精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学实验学校2025--2026学年上学期期中考试数学试卷

牛栏山第一中学实验学校初三上期中考试 数学试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 第七届中国国际进口博览会于11月5日在国家会展中心（上海）开幕．自首届以来，进博会持续打造全球新品首发地、前沿技术首选地、创新服务首推地，前六届进博会已展出近2500项代表性首发新产品、新技术、新服务，累计意向成交额超过4200亿美元．4200亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知 （），则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 3 7. 已知点、、在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过点，将抛物线在x轴下方的部分沿着x轴向上翻折后，得到新的图象记作G，图象G与直线的交点个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 分解因式：______． 10. 在反比例函数的图象每一条分支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是________． 11. 如图，D、E分别是的边、上的点，，如果，那么的值等于______． 12. 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则___________（填“>，＜，或=”）． 13. 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ____________． 14. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数图象交于点P与点Q，已知点P坐标为，则点Q坐标为______． 15. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，若的面积为27，则图中阴影部分的面积是______． 16. 四位同学在研究二次函数（）时，对函数的图象及性质进行了如下描述： 甲同学：函数的最小值为； 乙同学：当时，； 丙同学：是一元二次方程（）的一个根； 丁同学：函数图象的对称轴是直线； 已知这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是____________________． 三、解答题（共68分，17、18、19、20、22、24每题5分，21、23、25、26每题6分，27、28每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中x满足． 20. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上点，且BE＝BD． （1）求证：； （2）若BD＝1，CD＝2，求的值． 21. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像和都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为． （1）若反比例函数的图象经过点B，求此反比例函数的解析表达式； （2）若将向下平移个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值． 22. 如图，已知足球球门高米，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处击球，击球点A距离地面米．在足球运行时，球的运动路线是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为x（米），足球与地面的高度为y（米），得到如下数据： x（米） 0 2 3 4 5 6 y（米） （1）根据数据，球射出______米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线的表达式； （2）如图，当击球员第二次击球时，后退1米到点，球的运动路线保持形状和最大高度都不变，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，守门员跳起后手距离地面的最大距离为米，则守门员是否可以拦截到球？ 23. 如图，，射线于点，是线段上一点，是射线上一点，且满足. （1）若，求的长； （2）当的长为何值时，的长最大，并求出这个最大值. 24. 2022年2月20日晚，北京冬奥会在国家体育场上空燃放的绚丽烟花中圆满落幕，伴随着北京冬奥会的举行，全国各地掀起了参与冰上运动、了解冰上运动知识的热潮，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并随机从七八两个年级各抽取30名同学的数据（成绩） 进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息： a．七年级测试成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90）： b．七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是： 70 72 73 75 76 77 78 78 c．七、八两个年级测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 71.1 m 80 八年级 72 73 73 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）抽取的测试成绩中，七年级有一个同学A的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B的成绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是 　　，理由是 　　． （3）若七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有多少人． 25. 数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）．    某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含x的代数式表示长方体的高为． 根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积，得到y与x的关系式：______； （2）列出y与x的几组对应值： … … a （说明∶表格中相关数值精确到） 则______； （3）在下面的平面直角坐标系中，描出补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为______dm时，需要的材料最省．（精确到0.1） 26. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求a； （3）点M与N都在该抛物线上，设点，，其中，若，求m的取值范围． 27. 如图，在中，，，点D在边上，将射线绕点B逆时针旋转得到射线，过点D作于E，延长到F，使，连接． （1）依题意，补全图形，判断线段与的位置关系与数量关系，并证明； （2）若H为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“合作点”． （1）已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，点，点是点A，B的“合作点”，试求出T中y关于x的函数表达式； （3）把（2）中y关于x的函数图象向上平移3个单位得到新函数图象G，设新函数G的图象与y轴交于点C，直线上总有点D，使得点C，D的“合作点”T落在新函数G的图象上，求出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牛栏山第一中学实验学校初三上期中考试 数学试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 第七届中国国际进口博览会于11月5日在国家会展中心（上海）开幕．