专题04 反比例函数、二次函数的相关探索（必备知识+26大题型+分层训练）（期末复习讲义）九年级数学上学期青岛版

专题04 反比例函数、二次函数的相关探索（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念， 函数的表示方法 深入理解函数概念，明确变量单值对应关系，熟练区分解析、列表、图像三种表示法。 多以选择、填空考查概念，判断函数关系及表示法选择，难度较低。 反比例函数图像特征，反比例函数应用 掌握反比例函数图像在不同象限特征，能运用其解决实际问题如利润等。 常结合实际场景，以解答题考查建模与图像性质应用，有一定综合性。 二次函数的图像和性质， 二次函数的标准形式 精准把握二次函数图像开口、对称轴等性质，牢记标准形式及参数意义。 是重点考点，选择、填空、解答均有，结合最值等问题考查性质运用。 二次函数的应用 学会从实际问题抽象二次函数模型，用其性质解决决策类问题并检验结果。 以解答题为主，结合生活实例，考查建模、分析及综合应用能力。 知识点01：函数与它的表示法 1）函数的表示方法：图象法、列表法、解析法 2）图象法的优缺点：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势，不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函数值。 3）列表法的优缺点：列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的函数值，不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值。 4）解析法的优缺点：解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在 可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数 值，不足之处是不够形象直观，而且并不是每一个函数都可写出它的表达式。 5）函数：在同一个变化过程中，有两个变量 x，y 。如果对于变量 x 在可以取值的范围内每取一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。 知识点02：反比例函数 1）反比例函数：一般的，形如 y =（k 是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 2）反比例函数的性质：反比例函数 y = 的图象称作双曲线。当 k > 0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当k < 0 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 3）一般的，从反比例函数 y = 图象上任一点 P，向 x 轴和 y 轴作垂线，以点 P 的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数| k |。 知识点03：二次函数 1）二次函数：一般的，形如 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，且 a≠0）的函数叫做二次 函数。 2）二次函数y=ax 2 +bx+c的自变量x可以取值的范围是全体实数，但在具体问题中，还要结合实际背景确定自变量的取值范围。 知识点04：二次函数的图象和性质 1）二次函数 y = ax2 的图象是抛物线。我们把二次函数 y = ax2 的图象也叫做抛物线y=ax2 ，它的对称轴是y轴。抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 y = ax2 的顶是坐标原点。当 a > 0 时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当 a < 0 时，它的开口向下，顶点是它的最高点。 2）二次函数 y = ax2 + c 的图象是抛物线，它与抛物线 y = ax2 的形状相同，将抛物线 y = ax2 沿 y 轴向上或向下平移 | c | 个单位长度便得到抛物线y = ax 2 + c。当c > 0时，向上平移；当c < 0时，向下平移。 3）二次函数 y = a（x - h）2 + k 的图象是抛物线，它与 y = ax2的图象形状相同，只是位置不同。因此，它可由抛物线 y = ax 2经过平移而得到。二次函数y = a（x-h）2 + k及其图象有如下性质： （1）a > 0 时，开口向上，顶点是图象最低点；a < 0时，开口向下，顶点是图象最高点。 （2）对称轴是经过点（h，0）且平行于y轴的直线x = h。 （3）顶点坐标是（h，k）。 （4）如果 a > 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > h 时，y 随 x 的增大而增大。如果 a < 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > h 时，y 随 x的增大而减小。 4）一般的，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是抛物线，它的对称轴是直 线 x = - ，顶点坐标是 （- ，）。若 a > 0，抛物线的开口向上。当x < - 时，y随x的增大而减小，当x > - 时，y随x的增大而增大，顶点是这条抛物线的最低点。若a < 0，抛物线的开口向下。当x < - 时，y随 x 的增大而增大，当 x > - 时，y 随 x 的增大而减小，顶点是这条抛物线的最高点。 知识点05：确定二次函数的表达式 1)如果已知图象的顶点坐标，把它的表达式写成 y = a（x + h）2 + k 的形式，其中（-h，k）已知，那么只要再知道抛物线上其他一点的坐标便可以利用待定系数法确定系数a的值。 2)在二次函数 y=a x 2 +b x+c 的表达式中，a，b，c 是待定系数，如果已知不共线的三点的坐标将它们分别代入这个表达式，便可得到一个关于a，b，c 的三元一次方程组，解这个方程组，便可确定表达式中的未知系数。这就是说，知道不共线的三点的坐标，便可确定经过这三点的抛物线。 知识点06：二次函数的图象与一元二次方程 1)如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有实根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根；反之，如果二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，那么公共点的 横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的实根。 知识点07：二次函数的应用 1)一般的，因为抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是抛物线的最低（高）点， 所以当 x = - 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）值，最小（大） 值为。 题型一 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例1】（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 【答案】16 【思路引导】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【规范解答】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 【变式】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 【规范解答】（1）解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； （2）解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 题型二 已知比例系数求特殊图形的面积 【例2】（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了反比例函数的图像和性质，k的几何意义，反比例函数和一次函数的交点． 利用反比例函数图像关于原点对称的性质；时在每一象限内，y随x的增大而减小的性质；k的几何意义即可判断正误． 【规范解答】①反比例函数的图象与正比例函数的图象若有交点，一定是两个，且关于原点对称，①正确； ②根据A，B关于原点对称，易知即为A点横纵坐标的乘积，为定值1，②正确； ③，对于，在每一象限内，y随x的增大而减小，当P，Q在同一象限内时，如果，那么，当P，Q不在同一象限内时，如果，那么，故③错误； ④在中，和y轴并不垂直，所以面积不会等于，故④错误； 因此正确的是①②， 故选B． 【变式】（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解． 【规范解答】解：延长交轴于点， 轴， 轴． 点在函数的图象上， ． 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于， 故选：C． 【考点剖析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 题型三 根据图形面积求比例系数（解析式） 【例3】（2025·甘肃武威·一模）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．连接，得到轴，则，由此即可得到答案． 【规范解答】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 【变式】（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【规范解答】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 题型四 一次函数与反比例函数图象综合判断 【例4】（24-25八年级下·四川内江·期末）若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是反比例函数的图像性质与一次函数的图像性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像是解题的关键． 根据一次函数与反比例函数的图像性质进行分析即可． 【规范解答】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、B选项不合题意． ∵， 或， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故C选项不合题意，D选项符合题意． 故选：D． 【变式】（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【思路引导】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【规范解答】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 题型五 一次函数与反比例函数的交点问题 【例5】（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，反比例函数与正比例函数的图像交于和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)12 (3)或 【思路引导】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与不等式，理解反比例函数的图象和性质是解答关键． （1）将点代入中来求解； （2）根据反比例函数和正比例函数的性质求出点B的坐标，再利用对称轴求出点C的坐标，最后利用三角形面积公式求解； （3）根据反比例函数与正比例函数的图像交于和点， 利用图象来求解不等式的解集． 【规范解答】（1）解：把点代入，得， ∴， ∴该反比例函数得解析式为； （2）解：∵与的图像交于点， ∴， 即， ∴ ∵与的图像交于点和点B， ∴， 解得：，， ∴ ∴， ∵点C是点A关于y轴的对称点， ∴， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为或． 