值依次为，，，；故答案为：. 【技巧归纳】根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答. 【例6】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为，所以，即函数的定义域为；故答案为：. 【技巧归纳】根据对数的真数大于0有意义求解. 【例7】（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数， （且）的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】对于A选项，函数为增函数，则，可得，对于函数， 令，可得，可得，解得，合乎题意； 对于B选项，函数为减函数，则，可得，对于函数， 令，可得，可得，解得，不合乎题意； 对于C选项，函数为减函数，则，可得，对于函数， 令，可得，可得，可得，不合乎题意； 对于D选项，函数为增函数，则，可得，对于函数，令，可得，可得，可得，不合乎题意；故选：A. 【技巧归纳】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数 （且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的 选项. 【例8】函数，其中，函数，其中．两个函数的图象如图所示．    (1)试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较． 【答案】(1)对应的函数为；对应的函数为；(2)答案见解析. 【详解】（1）根据函数的增长差异性，在一定范围内一次函数增长速度快于对数函数的增长速度， 故对应的函数为；对应的函数为； （2）由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当或时，． 【技巧归纳】（1）根据函数的增长速度即可判断；（2）根据图象即可分析函数的大小. 【对点练习】 【练习1】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为 ． 【答案】【分析】利用待定系数法，设出函数解析式，把点代入求解即可. 【详解】设对数函数解析式为（，且），因为对数函数过点， 所以，解得，所以对数函数解析式为；故答案为：. 【练习2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且， 函数的图像必过定点 【答案】【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】令，则，，图象过定点，故答案为：． 【练习3】函数的定义域为 ． 【答案】【分析】根据对数函数的性质求该对数型函数的定义域即可. 【详解】要使该函数有意义，则需，解得：，函数的定义域为， 故答案为：. 【练习4】（（24-25高一上·上海·期末）函数 的定义域为 . 【答案】【分析】利用给定的函数的意义，列出不等式组求解即得. 【详解】依题意，，解得，所以原函数的定义域为.；故答案为：. 【练习5】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】【分析】令，结合对数函数的图象与性质求出的范围， 再结合反比例函数的图象和性质即可求出值域. 【详解】令则，，，. ，.结合反比例函数的图象,如图可知： . 故答案为： . 【练习6】（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的定义域和值域 都是，则 . 【答案】【分析】先分析的单调性，然后对进行分类讨论或，结合单调性以及可求得结果.【详解】因为在上单调递减，且， 当时，在上单调递减，因为函数的定义域和值域都是， 所以，这与矛盾，不符合题意；当时，在上单调递增， 因为函数的定义域和值域都是，所以，则，因为， 所以， 故答案为：. 【练习7】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，条件，条件，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的性质即可判断. 【详解】若成立，根据对数函数的性质，可得，即由可以推出.    若成立，当，时，满足； 但是此时无意义，所以不成立， 即由不能推出； 综上，是的必要不充分条件；故选：B. 【练习8】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知两条水平直线：和：（其）， 且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右 相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）． (1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：； (2)当时，求m的值；(3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）由题意可得，，从而计算即可证明； （2）由题意可得，即或，求解即可； （3）由（2）可得，结合指数的运算性质和基本不等式即可求解. 【详解】（1）直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，， 与函数的图象从左至右相交于C、D，， 所以，，所以； （2）因为，又，所以， 所以或， 当，即，即， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，即，又，解得； 当，即， 所以，即或， 当时，则，即，又，解得， 当时，则，所以，又，方程无解，综上，； （3）由（2）可知，，，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 知识点02 对数函数的应用 1.当底数不同时对数函数图象的变化规律：作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 2.指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数； （2）图像对称：二者的图像关于直线对称. 【经典例题】 【例9】函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意 ，解得 ，即 ；故答案为： . 【易错提醒】分别求出 和 的定义域，再求交集. .【例10】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【详解】由，解得，所以的定义域是， 二次函数的开口向下，对称轴为，所以， 又函数在上单调递增，所以的值域是；故答案为：. 【易错提醒】先求得函数的定义域，然后根据对数函数的单调性求值域. 【例11】（24-25高一上·上海·阶段练习）若函数的值域为， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】若，要使的值域为，即是函数的值域的子集， 所以或，可得，所以实数的取值范围是；故答案为：. 【易错提醒】由对数复合函数的值域为，即是值域的子集，结合一次、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【例12】（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是 ． 【答案】【详解】，且，而函数在上单调递增， ，即，且，，， 当且仅当，即，时，等号成立，故答案为：. 【易错提醒】由且，得出，用均值不等式即可得出答案． 【例13】（24-25高一上·上海·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为，因为内层函数在区间上单调递减， 在上单调递增，外层函数为增函数，故函数的单调递增区间为； 故答案为：. 【易错提醒】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间. 【例14】已知函数若函数在上是严格增函数，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：对数函数在时是增函数，所以，又，是增函数， ，当时，取到最大值，要使得函数在上是严格增函数， 则，即，所以，则a的取值范围为，故答案为：． 【易错提醒】根据对数函数以及一次函数的单调递增求出的范围，同时需要满足即可． 【例15】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】且，关于x的不等式①， 当，时，不等式①的解集为，排除C； 当，，时，不等式①的解集为，排除B； 当，，时，恒成立，不等式①的解集为，排除D；故选：A 【易错提醒】利用对数函数的性质把不等式转化为，通过举例说明BCD是错误的即可. 【例16】（20-21高一上·上海金山·阶段练习）已知函数为偶函数，. （1）求实数的值；（2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1） 函数为偶函数，， ，得， 解得，即； （2）若时，函数的图像恒在图像的上方，则恒成立， 即，即. 所以. 因为时，，所以，得. （3）， 所以当时，，当 时，取得最大值，当取得最小值， 所以，解得. 【易错提醒】（1）根据偶函数定义列方程可得解； （2）由时，恒成立，参变分离得，进而求函数最大值即可； （3）化简函数为，结合可得最值，从而得解. 【对点练习】 【练习9】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数恒过定点 【答案】【分析】根据对数函数所过定点，可得答案. 【详解】令，则，则函数过定点；故答案为：. 【练习10】函数的值域是 . 【答案】【分析】根据真数的取值范围及对数函数的单调性得出值域. 【详解】由，可得， 所以函数的值域为，故答案为：. 【练习11】对数函数，当时图象在x轴上方，则a的取值范围为 . 【答案】【分析】由题意，推理得到函数在上的单调性，由此即可确定底数范围即得. 【详解】由题意知，当时，，即故在上为增函数， ，解得，即a的取值范围为；故答案为：. 【练习12】（24-25高一上·上海·期末）若集合，则 . 【答案】【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由可得，解得，故，故答案为：. 【练习13】已知，，，则与的大小关系是 ． 【答案】【分析】利用作差法，结合换底公式可比较大小. 【详解】，因为， 所以，，，，所以，即，故答案为：. 【练习14】（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 ． 【答案】【分析】将所求不等式变形为，构造函数，其中，分析函数在定义域上的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出所求不等式的解集.【详解】由可得，令，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 且，由可得，解得， 故不等式的解集为；故答案为：. 【练习15】已知，那么，满足的条件是 ． 【答案】【分析】由换底公式结合对数函数单调性即可求解. 【详解】因为，所以，所以； 故答案为：. 【练习16】已知，.（1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，. 【分析】（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得； （2）由得，令， 对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为，， 令，∵，∴，所以当， 即时取最大值，当或，即或时取最小值， ∴函数的值域为； （2）由得，令，∵，∴，∴对一切的恒成立， ①当时，若时，；当时，恒成立，即， 函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时，于是； ②当时，此时时，恒成立，即， ∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，； ③当时，此时时，恒成立，即，函数 在单调递增，于是时取最小值，此时，于是. 综上可得：当时，当时，当时， 1.函数（且），若它的图象经过，，则 ． 【答案】8【分析】先将坐标代入函数中求出的值，从而可求出函数解析式，再将代入函数中可求出.【详解】因为的图象经过，所以，所以，因为，所以， 所以，因为点在函数图象上，所以；故答案为：8. 2.函数的定义域是 . 【答案】【分析】根据对数函数的真数大于零即可求解. 【详解】由解得，故答案为: . 3.（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】【分析】根据真数大于求得结果. 【详解】因为，所以，解得或， 所以定义域为，故答案为：. 4.函数的域为 ． 【答案】【分析】配方得到，结合对数函数单调性得到值域. 【详解】，又在上单调递增， 故，故值域为；故答案为：. 5.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为， 则实数的取值范围是 . 【答案】【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】， 当时，，存在最大值，不满足值域为， 当，，值域为，满足题意； 当，若的值域为，同时必有， 解得，综上实数的取值范围是，故答案为：. 6.（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 【答案】【分析】令，分析该函数的奇偶性与单调性， 将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，则该函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数， 当时，，因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且，由可得， 即，所以，，解得或， 因此，不等式的解集为；故答案为：. 7.（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解， 则实数的取值范围是 . 【答案】,【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【详解】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得，即实数的取值范围是,；故答案为：,． 8.函数的最小值是 ． 【答案】2【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可. 【详解】令，则，.又在上单调递增， 所以，此时.故答案为： 9.函数的最小值为 ． 【答案】【分析】利用二次函数和对数函数的性质得到与的单调性，再利用复合函数单调性的求法得到，再求解最值即可.【详解】令，， 则由与复合而成，首先令，解得， 则定义域为，而对称轴为，其开口向下， 由二次函数性质得在单调递增，在单调递减，由对数函数性质得 在上单调递减，由复合函数单调性得在单调递减， 在单调递增，所以当时，取得最小值， 此时最小值为；故答案为：. 10.已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的， 使得，则实数的取值范围是 . 【答案】【分析】分析出函数在上单调递增，可得出，即可求得实数的值. 【详解】因为函数在上单调递增，对任意的，都存在唯一的，使得， 则，解得；故答案为：. 11.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】解：因为不等式在上恒成立，所以在上 恒成立，令，，， 则问题转化为在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图象， 要想满足在上恒成立，只需，即，解得． 综上：实数的取值范围是；故答案为：. 12.已知函数，对于任意的，都存在，使得成立， 则实数m的取值范围为 ． 【答案】【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解 【详解】，， 由题意得，故答案为：. 13.设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 【答案】 【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标. 【详解】设，线段的中点坐标为，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，因为点在函数的图像上，所以，， 所以，所以，解得，所以点的横坐标为；故答案为：. 14.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】通过底数范围判断指对函数是增函数还是减函数，即可判断图像，得出答案. 【详解】当时，，函数为底数大于1的指数函数，是增函数， 函数为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数，故选：C. 15.（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】利用函数在上的单调性可求其最大值. 【详解】因为，则函数在上为减函数，则；故选：A. 16.（24-25高一上·上海·期末）下列选项中“”的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D【分析】分别就每个选项分析，得出,的大小关系，再利用充分非必要条件定义判断正误. 【详解】由选项A, 得,,异号时,不能推出；由选项B得, ,当,异号时, 不能推出;由选项C得, ,当时, ,故为充要条件;由选项D得,, 但由,因为不确定,的正负,所以不一定得,故为充分非必要条件；故选：D. 17.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求出函数的值域，再根据交集的定义计算即可. 【详解】因为对数函数是上的增函数，所以由，得，则； 因为指数函数是上的减函数，所以由，得，则， 由此，；故选：B. 18.对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的 开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数， 其对应方程的两个根为，选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能；故选：A. 19.已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D. 20.函数的最大值比最小值大2，求实数的值． 【答案】或． 【分析】利用分类讨论思想来确定函数的单调性求最值，再根据题意得方程求解. 【详解】因为为对数函数的底数，所以且．当时，函数在定义域内是严格增函数， 所以在上的最小值为，最大值为，由题意知，即，则， 解得；当时，函数在定义域内是严格减函数， 所以在上的最小值为，最大值为， 由题意知，即，则，解得；综上，或． 21．（24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果函数具有“性质”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不具有，理由见解析；(2)证明见解析；(3)或. 【分析】（1）取验证即可判断；（2）通过， 转换成证明恒成立即可. （3）通过对任意恒成立，讨论三种情况即可. 【详解】（1）当时，， 则不具有“性质”． （2）若要证具有“性质”，则 只需要证成立即可， 又，则，恒成立， 则具有“性质”； （3）由题意知， 则对任意恒成立，当时，成立，当时不成立， 当时，或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第15讲 对数函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 对数 对数函数 1. 理解对数函数的定义及图像。 2. 掌握对数函数的性质。 3. 掌握利用对数函数的性质解不等式。 学习重点：理解指数函数定义域、值域及底数对图像和单调性的影响，会解指数不等式并求最值。 学习难点：了解指数函数在实际问题（如复利、pH值）中的应用，会建立模型并解释结果的实际意义。 1.对数函数的概念：函数y＝(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量， 函数的定义域是(0，＋∞)，值域为． 注意：判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量． 2.对数函数的图象及性质 函数名称 对数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大； 在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小． 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律：作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 4.若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域. （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同. 5.指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数. （2）图像对称：二者的图像关于直线对称. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 对数函数的图像与性质 知识点1. 对数函数的定义 定义：当底数固定，且 时， 以为底的对数 确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数. 注意： （1）对数函数的定义域为 （全体正数）； （2）当 时， ； （3）当 时， ． 知识点2. 对数函数的图像 图像 对数函数 且 的图像过定点 ，所以讨论与对数函数有关的函数的图像 过定点的问题，只需令真数为 1 ，解出相应的 、 ，即可得到定点的坐标． 掌握三组关系—一底数 与函数图像的关系 （1）底数 与 1 的大小关系决定了对数函数图像的＂升降＂： 当 时，对数函数的图像＂上升＂；当 时，对数函数的图像＂下降＂． （2）底数的大小决定了图像相对位置的高低： 不论是 还是 ，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大． （3）函数 与 且 的图像关于 轴对称． 知识点3. 对数函数的性质 图像 性质 在上是严格增函数 在上是严格减函数 当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时， （1）讨论对数函数的性质时，若底数 的大小不确定，必须分 1 和 两种情况讨论． （2）根据对数函数的性质可知，对数函数 且 的图像都经过点 ，且图像都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数的大致图像． 【经典例题】 【例1】下列函数是对数函数的有 ．①；②；③；④． 【技巧归纳】根据对数函数的定义进行判断即可． 【例2】对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ． 【技巧归纳】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式. 【例3】已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是 . 【技巧归纳】根据函数的图像不经过第四象限得到，解不等式求得的 取值范围. 【例4】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为 . 【技巧归纳】根据对数函数的定点坐标运算求解. 【例5】如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为 .    【技巧归纳】根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答. 