第4章 第21节 锐角三角函数-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（甘肃专用）

9.解：：∠B=∠AED=∠C,∠AEC=∠B+∠BAE ∠AED+∠CED. ∴.∠BAE=∠CED, 在△ABE和△ECD中、 (L BAE=∠CED ∠B=∠C BE=CD ..△ABE≌△ECD(AAS), ∴.AE=ED, .∠AED=∠C=60°， ∴.△AED为等边三角形 ED=4. S△hsn= ED-46. 第20节相似三角形（含位似) 1.A2.A3.144.D 5.证明：ACAE AB AD AB AC ·D证 .·∠BAD=∠CAE ,∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE,即∠DAE=∠BAC, .△ABC∽△ADE. 6.解：.∠A是公共角 .当AP:AB=AQ:AC时，△APQ∽△ABC, 即3：5=AQ:4, 每得40-品 当AP:AC=AQ:AB时，△APQ△ACB, 即3：4=A0:5. 解得40=宁。 当40=号支宁时，以4，PQ为顶点的三角形与△40 相似. 7.解：CD⊥AB .∠ADC=∠CDB=90°， .∠A+∠ACD=90°， .·∠BCD+∠ACD=∠ACB=90° ∴.∠A=∠BCD, .△ACD∽△CBD AD CD ∴CDBD CD=√2，BD=1, 0(2-2 :AD=BD 1 8.B9.195 第21节锐角三角函数 1.解：对于图1中的直角三角形，由勾股定理，得AC √/AB2-BC2=5. 6 sin A=BC 12 4B-13.tan A=BC 12 AB13:c0s A=4C 5 对于图2中的直角三角形，由勾股定理，得AB= VAC+BC2=10. 4B5,aA=BC、4 AB=5.cosA=4C3 ..sin A=BC4 AC 3 2.解：由题意得：CG⊥AB,CD=EF=BG=1.7m, 设EG=xm, CE=DF=5.5 m. ..CG=CE+EG=(x+5.5)m, 在Rt△ACG中，∠ACG=16.7°， .AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+5.5)m. 在Rt△AEG中，∠AEG=22°， .AG=EG·tan22°≈0.4xm, .0.4x=0.3(x+5.5),解得x=16.5, .AG=0.4x=6.6m, .AB=AG+BG=6.6+1.7=8.3m, ∴.长城第一墩的高度AB约为8.3m. 3.解：设PH=x万千米， .在Rt△PHB中，∠PHB=90°，∠ABP=8925'37.43', m2Apan892537.456万千米。 ∴.BH= PH .·在Rt△PHA中，∠PHA=90°，∠BAP=8922'38.09' /n2 BAPuan9238.09克万千米. PH ∴.AH= .AH+BH=AB≈0.8万千米. x+=0.8, 10092 解得x≈38，即PH≈38万千米 答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米， 4.解：在Rt△0BD中，∠ODB=90°，∠B0A=64°，BD= 20.5cm, Dsin∠B0A=BD tan∠BOA=BD OB' 0D,0.90=205 2.05205 OB' ∴.0D≈10cm,0B≈22.78cm, 在Rt△C0E中，0C=0B=22.78cm,∠C0A=37°， ∴cos∠C0A 0E.即c0s37°=22.78 OE O .∴.0E≈22.78×0.80=18.224cm. ∴.ED=OE-OD≈8.2cm, .ED的长为8.2cm 5解：(I)sin∠AB =1.33,sin∠ABM=sin41.7°≈0.665 sin∠CBN ∴sin∠CBN=sin∠ABMQ.665.1 1.331.332 ,∠CBN=30°： (2).∠ABM=∠NBG=41.7°，BN=CH=3m,BN∥HC .∠CBN=∠BCH=30°，∠BGH=∠NBG=41.7°， 在Rt△BCH中， BH=CH.m∠BCH=3x5=5m. 3 在Rt△BHG中， BH BH HG=ian∠BCH tan4l.7元l.9m, .鹅卵石的像G到水面的距离GH为1.9m. 6.解：如图，过点A作AF⊥MN,垂足为F, D E B 设BF=xcm, .BC=9 cm, ..CF=BC+BF=(x+9)cm, 在Rt△ABF中，∠ABF=∠DBN=35°， .AF=BF.tan35°≈0.7xcm. 在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22° .AF=CF.tan22°≈0.4(x+9)）cm, .0.7x=0.4(x+9),解得x=12 .AF=0.7x=8.4cm, .