【变式】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)4 【思路引导】（1）根据两个函数都过点，利用待定系数法，即可确定、，从而得到函数表达式； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，利用三角形面积的割补法，将的面积转化为与的面积差，结合三角形面积公式计算出结果． 【规范解答】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， ， 一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， ， 点是反比例函数图象上一点， ， 设直线的表达式为， 可得， 解得， 直线的表达式为， 延长DB交y轴于点E， 当时，， ， ， ． 【考点剖析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求一次函数和反比例函数的表达式、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数与坐标轴的交点坐标求法、三角形面积的割补法计算是解题的关键． 题型六 一次函数与反比例函数的实际应用 【例6】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【答案】(1)4，12 (2)8 【思路引导】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、中点坐标公式以及三角形面积的计算．解题的关键是利用点在函数图象上的性质求出未知参数，结合线段相等的条件确定点的坐标，再运用坐标法计算三角形的面积． （1）利用点 A 在一次函数图象上，将其纵坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值． （2）根据 可知 A 是 中点，结合中点坐标公式表示出 C 点坐标；作轴于，交于，利用点E与点C横坐标相同、且点E在一次函数上可求得点E的纵坐标，于是可得的长度，利用求得结果． 【规范解答】（1）把，代入得，，得， ∴，把，代入得，， ； （2）点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是， 把代入得，则． 如图，作轴于，交于，当时，，即， 又，于是， ； 【变式】（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【思路引导】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【规范解答】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 题型七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【例7】（2025九年级下·四川甘孜·专题练习）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查一次函数和反比例函数图象的性质： （1）根据反比例函数的解析式求出A和B的坐标，代入一次函数的解析式求出k和b即可； （2）根据即可求解； （3）数形结合即可求解． 【规范解答】（1）解：点的横坐标是，点A在上， ∴点A的纵坐标为，即， ∵点的纵坐标都是，点B在上， ∴，解得B的横坐标为4，即， 将代入，得， 解得， 一次函数的解析式为：； （2）解：对于， 令，则， ∴ ，， ； （3）解：由图可知，使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的范围是：或． 【变式】（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 【答案】(1)a的值为8 (2)的取值范围为或 (3)点的坐标为或 【思路引导】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用（包括解析式求解、图象与不等式关系）、线段比例的坐标转化（利用共线点坐标比例关系）．解题的关键是：（1）利用反比例函数过已知点求参数，进而求未知点纵坐标；（2）结合两函数交点横坐标与图象位置判断不等式解；（3）通过“共线于原点的点横纵坐标成比例”转化线段比例，结合反比例函数性质求点坐标． （1）将代入反比例函数求，再将代入反比例函数求； （2）根据两交点、的横坐标，观察图象确定反比例函数在一次函数上方时的范围； （3）先求一次函数解析式，设，由得，结合、、共线得的横纵坐标为的，代入反比例函数求，进而得坐标． 【规范解答】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 又∵点在的图象上， ∴将代入，得． ∴a的值为8． （2）解：由（1）知两函数交点为、，观察图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围为或． （3）解：∵一次函数过、， ∴代入得， 用第一个方程减第二个方程：，即， 解得， 将代入，得，即， 解得， ∴一次函数解析式为， 设点的坐标为（，因在线段上）， ∵，且、、在同一直线上， ∴，即， ∵点在上，且为原点， ∴的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的（共线于原点的点，坐标成比例）， ∴的坐标为， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 化简右边：，方程变为， 两边同乘去分母：， 即， 两边除以得， 因式分解：， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时，均在线段上， 故点的坐标为或． 题型八 实际问题与反比例函数 【例8】．（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象及性质见解析 (3) 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据得出，根据相似三角形的性质即可求解． （2）由(1)得，，进而求得解析式，画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）由，，解不等式即可求解． 【规范解答】（1）解∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）由(1)得，， ∴， ∴或， 画出图象如下：    性质：当时，随的增大而减小； （3）由，， 则， 解得， ∴的取值范围为：． 【变式】（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【规范解答】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 题型九 反比例函数与几何综合 【例9】（2025·江西抚州·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，，以为斜边作等腰直角，边交反比例函数的图象于点，的延长线交反比例函数的图象于点，若． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了反比例函数与几何图形综合，待定系数法求反比例函数解析式； （1）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理求得，根据已知得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，进而求得，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）过点作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，设，则得出，代入反比例函数解析式，得出的坐标，进而求得的长，根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，如图所示， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 代入，； （2）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形， 设，则，， ∵在上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴． 【变式】（2025·广东东莞·一模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查的是反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数和的图象上，可得到点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：设， 直线轴， ，B两点的纵坐标都为，而点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， 又点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， ， ． 故答案为：3． 题型十 二次函数的图象和性质 【例10】（2025·上海虹口·二模）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 【答案】 【思路引导】本题考查了图形平移与抛物线，掌握平移的性质以及得出纵坐标相同是解题的关键； 已知和，则平移后的坐标为的坐标为都在抛物线上，且纵坐标相同，可求得，进而求的，即可求得点到点的距离． 【规范解答】解：设沿轴方向平移了个单位，沿轴方向平移了个单位， 则平移后的坐标为的坐标为， 都在抛物线上，且纵坐标相同， ， 解得， 将代入， ， ． 故答案为：． 【变式】（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想．根据函数图象即可判断①②；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，进而对结论③④进行判断． 【规范解答】解：由图象可知，当时，，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线与x轴的交点是和，其中， ∴对称轴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确． 故正确的有3个． 故选：B． 题型十一 待定系数法求二次函数解析式 【例11】（2025九年级下·全国·专题练习）如图①，已知为等边三角形，N为上一点，且，点M从点A出发，沿折线段运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，，当点M由点A运动到点B时，y关于x的函数解析式为，其函数图象如图②所示． 【初步探究】 （1）①______，c的值为______； ②求点Q的坐标． 【深入探究】 （2）经探究发现，当点M由点B运动到点C时，y也是关于x的二次函数，请求出y关于x的函数解析式； 【问题解决】 （3）若存在对应的均相等，求的取值范围． 【答案】（1）①3；1②点Q的坐标为；（2）当点M由点B运动到点C时，；（3） 【思路引导】（1）根据图②的函数图象可知，结合等边三角形的性质可求，再将代入，可求点Q的坐标； （2）过点N作于点E．分别讨论两种情况，当点M在上运动时，设，当点M在上运动时，设．结合含度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，求出二次函数的解析式； （3）将代入，得．并解不等式，求出的取值范围． 【规范解答】解：（1）①由题图②的函数图象可知，当点M与点B重合时，点M运动的路程为3，即． 由等边三角形的性质可得． 又 ， 即时， ． 故答案为：； ②将代入，得， 点Q的坐标为． （2）当点M由点B运动到点C时，如图①，过点N作于点E． ， ， ， ． 当点M在上运动时，． ， ； 当点M在上运动时，． ， ． 综上所述，当点M由点B运动到点C时，． （3）由（2）可知，当时，y关于x的函数图象如图②所示． 将代入，得． 令，解得（负值已舍去）． 令，解得或（负值已舍去）， 结合函数图象可知，的取值范围为． 【考点剖析】本题考查了二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 【变式】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和图象的顶点坐标； (2)若点在该二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，请根据图象求出的取值范围． 