【例6】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【技巧归纳】根据对数的真数大于0有意义求解. 【例7】（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数， （且）的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【技巧归纳】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数 （且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的 选项. 【例8】函数，其中，函数，其中．两个函数的图象如图所示．    (1)试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较． 【技巧归纳】（1）根据函数的增长速度即可判断；（2）根据图象即可分析函数的大小. 【对点练习】 【练习1】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为 ． 【练习2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且， 函数的图像必过定点 【练习3】函数的定义域为 ． 【练习4】（（24-25高一上·上海·期末）函数 的定义域为 . 【练习5】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 【练习6】（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的定义域和值域 都是，则 . 【练习7】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，条件，条件，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【练习8】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知两条水平直线：和：（其）， 且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右 相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）． (1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：； (2)当时，求m的值；(3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值． 知识点02 对数函数的应用 1.当底数不同时对数函数图象的变化规律：作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 2.指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数； （2）图像对称：二者的图像关于直线对称. 【经典例题】 【例9】函数的定义域为 ． 【易错提醒】分别求出 和 的定义域，再求交集. .【例10】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 . 【易错提醒】先求得函数的定义域，然后根据对数函数的单调性求值域. 【例11】（24-25高一上·上海·阶段练习）若函数的值域为， 则实数的取值范围是 . 【易错提醒】由对数复合函数的值域为，即是值域的子集，结合一次、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【例12】（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是 ． 【易错提醒】由且，得出，用均值不等式即可得出答案． 【例13】（24-25高一上·上海·期末）函数的单调递增区间为 . 【易错提醒】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间. 【例14】已知函数若函数在上是严格增函数，则a的取值范围为 ． 【易错提醒】根据对数函数以及一次函数的单调递增求出的范围，同时需要满足即可． 【例15】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】利用对数函数的性质把不等式转化为，通过举例说明BCD是错误的即可. 【例16】（20-21高一上·上海金山·阶段练习）已知函数为偶函数，. （1）求实数的值；（2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 【易错提醒】（1）根据偶函数定义列方程可得解； （2）由时，恒成立，参变分离得，进而求函数最大值即可； （3）化简函数为，结合可得最值，从而得解. 【对点练习】 【练习9】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数恒过定点 【练习10】函数的值域是 . 【练习11】对数函数，当时图象在x轴上方，则a的取值范围为 . 【练习12】（24-25高一上·上海·期末）若集合，则 . 【练习13】已知，，，则与的大小关系是 ． 【练习14】（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 ． 【练习15】已知，那么，满足的条件是 ． 【练习16】已知，.（1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1.函数（且），若它的图象经过，，则 ． 2.函数的定义域是 . 3.（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的定义域是 . 4.函数的域为 ． 5.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为， 则实数的取值范围是 . 6.（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 7.（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解， 则实数的取值范围是 . 8.函数的最小值是 ． 9.函数的最小值为 ． 10.已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的， 使得，则实数的取值范围是 . 11.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 12.已知函数，对于任意的，都存在，使得成立， 则实数m的取值范围为 ． 13.设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 14.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（     ） A． B． C． D． 15.（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（     ） A． B． C． D． 16.（24-25高一上·上海·期末）下列选项中“”的充分非必要条件是（     ） A． B． C． D． 17.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 18.对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（     ） A． B． C． D． 19.已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 20.函数的最大值比最小值大2，求实数的值． 21．（24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意， 都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果函数具有“性质”，求实数的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $