24.1 圆的有关性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 宁夏专版）

当堂练习 1,A2.C3.C4.等边三角形5.解：∠B与∠F相等.理由如下：：将△ABC以点 C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC,∴∠B=∠DEC.:AF∥BE,∠F= ∠DEC,.∠B=∠F. 23.2.3关于原点对称的点的坐标 知识梳理 (-x,-y) 当堂练习 1.C2.C3.C4. 1 5.解：(1)如图，△ABC1即为所求，其中点C1的坐标为 (-2,-1): (2)如图，△A2B2C即为所求. 2-O123456 -5 -6 23.3 课题学习 图案设计 当堂练习 1.C2.D3.D4.D5.D 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识梳理 ②任意两点 直径目两点间的部分半圆优弧劣弧④等圆等弧 当堂练习 1.B2.B3.10°4.535.22 24.1.2垂直于弦的直径 知识梳理 ①轴直线②平分平分垂直平分 当堂练习 1.B2.A3.过圆心的直线圆心4.65.解：过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥CD 于点F,连接OD,0B,则AE=BE=AB=×4=2,DF=CF=2CD=合X4=2。 在Rt△OBE中，由勾股定理，得OE=√OB-BE=√（√5）2-22=1.同理可得OF= 1.AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠EPF=∠PEO=∠OFP=90°，∴.四边形OEPF 为矩形，∴.OE=PF=1.在Rt△OFP中，由勾股定理，得OP=√OF十PF=√I+1 =√2 24.1.3弧、弦、圆心角 知识梳理 ①圆心②相等相等 当堂练习 1.B2.A3.67.5°4.①②③④5.证明：DE∥AB,CO⊥AB,∴DE⊥C0.D 是CO的中点，.DE垂直平分CO,.CE=OE.又OE=OC,.OE=OC=CE, △COE是等边三角形，∴.∠COE=60°.，CO⊥AB,∴.∠COB=90°，.∠EOB=90° ∠COE=90°-60°=30°，∴∠C0E=2∠EOB,.EC=2BE 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 知识梳理 ①圆上相交②一半③相等④直角直径 当堂练习 1.C2.A3.B4.D5.0°<∠P0C<110°6.4 第2课时圆内接四边形 知识梳理 圆内接多边形外接圆互补 当堂练习 1.C2.B3.B4.D5.1609 第46页（共48页） 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 知识梳理 ①d>rd=rd<x②不在同一条直线上外接圆外接圆的圆心外心③假 设命题的结论不成立所作假设不正确原命题成立 当堂练习 1.C2.B3.在△ABC中，最多有一个锐角4.点P在⊙O内或⊙O上5.解：易得 OA=√OD十AD=√6+6=6V2,OB=√OD+BD=√6+8=10，OC= √OD+CD=√62十(53)2=√1I.又：OA<r,OB=r,OC>r,∴.点A在⊙0内， 点B在⊙O上，点C在⊙O外. 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 知识梳理 ①相交割线相切切线切点相离②d<rd=rd>r 当堂练习 A2.D3.2cm或8cm4,3<≤4或r=号5，解：过点0作0DLAB于点D 1 :∠A=90,∠C=60°，∠B=30.B0=x,.0D=2x令2x=2,得x=4.当0< x<4时，AB所在的直线与⊙O相交；当x=4时，AB所在的直线与⊙O相切；当x>4 时，AB所在的直线与⊙O相离. 第2课时切线的判定与性质 知识梳理 ①垂直于这条半径②过切点的半径 当堂练习 1.A2.A3.49°4.44°5.证明：AB是⊙O的直径，.∠ACB=∠ACD=90°. :点F是DE的中点，.CF=EF=DF,.∠AEO=∠FEC=∠FCE.:OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC..OD⊥AB,.∠OAC+∠AEO=90°，.∠OCA+∠FCE=90°，即 ∠OCF=90°，即OC⊥FC.OC是⊙O的半径，∴.CF是⊙O的切线. 第3课时切线长定理和三角形的内切圆 知识梳理 ①相等平分②内切圆角平分线的交点 当堂练习 1.D2.D3.A4.219°5.解：(1)PA,PB切⊙O于点A,B,CD切⊙O于点E, .PA=PB=6,ED=BD,CE=AC,,.△PCD的周长为PD十DE十PC+CE= 2PA=12:(2)连接OE,OA,OB.PA,PB切⊙O于点A,B,CD切⊙O于点E, .∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°，∴.∠AOB+∠P=180°，∴.∠AOB=180 -∠P=180°-50°=130°.易得∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD,.∠COD=∠EOC +∠B0D=号（∠A0E+∠EOB)=∠A0B=合X130=65. 24.3正多边形和圆 知识梳理 ①相等相等②中心半径中心角边心距 当堂练习 1.D2.B3.解：(1)108°(2)△AMN是正三角形.理由如下：连接ON,NF.由题意 可得FN=ON=OF,∴.△FON是等边三角形，.∠NFA=60°，∴∠NMA=60°，同理 可得∠ANM=60°，∴.∠MAN=60°，∴.△AMN是正三角形；(3)连接OD,OC.