【答案】(1)2， (2)． 【思路引导】（1）把代入，即可求解； （2）由，可求的范围，通过图象可得的范围． 【规范解答】（1）解：把代入，得， ， 该图象的顶点坐标为． （2）解：如图所示，点的坐标为， 当时，11，即点的坐标为，顶点坐标为． 点在该二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2， ，即． 由图象可知，当时，的最小值为，当时，的最大值为， ∴当时，． 【考点剖析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 题型十二 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例12】（2022·四川眉山·一模）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是 ． 【答案】③④ 【思路引导】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数图象综合，根据抛物线与轴没有交点即可判断①；由图象可得，当时，，即可判断②；由图象可得，当时，，即可判断③；由图象可得，当时，，即可判断④，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴，故①错误； 由图象可得，当时，，故，故②错误； 由图象可得，当时，，故，故③正确； 由图象可得，当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的是③④， 故答案为：③④． 【变式】（2024·湖北·三模）抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意可得，再由对称轴为，可得，故①错误；根据，可得，再由与y轴的交点在，之间（不包含端点），可得，故②正确；根据二次函数图象的增减性可得，故③正确；根据题意可得直线经过和两点，当时，二次函数的值，从而得到直线上与抛物线必有一交点的横坐标大于2，故④正确． 【规范解答】解：抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点）， ∴抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵与y轴的交点在，之间（不包含端点）， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为，且点M离对称轴的距离比点N离对称轴的距离小，且， ∴，故③正确； 对于抛物线，由对称性得：当时，， 对于， 当时，，当时，， ∴直线经过和两点， ∵， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∵， ∴， 即当时，二次函数的值， ∴直线与抛物线必有一交点的横坐标大于2，故④正确． 故选C． 题型十三 图象法解一元二次不等式 【例13】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【规范解答】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项符合， 故选：． 【变式】（24-25九年级上·山东日照·期中）探究函数的图象与性质． 小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m n 1 3 … 请直接写出： ______， ______； (2)如图，小娜在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象： (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______ (4)解决问题：结合画出的函数图象，若方程有三个不同的解，记为，，，且．请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)当时，随的增大而增大（答案不唯一） (4) 【思路引导】此题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想，正确画出函数图象是解题关键． （1）求出和时的函数值，即可； （2）描点，连线画出图象即可； （3）直接根据图象，写出一条性质即可； （4）图象法进行求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 当时，； 故答案为：； （2）画图如下： （3）由图象可知：当时，随的增大而增大； （4） 有三个解为，，，且，则与图象有三个交点， 当时，， ∴当时，函数有最大值为， ∴当与图象有三个交点时，， ，且，， 令时， 解得 关于对称， ． 题型十四 图形问题（实际问题与二次函数） 【例14】（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【规范解答】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 【变式】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长m，篱笆长m．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)；； (2)当时，的最大值为800． 【思路引导】本题主要考查一次函数的实际应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【规范解答】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵墙长， ∴， 解得，， ∴； 矩形面积 ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵， ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800． 题型十五 图形运动问题（实际问题与二次函数） 【例15】．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【思路引导】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 【变式】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【规范解答】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十六 拱桥问题（实际问题与二次函数) 【例16】（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 【变式】（2024·福建三明·模拟预测）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【规范解答】（1）解：由题知，点为抛物线顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，    ∴， ∴， ∵，当时，， 解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 题型十七 销售问题（实际问题与二次函数） 【例17】（2025·甘肃武威·模拟预测）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ．当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ 【答案】(1)； (2)每个许愿瓶的售价应定为12元时可以满足要求，此时最大纯收入是1180元 【思路引导】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，一次函数的应用等，会利用二次函数性质求最值是解题的关键； （1）找出等量关系式：销售利润单个许愿瓶销售利润销售量基本活动费用，据此列出函数关系式即可求解； （2）分别求出当时或当时，相应的一次函数和二次函数的最值，比较得出结论即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ； 当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ； （2）解：当时，， ， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取最大值，最大值为元； 当时， ， ， 当时，W取最大值， 又∵x取正整数， ∴或13，W取最大值， ∵要使每天的销售额较大， ∴，此时最大值元； ∵， ∴每个许愿瓶的售价应定为12元时可以满足要求，此时最大纯收入是1180元． 【变式】（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题关键是理解题意，弄清数量关系． （1）根据“当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只”，列出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式即可； （2）结合（1），根据“利润每只利润销售量”，即可获得答案； （3）首先根据“每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于”，列出方程组，解得的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：根据题意，当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只， ∴每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ； （2）结合（1），可知每日销售利润； （3）根据公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于， 则有，解得， 由（2）可知，每日销售利润， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，取最大值，为（万元）， 即应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元． 题型十八 投球问题（实际问题与二次函数） 【例18】（2025·江西赣州·一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … (1)求h关于s的函数表达式． (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】(1) (2)若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由见解析； (3) 【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时h的值即可得到答案； （3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度． 【规范解答】（1）解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； （2）解：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功； （3）解：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 【变式】（25-26九年级上·安徽六安·月考）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【思路引导】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【规范解答】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线， ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得： ∵． ∴ 题型十九 喷水问题（实际问题与二次函数) 【例19】（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)米，见解析 【思路引导】本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可知水柱最高点距离湖面的高度为米，即，设函数表达式为，先由图1得到函数顶点为，再将代入计算即可； （3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可. 