第4章 第16节 线段、角、相交线与平行线-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（甘肃专用）

当y=0时.-7x2+28x+35=0. 解得x1=-1(舍去)，2=5， .抑制种子发芽时的生长索浓度范围为4<x≤5. 第四章三角形 第16节线段、角、相交线与平行线 1.B2.(1)6:(2)43.D4.C5.B6.A7.(1)60 (2)48.B9.D10.垂线段最短11.B12.A13.B 14.A15.C16.C17.D18.①③④，②，①和④ 第17节一般三角形 1.(1)1<AC<5:(2)90°，直角：(3)110°：(4)AB>AC 2.证明：方法一：.DEBC, ∴.∠B=∠DAB,∠C=∠EAC .∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴.∠B+∠BAC+∠C=180°. 方法二：.·AB∥DC ∴.∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°， .·∠BCD=∠ACD+∠BCA. .∴.∠A+∠B+∠BCA=180°. 3.C4.(1)40°：(2)①2，②6，③∠BAD=∠ADE:(3)10. 第18节特殊三角形 1.D2.B 3.解：(1)①AB=AC:②90°，50°： (2):△ABC为等腰三角形，∠BAC=60°， .:△ABC为等边三角形 BC=4, △ABC的面积为3BC2=4V3 4.解：(1)50°；(2)等腰直角三角形；(3)6,30°； (4)△ABC为直角三角形，AC=3,BC=4, ∴.AB=WAC2+BC2=5 CD为Rt△ABC的高. .AC BC-2AB CD. C0s12 1 第19节全等三角形 L.证明：∠B=∠E,∠CAB=∠DAE,AC=AD ∴.△ABC≌△AED(AAS) 2.证明：.AB∥DE, ∴.∠ABC=∠DEF 又.BC=EF,∠ACB=∠DFE. .△ABC≌△DEF(ASA), ·.AC=DF. 3.证明：.BE=CF ∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE」 (AB=DC 在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CE ∴.Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). .∴.∠AFB=∠DEC. 4.解：.∠BAD=∠EAC ∴.∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC, ∴.∠BAC=∠EAD. (AB=AE. 在△ABC和△AED中 ∠BAC=∠EAD」 AC=AD. .△ABC≌△AED(SAS), ∴.∠D=∠C=50 5.解：①或③. 选择条件①或③时，能判定ABDE. 理由如下： 当选择条件①时， (AB=FE. 在△ABC和△FED中. ∠A=∠DFE. AC=FD. .△ABC≌△FED(SAS), .∠B=∠E,.AB∥DE 当选择条件③时， AB=FE. 在△ABC和△FED中 BC=ED. AC=FD. .△ABC≌△FED(SSS), .∴.∠B=∠E,.ABDE 6.证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°， .∠CAB=180°-∠B-∠C=110° .·AE⊥BC. ∴.∠AEC=90° .∠DAF=∠AEC+∠C=110°， .∴.∠DAF=∠CAB AD=AC 在△DAF和△CAB中 ∠DAF=∠CAB AF=AB ∴.△DAF≌△CAB(SAS) .DF=CB. 7.解：·CE=CD,∠DCB=90° ∴.△ECD是等腰直角三角形 .∠EDC=45. 在Rt△ACE与Rt△BCD中， ∫AE=BD CE=CD .∴.△ACE≌△BCD(HL). .∠CAE=∠CBD=25o ∴.∠BDC=∠AEC=90°-25°=65 .∴.∠BDE=65°-45°=20° 8.解：AD⊥CE,BE⊥CE .∠ADC=∠E=90°， .∠CAD+∠ACD=90°， ·∠ACB=90°， ∴.∠BCE+∠ACD=90°. ∴.∠CAD=∠BCE, 在△CAD和△BCE中， I∠ADC=∠E ∠CAD=∠BCE AC=BC ∴.△CAD≌△BCE(AAS), ...AD=CE=6,CD=BE=2. .DE=CE-CD=6-2=4. 5“教材知识全梳理”参考答案 第一章数与式 第11节函数及其图象 第1节实数 ①x≠1②x≥1③x>1 ①-a ②0③0④1 ⑤1⑥±√a ⑦a 第12节一次函数的图象与性质 ①<②=③一、三 ⑧a ⑨大①1 ⑩ ④=三四⑤20 ⑥(0，b)⑦-m⑧-m 第2节二次根式 第13节反比例函数的图象与性质 ①≥②a③a·√b ④a ①k>0②二、四③减小④增大 第3节代数式与整式 第14节二次函数的图象与性质 ①和②常数项③a+b+c④a-b-c ⑤am+n ①减小②增大③增大④减小⑤小 ⑥am-n⑦am⑧a"b"⑨6ab30ma+mb+mc ⑥大⑦y=a(x-m)2+b(x-m)+c ①am+an+bm+bn②4a2xBa+b ⑧y=a(x-h-m)2+k⑨y=ax2+bx+c-m 第4节分式 ⑩y=a(x-h)2+k-m ①B≠0②A=0且B≠0③生C ④ctad 第15节整合—函数的实际应用 ac 第四章三角形 564 第16节线段、角、相交线与平行线 第二章方程（组）与不等式（组） ①BC②AC ③AB( ⑤90°⑥180 第5节一次方程（组)及其解法 ⑦∠8⑧对顶角相等⑨互为邻补角的两个角 ①b±c②e③2 之和等于180° 0ㄥ7①ㄥ5②ㄥ8 第7节一元二次方程及其解法 第17节一般三角形 ①-btVB-4ac ②不相等③b2-4ac=0④无 ③90° 2a 第8节一元一次不等式（组）及其解法 第18节特殊三角形 ①>②>③<④x≤b⑤无解 ①.ah ③h④ 第三章函数 2 4 第10节平面直角坐标系 第19节全等三角形 ①<②<③>④0⑤0⑥(0,0) ⑦纵 ①相等②相等③相等 ④相等⑤三边 ⑧横⑨-yB⑩Ixl①lyp-yn ⑥夹角⑦夹边⑧对边 105 第20节相似三角形（含位似） 第六章圆 ①bc②生4 第26节圆的基本性质 ③相似比④相似比的平方 ①BD②CD③AB(答案不唯一)④ADB(答 ⑤两角⑥夹角⑦相似比⑧相似比的平方 案不唯一)⑤∠AOB(答案不唯一) 第21节锐角三角函数 ⑥∠BDC⑦圆心 ⑧1 ⑨180°⑩∠D ① ③ ④ ⑤ ⑥5 ⑦6 2 第27节与圆有关的位置关系 ①>②= ③<④>⑤=⑥<⑦PB ⑧南偏东60° ⑧∠BPO 第五章 四边形 第28节与圆有关的计算 第22节平行四边形与多边形 ①2πr ②m ③mr2 ④mr3 180 360 ①平行且相等②相等③互补④相等 第七章图形的变化 ⑤平行且相等⑥(n-2)·180°⑦360° 第30节投影与视图 ⑧n-2)·180° ⑨3600 ①长②高③宽 n 第31节图形的对称、平移与旋转 第23节矩形 ①全等②垂直平分③相等④垂直平分 ①直角 ②相等③直角 ⑤距离⑥相等⑦相等⑧旋转角⑨相等 第24节菱形 ⑩旋转角①相等 第八章统计与概率 ①相等②垂直 3相等时 第32节统计 第25节正方形 ①最中间②平均数③最多④1⑤360° ⑥1⑦频数 ①相等②直角③垂直平分 ④相等⑤垂 第33节概率 直 ⑥直角⑦相等⑧】 ①1②0③m④p n 106第四章三角形 第16节线段、角、相交线与平行线 (省卷：6年24考；兰州：3年14考) 教材知识全梳理 知识点①直线与线段 直线的基本事实：两点确定一条直线 两个基本事实 线段的基本事实：两点之间，线段最短 两点间的距离 连接两点之间的线段的长度 如图，在线段AC上有一点B,则有AB+① =AC;AB=② -BC:BC=AC- 线段的和差 ③ 如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB,点M叫做线段AB的中点，即 线段的中点 AM=BM=④ AB M B 知识点②角及角平分线 角的换算 角的度、分、秒是60进制，即1°=60'，1'=60 概念：如果两个角的和等于⑤ 那么这两个角互为余角 余角 性质：同角（或等角）的余角相等 概念：如果两个角的和等于⑥ ,那么这两个角互为补角 补角 性质：同角（或等角）的补角相等 概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 角平分线 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 知识点3)相交线 1.三线八角 如图，∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与⑦ 对顶角 性质：⑧ 如图，∠1和∠3都与∠2，∠4互为邻补角，∠5和∠7都与∠6，∠8 邻补角 互为邻补角 性质：⑨ 同位角 如图，∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与0 内错角 如图，∠2与∠8，∠3与① 同旁内角 如图，∠2与∠5，∠3与② 41 2.垂线及线段垂直平分线 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线 垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 线段的垂 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 直平分线 逆定理：到线段两个端点距离相等的点都在这条线段的垂直平分线上 知识点④平行线 公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 平行公理及推论 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 两直线平行费瓷 同位角相等 平行线的性质与判定 两直线子行薨内错角相等 两直线平行费整同旁内角互补 平行线间的距离 两条平行线间的距离处处相等 知识点⑤命题 概念：判断一件事情的语句，叫做命题 命题 真命题：题设成立时，结论一定成立的命题 假命题：题设成立时，结论不一定成立的命题 一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题，如果 互逆命题 把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题 反证法证明的一般步骤： (1)假定要证的结论不成立，而设结论的反面成立； (2)归谬：将“反设”作为条件，经过正确推理，导出与定义、基本事实、定理或与已知条件产生 反证法 矛盾的结论； (3)因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，那么结 论一定成立 甘肃考点系统练 考点1直线与线段（省卷：6年4考：兰州： A.两，点之间，线段最短 3年1考) B.两点确定一条直线 ⊙针对训练 C.过一点，有无数条直线 D.连接两点之间的线段叫做两点间的距离 1.如图，经过刨平的木板上的A,B两个点，能弹 2.已知线段AB=8. 出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线， (1)若点C是线段AB上一点，AC=2,则BC的 能解释这一实际应用的数学知识是( 长为 ； (2)若点C是AB的中点，则AC的长 为 42 考点2角及角平分线（省卷：6年7考：兰州：3 ◆拓展训练 年3考) 6.若∠A=40°，则∠A的余角的大小是( 3.(2024省卷)若∠A=55°，则∠A的补角为 A.50° B.60° C.140°D.160° ( 7.(北师八下习题改编)如图，射线OD交直线 A.35°B.45° C.115°D.125° AB于点O.射线OC为∠BOD的平分线. 4.(2025兰州)如图是集热板示意图，集热板与 (1)若∠A0D=60°，则∠B0C= 太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分日兰 (2)已知点P为射线OC上一点，若点P到射 州正午太阳光线与水平面的夹角B为54°.若 线OD的距离为4，则点P到直线AB的距离为 光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度 数是 集热板/太阳光线 A 0 B 考点3相交线（省卷：6年5考：兰州：3年4考） 水平面 8.(2023兰州)如图，直线AB与CD相交于点0， A.26° B.30° C.36 D.54° 则∠BOD= () 5.(2023省卷)如图1，汉代初期的《淮南万毕术》 是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中 记载了我国古代学者在科学领域做过的一些 探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水 盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射 A.40 B.50° C.55° D.60° 定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光 拓展训练 线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线9.如图是一个风筝的骨架示意图（可称为筝形 位于法线的两侧：反射角等于人射角”.为了探 ABCD).已知AC垂直平分BD,AB=60cm,CD 清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在 =40cm,则筝形ABCD的周长为 井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线 AB与地面CD所成夹角∠ABC=50时，要使太 阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底 部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角 ∠EBC= A.100 cm B.140 cm C.160 cm D.200 cm 10.如图，直线1表示一段河道，点P表示村庄，现 要从河1向村庄P引水，图中有四种方案，其 中沿线段PC路线开挖的水渠长最短，理由 南萬 是 術 图1 图2 A.60° B.70° C.80° D.85° 43 考点4平行线（省卷：6年8考：兰州3年6考） 15.如图，直线AB∥CD,OG是∠E0B的平分线， 11.（2024兰州)如图，小明在地图上量得∠1= ∠EFC=110°，则∠B0G的度数是() E G ∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平 -B 行，他判断的依据是 乃幸福大街 A.70°B.20°C.35° D.40° 平安大街 16.如图，直线a∥b,直线c与直线a,b分别相交 于点A,B,AC⊥b,垂足为C.若∠1=52°，则 A.同位角相等，两直线平行 ∠2= () B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等 12.(2025省卷)如图1，三根木条a,b,c相交成 A.52°B.45°C.38°D.26° ∠1=80°，∠2=110°，固定木条b,c,将木条a 17.如图，点A在直线a上，B,C两点在直线b 绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条α 上，且a∥b,∠ABC>90°，若AB=4,则a,b两 与木条b平行，则可将木条a旋转 直线之间的距离可以是 () A 疼-群 A.6 B.5 C.4 D.3 A.30° B.40° C.60° D.809 考点5命题 13.(2024兰州一诊)如图，已知∠1=∠2，∠3= 针对训练 118°，则∠4= 18.如图，点D为线段BC上一点，点A为直线BC 外一点，过点A,D作直线.有以下命题： ①如果直线AD是BC的垂直平分线，那么 AB=AC,BD=CD; ②如果AD⊥BC,AD=CD,那么直线AD是BC 的垂直平分线： A.48° B.62 C.68° D.72 ③如果AD1BC,AB=AC,那么直线AD是BC ◆拓展训练 的垂直平分线； 14.如图，直线DE∥BF,Rt△ABC的顶点B在BF ④如果AB=AC,BD=CD,那么直线AD是BC 的垂直平分线， 上，若∠CBF=20°，则∠ADE= () 其中是真命题的有 假命题的有 ,互为逆命题的有 A.70°B.60° C.75° D.80° 44