正五 边形ABCDE内接于⊙0，∠COD=360°=72，易得AF⊥CD,.∠DOF=36, 5 ∴.∠DON=∠FON-∠D0F=60°-36°=24°.360°÷24°=15，.n的值是15. 24.4弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 知识梳理 02R ②πR2nπR 360 9多R 当堂练习 1.B2.B3.π4.解：(1)：∠COA+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∴.∠COA OA=OB, =∠BOD.在△OCA和△ODB中，∠COA=∠DOB,..△OCA≌△ODB(SAS), OC=OD, ∴.AC=BD:(2)由(1)知△OCA≌△ODB,∴.SAOCA=S△oDB,.S阴影=S前形onB一Sm形0cD =90-R-90C=年(R-P). 360 360 第47页（共48页） 第2课时圆锥的侧面积和全面积 知识梳理 ①扇形半径弧长侧面积底面圆的面积 当堂练习 1.C2.A3.A4.D5.216°6.102 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 25.1.1随机事件 当堂练习 1.D2.B3.C4.D5.蓝 25.1.2概率 当堂练习 1.c2.C3.A4.号5.-6号7. 1 25.2用列举法求概率 第1课时用列表法求概率 当堂练习 1.A2.C3. 1 6 4.解：(1)③(2)根据题意，列表如下： 小明 A B C D 小涵 A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 由表可以看出，可能出现的结果有16种，并且它们出现的可能性相等，其中小明和小 涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产的结果有4种，即(A,A),(A,B),(B, A),(B,B),所以P(小明和小涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产)=着 = 第2课时用树状图法求概率 当堂练习 1.A2.C3.B4. 6 5.解：我会选择转盘A.理由如下：根据题意，可以画出如下 的树状图：转盘A 9 由树状图可以看出，所有可能出现的结果 转盘B348348348 共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中转盘A上的数字大于转盘B上的数字的 结果有5种，转盘A上的数字小于转盘B上的数字的结果有4种，所以P(选转盘A 赢)=号，P(选转盘B赢)=告.因为号>号，所以我会选择转盘A6,解：1) (2)将4部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为A,B,C,D.根 据题意，可以画出如下的树状图：人 R由树状图可以看出，所有 BCDACDABDABC 可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中《九章算术》和 《孙子算经》的结果有2种，所以P(恰好选中《九章算术》和《孙子算经》)=2=6 21 7.解：(1)4 (2)根据题意，可以画出如下的树状图：小西 小幸态&在杰 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，其 中小西和小安抽到不同题目的结果有12种，所以P(小西和小安两名同学抽到不同题 123 目)=16=41 25.3用频率估计概率 当堂练习 1.D2.123.8004.解：(17(2)根据题意，得号×10%=40%，解得m=23. 第48页（共48页）第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识梳理 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. ②连接圆上 的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做 3圆上任意 叫做圆弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧都叫做 大于半圆的弧叫做 ,小于半圆的弧叫做 ④能够重合的两个圆叫做 ·在同圆或等圆中，能够互相重合的孤叫做 当堂练习 1.下列语句不正确的有 ( ①过圆上一点可以作无数条圆中最长的弦；②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心 的距离都相等；④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，图中弦的条数有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 D (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于 点D,则∠ACD的度数为 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过 AB的中点D,则AC的长为 5.如图，点D,E分别在△ABC的边BC,AB上，过A,C,D三点的圆的圆心为点E,以点D 为圆心的圆过点B,E.如果∠A=57°，那么∠ABC的度数为 ·28· 24.1.2垂直于弦的直径 知识梳理 ①圆是 对称图形，任何一条直径所在 都是圆的对称轴. ②垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条孤： 当堂练习 1.