【规范解答】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）解：由图1，可得函数顶点为， 水柱最高点距离湖面的高度为米， ， 根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入， 解得， 抛物线的解析式为：； 故答案为：，； （3）解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∵已知游船顶棚宽度为3米，抛物线对称轴为直线， ∴顶棚交抛物线轴于， ∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米， ∴此时纵坐标的值不小于， ， 解得， 水管高度至少向上调节米， （米）， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约米才能符合要求． 【变式】（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务： 【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究． 【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型． 【项目任务】 如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题： 任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象； 任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值； 任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围． 【答案】任务一：时间为，图象见解析；任务二：；任务三：水流速度的取值范围为． 【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可求解，再作图即可． （2）把代入二次函数解析式中，可得，进一步即可求解． （3）根据最大高度为时或者最大高度，分别求出水流速度即可求解． 【规范解答】解：任务一： 当时，， 令， 解得（舍去），， ∴水流从喷出到落地需要的时间为．画出函数图象如图所示； 任务二： 令， 则， 即v随t的增大而增大， ∴当时，； 任务三： ∵， ∵， 当最大高度为米时，有， 解得（不合题意，舍去）或； 当最大高度为米时，有， 解得：（不合题意，舍去）或； 故水流速度的取值范围为． 题型二十 增长率问题（实际问题与二次函数） 【例20】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【思路引导】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【考点剖析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【变式】（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用经过两次降价后的价格原价 每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【规范解答】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型二十一 线段周长问题（二次函数综合） 【例21】（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②该矩形周长的最大值为 【思路引导】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 【变式】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交于点E． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【思路引导】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，关键是对二次函数性质的应用． （1）根据抛物线解析式求出B，C坐标，再用待定系数法求直线的解析式； （2）设，则，然后根据得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可； 【规范解答】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或． 题型二十二 面积问题（二次函数综合) 【例22】（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【思路引导】本题考查了二次函数的相关知识，包含求二次函数图像与x轴的交点，以及三角形面积公式与二次函数的综合应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识 （1）令求解x的值，即可求解点的坐标； （2）设点，再根据，结合三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：令，即， 解得，， ∴点的坐标为； （2）解：设点， 由（1）知，， ∴， 即，解得， ∴， 当时，即， 整理可得，解得， 此时点的坐标为； 当时，即， 整理可得， ∴， ∴，， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或． 【变式】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在点，使的面积最大，面积的最大值为 (3)或 【思路引导】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等角对等边，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据点A的坐标可得的长，则可得到的长，进而得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出直线的解析式为；过点P作交于E，设，则，可求出，，据此求解即可； （3）分点M在点B上方和点M在点B下方两种情况，讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C在y轴的正半轴， ∴； ∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作交于E，设，则， ∴； ∵ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：如图所示，当点M在B上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在点B下方时，设直线交x轴于F， 设， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 题型二十三 角度问题（二次函数综合) 【例23】（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【思路引导】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与不等式，求一次函数的关系式， 对于（1），将点，点代入顶点式，整理求出解即可； 对于（2），先求出交点B，P的坐标，再根据直线在抛物线上方时自变量的取值范围即为答案； 对于（3），分两种情况：点M在x轴下方时，此时与点P重合可得答案；点M在x轴上方时，先求出点P关于x轴的对称点的坐标，再求出直线的关系式，然后联立直线和抛物线的关系式，求出解即可. 【规范解答】（1）解：抛物线与轴交于点，点． 设抛物线解析式为 ． 整理，得； （2）解：． 将化为顶点式，得． 点坐标为. 点的坐标为， 不等式的解集为； （3）解：存在． 由抛物线的对称性可知 故当点在x轴下方时，点与点重合，可得点坐标为． 如图所示，作点关于轴的对称点，点P的坐标为， 可得Q点坐标为. 设直线的解析式为． ∵点，， 直线的解析式为． 联立方程组可得 解得（舍）． 将代入， 得． 故的坐标为. 综合以上可得点M的坐标为或． 【变式】（24-25九年级下·福建莆田·开学考试）抛物线与x轴交于点A，（点A在点 B左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P是上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线交线段于点Q，连接，求线段的长度最大值． (3)在（2）的条件下，在y轴的正半轴上有一点D，且，过点P的直线与抛物线交于点E(点E在点P右侧)，且，连接，点F是y轴上一点，若，求点F的坐标 【答案】(1) (2)4 (3)或 【思路引导】本题主要考查二次函数图象与性质，求一次函数关系式和平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据点和求出点的坐标为，把点的坐标代入，求出的值即可得出二次函数解析式； （2）求出直线的解析式为，设,得，求出，运用二次函数的性质可得的最大值为4； （3）过点P作轴于点，得出，可得点关于对称点在上，可求出直线的解析式为，联立抛物线的解析式求出点的坐标，设，根据列方程，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：∵和，且点A在点 B左侧， ∴点的坐标为， 把点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 设 ，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴有最大值， 当时，的最大值为4； （3）解：当的最大值为4时，， ∵，， ∴点在轴上，且， 过点作轴于点， ∴ ∴， 又， ∴， ∴点关于对称的点在直线上， ∵, ∴点关于对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为, 联立方程组， 解得或， ∴点的坐标为， 设，则, ， ∵， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． 题型二十四 特殊三角形问题（二次函数综合） 【例24】（2024·湖北·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P，根据，可得，从而得到，进而得到，再求出直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交于点E，求出直线的解析式为，再由，可得，从而得到，再由点M，N的横坐标分别为m，，可得，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的对称轴为，， ∴点，， 将点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）解：将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P． 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线， 联立， 解得，， ∴点； （3）解：过点P作轴，交于点E． 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵设，则， ∴， ∵点M，N的横坐标分别为m，， ∴， ∴， 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴当时，t的取值范围是或． 【考点剖析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式理解坐标与图形性质是解题的关键． 