自首届以来，进博会持续打造全球新品首发地、前沿技术首选地、创新服务首推地，前六届进博会已展出近2500项代表性首发新产品、新技术、新服务，累计意向成交额超过4200亿美元．4200亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的概念，将4200亿转换为科学记数法，需先确定数值为，再表示为形式，其中． 【详解】解：∵1亿， ∴亿， ∴用科学记数法表示为 故选：B． 2. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是根据对应点的位置得出，然后依次判断每个选项即可． 【详解】解：根据实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知：， A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项错误，不符合题意； D．，选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 已知 （），则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间关系，进而得出答案． 【详解】解：A、，可以化成：，故此选项不合题意； B、，可以化成：，故此选项符合题意； C、，可以化成：，故此选项不合题意； D、，可以化成：，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键． 4. 若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角与它对应的内角互补的性质，根据正多边形的外角与它对应的内角互补，得到这个正多边形的每个外角，再根据多边形外角和为360度即可求出边数． 【详解】解：∵一个正多边形的每个内角为， ∴这个正多边形的每个外角， ∴这个正多边形的边数． 故选：D． 5. 不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法求概率，通过列表法列出所有等可能的结果，再找出两次摸出的球都是白球的结果，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （红，白1） （红，白2） 白1 （白1，红） （白1，白1） （白1，白2） 白2 （白2，红） （白2，白1） （白2，白2） 由表格可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有4种，所以两次摸出的球都是白球的概率为， 故选：A． 6. 如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握好平行证相似的方法是解题关键． 由平行四边形的性质，容易证出，从而得到，代入数值即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 7. 已知点、、在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，当时；且在时，由于，函数随增大而增大。结合，可判断，且，故． 【详解】解：∵反比例函数， 当时，；当时，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 又∵，且函数在时，随增大而增大（因）， ∴， 综上，． 故选：D． 8. 已知抛物线经过点，将抛物线在x轴下方的部分沿着x轴向上翻折后，得到新的图象记作G，图象G与直线的交点个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，抛物线的翻折变换及直线与抛物线的交点问题．原抛物线与x轴交于和，顶点为，将x轴下方部分翻折后，图像G由两部分组成：当或时，y等于原抛物线值；当时，y等于原抛物线值的相反数，求G与直线的交点个数，需分段求解方程． 【详解】解：设原抛物线为，直线， ①当（即或）时，新的图象表达式与原抛物线表达式相等，即： 设：，解得：或， ∵，， ∴当时，，当时， ∴有两个交点； ②当（即）时，： 设：解得：或， ∵不在区间内（舍去），在区间内，且当时，， ∴有一个交点， 综上，图象G与直线共有3个交点． 故选：C． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】原式先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 10. 在反比例函数的图象每一条分支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是________． 【答案】k＜1 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k的范围． 【详解】由题意可知：k-1＜0， ∴k＜1. 故答案为k＜1． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型． 11. 如图，D、E分别是的边、上的点，，如果，那么的值等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定是解题 关键，通过证明，利用性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则___________（填“>，＜，或=”）． 【答案】= 【解析】 【分析】本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为． 【详解】解：根据反比例函数的性质，，所以． 13. 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 14. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数图象交于点P与点Q，已知点P坐标为，则点Q坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象与性质，由于点P是正比例函数与反比例函数的交点，其坐标满足两个函数解析式，代入点P的坐标可求出参数n和m，然后联立两个函数方程，解出另一个交点Q的坐标． 【详解】解：将点代入正比例函数，得：，解得：， 将点代入反比例函数，得：，解得：， 联立两个函数方程：， 解得：或，其中对应点P， ∴点Q的横坐标为，代入正比例函数求纵坐标：， ∴点Q坐标为． 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，若的面积为27，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 由题意可知，，且相似比为，结合的面积求出和的面积，相减即得答案． 【详解】解：∵矩形平行于， ∴， ∴， ∵被截成三等分， ∴， ∴， ∵的面积为27， ∴， 同理，， ∴阴影部分面积为， 故答案为：9． 16. 四位同学在研究二次函数（）时，对函数的图象及性质进行了如下描述： 甲同学：函数的最小值为； 乙同学：当时，； 丙同学：是一元二次方程（）的一个根； 丁同学：函数图象的对称轴是直线； 已知这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是____________________． 【答案】乙 【解析】 【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立． 【详解】解：函数的最小值为时，可得：，即①， 当时，，可得：②， 是一元二次方程（）的一个根，可得：③， 函数图象的对称轴是直线时，可得：④， 当甲不对时，由②和③联立，得，，不满足④，故不成立． 当乙不对时，由③和④联立，得，，满足①，故成立． 当丙不对时，由①和④联立，得，，不满足②，故不成立． 当丁不对时，由②和③联立，得，，不满足①，故不成立． 综上所述，可得：乙同学的结论是错误的． 故答案为：乙 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、二次函数的图象及性质，能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解本题的关键． 三、解答题（共68分，17、18、19、20、22、24每题5分，21、23、25、26每题6分，27、28每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，包括零指数幂、绝对值的化简、二次根式的化简及负指数幂的计算． 先分别将零指数幂、绝对值、二次根式及负指数幂计算出来后再从左往右按照有理数的加减法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别计算出每个不等式的解集，再取两个不等式的公共部分解集即可． 【详解】解：， 由得：，解得， 展开②得：，解得， ∴不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则混合运算法则． 先根据分式的四则混合运算法则化简，再将变形，然后整体代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上点，且BE＝BD． （1）求证：； （2）若BD＝1，CD＝2，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴∠ ∴ 即∠ 又平分 ∴∠， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠，根据等腰三角形的性质得到∠，由等角的补角相等得到∠，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得 又， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像和都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为． （1）若反比例函数的图象经过点B，求此反比例函数的解析表达式； （2）若将向下平移个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值． 【答案】（1）反比例函数的解析表达式为． （2）m的值为． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与等腰三角形综合问题，根据等腰三角形的性质求解点的坐标是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，结合勾股定理求出点B的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可； （2）同样根据等腰三角形性质及勾股定理求出点C的坐标，用含m的式子表示移动后的点A、C，将移动后的点A、C代入函数表达式即可求出m与k的值． 【小问1详解】 解：过点A作交于点D，如图所示： ∵三角形为等腰三角形，， ∴点D为中点， ∴， ∵，根据勾股定理，解得， ∵点A坐标为，，， ∴点B坐标为， 将点代入，得，解得， 故该反比例函数的解析表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）中已得，，点A坐标为， 故点C坐标为， 平移后的点坐标为，， ∵两点都在函数图像上，则将点、代入函数表达式， 得，解得， 故m的值为． 22. 如图，已知足球球门高米，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处击球，击球点A距离地面米．在足球运行时，球的运动路线是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为x（米），足球与地面的高度为y（米），得到如下数据： x（米） 0 2 3 4 5 6 y（米） （1）根据数据，球射出______米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线的表达式； （2）如图，当击球员第二次击球时，后退1米到点，球的运动路线保持形状和最大高度都不变，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，守门员跳起后手距离地面的最大距离为米，则守门员是否可以拦截到球？ 【答案】（1）4， （2）守门员可以阻挡住球， 理由如下： 由题意可得，后退1米后的解析式为， 即， 又守门员的位置是， 当时，． 守门员可以阻挡住球． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线，从而可得顶点为，进而可以判断当球踢出后4米时，离地面距离最大为3.5米；又可设抛物线为，再将代入计算即可得解； （2）依据题意，可得后退1米后的解析式为，即，又守门员的位置是，再令，，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线， 顶点为． 当球踢出后4米时，离地面距离最大为米． 故答案为：4． 又由题意，可设抛物线为， 且抛物线过点， ． ． 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 略 23. 如图，，射线于点，是线段上一点，是射线上一点，且满足. （1）若，求的长； （2）当的长为何值时，的长最大，并求出这个最大值. 【答案】（1）；（2）当时，的最大值为8. 【解析】 【分析】（1）先利用互余的关系求得，再证明，根据对应边成比例即可求得答案； （2）设为，则，根据，求得，利用二次函数的最值问题即可解决． 【详解】（1）如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）设为，则， ∵（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为8． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数等综合知识，根据线段比例来求线段的长是本题解题的基本思路． 24. 2022年2月20日晚，北京冬奥会在国家体育场上空燃放的绚丽烟花中圆满落幕，伴随着北京冬奥会的举行，全国各地掀起了参与冰上运动、了解冰上运动知识的热潮，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并随机从七八两个年级各抽取30名同学的数据（成绩） 进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息： a．七年级测试成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90）： b．七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是： 70 72 73 75 76 77 78 78 c．七、八两个年级测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 71.1 m 80 八年级 72 73 73 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）抽取的测试成绩中，七年级有一个同学A的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B的成绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是 　　，理由是 　　． （3）若七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有多少人． 【答案】（1）74 （2）同学B；同学A在七年级的排名是第15名，八年级测试成绩的中位数和众数都是73，故同学B在八年级的排名中在第14名或第14名之前 （3）140人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图的数据和七年级测试成绩在70≤x＜80这一组的数据，可求出七年级成绩的中位数m； （2）由题可得同学A在七年级的排名，由八年级测试成绩的中位数和众数都是73，可知同学B在八年级的排名中在第17名或第17名之后，故可推出同学A排名更靠前； （3）根据频数分布直方图的数据和七年级测试成绩在70≤x＜80这一组的数据，可估算出七年级所有学生中成绩不低于75分的人数． 【小问1详解】 解：根据频数分布直方图的数据，可知七年级测试成绩在40≤x＜70的共有1+4+7=12（人）， 七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是： 70 72 73 75 76 77 78 78 ∵七年级抽取的是30名同学的数据， ∴七年级成绩的中位数； 【小问2详解】 根据频数分布直方图的数据，可知七年级测试成绩在80≤x＜90的有10人， 七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是： 70 72 73 75 76 77 78 78 故可得出同学A在七年级的排名是第15名， 由八年级测试成绩的中位数和众数都是73，且八年级抽取的是30名同学的数据， 可知八年级的第15、16名的成绩都是73，故同学B在八年级的排名中在第14名或第14名之前， 故同学B排名更靠前； 【小问3详解】 （人） 故七年级所有学生中成绩不低于75分的约有140人． 【点睛】本题考查的是平时分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，能够综合运用以上知识分析数据是解题的关键． 25. 数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）．    某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含x的代数式表示长方体的高为． 根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积，得到y与x的关系式：______； （2）列出y与x的几组对应值： … … a （说明∶表格中相关数值精确到） 则______； （3）在下面的平面直角坐标系中，描出补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为______dm时，需要的材料最省．（精确到0.1） 【答案】（1） （2） （3） 该函数的图象为所求： （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用长方体的表面积公式建立函数关系，函数值的计算，图象的绘制及函数图象的应用． （1）根据长方体的表面积公式列出对应的关系式并化简即可； （2）将代入（1）中求出的关系式即可得到a的值； （3）根据（2）表格中的数据在平面直角坐标系中标出对应的点的位置，然后再用平滑的曲线连接即可； （4）要使需要的材料最省，即长方体的表面积表面积最小，根据图象观察发现当时需要的材料最省． 【小问1详解】 解：由题意知，长方体的长宽均为，高为， ∴长方体的表面积表示为：， 即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意知，当时，， 故答案为：． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由函数图象可知，要使需要的材料最省，即长方体的表面积表面积最小， 当时，长方体表面积最小， 即长方体包装盒的底面边长约为2.0dm时，需要的材料最省． 故答案为：． 26. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求a； （3）点M与N都在该抛物线上，设点，，其中，若，求m的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括对称轴、顶点在轴上的条件以及函数值比较． （1）直接利用对称轴公式求解； （2）顶点在x轴上时顶点纵坐标为0，代入对称轴横坐标求解a，并结合确定取值； （3）由知抛物线开口向下，点N的横坐标在时，在处最大，故恒成立需，解不等式得m的范围． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 解：∵该抛物线的顶点在x轴上，由（1）知，抛物线对称轴为， ∴抛物线的顶点为， 当时，，整理得：， 解得，（舍去）， ∴． 【小问3详解】 解：∵，抛物线开口向下，对称轴为， 由点N的横坐标取值范围是可知，点N在对称轴右侧，此时函数递减， ∴在时最大，当时，， 要使恒成立，则， 即，化简得：， ∵， ∴，解得， 故m的取值范围为． 27. 如图，在中，，，点D在边上，将射线绕点B逆时针旋转得到射线，过点D作于E，延长到F，使，连接． （1）依题意，补全图形，判断线段与的位置关系与数量关系，并证明； （2）若H为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：补全图形，如图，，且；理由如下， ∵将射线绕点B逆时针旋转得到射线，过点D作于E， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设与相交于点G， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴，且； （2） 解：．理由如下： 延长到点T，使，连接、、、， ∵H为线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意补全图形，证明，即可得到结论； （2）延长到点T，使，连接、、、，证明，推出，，求得，证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“合作点”． （1）已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，点，点是点A，B的“合作点”，试求出T中y关于x的函数表达式； （3）把（2）中y关于x的函数图象向上平移3个单位得到新函数图象G，设新函数G的图象与y轴交于点C，直线上总有点D，使得点C，D的“合作点”T落在新函数G的图象上，求出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按照题干给的定义和例子，进行相加即可； （2）结合抛物线方程，先表示出用含a的代数式表示出b，再根据“合作点”的定义，用含a的代数式表示出点的横、纵坐标，消去a后得到答案； （3）根据函数平移的性质，求出函数G的表达式，进一步求出点C的坐标．设点D的坐标为，根据“合作点”的定义，用含t和m的式子表示出点的坐标．代入函数G的表达式后，化简后得到m关于t的表达式．根据其形式判断出属于二次函数，利用二次函数的性质求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可知，点满足，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 ∵点是抛物线上一点， ∴， ∵点是点A，B的“合作点”， ∴， 将①变形得，， 代入②得，， 【小问3详解】 由函数平移的性质可得，函数G的表达式为， 当时，， ∴点C坐标为， 设点D的坐标为，则点C，D的“合作点”T坐标为， ∵点T落在新函数G的图象， ∴， 变形得，， 根据形式判断为二次函数，其开口向上，对称轴为直线，最小值为， ∴， 【点睛】本题考查新定义，二次函数的表达式，二次函数的图象与性质和平移的性质，熟练掌握二次函数的性质并正确理解题意是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $