弧、弦、圆心角 典型题型归纳 专项练习（二）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

弧、弦、圆心角典型题型归纳专项练（二） 五、用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明 16.如图，点A、B、C、D都在O0上.若AD=BC,求证：AC=BD. B D 17.如图，⊙0的弦AB、CD相交于点P,且AB=CD.求证AP=CP. D 18.如图，在O0中，弦AC,BD相交于点E,AB=BC=CD,求证：AC=BD, D 19.如图，在O0中，AC=CB,CD⊥OA于D,CE⊥0B于E,求证：OD=OE. B E 20.如图，AB,AC是⊙0的弦，AB=AC,0D,OE是⊙0的半径，且AB∥0D,AC∥0E,求证： BD=CE. 六、圆心角的进一步认识 21.如图，圆O为ABC的外接圆，其中点D在弧AC上，且0D⊥AC,若∠A=36°，∠C=60°，则 ∠BOD的度数为() D o B A.132 B.144° C.156 D.162° 22.如图，己知∠AOB,求作∠B0C,使∠B0C=∠A0B. A M、E B 作法：(1)以点O为圆心，任意长为半径作MN,分别交OA,OB于点E,F,连接EF: (2)以F为圆心，EF的长为半径作弧，交MN于点C,连接FC,EC; (3)作射线0C,∠BOC即为所求作的角.下列结论正确的个数是() ①作图构造。E0F≌△C0F的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； ②EC=2EF;③∠A0C=4LCEF;④△EOC是等腰三角形. A.1 B.2 C.3 D.4 七、利用弧、弦、圆心角的对称性求最值 23.如图，AB是O0的直径，AD⊥AB于点A,OD交O0于点C,AE⊥OD于点E,交O0于点F, F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE+PF的最小值是() C A B A.4 B.2√7 C.6 D.45 24.如图所示，MN是⊙0的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AN的中点，点B是点B关于 MN所在直线的对称点，⊙0的半径为1，则AB的长为() A M A.1 B.√2 C.5 D.2 八、圆心角的有关计算与证明 25.如图，在O0中，半径OC,OD分别交弦AB于点E,F,且OE=OF. B D (1)求证：AE=BF; (2)求证：AC=BD. 26.如图，在⊙O中，弦AD=BC,OE⊥AB于E,OH⊥BC于H. E A (1)求证：AB=CD. (2)若⊙0的半径为5，CD=8,求OE的长 27.(2025九年级上全国.专题练习)如图，MN是⊙0的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧 AN的中点，点P是直径MN上一动点.若MN=22,AB=1,则△PAB周长的最小值是 B M O P 28.(24-25九年级下·江西九江·期中)如图，ABC内接于O0,AB=AC,请仅用无刻度直尺，分别在下 列图中画出∠ABC的角平分线.（保留画图痕迹） A D 0 C 图1 图2 (1)如图1，点D是弧AC的中点； (2)如图2，点E是弦AB的中点. 答案 五、用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明 16.证明：AD=BC, ·AD+CD=BC+CD' AC=BD, :AC BD. 17.证明：连接AC, B AB=CD, AB=CD 4B-AC=CD-AC, 即AD=BC, .∠C=∠A, .AP CP 18证明：：AB=BC=CD, AB+BC=CD+BC, ·ABC=DCB, :AC=BD. 19.证明：连接0C. AC=CB, ∠A0C=∠B0C, :CD⊥OA,CE⊥OB, .LCD0=LCE0=90°. 又：0C=0C, ∴△CDO≌△CEO AAS), 0D=0E. 21.证明：连接OB,0C,OA, D 0 E 在AOB与△AOC中， AB=AC OA=OA, OB=OC ∴△A0B≌aAOC(SSS, ∠AB0=∠AC0, :AB∥OD,AC∥OE, ∠ABO=LBOD,∠AC0=∠COE, ·LBOD=LCOE, :BD=CE. 六、圆心角的进一步认识 21.解：连接0A、0C, B :∠ACB=60°， .∠A0B=2∠ACB=2×60°=120°. :∠BAC=36°， .∠B0C=2∠BAC=2×36°=72°. :OD⊥AC, AD=CD, :∠AOD=∠COD=∠A0C. 2 :∠A0C=360°-∠A0B-∠B0C=360°-120°-72°=168°， .∠AOD=∠COD=×168°=84°. .∠A0B+∠A0D=120°+84°=204°， .∠B0D=360°-∠A0B-∠A0D=360°-204°=156°. 故选：C. 22.解：由作图可得0E=OF=0C,FC=FE, △EOF≌△COF(SSS,故①错误； :△E0F≌aC0F, .∠E0F=LFOC, EC=2EF,故②正确； :∠C0F=2LCEF, .∠AOC=4∠CEF,故③正确； :0E=0C, .△E0C是等腰三角形，故④正确： 故选：C. 七、利用弧、弦、圆心角的对称性求最值 23.解：如图，延长DO交⊙O于点M,连接PM,PF,OF,PE D E P M :AE⊥OD于点E,交O0于点F,F为弧BC的中点， ∴AC=CF=BE ∴.∠A0C=∠COF=∠BOF, :∠A0C+∠C0F+∠B0F=180°， ∠A0C=∠C0F=∠B0F=60°， ∠B0M=∠A0C=60°=∠B0F, .点F关于AB的对称点为点M, ∴PM=PF, .PE+PF=PE+PM≥EM· 当E,P,M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长， ∠A0C=60°，AD⊥AB, ∠D=30°， .0D=20A, CD=4, 0D=0C+4=20A=20C,即0C=4, .0C=0A=0B=0M=0F=4, :AF⊥0C,∠A0C=60°， ∠0AE=30°， .0E=50A=2, PE+PF的最小值EM=OE+0M=2+4=6. 故选：C. 24.解：如图，连接OB、0B′， M B 由题意可得，∠AON=60°， :点B是AN的中点， AB =BN ·∠A0B=∠B0N=30°， :点B是点B关于MN所在直线的对称点， ·B'N=BN :∠B'0N=∠B0N=30°， :∠B'0A=90°， 又0A=0B′=1， :AB'=V0A2+0B”=V2+12=√5. 故选：B. 八、圆心角的有关计算与证明 25. (1)证明：过O作0M⊥AB于M,连接OA、OB, B D :0A=0B,OE=OF, .AM=BM EM FM :AM -EM BM FM, .AE BF; (2)证明：0M⊥AB,0A=0B,0E=OF, .∠AOM=∠BOM,∠EOM=∠FOM, ∴∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM, ∴∠A0C=∠B0D, :AC=BD. 26.(1)证明：：AD=BC, ..AD=BC. AD+BD=BC+BD, 即AB=CD, :AB=CD (2)解：连接OB, E A C AB=CD=8,OE⊥AB, ∴.AE=EB=4 :0E=V0B2-BE2=3. 27.解：如图，作点A关于MN的对称点A,连接A'B,交MN于点P,连接OA',OA,OB,PA,AA'. M O :点A与A关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， .∠A'0N=∠A0N=60°，PA=PA', :点B是劣弧AN的中点， .∠B0N=30°， .∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90°， :MN=2√2， .OA=OA=OB=√2， .AB=V0B2+0A2=2. .PA+PB=PA'+PB=A'B=2. .△PAB周长的最小值=PA+PB+AB=2+1=3, 故答案为：3. 28.(1)解：如图1中，射线BD即为所求：