【变式】2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【思路引导】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【规范解答】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【考点剖析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 题型二十五 特殊四边形（二次函数综合) 【例25】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)点Q的坐标为或或 【思路引导】（1）将，，坐标代入解析式，建立方程组，求解即可； （2）过点P作轴交于点N，设P的横坐标为t，则可表示点P和点N的坐标，表示的面积，利用二次函数的性质求出最值； （3）利用平移先求出，联立可求出点E的坐标，然后分情况讨论，当为边时，当为对角线时两种情况，利用点的平移求解即可． 【规范解答】（1）解：将，，坐标代入解析式， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：如图1，点P作轴交于点N，， 设P的横坐标为t， ∴， 设直线的解析式为， 把，坐标代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线y的解析式为：， ∴抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线， ∴的对称轴为直线，即点F的横坐标为0， 令， 解得， ∴， 由（2）知点P的坐标为， 当以为平行四边形的一条边时：或． ∴或， 解得：或， ∴点Q的坐标分别为或． 当以为平行四边形的对角线时：， ∴， 解得：， ∴． 综上可知，点Q的坐标为或或． 【考点剖析】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、待定系数法求解析式、三角形的面积、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 【变式】（24-25九年级上·广东中山·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【思路引导】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴ ， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 题型二十六 相似三角形问题（二次函数综合) 【例26】（21-22九年级下·上海·阶段练习）如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【思路引导】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线的表达式，再化为顶点式，写出顶点D的坐标即可； （2）先求出，再根据坐标两点的距离公式和勾股定理逆定理，得到是直角三角形，且，进而推出，得到，再结合等腰直角三角形的性质，得出，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形，则也是锐角三角形，且点在第四象限，利用待定系数法求出直线的表达式，进而设，过点作于点，则，，根据相似三角形的判定定理分两种情况讨论：利用角的正切值分别求解即可． 【规范解答】（1）解：抛物线与x轴分别交于点B、点， ， 解得：， 抛物线的表达式为， ， 顶点D的坐标为； （2）解：抛物线与y轴交于点A， 当时，， , ,， ，，， ， 是直角三角形，且， ，， ， ， ，， ， ，即， 若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形， 也是锐角三角形，且点在第四象限， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 点P在直线上， 设， 如图，过点作于点，则，， 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 综上可知，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或． 【考点剖析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 【变式】（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)抛物线的解析式为，顶点 (3)符合要求的点的坐标分别为，，， 【思路引导】（1）在中，当时，，即，当时，，解得，即，由旋转的性质可得，，即可得解； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （3）过点作轴于，由勾股定理逆定理得出，从而可得，求出直线的解析式为，设点，再分两种情况：当时，；当时，，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，； （2）解：设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点； （3）解：如图，过点作轴于， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点， ∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似， ∴当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，； 当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，． 【考点剖析】本题考查了一次函数与几何综合，二次函数综合—相似三角形的判定与性质，求二次函数的解析式，勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个定值，即可得出结果． 【规范解答】解：依题意，过双曲线上任意一点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． 利用待定系数法即可求出的值，可得答案． 【规范解答】解：将代入解析式中得， ， 即， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东佛山·月考）抛物线的开口向 ．（填“上”或“下”） 【答案】下 【思路引导】本题主要考查二次函数的性质，根据的正负判断函数的开口朝向，如果，开口向上；如果，开口向下． 【规范解答】解：抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下， 故答案为：下． 4．（2025·安徽淮南·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 【答案】10 【思路引导】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； (2)不是二次函数； (3)是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； (4)不是二次函数． 【思路引导】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． （1）（2）（3）（4）根据二次函数定义进行解答即可． 【规范解答】（1）解：，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； （2）解：不是二次函数，是一次函数； （3）解：，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； （4）解：不是二次函数． 6．（2025·河南漯河·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)①作线段的垂直平分线，垂足为，交轴于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)①见解析② 【思路引导】（1）先把A点坐标代入中求出k得到反比例函数解析式为；再把B点坐标代入中求出m得到B点坐标，再将A、B两点代入求出a、b得到一次函数解析式； （2）①分别以A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交，过两弧交点作直线，交于点C，交x轴于点D，从而即可得解；②先设点的坐标为，根据垂直平分线定理得到，，解方程即可解答． 【规范解答】（1）解：是反比例函数的图象上的点， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得，， ， 把，代入可得， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）①如图所示： ②设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ，解得， 点的坐标为. 【考点剖析】本题主要考查了反比函数的性质，一次函数的性质，尺规作垂线，熟练掌握尺规作垂线是解题的关键． 7．（23-24九年级下·广东汕尾·月考），直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，． (1)求点B的坐标； (2)求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是熟练掌握两个函数的性质． （1）先根据直线方程求解出点A的坐标，再由可求解，由此可得点B的坐标； （2）先利用直线方程求解出点C的坐标，再将点C代入反比例函数中即可求解． 【规范解答】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令， 解得， ∴，即， ∵， ∴， ∴点B的坐标为． （2）解：∵轴，B的坐标为， ∴点C的横坐标为， ∵点C在直线上， ∴，解得， ∴点， ∴将点代入中， ∴， 解得 ∴反比例函数的解析式为． 8．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)，6 【思路引导】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数与图形面积，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，求解即可． （2）先求出B点的坐标，再根据面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入， 可得， 解得：， ∴， 顶点坐标是； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·四川自贡·月考）如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为A，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解； （2）作轴交于点D，由求解． 【规范解答】（1）解：依题意，得， 整理得 解得：，， 将代入得， 将代入得， ∴点B坐标为，点C坐标为． （2）解：作轴交于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线顶点A坐标为， 将代入得， ∴点D坐标为，， ∴ ． 10．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上． (1)求曲线的解析式； (2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值． 【答案】(1) (2)°， 【思路引导】本题考查了待定系数法求函数解析式以及三角函数的求解，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将代入求得，推出；将代入求得，即可求解； （2）由题意得直线的解析式为：；联立与得：；可推出是等腰直角三角形，得；根据，得；作，即可求解； 【规范解答】（1）解：将代入得：； 求得：； ∴； 将代入得：， 求得：； ∴； （2）解：由（1）可得：； ∵直线和直线平行， ∴直线的解析式为：； 联立与得：； ∴轴，且； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴； 作，如图所示： 则； ∵，， ∴； ∴； 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质．根据正比例函数的性质，反比例函数的性质判断即可． 【规范解答】解：正比例函数中，函数图象经过二、四象限； 反比例函数中，函数图象经过一、三象限； 只有A符合． 故选：A． 2．