第2章 第7节 一元二次方程及其解法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（甘肃专用）

第7节一元二次方程及其解法 (省卷：6年12考；兰州：3年5考) 教材知识全梳理 知识点①一元二次方程及其解法 概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程 二次项系数一次项系数 般形式 每+每+= 0(a,b,c为常数，a≠0) 二次项一次项常数项 直接开平方法 适用于形如x2=p或(x+n)?=p(p≥0)的一元二次方程 适用于二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程 解题步骤：(1)变形：将二次项系数化为1： (2)移项：使方程左边只含二次项和一次项，右边是常数项： 配方法 (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程配方成(x+m)2= n的形式； (4)求解：利用直接开平方法解方程 适用于所有一元二次方程，当b2-4ac≥0时，实数根为x=① 【温馨提示】 解法 公式法 1.公式法求解时一定要先把方程化为一般形式； 2.确定a,b,c的值时注意符号 适用于：(1)常数项为0，即形如a2+bx=0(a≠0)的一元二次方程； (2)一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程 解题步骤：(1)将方程左边分解因式； 因式分解法 (2)令每个因式为0，得到两个一元一次方程； (3)解这两个一元一次方程 【温馨提示】 方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式 知识点2 一元二次方程根的判别式 般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“△” 概念 来表示它，即△=b2-4ac 根的情况与 (1)b2-4ac>0台→一元二次方程有两个② 的实数根； 判别式的 (2)③ 一元二次方程有两个相等的实数根； 关系 (3)b2-4ac<0曰一元二次方程④ 实数根 知识点3)一元二次方程根与系数的关系 b 一元三次方程a+bx+c三0(a0)的两个实数根，则+，三 15 甘肃考点系统练 考点1一元二次方程及其解法（省卷：6年9 5.（2024兰州)关于x的一元二次方程9x2-6x+c 考；兰州3年2考) =0有两个相等的实数根，则c= ⊙针对训练 A.-9 B.4 C.-1 D.1 1.用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是 6.(2025省卷)关于x的一元二次方程3x2-6x+m =0有两个实数根，则m的取值范围是() ( A.m<3 B.m≤3C.m>3D.m≥3 A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6 7.（2025兰州)若关于x的一元二次方程x2+2x+ C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6 a=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是 2.已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0 () 的一个根，则m的值为 A.3 B.2 C.1 D.0 A.0 B.-1 C.2 D.-1或2 8.（2023兰州)关于x的一元二次方程x2+bx+c= 3.(人教九上习题改编)选择合适的方法解下列 0有两个相等的实数根，则b2-2(1+2c)= 一元二次方程： (1)(x-2)2=5; A.-2 B.2 C.-4 D.4 (2)x2-4x-3=0: ◆拓展训练 (3)x2+3x+1=0: 9.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x=3 (4)2x(x-3)+x=3. 有实数根，则m的取值范围是 () 2 A.m≥ 3 B.m<。 3 2 C.m>3且m≠1 D.m≥。且m≠1 3 反思归纳 使用根的判别式时要注意： 1.确认方程是否是一般形式； 2.若所给方程的二次项系数含有字母，注意二次 项系数不能为0这一隐含条件； 3.方程有实数根包括“有两个不相等的实数根” 和“有两个相等的实数根”两种情况 考点3一元二次方程根与系数的关系 考点2一元二次方程根的判别式（省卷：6 ⊙针对训练 年3考；兰州：3年3考) 10.(北师九上习题改编)已知一元二次方程x2- 4.(2024兰州一诊)一元二次方程x2-5x+5=0的 3x-8=0的两个实数根为1，x2· 根的情况为 (1)x12= A.无实数根 (2)x1+x2= B.有两个不相等的实数根 (3)x+x= C.有两个相等的实数根 11 (4)-+ D.不能判定 x12 16“教材知识全梳理”参考答案 第一章数与式 第11节函数及其图象 第1节实数 ①x≠1②x≥1③x>1 ①-a ②0③0④1 ⑤1⑥±√a ⑦a 第12节一次函数的图象与性质 ①<②=③一、三 ⑧a ⑨大①1 ⑩ ④=三四⑤20 ⑥(0，b)⑦-m⑧-m 第2节二次根式 第13节反比例函数的图象与性质 ①≥②a③a·√b ④a ①k>0②二、四③减小④增大 第3节代数式与整式 第14节二次函数的图象与性质 ①和②常数项③a+b+c④a-b-c ⑤am+n ①减小②增大③增大④减小⑤小 ⑥am-n⑦am⑧a"b"⑨6ab30ma+mb+mc ⑥大⑦y=a(x-m)2+b(x-m)+c ①am+an+bm+bn②4a2xBa+b ⑧y=a(x-h-m)2+k⑨y=ax2+bx+c-m 第4节分式 ⑩y=a(x-h)2+k-m ①B≠0②A=0且B≠0③生C ④ctad 第15节整合—函数的实际应用 ac 第四章三角形 564 第16节线段、角、相交线与平行线 第二章方程（组）与不等式（组） ①BC②AC ③AB( ⑤90°⑥180 第5节一次方程（组)及其解法 ⑦∠8⑧对顶角相等⑨互为邻补角的两个角 ①b±c②e③2 之和等于180° 0ㄥ7①ㄥ5②ㄥ8 第7节一元二次方程及其解法 第17节一般三角形 ①-btVB-4ac ②不相等③b2-4ac=0④无 ③90° 2a 第8节一元一次不等式（组）及其解法 第18节特殊三角形 ①>②>③<④x≤b⑤无解 ①.ah ③h④ 第三章函数 2 4 第10节平面直角坐标系 第19节全等三角形 ①<②<③>④0⑤0⑥(0,0) ⑦纵 ①相等②相等③相等 ④相等⑤三边 ⑧横⑨-yB⑩Ixl①lyp-yn ⑥夹角⑦夹边⑧对边 105 第20节相似三角形（含位似） 第六章圆 ①bc②生4 第26节圆的基本性质 ③相似比④相似比的平方 ①BD②CD③AB(答案不唯一)④ADB(答 ⑤两角⑥夹角⑦相似比⑧相似比的平方 案不唯一)⑤∠AOB(答案不唯一) 第21节锐角三角函数 ⑥∠BDC⑦圆心 ⑧1 ⑨180°⑩∠D ① ③ ④ ⑤ ⑥5 ⑦6 2 第27节与圆有关的位置关系 ①>②= ③<④>⑤=⑥<⑦PB ⑧南偏东60° ⑧∠BPO 第五章 四边形 第28节与圆有关的计算 第22节平行四边形与多边形 ①2πr ②m ③mr2 ④mr3 180 360 ①平行且相等②相等③互补④相等 第七章图形的变化 ⑤平行且相等⑥(n-2)·180°⑦360° 第30节投影与视图 ⑧n-2)·180° ⑨3600 ①长②高③宽 n 第31节图形的对称、平移与旋转 第23节矩形 ①全等②垂直平分③相等④垂直平分 ①直角 ②相等③直角 ⑤距离⑥相等⑦相等⑧旋转角⑨相等 第24节菱形 ⑩旋转角①相等 第八章统计与概率 ①相等②垂直 3相等时 第32节统计 第25节正方形 ①最中间②平均数③最多④1⑤360° ⑥1⑦频数 ①相等②直角③垂直平分 ④相等⑤垂 第33节概率 直 ⑥直角⑦相等⑧】 ①1②0③m④p n 106课堂精讲册 第一章数与式 2x (x-1)2 第1节实数 (x+1)(x-1) 2x 1.D2.-109073.(1)①②3④⑤：(2)③⑤：(3)④ =-1 x+1 4B5.D6(1)-1:(2)2(3)27.C8D 当x=-1,0,1时，原分式无意义， .x=2 9.(1)5×10°；(2)7×103；(3)6.7×103：(4)5×10-1 10.C11.±2，-312.A13.B14.D 当=2时原大行 15解.a)层号：(2)V10>3,3) 第二章方程（组）与不等式（组） 22 第5节一次方程（组）及其解法 16.D17.8 1.C 18.原式=3-√2. 2.(1)x=2. 19.原式=√2. (2)x=1. 20.原式=2. 答案不唯一) 第2节二次根式 y=2 1.3(答案不唯一)2.C3.B 4原方程组的解为红=3， 4.原式=5. (y=-2. 5.原式=0. 5原方程组的解为=3 (y=0 6.原式=√5. 7.原式=62， 《茶方理的解为日 8.原式=√2 第6节分式方程及其解法 9.原式=5 1.B2.-1 10.解：（√7）=17,16<17<25， 3.原分式方程的解是x=2. 4.原分式方程的解是x=-6. .√16<√17<√25， 5.(1)3:(2)-2;(3)-2或8 4<√7<5， 第7节一元二次方程及其解法 .√7在4和5之间. 1.C2.B 第3节代数式与整式 3.(1)x1=2+W5,x2=2-√5. 1.(1)2a+5:(2)(5m+10n);(3)(0.8b-10) (2)x1=2+7,x2=2-√7 2.(1)5:(2)-13.(1)-2,3;(2)5,-14.D5.D 6.原式=3a-4. （3%,=3535 2 2 7.原式=2a+b, 当a=2,b=-1时，原式=3. (4)x1=3,x=-2 8.A9.A10.(x-3)211.2(x+1)212.2(x+2)(x-2) 4.B5.D6.B7.D8.A9.D 13.(x-5y)(x+5y) 第4节分式 10.(1)-8:(2)3:(3)25,(4)8 1.x≠22.13.①②4.D5.A 第8节一元一次不等式（组）及其解法 6.原式=1. 1.③④ 7原式、6 2.(1)x<-7:(2)x≥1. "atb 3.原不等式组的解集为-4≤x<5. 8原式品 4原不等式组的解集为3<7， 当a4时原式受 5.原不等式组无解 6.原不等式组的解集为-2≤x<3, 9. 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 10.解：原式= x-1+x+1(x-1)2 (x+1)(x-1)2x -5-4-3-2-1012345 2