新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm. 第五章四边形 第22节平行四边形与多边形 1.(5,-1)2.50 3.解：(1)12：(2)60°：120°： (3)①AE=AB·sin∠ABE=3, .平行四边形ABCD的面积为BC·AE=4√5： ②△AB0与△DC0的面积和为2√5. 4.证明：选择①： .·∠B=∠AED,∴.BC∥DE 又·AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形 选择②： ·AE=BE,AE=CD,∴.BE=CD 又，·AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形 5.A6.D7.A 第23节矩形 1C2c3.C48] 5.(1)证明：，·在△ABC中，AB=AC,D是BC的中，点， ∴.AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°， CE∥AD, .∠ECD=∠ADB=90°， .·AE⊥AD, ∴.∠EAD=90° ∴.∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°， .四边形ADCE是矩形： (2)解：·在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，BC= B0=6D=4C-2 由(1)可知四边形ADCE是矩形， AE=CD=2,∠AEC=90° 在Rt△AEC中，AE=2,CE=3, 由勾股定理得AC=√AE+CE=√3， :EF⊥AC, 由三角形的面积公式得S6=4C·BF=号4证·CE, EF=AE.CE_2x3_613 AC √1313 6.C7.∠A=90°（答案不唯一）8.6 9.证明：(1)AF∥BC, ∴.∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE 又E为AD的中点， :AE=DE, .△AEF≌△DEC(AAS), .AF=DC. 又：D为BC的中点， .BD=CD, ∴.AF=BD: (2).·AF=BD,AF∥BD ·四边形ADBF是平行四边形， AB=AC,D为BC的中点， .AD⊥BC, ∠ADB=90, 四边形ADBF是矩形 10.(1)证明：四边形ABCD是矩形， OC=2 AC,OD=2 BD,AC=BD. .0C=0D ∴.∠ACD=∠BDC .·∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD .∠CDF=∠DCF ..DF=CF; (2)解：由(1)可知DF=CF, .∠CDF=60°， .△CDF是等边三角形， .∴.CD=DF=6. .∠CDF=∠BDC=60°，OC=OD, .△OCD是等边三角形， ∴.0C=0D=6, .BD=20D=12, ,·四边形ABCD是矩形 .∠BCD=90°， .BC=√BD-CD=√12-6=65， .SE形ABcn=BC·CD=6V3×6=365. 第24节菱形 1.B2.43.25 4.解：(1)四边形OCDE是菱形，理由如下： ·CD∥OE. .∠FDC=∠FOE. :CE是线段OD的垂直平分线， 7“教材知识全梳理”参考答案 第一章数与式 第11节函数及其图象 第1节实数 ①x≠1②x≥1③x>1 ①-a ②0③0④1 ⑤1⑥±√a ⑦a 第12节一次函数的图象与性质 ①<②=③一、三 ⑧a ⑨大①1 ⑩ ④=三四⑤20 ⑥(0，b)⑦-m⑧-m 第2节二次根式 第13节反比例函数的图象与性质 ①≥②a③a·√b ④a ①k>0②二、四③减小④增大 第3节代数式与整式 第14节二次函数的图象与性质 ①和②常数项③a+b+c④a-b-c ⑤am+n ①减小②增大③增大④减小⑤小 ⑥am-n⑦am⑧a"b"⑨6ab30ma+mb+mc ⑥大⑦y=a(x-m)2+b(x-m)+c ①am+an+bm+bn②4a2xBa+b ⑧y=a(x-h-m)2+k⑨y=ax2+bx+c-m 第4节分式 ⑩y=a(x-h)2+k-m ①B≠0②A=0且B≠0③生C ④ctad 第15节整合—函数的实际应用 ac 第四章三角形 564 第16节线段、角、相交线与平行线 第二章方程（组）与不等式（组） ①BC②AC ③AB( ⑤90°⑥180 第5节一次方程（组)及其解法 ⑦∠8⑧对顶角相等⑨互为邻补角的两个角 ①b±c②e③2 之和等于180° 0ㄥ7①ㄥ5②ㄥ8 第7节一元二次方程及其解法 第17节一般三角形 ①-btVB-4ac ②不相等③b2-4ac=0④无 ③90° 2a 第8节一元一次不等式（组）及其解法 第18节特殊三角形 ①>②>③<④x≤b⑤无解 ①.ah ③h④ 第三章函数 2 4 第10节平面直角坐标系 第19节全等三角形 ①<②<③>④0⑤0⑥(0,0) ⑦纵 ①相等②相等③相等 ④相等⑤三边 ⑧横⑨-yB⑩Ixl①lyp-yn ⑥夹角⑦夹边⑧对边 105 第20节相似三角形（含位似） 第六章圆 ①bc②生4 第26节圆的基本性质 ③相似比④相似比的平方 ①BD②CD③AB(答案不唯一)④ADB(答 ⑤两角⑥夹角⑦相似比⑧相似比的平方 案不唯一)⑤∠AOB(答案不唯一) 第21节锐角三角函数 ⑥∠BDC⑦圆心 ⑧1 ⑨180°⑩∠D ① ③ ④ ⑤ ⑥5 ⑦6 2 第27节与圆有关的位置关系 ①>②= ③<④>⑤=⑥<⑦PB ⑧南偏东60° ⑧∠BPO 第五章 四边形 第28节与圆有关的计算 第22节平行四边形与多边形 ①2πr ②m ③mr2 ④mr3 180 360 ①平行且相等②相等③互补④相等 第七章图形的变化 ⑤平行且相等⑥(n-2)·180°⑦360° 第30节投影与视图 ⑧n-2)·180° ⑨3600 ①长②高③宽 n 第31节图形的对称、平移与旋转 第23节矩形 ①全等②垂直平分③相等④垂直平分 ①直角 ②相等③直角 ⑤距离⑥相等⑦相等⑧旋转角⑨相等 第24节菱形 ⑩旋转角①相等 第八章统计与概率 ①相等②垂直 3相等时 第32节统计 第25节正方形 ①最中间②平均数③最多④1⑤360° ⑥1⑦频数 ①相等②直角③垂直平分 ④相等⑤垂 第33节概率 直 ⑥直角⑦相等⑧】 ①1②0③m④p n 106第21节锐角三角函数 (省卷：6年14考；兰州：3年11考) 教材知识全梳理 知识点①锐角三角函数 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A为△ABC中的一个锐角. 锐角三角函 数的定义 ∠A的正弦：simA=人A的对边 斜边 ① ∠A的余弦：CosA= ∠A的邻边=② 斜边 ∠A的正切：tanA= A的对边=③ ∠A的邻边 锐角x 30° 45° 60° 锐角三角函数 7 2 609 ④ B30 C sin o w 特殊角的三 2 角函数值 cos a ⑤ 2 √2 /459 1 B450 tan a 3 ⑥ 1 知识点2)锐角三角函数的实际应用 铅 ,视线 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰 仰角、俯角 垂 角，视线在水平线下方的角叫做俯角（如图） 线 膏衣中改 视线 坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡度（坡比），用字母i 坡度（坡比）、 铅直 坡面 表示：坡面与水平线的夹角α叫坡角.坡度等于坡角的正切值， 高度 坡角 7 即i=tana=⑦ (如图) 水平宽度 北 如图，A点位于0点的北偏东30°方向，B点位于0点的 方向角 C 4530A ⑧ 方向，C点位于0点的北偏西45方向（或西北方向）》 60∂B东 55 【温馨提示】 锐角三角函数实际应用中的常见图形： 图形 常见辅助线作法 解题策略 构造直角三角形，通 母子型 过建立已知线段和 未知线段之间的等 量关系求解（通常涉 背靠背型 及线段的和、差、比 值) 甘肃考点系统练 考点1锐角三角函数（省卷：6年8考：兰州：3年9考） ⊙针对训练 1.(人教九下习题改编)分别求出下列直角三角形中∠A的正弦值、余弦值和正切值， A 13 6 12 8 图1 图2 考点2锐角三角函数的实际应用（省卷：6年6考；兰州：3年2考） 2.(2025省卷)如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座 墩台，始建于明嘉靖十八年(1539年).该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉 要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系.随着岁月的变迁和自然的风 化，长城第一墩的高度在慢慢降低.为了解长城第一墩的现存高度.某校同学们开展了“测量长城 第一墩高度”的综合实践活动.如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点， 点B,F,D是地面同一直线上的三个点（点D,F都在保护栅栏外），在D,F处分别用测角仪测得 ∠ACG=16.7°，∠AEG=22°，其中CD=EF=1.7m(测角仪的高度)，DF=CE=5.5m,求长城第一 墩的高度AB(结果精确到0.1m).(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30) B 图1 图2 56 3.(2025兰州)天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题.某天文研究小组探究用三 角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得 出月球与地球之间的近似距离.具体研究方法与过程如表： 问题月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 A地球 月球 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A,B,以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪 说明 从A,B两点同时观测月球P(将月球抽象为一个点)，并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问 题画出平面示意图（如上图），过点P作PH⊥AB于点H,连接AP,BP. 数据AB≈0.8万千米，∠ABP=8925'37.43”,∠BAP=8922'38.09 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH.(结果精确到1万千米)》 (参考数据：tan89°25'37.43"≈100.00，tan89°22'38.09≈92.00，sin8925'37.43"≈0.99995， sin8922'38.09"≈0.99994，cos8925'37.43"≈0.00999，c0s8922'38.09"≈0.01087) 57 4.(2024兰州)单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关 的实验探究，并撰写实验报告如下 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 如图1，在支架的横杆点0处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运 动.（摆线的长度变化忽略不计） 实验说明 如图2，摆球静止时的位置为点A,拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD LOA.∠BOA=64°，BD= 20.5cm;当摆球运动至点C时，∠C0A=37°，CE⊥OA.(点0，A,B,C,D,E在同一平面内) 0 实验图示 图1 图2 解决问题：根据以上信息，求ED的长.（结果精确到0.1cm) 参考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75， sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05 58 5.(2024兰州一诊)小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问 题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究 方案如下： 问题鹅卵石的像到水面的距离 工具纸、笔、计算器、测角仪等 4法线 M 空气 B H 图形 水 N 根据实际问题画出示意图（如图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为BN,且BN=CH,MN⊥NC 说明 于点N,MN⊥BH于点B,CH⊥BH于点H,点G在CH上，A,B,G三点共线，通过查阅资料获得 sin∠ABM 1.33. sin∠CBW 数据BN=3m,∠ABM=41.7°， 请你根据上述信息解决以下问题： (1)求∠CBN的大小； (2)求鹅卵石的像G到水面的距离GH.(结果精确到0.1m) (参考数据：sin41.7°≈0.665，c0s41.7°≈0.747，tan41.7°≈0.891，√3≈1.73) 59 6.(2023省卷)如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离.为避免 伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过 医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 D B 皮肤 D 示意图 器官 新生物 图1 图2 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与 说明 皮肤MW的夹角为∠DBW;再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮 肤MWN的夹角为∠ECN 测量数据 ∠DBW=35°，∠ECN=22°，BC=9cm 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.（结果精确到0.1cm)》 (参考数据：sin35°≈0.57，c0s35°≈0.82，tan35°≈0.70， sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) 60