（2025·广西崇左·一模）将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数图象平移的规律．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行分析即可． 【规范解答】解：∵原抛物线为，平移后为， ∴表示向左平移3个单位， 表示向下平移2个单位， ∴平移方式是向左平移3个单位，向下平移2个单位． 故选：B． 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【规范解答】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 4．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）一元二次方程有两个相等的实数根，点，是反比例函数上的两个点，若，则 （填“”或“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相关知识．先由一元二次方程有两个相等的实数根求得的值，再根据反比例函数的性质，结合点的横坐标符号判断纵坐标的大小． 【规范解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 反比例函数为， 点，在反比例函数上，且， 当时，；当时，； ， 故答案为：． 5．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活应用k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义和的面积为的面积减去的面积即可解决问题． 【规范解答】解：∵轴，点A是反比例函数的图象上一点， 点B是反比例函数的图象上一点， ∴， ∴， 故答案为：2． 6．（2025·广西·一模）如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查一次函数与反比例函数图像的交点问题，解题的关键是结合题意，利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式． 先求出反比例函数的解析式，结合图形求出点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为：，联立反比例函数和直线：，即可求出两个图像的交点，从而得到点的坐标，再构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 又依题意可得， 设直线的解析式为， 直线过，， ， ， ， 联立方程组得， 解得：和， ， ， 如图，构造， ，， ． 故答案是：． 7．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为． (2) 【思路引导】（1）先利用反比例函数图象上的点求出反比例函数表达式，再将点代入一次函数求出其表达式； （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再以为底，点横坐标为高，利用三角形面积公式求解． 【规范解答】（1）解：对于反比例函数，把代入， 得，解得， 反比例函数表达式为， 对于一次函数，其中，把代入， 得，解得， 一次函数表达式为． （2）解：如图所示，过点作轴于点： 点的坐标为， ， 在一次函数中，令，得， ，则， ． 【考点剖析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，掌握利用函数图象上的点求函数表达式，以及利用坐标求三角形面积的方法是解题的关键． 8．（21-22八年级下·四川内江·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路引导】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，根据交点求不等式的解集， 对于（1），将点代入反比例函数关系式求出m，再将点代入反比例函数关系式求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出直线关系式； 对于（2），根据反比例函数图像在直线上方时反比例函数值大于一次函数值，结合交点坐标可得解集； 对于（3），设交点，求出直线与y轴交点的坐标，再根据求出答案即可. 【规范解答】（1）解：将点代入反比例函数关系式，得， ∴反比例函数. ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点. ∵点在直线的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：或. 观察图象，当时，； 当时，. 所以答案为：或； （3）解：如图所示， 当时，， ∴点. 设点，则， ∴， 解得或， ∴点或. 9．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． (2)求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元 【思路引导】本题考查了一次函数应用和二次函数的应用． （1）根据平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，即可列出关系式； （2）根据销售利润平均每天销售量每箱利润，列出平均每天的销售利润w与销售价x之间的函数关系式； （3）根据二次函数的性质求最大利润． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 化简得：； （2）解：由题意得： ， 即该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为； （3）解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线， ∵，w随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为1125元， ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润． 10．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D坐标为 【思路引导】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线方向的平移分解为水平方向和竖直方向的平移． 先求原抛物线的顶点，再根据平移方向和距离确定平移方式，平移后顶点在原抛物线上，代入方程求解． 【规范解答】原抛物线可化为，顶点为， 已知直线，当时，；当时，， 一次函数过点，， ， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位或向左平移个单位，向下平移个单位， 新的顶点为或， 当顶点为时， ， ， ， ， ； 当顶点为时， ， ， ， ， ，与 矛盾； 故． 故选：． 2．（2025·江西抚州·模拟预测）函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查二次函数与一次函数图象的综合，熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于，逐一排除； 【规范解答】解：当时，函数的图象开口向上，函数的图象应在一、二、三象限，故可排除D； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象应在一二四象限，故可排除B； 当时，两个函数的函数值都为1，故两函数图象应相交于，可排除A． 故选项C正确． 故选C． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【规范解答】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 4．（24-25九年级下·江苏·自主招生）长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【规范解答】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：． 5．（24-25九年级下·江苏·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为 ． 【答案】16 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数解析式的求法及三角形面积的计算，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征并设出点的坐标进行推导是解题的关键． 设点的坐标，利用反比例函数表达式表示出点的坐标，求出的长度；再求出直线的解析式，结合轴得到点的坐标，求出的长度，最后利用三角形面积公式计算． 【规范解答】解：设（）． ∵ 轴，在上， ∴ ， ∴ ． 设直线的解析式为，将代入得：， 解得， ∴ 直线的解析式为． ∵ 轴， ∴ 的纵坐标为，将代入得：，解得， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 6．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A，B两点，则的面积等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数的性质． 设点P坐标为，则A，B两点纵坐标均为，求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：设点P坐标为， 则A，B两点纵坐标均为， ∵过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A，B两点， ∴，， 即，， ∴ ． 故答案为：． 7．（2025·福建漳州·三模）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点、及的中点，轴，与轴交于点．则的值为 ． 【答案】/0.25 【思路引导】本题考查反比例函数的性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质．过点作垂足为点，设点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是，根据中点的坐标公式可得点的坐标是，把点的坐标代入反比例函数解析式中可得，从而可知，，根据平行线分线段成比例可以求出结果． 【规范解答】解：如下图所示，过点作垂足为点， ， ， 设点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， 则， ， ， 点的坐标是， 点是的中点， 点的坐标是， 点在反比例函数图象上， ， 整理得：， 分解因式可得：， 可得：或(不符合题意，舍去)， ，， 轴， ． 8．（2023·广东珠海·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】本题考查了求反比例函数的表达式，求一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，根据函数图象求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将点代入中求解，即可得到反比例函数的表达式，进而求出点，再将点代入一次函数中求解，即可求出一次函数的表达式； （2）记直线交轴于点，利用一次函数求出，再根据求解，即可解题； （3）根据一次函数图象与反比例函数图象交点情况，直接写出当一次函数值小于反比例函数值的x的取值，即可解题． 【规范解答】（1）解：由题知，反比例函数过点，， ， 反比例函数的表达式为； ， ， 一次函数过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：记直线交轴于点， 当时，， ， ，， ； （3）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， 结合图象可知，一次函数值小于反比例函数值的x的取值是或； 故答案为：或． 9．（2024·陕西宝鸡·一模）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 【答案】(1) (2)该男生在此项考试中得优秀 【思路引导】本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． （2）解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 10．