第5章 第24节 菱形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（甘肃专用）

第24节菱形 (省卷：6年8考；兰州：3年3考) 教材知识全梳理 知识点菱形的性质与判定 (1)边：四条边都① ,两组对边分别平行； 性质 (2)角：两组对角分别相等； (3)对角线：对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形： 判定 (2)对角线互相② 的平行四边形是菱形： h/ (3)四条边③ 的四边形是菱形 周长 C菱形ABCD=4AB 面积 S菱形BcD=ah=④ AC·BD 对称性 既是轴对称图形（有2条对称轴），又是中心对称图形 【温馨提示】 1.菱形的一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形； 2.菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形； 3.对角线互相垂直的四边形ABCD的面积S=)AC·BD, 甘肃考点系统练 考点与菱形有关的证明与计算（省卷：6年8 考；兰州3年3考) 1.(2023省卷)如图，将矩形纸片ABCD对折，使 边AB与DC,BC与AD分别重合，展开后得到 E 3.（2023省卷)如图，菱形ABCD中，∠DAB= 四边形EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形 60°，BE⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为B,D,若 EFGH的面积为 AB=6cm,则EF= cm. A.2 B.4 c.5 D.6 2.(2025兰州)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC,4.(2023兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与 垂足为E,交BD于点F,BE=CE.若AB=4√5， BD相交于点O,CD∥OE,直线CE是线段OD 则AF= 的垂直平分线，CE分别交OD,AD于点F,G, 连接DE. (1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由； 65 (2)当CD=4时，求EG的长， 7.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点 O,E为AD的中点，连接OE,∠ABC=60°，BD= 43,则0E= () A.4 B.2√3C.2 D.√3 8.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点 O,点E在BD上，连接AE,CE,∠ABC=60°， ∠BCE=15°，ED=2+2√3，则AD= () 》拓展训练 A.4 B.3 C.22D.2 5.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的 菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距 中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE 离.若AE间的距离调节到60cm,菱形的边长 的延长线于点F,连接BF AB=20cm,则∠DAB的度数是 ( (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40.求AC 的长 A.90° B.100°C.120°D.150° 6.如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个 直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD(相邻 纸片之间不重叠，无缝隙).若四边形ABCD的 面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积 为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b, 则(a+b)2= 图1 图2 A.12 B.13 C.24 D.25 66“教材知识全梳理”参考答案 第一章数与式 第11节函数及其图象 第1节实数 ①x≠1②x≥1③x>1 ①-a ②0③0④1 ⑤1⑥±√a ⑦a 第12节一次函数的图象与性质 ①<②=③一、三 ⑧a ⑨大①1 ⑩ ④=三四⑤20 ⑥(0，b)⑦-m⑧-m 第2节二次根式 第13节反比例函数的图象与性质 ①≥②a③a·√b ④a ①k>0②二、四③减小④增大 第3节代数式与整式 第14节二次函数的图象与性质 ①和②常数项③a+b+c④a-b-c ⑤am+n ①减小②增大③增大④减小⑤小 ⑥am-n⑦am⑧a"b"⑨6ab30ma+mb+mc ⑥大⑦y=a(x-m)2+b(x-m)+c ①am+an+bm+bn②4a2xBa+b ⑧y=a(x-h-m)2+k⑨y=ax2+bx+c-m 第4节分式 ⑩y=a(x-h)2+k-m ①B≠0②A=0且B≠0③生C ④ctad 第15节整合—函数的实际应用 ac 第四章三角形 564 第16节线段、角、相交线与平行线 第二章方程（组）与不等式（组） ①BC②AC ③AB( ⑤90°⑥180 第5节一次方程（组)及其解法 ⑦∠8⑧对顶角相等⑨互为邻补角的两个角 ①b±c②e③2 之和等于180° 0ㄥ7①ㄥ5②ㄥ8 第7节一元二次方程及其解法 第17节一般三角形 ①-btVB-4ac ②不相等③b2-4ac=0④无 ③90° 2a 第8节一元一次不等式（组）及其解法 第18节特殊三角形 ①>②>③<④x≤b⑤无解 ①.ah ③h④ 第三章函数 2 4 第10节平面直角坐标系 第19节全等三角形 ①<②<③>④0⑤0⑥(0,0) ⑦纵 ①相等②相等③相等 ④相等⑤三边 ⑧横⑨-yB⑩Ixl①lyp-yn ⑥夹角⑦夹边⑧对边 105 第20节相似三角形（含位似） 第六章圆 ①bc②生4 第26节圆的基本性质 ③相似比④相似比的平方 ①BD②CD③AB(答案不唯一)④ADB(答 ⑤两角⑥夹角⑦相似比⑧相似比的平方 案不唯一)⑤∠AOB(答案不唯一) 第21节锐角三角函数 ⑥∠BDC⑦圆心 ⑧1 ⑨180°⑩∠D ① ③ ④ ⑤ ⑥5 ⑦6 2 第27节与圆有关的位置关系 ①>②= ③<④>⑤=⑥<⑦PB ⑧南偏东60° ⑧∠BPO 第五章 四边形 第28节与圆有关的计算 第22节平行四边形与多边形 ①2πr ②m ③mr2 ④mr3 180 360 ①平行且相等②相等③互补④相等 第七章图形的变化 ⑤平行且相等⑥(n-2)·180°⑦360° 第30节投影与视图 ⑧n-2)·180° ⑨3600 ①长②高③宽 n 第31节图形的对称、平移与旋转 第23节矩形 ①全等②垂直平分③相等④垂直平分 ①直角 ②相等③直角 ⑤距离⑥相等⑦相等⑧旋转角⑨相等 第24节菱形 ⑩旋转角①相等 第八章统计与概率 ①相等②垂直 3相等时 第32节统计 第25节正方形 ①最中间②平均数③最多④1⑤360° ⑥1⑦频数 ①相等②直角③垂直平分 ④相等⑤垂 第33节概率 直 ⑥直角⑦相等⑧】 ①1②0③m④p n 106BH=CH.m∠BCH=3x5=5m. 3 在Rt△BHG中， BH BH HG=ian∠BCH tan4l.7元l.9m, .鹅卵石的像G到水面的距离GH为1.9m. 6.解：如图，过点A作AF⊥MN,垂足为F, D E B 设BF=xcm, .BC=9 cm, ..CF=BC+BF=(x+9)cm, 在Rt△ABF中，∠ABF=∠DBN=35°， .AF=BF.tan35°≈0.7xcm. 在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22° .AF=CF.tan22°≈0.4(x+9)）cm, .0.7x=0.4(x+9),解得x=12 .AF=0.7x=8.4cm, .新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm. 第五章四边形 第22节平行四边形与多边形 1.(5,-1)2.50 3.解：(1)12：(2)60°：120°： (3)①AE=AB·sin∠ABE=3, .平行四边形ABCD的面积为BC·AE=4√5： ②△AB0与△DC0的面积和为2√5. 4.证明：选择①： .·∠B=∠AED,∴.BC∥DE 又·AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形 选择②： ·AE=BE,AE=CD,∴.BE=CD 又，·AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形 5.A6.D7.A 第23节矩形 1C2c3.C48] 5.(1)证明：，·在△ABC中，AB=AC,D是BC的中，点， ∴.AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°， CE∥AD, .∠ECD=∠ADB=90°， .·AE⊥AD, ∴.∠EAD=90° ∴.∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°， .四边形ADCE是矩形： (2)解：·在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，BC= B0=6D=4C-2 由(1)可知四边形ADCE是矩形， AE=CD=2,∠AEC=90° 在Rt△AEC中，AE=2,CE=3, 由勾股定理得AC=√AE+CE=√3， :EF⊥AC, 由三角形的面积公式得S6=4C·BF=号4证·CE, EF=AE.CE_2x3_613 AC √1313 6.C7.∠A=90°（答案不唯一）8.6 9.证明：(1)AF∥BC, ∴.∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE 又E为AD的中点， :AE=DE, .△AEF≌△DEC(AAS), .AF=DC. 又：D为BC的中点， .BD=CD, ∴.AF=BD: (2).·AF=BD,AF∥BD ·四边形ADBF是平行四边形， AB=AC,D为BC的中点， .AD⊥BC, ∠ADB=90, 四边形ADBF是矩形 10.(1)证明：四边形ABCD是矩形， OC=2 AC,OD=2 BD,AC=BD. .0C=0D ∴.∠ACD=∠BDC .·∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD .∠CDF=∠DCF ..DF=CF; (2)解：由(1)可知DF=CF, .∠CDF=60°， .△CDF是等边三角形， .∴.CD=DF=6. .∠CDF=∠BDC=60°，OC=OD, .△OCD是等边三角形， ∴.0C=0D=6, .BD=20D=12, ,·四边形ABCD是矩形 .∠BCD=90°， .BC=√BD-CD=√12-6=65， .SE形ABcn=BC·CD=6V3×6=365. 第24节菱形 1.B2.43.25 4.解：(1)四边形OCDE是菱形，理由如下： ·CD∥OE. .∠FDC=∠FOE. :CE是线段OD的垂直平分线， 7 ..FD=FO,ED=OE,CD=CO, 在△FDC和△FOE中， (LFDC=∠FOE FD=FO N∠DFC=∠OFE ∴.△FDC≌△FOE(ASA) .'CD=0E. 又ED=OE,CD=CO. ∴.ED=OE=CD=CO. .四边形OCDE是菱形 (2):四边形ABCD为矩形， .∠BCD=∠CDA=90°，D0=C0, ·CE是线段OD的垂直平分线. ∴.CD=CO ∴.CD=CO=D0 .△ODC为等边三角形， .D0=CD=4,∠0DC=60°， 0F=0=2. 在Rt△CDF中，CD=4,DF=2, 由勾股定理得：CF=√CD-DF产=23， 由(1)可知：四边形OCDE是菱形， .EF=CF=2√5」 .·∠GDF=∠CDA-∠ODC=30°， GF=DF·an∠GDF=21an30=2 3 BG=EF-GF=252543 3 3 5.C6.D7.C8.A 9.(1)证明：AFBC. ∴.∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE, 点E是AD的中点， ∴.AE=DE ∴.△FAE≌△CDE(AAS), .AF=CD. ·点D是BC的中点， .BD =CD ∴.AF=BD .四边形AFBD是平行四边形， ∠BAC=90°，D是BC的中点， :.AD=BD=1BC, 2 ∴.四边形ADBF是菱形： (2)解：四边形ADBF是菱形， .菱形ADBF的面积=2△ABD的面积， ·点D是BC的中点， .△ABC的面积=2△ABD的面积 .菱形ADBF的面积=△ABC的面积=40， 8 1 24B·4C=40, 1 六2×81C=40, ∴.AC=10 第25节 正方形 1.D2.①②④ 3.解：(1)90,45：(2)2,8：(3)22，√2； (4)由题可得AC=22,CE=CB=2,B0=√2， .AE=AC-CE=22-2, 1 ·sa4=2·B0=2×(25-2)xw2=2-5 1 4.解：正方形. 理由：连接AC,BD 四边形ABCD为平行四边形，且AB=BC,a=90°， .四边形ABCD为正方形， ∴.AC=BD,且AC⊥BD ·点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， EF=HG-AC,EH=FG-BD.EH//BD.EF//AC. ∴.EF=HG=EH=FG,EH⊥EF, .四边形EFGH为正方形. 第六章 圆 第26节圆的基本性质 1.解：(1)60： (2)CD=AB,AB=CD. 理由：由(1)可得∠A0B=∠B0C=60°， ∴.∠C0D=60°， ·.∠AOB=∠COD C⑦=AG,AB=CD. 2.A3.354.D5.C6.D7.308.(1)60°；(2)45 9.A10.C11.C12.189 13.解：如图.连接OB,0C, .⊙0的半径为4. .0B=0C=4. .六边形ABCDEF是正六边形 .∠B0C=60°， .△OBC是等边三角形， .BC=0B=0C=4. 过点O作OP⊥BC于点P, ∴.BP=CP=2 在Rt△0BP中，0P=√OB2-BP=√4-22=2√5， 即边心距为23. 5ae-2Bc0P-×4x25=45, 1 ·S正大边形ABCDER=6S△B0c=24V5.