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论不一定正确的是 A.CE-DE B.AE-OE C.BC=BD D.△OCE≌△ODE D B D (第1题图) (第2题图) (第4题图) 2.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB),点O是这段弧所在的圆的圆心，AB=40m,点 C是AB的中点，点D是AB的中点，且CD=l0m,则这段弯路所在圆的半径为( A.25m B.24m C.30m D.60m 3.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 ;圆是中心对称图形，对称中心 为 4.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G,B,F,E,GB=8cm,AG=1cm, DE=2cm,则EF的长为 cm. 5.如图，在半径为√5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=4. 求OP的长， D ·29· 24.1.3弧、弦、圆心角 知识梳理 ①顶点在 的角叫做圆心角. ②弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦也 ;在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量也都相等. 当堂练习 1.如图，下列各角是圆心角的是 A.∠ABC B.∠AOB C.∠OAB D.∠OBC B (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在扇形OAB中，∠AOB=100°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 AB上的点D处，折痕交OA于点C,则AD所对的圆心角的度数为 A.40° B.50 C.60° D.70° 3.如图，在⊙O中，AB=AC,∠A=45°，则∠B的度数为 4.如图，C,D为半圆的三等分点，AB为直径，则下列说法：①AD=CD=BC;②∠AOD= ∠DOC=∠BOC;③AD=CD=BC;④△AOD沿OD翻折能与△COD重合.其中，正确 的有 ·(填序号) 5.如图，在⊙O中，AB是直径，COLAB,点D是CO的中点，DE∥AB. 求证：EC=2BE. ·30· 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 知识梳理 ①顶点在 ,并且两边都与圆 的角叫做圆周角. ②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ③同弧或等弧所对的圆周角 ④半圆（或直径）所对的圆周角是 ;90°的圆周角所对的弦是 当堂练习 1.如图，在⊙O中，点A是BC的中点，∠ADC=24°，则∠AOB的度数是 A.24° B.269 C.48 D.66° (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是点E,∠CAO=22.5°，OC=6,则CD的长 为 ( A.6√2 B.3√2 C.6 D.12 3.如图，A,B,C是⊙O上的三点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是 A.35° B.55 C.60° D.70 4.如图，BC是半圆O的直径，D,E是BC上两点，连接BD,CE并延长交于点A,连接OD, OE.如果∠DOE=40°，那么∠A的度数为 ( A.35° B.40° C.60 D.70° D B 5 (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图，△ABC内接于⊙O,点P是AC上的任意一点（点P不与点A,C重合），∠ABC= 55°，则∠POC的取值范围是 6.如图，AB是⊙O的直径，AB=8,点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中点，P是直 径AB上的一动点，则点P到点M,N的距离之和的最小值为 ·31· 第2课时圆内接四边形 知识梳理 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做 ,这个 圆叫做这个多边形的 ·圆内接四边形的对角 当堂练习 1.如图，等边三角形ABC的顶点A在⊙O上，边AB,AC与⊙O分别交于点D,E,点F是 劣弧DE上一点，且与D,E不重合，连接DF,EF,则∠DFE的度数为 ( ) A.115° B.1189 C.120° D.125° D B C (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接OB,OD,BD.若∠C=110°，则∠OBD的度数 是 ) A.15° B.20 C.25 D.30° 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,F是CD上一点，且DF=BC,连接CF并延长交AD的 延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为 ( ) A.45° B.50° C.55° D.60° 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AE⊥CB,交CB的延长线于点E.若BA平分∠DBE, AD=5,CE=√13，则AE的长为 ( A.3 B.3√2 C.45 D.23 EB (第4题图) (第5题图) 5.如图，在⊙O中，点A,B,C在⊙O上，且∠ACB=100°，则∠α的度数为 ·32·