（2023·广东珠海·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标； (3)点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标． 【答案】(1) (2) (3)，或，或，或 【思路引导】本题考查二次函数解析式的求解、对称点的几何性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握待定系数法、对称点的中点与垂直关系、正方形的边长与角度特征是解题关键． （1）通过待定系数法求解抛物线解析式，将已知点代入抛物线的一般式，代入后得到关于系数的方程组，解方程组即可得到系数的值，进而确定解析式； （2）根据轴确定点E纵坐标，从而设点E坐标，结合题干运用轴对称性质，在中利用勾股定理即可求解； （3）根据 “以为边的正方形” 的条件，明确需与邻边垂直且长度相等，将正方形的问题转换为更简洁的等腰直角三角形问题，再通过直角顶点的分类讨论，利用全等三角形性质分别求解即可． 【规范解答】（1）解：将点与点代入抛物线中， 得， 解得， ； （2）解：如图，连接，， 由题意得点D与点F关于直线对称， ，， ，轴， 当时， ， 解得，， ， ， ，， 在中，， 解得， ，， 设点，，， 在中，， ， 解得， ； （3）解：由题意得只能为正方形边长， 即只需考虑等腰的存在情况， 当点O为直角顶点时，为等腰直角三角形， 如图，过点P作，过点E作， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， 设点， 有，， ， 将点P代入抛物线得， 解得， ； 当点P为直角顶点时， 如下图，过点P作轴，过点E作， 同理可证， ，， 设点， 有，， ， 代入抛物线解析式得 解得，或， 时的情况如下图所示， ，或， 当点E坐标为时也满足条件，如下图所示， 综上所述，点E坐标为，或，或，或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数、二次函数的相关探索（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念， 函数的表示方法 深入理解函数概念，明确变量单值对应关系，熟练区分解析、列表、图像三种表示法。 多以选择、填空考查概念，判断函数关系及表示法选择，难度较低。 反比例函数图像特征，反比例函数应用 掌握反比例函数图像在不同象限特征，能运用其解决实际问题如利润等。 常结合实际场景，以解答题考查建模与图像性质应用，有一定综合性。 二次函数的图像和性质， 二次函数的标准形式 精准把握二次函数图像开口、对称轴等性质，牢记标准形式及参数意义。 是重点考点，选择、填空、解答均有，结合最值等问题考查性质运用。 二次函数的应用 学会从实际问题抽象二次函数模型，用其性质解决决策类问题并检验结果。 以解答题为主，结合生活实例，考查建模、分析及综合应用能力。 知识点01：函数与它的表示法 1）函数的表示方法：图象法、列表法、解析法 2）图象法的优缺点：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势，不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函数值。 3）列表法的优缺点：列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的函数值，不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值。 4）解析法的优缺点：解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在 可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数 值，不足之处是不够形象直观，而且并不是每一个函数都可写出它的表达式。 5）函数：在同一个变化过程中，有两个变量 x，y 。如果对于变量 x 在可以取值的范围内每取一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。 知识点02：反比例函数 1）反比例函数：一般的，形如 y =（k 是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 2）反比例函数的性质：反比例函数 y = 的图象称作双曲线。当 k > 0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当k < 0 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 3）一般的，从反比例函数 y = 图象上任一点 P，向 x 轴和 y 轴作垂线，以点 P 的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数| k |。 知识点03：二次函数 1）二次函数：一般的，形如 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，且 a≠0）的函数叫做二次 函数。 2）二次函数y=ax 2 +bx+c的自变量x可以取值的范围是全体实数，但在具体问题中，还要结合实际背景确定自变量的取值范围。 知识点04：二次函数的图象和性质 1）二次函数 y = ax2 的图象是抛物线。我们把二次函数 y = ax2 的图象也叫做抛物线y=ax2 ，它的对称轴是y轴。抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 y = ax2 的顶是坐标原点。当 a > 0 时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当 a < 0 时，它的开口向下，顶点是它的最高点。 2）二次函数 y = ax2 + c 的图象是抛物线，它与抛物线 y = ax2 的形状相同，将抛物线 y = ax2 沿 y 轴向上或向下平移 | c | 个单位长度便得到抛物线y = ax 2 + c。当c > 0时，向上平移；当c < 0时，向下平移。 3）二次函数 y = a（x - h）2 + k 的图象是抛物线，它与 y = ax2的图象形状相同，只是位置不同。因此，它可由抛物线 y = ax 2经过平移而得到。二次函数y = a（x-h）2 + k及其图象有如下性质： （1）a > 0 时，开口向上，顶点是图象最低点；a < 0时，开口向下，顶点是图象最高点。 （2）对称轴是经过点（h，0）且平行于y轴的直线x = h。 （3）顶点坐标是（h，k）。 （4）如果 a > 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > h 时，y 随 x 的增大而增大。如果 a < 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > h 时，y 随 x的增大而减小。 4）一般的，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是抛物线，它的对称轴是直 线 x = - ，顶点坐标是 （- ，）。若 a > 0，抛物线的开口向上。当x < - 时，y随x的增大而减小，当x > - 时，y随x的增大而增大，顶点是这条抛物线的最低点。若a < 0，抛物线的开口向下。当x < - 时，y随 x 的增大而增大，当 x > - 时，y 随 x 的增大而减小，顶点是这条抛物线的最高点。 知识点05：确定二次函数的表达式 1)如果已知图象的顶点坐标，把它的表达式写成 y = a（x + h）2 + k 的形式，其中（-h，k）已知，那么只要再知道抛物线上其他一点的坐标便可以利用待定系数法确定系数a的值。 2)在二次函数 y=a x 2 +b x+c 的表达式中，a，b，c 是待定系数，如果已知不共线的三点的坐标将它们分别代入这个表达式，便可得到一个关于a，b，c 的三元一次方程组，解这个方程组，便可确定表达式中的未知系数。这就是说，知道不共线的三点的坐标，便可确定经过这三点的抛物线。 知识点06：二次函数的图象与一元二次方程 1)如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有实根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根；反之，如果二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，那么公共点的 横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的实根。 知识点07：二次函数的应用 1)一般的，因为抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是抛物线的最低（高）点， 所以当 x = - 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）值，最小（大） 值为。 题型一 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例1】（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 【变式】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 题型二 已知比例系数求特殊图形的面积 【例2】（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型三 根据图形面积求比例系数（解析式） 【例3】（2025·甘肃武威·一模）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 【变式】（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 题型四 一次函数与反比例函数图象综合判断 【例4】（24-25八年级下·四川内江·期末）若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式】（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 题型五 一次函数与反比例函数的交点问题 【例5】（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，反比例函数与正比例函数的图像交于和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图像，直接写出不等式的解集． 【变式】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，求的面积． 题型六 一次函数与反比例函数的实际应用 【例6】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【变式】（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 题型七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【例7】（2025九年级下·四川甘孜·专题练习）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【变式】（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 题型八 实际问题与反比例函数 【例8】．（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 【变式】（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 题型九 反比例函数与几何综合 【例9】（2025·江西抚州·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，，以为斜边作等腰直角，边交反比例函数的图象于点，的延长线交反比例函数的图象于点，若． (1)求的值； (2)求的长． 【变式】（2025·广东东莞·一模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 题型十 二次函数的图象和性质 【例10】（2025·上海虹口·二模）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 【变式】（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十一 待定系数法求二次函数解析式 【例11】（2025九年级下·全国·专题练习）如图①，已知为等边三角形，N为上一点，且，点M从点A出发，沿折线段运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，，当点M由点A运动到点B时，y关于x的函数解析式为，其函数图象如图②所示． 【初步探究】 （1）①______，c的值为______； ②求点Q的坐标． 【深入探究】 （2）经探究发现，当点M由点B运动到点C时，y也是关于x的二次函数，请求出y关于x的函数解析式； 【问题解决】 （3）若存在对应的均相等，求的取值范围． 【变式】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和图象的顶点坐标； (2)若点在该二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，请根据图象求出的取值范围． 题型十二 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例12】（2022·四川眉山·一模）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是 ． 【变式】（2024·湖北·三模）抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十三 图象法解一元二次不等式 【例13】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【变式】（24-25九年级上·山东日照·期中）探究函数的图象与性质． 小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m n 1 3 … 请直接写出： ______， ______； (2)如图，小娜在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象： (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______ (4)解决问题：结合画出的函数图象，若方程有三个不同的解，记为，，，且．请直接写出的取值范围． 题型十四 图形问题（实际问题与二次函数） 【例14】（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【变式】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长m，篱笆长m．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 题型十五 图形运动问题（实际问题与二次函数） 【例15】．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ． 题型十六 拱桥问题（实际问题与二次函数) 【例16】（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【变式】（2024·福建三明·模拟预测）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 题型十七 销售问题（实际问题与二次函数） 【例17】（2025·甘肃武威·模拟预测）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ．当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ 【变式】（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 题型十八 投球问题（实际问题与二次函数） 【例18】（2025·江西赣州·一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … (1)求h关于s的函数表达式． (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【变式】（25-26九年级上·安徽六安·月考）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 题型十九 喷水问题（实际问题与二次函数) 【例19】（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【变式】（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务： 【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究． 【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型． 【项目任务】 如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题： 任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象； 任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值； 任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围． 题型二十 增长率问题（实际问题与二次函数） 【例20】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【变式】（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 题型二十一 线段周长问题（二次函数综合） 【例21】（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【变式】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交于点E． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 题型二十二 面积问题（二次函数综合) 【例22】（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【变式】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 题型二十三 角度问题（二次函数综合) 【例23】（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式】（24-25九年级下·福建莆田·开学考试）抛物线与x轴交于点A，（点A在点 B左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P是上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线交线段于点Q，连接，求线段的长度最大值． (3)在（2）的条件下，在y轴的正半轴上有一点D，且，过点P的直线与抛物线交于点E(点E在点P右侧)，且，连接，点F是y轴上一点，若，求点F的坐标 题型二十四 特殊三角形问题（二次函数综合） 【例24】（2024·湖北·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【变式】2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 题型二十五 特殊四边形（二次函数综合) 【例25】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】（24-25九年级上·广东中山·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 题型二十六 相似三角形问题（二次函数综合) 【例26】（21-22九年级下·上海·阶段练习）如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【变式】（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是 ． 3．（23-24九年级上·广东佛山·月考）抛物线的开口向 ．（填“上”或“下”） 4．（2025·安徽淮南·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3) ． (4)． 6．（2025·河南漯河·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)①作线段的垂直平分线，垂足为，交轴于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②求点的坐标． 7．（23-24九年级下·广东汕尾·月考），直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，． (1)求点B的坐标； (2)求反比例函数的解析式． 8．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 9．（24-25九年级上·四川自贡·月考）如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为A，求的面积． 10．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上． (1)求曲线的解析式； (2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像大致是（   ） A．B．C． D． 2．（2025·广西崇左·一模）将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）一元二次方程有两个相等的实数根，点，是反比例函数上的两个点，若，则 （填“”或“”或“”） 5．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 6．（2025·广西·一模）如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则 ． 7．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求的面积． 8．（21-22八年级下·四川内江·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 9．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． (2)求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 10．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西抚州·模拟预测）函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25九年级下·江苏·自主招生）长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 5．（24-25九年级下·江苏·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为 ． 6．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A，B两点，则的面积等于 ． 7．（2025·福建漳州·三模）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点、及的中点，轴，与轴交于点．则的值为 ． 8．（2023·广东珠海·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 9．（2024·陕西宝鸡·一模）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 10．（2023·广东珠海·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标； (3)点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $