第3章 第14节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（甘肃专用）

第14节二次函数的图象与性质 (省卷：6年9考；兰州：3年6考) 教材知识全梳理 知识点①二次函数的图象与性质 概念 般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数 开口方向 a>0,开口向上 a<0,开口向下 大致图象 b (1)对称轴为直线x= 2a 对称轴 (2)配方转化为顶点式y=a(x-h)2+k,则对称轴为直线x=h; (3)已知抛物线上纵坐标相同的两点A(,),B(x,),则对称轴为直线x= 2 (1)直接运用顶点坐标公式（多如c 2a4n); 顶点坐标 (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+h,则顶点坐标为(h,k); (3)将对称轴x=x。代入函数解析式求得对应的y。 在对称轴左侧，y随x的增大而① 在对称轴左侧，y随x的增大而② 增减性 在对称轴右侧，y随x的增大而③ 在对称轴右侧，y随x的增大而④ 当x= 时，y取最⑤ 值， 当x= 时，y取最⑥ 2a 值， 2a 最值 其值为4ac-b2 4a 其值为4ac-b Aa 知识点②二次函数解析式的确定 般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数) 二次函数解析 顶点式：y=a(x-h)2+hk(a≠0，a,h,k是常数) 式的三种表达 形式 交点式：y=a(x-x)(x-x2)(a≠0，a,1,x2是常数)，其中1，x2为抛物线与x轴的两个交 点的横坐标 方法：待定系数法 一般步骤： 二次函数解析 一设：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)； 式的确定 二列：找出函数图象上的点，并代入y=ar2+br+c(a≠0)中，得到方程组； 三解：解方程组，得到a,b,c的值； 四还原：将所求待定系数a,b,c的值代入y=ax2+bx+c中即可 31 【温馨提示】 解析式的常见设法： 1.若顶点在原点，可设为y=ax2; 2.若顶点在y轴上（或对称轴是y轴），可设为y=ax2+c; 3.若顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2; 4.若抛物线过原点，可设为y=ax2+bx; 5.若已知任意三个点的坐标，可设为y=ax2+bx+c; 6.若已知顶点(h,k)时，可设为顶点式y=a(x-h)2+h: 7.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0),可设为交点式y=a(x-x1)(x-x2) 知识点③)二次函数图象的平移 平移方向 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a(x-h)+k 简记 向左平移m个单位长度 y=a(x+m)2+b(x+m)+c y=a(x-h+m)2+k x“左加右减” 向右平移m个单位长度 ⑦ ⑧ 向上平移m个单位长度 y=ax2+bx+c+m y=a(x-h)2+k+m 等号右边整体 向下平移m个单位长度 ⑨ ⑩ “上加下减” 知识点④二次函数与一元二次方程、不等式的关系 -元二次方程ax2+bx+c=0的解曰二次函数y=a2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标； 二次函数与一元 抛物线与x轴有两个交点曰方程有两个不相等的实数根曰→b2-4ac>0: 二次方程的关系抛物线与x轴有一个交点一方程有两个相等的实数根→b2-4ac=0; 抛物线与x轴无交点曰方程无实数根>b2-4ac<0 a2+bx+c>x+m的解集曰函数y=ax2+bx+c的图象位于函数y=kx+m图象上方对应的点 二次函数与不 的横坐标的取值范围； 等式的关系 ar2+bx+c<kx+m的解集曰函数y=ax2+bx+c的图象位于函数y=kx+m图象下方对应的点 的横坐标的取值范围 甘肃考点系统练 考点①二次函数的图象与性质（省卷：6年4，拓展训练 考；兰州：3年2考) 2.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线 1.(2023兰州)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下 x=1,点A,B均在抛物线上，且AB与x轴平 行，其中点A的坐标为(n,3),则点B的坐标为 列说法正确的是 ( () A.对称轴为直线x=-2 B.顶点坐标为(2,3) C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3 32 A.(n+2,3) B.(n-2,3) 7.已知二次函数的图象经过点(0,1)，它的顶点 C.(2-n,3) D.(2-2n,3)》 坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式 3.二次函数y=x2+2x-1的图象大致是 考点3二次函数图象的平移 D 4.(人教九上习题改编)已知二次函数y=2x2+ ⊙针对训练 4x+3. 8.(人教九上习题改编)已知抛物线y=x2, (1)该二次函数的图象开口向 顶点 (1)将抛物线向右平移1个单位长度，得到的 坐标为 抛物线的解析式为 (2)当x<-1时，y随x的增大而 (填 (2)将抛物线向上平移3个单位长度，得到的 “增大”“减小”或“不变”)，当1≤x≤3时，函 抛物线的解析式为 数值y的最大值为 (3)抛物线y=(x+1)2-3可由抛物线y=x2经 (3)若该二次函数的图象经过点(-2，y1),(0, 过何种方式平移得到？ ),(3,y3),则y1y2y的大小关系为 考点2二次函数解析式的确定(6年5考；3 年4考) ⊙针对训练 5.已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和 (-1,-3),求这个二次函数的表达式 考点4二次函数与一元二次方程、不等式 的关系 ⊙针对训练 9.(北师九下习题改编)如图，一次函数y=x+a 6.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为 和二次函数y=x2+bx的图象交于点A(-3,0) 1,且经过点(2,5)和(-2,13)，求这个二次函 和点B(1,4) 数的表达式. (1)方程x2+bx=0的解为 (2)方程x2+bx-x-a=0的解为 (3)不等式x2+bx-x-a<0的解集是 33“教材知识全梳理”参考答案 第一章数与式 第11节函数及其图象 第1节实数 ①x≠1②x≥1③x>1 ①-a ②0③0④1 ⑤1⑥±√a ⑦a 第12节一次函数的图象与性质 ①<②=③一、三 ⑧a ⑨大①1 ⑩ ④=三四⑤20 ⑥(0，b)⑦-m⑧-m 第2节二次根式 第13节反比例函数的图象与性质 ①≥②a③a·√b ④a ①k>0②二、四③减小④增大 第3节代数式与整式 第14节二次函数的图象与性质 ①和②常数项③a+b+c④a-b-c ⑤am+n ①减小②增大③增大④减小⑤小 ⑥am-n⑦am⑧a"b"⑨6ab30ma+mb+mc ⑥大⑦y=a(x-m)2+b(x-m)+c ①am+an+bm+bn②4a2xBa+b ⑧y=a(x-h-m)2+k⑨y=ax2+bx+c-m 第4节分式 ⑩y=a(x-h)2+k-m ①B≠0②A=0且B≠0③生C ④ctad 第15节整合—函数的实际应用 ac 第四章三角形 564 第16节线段、角、相交线与平行线 第二章方程（组）与不等式（组） ①BC②AC ③AB( ⑤90°⑥180 第5节一次方程（组)及其解法 ⑦∠8⑧对顶角相等⑨互为邻补角的两个角 ①b±c②e③2 之和等于180° 0ㄥ7①ㄥ5②ㄥ8 第7节一元二次方程及其解法 第17节一般三角形 ①-btVB-4ac ②不相等③b2-4ac=0④无 ③90° 2a 第8节一元一次不等式（组）及其解法 第18节特殊三角形 ①>②>③<④x≤b⑤无解 ①.ah ③h④ 第三章函数 2 4 第10节平面直角坐标系 第19节全等三角形 ①<②<③>④0⑤0⑥(0,0) ⑦纵 ①相等②相等③相等 ④相等⑤三边 ⑧横⑨-yB⑩Ixl①lyp-yn ⑥夹角⑦夹边⑧对边 105 第20节相似三角形（含位似） 第六章圆 ①bc②生4 第26节圆的基本性质 ③相似比④相似比的平方 ①BD②CD③AB(答案不唯一)④ADB(答 ⑤两角⑥夹角⑦相似比⑧相似比的平方 案不唯一)⑤∠AOB(答案不唯一) 第21节锐角三角函数 ⑥∠BDC⑦圆心 ⑧1 ⑨180°⑩∠D ① ③ ④ ⑤ ⑥5 ⑦6 2 第27节与圆有关的位置关系 ①>②= ③<④>⑤=⑥<⑦PB ⑧南偏东60° ⑧∠BPO 第五章 四边形 第28节与圆有关的计算 第22节平行四边形与多边形 ①2πr ②m ③mr2 ④mr3 180 360 ①平行且相等②相等③互补④相等 第七章图形的变化 ⑤平行且相等⑥(n-2)·180°⑦360° 第30节投影与视图 ⑧n-2)·180° ⑨3600 ①长②高③宽 n 第31节图形的对称、平移与旋转 第23节矩形 ①全等②垂直平分③相等④垂直平分 ①直角 ②相等③直角 ⑤距离⑥相等⑦相等⑧旋转角⑨相等 第24节菱形 ⑩旋转角①相等 第八章统计与概率 ①相等②垂直 3相等时 第32节统计 第25节正方形 ①最中间②平均数③最多④1⑤360° ⑥1⑦频数 ①相等②直角③垂直平分 ④相等⑤垂 第33节概率 直 ⑥直角⑦相等⑧】 ①1②0③m④p n 106第9节整合一方程（组）及不等式（组）的 实际应用 例(1)4(x+3)+5x=435. (2)30x10=20(1+20%). a (4)5x-(20-x)≥88. (5)70+30x≤1000. (6)20.20-6 xx+1060 (7)90.90 t(1+25%)z30. (8)(40-x)(20+2x)=1200. (9)200+200(1+x)+200(1+x)2=728. (10)(15-3x)(10-2x)=96. 1.A2.A3.D4.200 5.(1)该班级胜负场数分别是13场和2场： (2)该班级在这场比赛中至少投中了4个3分球. 第三章函数 第10节平面直角坐标系 3 1D2(1)四：(2)2,1,2，m<1;(3)7,4 3.解：方法一：将点A向左平移4个单位长度；方法二：将点 A关于y轴对称：方法三：将点A向下平移4个单位长度 再将平移后的点关于原点对称 4.(1)4,3:(2)①1m+31:②(-8,4)或(2,4) 第11节函数及其图象 1.x>32.C3.D4.B5.D6.B7.D 第12节一次函数的图象与性质 1.D2.B3.D4.-2(答案不唯一)5.B6.A7.A 8.D9.C10.C 11.解：：点A(2,m)和点B(n,-6)关于原，点对称， .m=6, .点A的坐标为(2,6). 设正比例函数的表达式为y=kx(k≠O), 点A(2,6)在正比例函数y=kx的图象上， ∴.6=2k,解得k=3. .正比例函数的表达式为y=3x 12.(1)y=-2x+7:(2)y=-2x+8;(3)①③ 13解：：一次函数的图象与直线y=-3x+1平行， .可设一次函数的解析式为y=-3x+b, 图象经过点(-1,6)， ∴.6=-3×(-1)+b, ∴.b=3, .该一次函数的解析式为y=-3x+3. 1a(=子：2{253)5 (x=5, 第13节反比例函数的图象与性质 1.C2.6(答案不唯一)3.①②④4.B5.B 6y2 7.y=-4 8.解：(1)A(a,-3),B(a-4,1)是反比例函数y=的图 象上的两个点， .∴.k=-3a=a-4 .a=1. ∴.k=-3a=-3. ·该反比例函数的解析式为)y=-3 第14节二次函数的图象与性质 1.C2.C3.C 4.(1)上，(-1,1)；(2)减小，33；(3)y3>y2=y 5.解：将点(2,3)和(-1，-3)分别代入表达式y=ax2+c中， 得仔=4ac解得{a=2: 1-3=a+c \c=-5. .这个二次函数的表达式为y=2x2-5. 6.解：二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1， 设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1, 经过点(2,5)和(-2,13)， 化31i的4之 (b=-2 .这个二次函数的表达式为y=2x2-2x+1. 7.解：这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)， .可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9. 又它的图象经过点(0,1)， 六可得1=a(0-8)2+9.解得a=8 ·这个二次函数的表达式是y=8(x8)+9 8.解：(1)y=(x-1)2:(2)y=x2+3;(3)先向左平移1个单 位长度，再向下平移3个单位长度， 9.(1)x1=-3,x2=0:(2)x1=-3,x2=1:(3)-3<x<1 第15节整合一函数的实际应用 例(1)y=-x+40:(2)y=5-6: (3)1=1262. 6 :(4)1= R 3 (5)y=-+4;(6)y=-0.2x+3.5. 1.解：(1)3000：200： (2)小刚从图书馆返回家的时间：5000÷200=25(min), 总时间：25+20=45(min), 设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式为 y=hx+b, 把(20,5000)，(45,0)代人得： 20k+b=5000 (45k+b=0 解得620 (b=9000 ∴.y=-200x+9000(20≤x≤45)； (3)小刚出发35min时，即当x=35时， y=-200×35+9000=2000. 答：此时他离家2000m 2.解：(1)6： (2)设l,所在直线对应的函数表达式为y=kx+b, 3