专题05 事件的概率（必备知识+19大题型+分层训练）（期末复习讲义）九年级数学上学期青岛版

专题05 事件的概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 随机事件的定义 准确分辨事件类型，掌握必然、不可能和随机事件特点，能清晰举例说明。 多以选择题简单考查，判断事件所属类型，难度较低。 频率、概率的概念； 用频数分布表、频数直方图解决相关问题 理清频率与概率区别联系，学会求频数、频率，能用图表分析数据解决问题。 常以选择题、填空题或解答题结合实际数据考查，有一定综合性。 概率的含义与应用 理解概率含义，熟练掌握公式、树状图、列表等求概率方法，用于解决实际决策问题。 是重点考点，常见于解答题，结合游戏公平、抽奖等场景，难度中等。 知识点01 随机事件 1）随机事件：可能发生也可能不发生，事先无法确定，像这种可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，也叫做不确定事件。 2）必然事件：必然会发生的事件，称为必然事件。 3）不可能事件：不可能发生的事件，称为不可能事件。 4）确定事件：必然事件和不可能事件，结果都是确定的，统称确定事件。 知识点02 频数与频率 1）频数：某个事件一共发生的次数叫做该事件发生的频数。 2）频率：事件发生的频数与事件的总次数的比值，叫做该事件发生的频率。 3）一般的，将总体中的数据按同一个标准分组后，各组数据的频数之和等于总体中数据的个数，各组数据的频率之和等于1。 知识点03 频数直方图 1）列频数、频率分布表的步骤： ① 确定所有数据中最大值与最小值，并计算二者的差。 ② 确定组数、组距，并进行分组。 ③ 列出相应的频数、频率分布表。 注意：将数据进行分组时，组数的多少应适当，组数太少，不能充分显示数据的分布情况；组数太多，不仅繁琐，且容易把性质相近的同类数据分散到各组，从而也不能正确显示数据分布的特征和规律。一般的，数据在 100 个以内，可按情况分为 5~12 组。 2）频数直方图：根据频数的分布绘制的条形统计图叫做频数直方图。 知识点04 随机事件的变化趋势 1）两个坐标轴的单位长度不同，表示的意义也不同。但是只要刻度之间的比例关系一致，坐标系中的点所表达的意义就是合理的。因此，在确定坐标轴的单位长度时，要注意具体问题具体分析。 2）由于画出的直线只是近似地表示图中各点的变化趋势，所以实际上还可以画出很多条直线。 知识点05 事件的概率 1）一般的，一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个事件发生的概率，通常记为P（事件）。在进行大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件发生的频率总在这个 事件发生的概率附近波动，显示出一定的稳定性。从而可以用事件发生的频率估计事件发生的概率。 2） 一个事件发生的频率是已发生的，也是可测的，而这个事件发生的概率是某个客观存在的确定的数值，但可能事先并不知道，用频率来估计概率可以实现由已知去探求未知，从偶然中去发现必然，它蕴含了一种深刻的数学思想。 知识点06 简单的概率计算 1）一般的，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件E包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件E发生的概率可利用下面的公式计算：P（E）=。上面的概率公式只适合于试验结果有限个且等可能的情况。 2)任何事件E发生的概率P（E）都是0和1之间（包括0和1）的数，即0 ≤ P（E）≤ 1。 3)列举试验所有可能出现的结果时，应注意做到不重不漏。 知识点07 利用画树状图和列表计算概率 树状图或列表能帮助我们将所有等可能的结果直观地列举出来，做到既不重复也没有遗漏。 题型一 随机事件 【例1】（2025·湖北孝感·三模）下列说法正确的是（   ） A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式； B．“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件； C．的算术平方根是； D．若一组数据的方差，则这组数据的总和为24 【变式】（2025·宁夏吴忠·三模）下列说法正确的是（    ） A．检测“神舟十九号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件 C．为表示出某地年年间增长率的变化趋势，最宜选用折线统计图 D．甲、乙两组跳高运动员身高数据的方差分别为，则甲组队员的身高比较整齐 题型二 根据数据描述求频数 【例2】（2025·新疆克孜勒苏·模拟预测）小李为了解本班同学一周的课外锻炼时间，随机抽取班上若干名同学进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图，则下列说法正确的是（    ） A．本次抽查人数共有21名 B．该组数据的平均数为3 C．人数最多的课外锻炼时间的频数为8 D．该组数据的中位数为2.5 【变式】（2025·陕西西安·一模）年月日，中国探月工程嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样返回．某中学为了增加学生对此次探月工程知识的掌握情况，随机抽取部分学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 ．成绩在这一组的具体分数是（单位：分）： 请根据以上信息回答下列问题： (1)本次测试共抽了 名学生； (2)本次测试成绩的中位数是 分； (3)若成绩在分及以上为优秀，该学校总共有名学生，估计该学校成绩优秀的学生有多少名？ 题型三 根据数据描述求频率 【例3】（2025·辽宁大连·一模）小明家到公司有A、B两条公共交通路线可选择，为了了解A、B两条路线上班所用的时间情况，他进行了试验，第一、二周选择A路线上班，第三、四周选择B路线上班（每周5个工作日），分别记录了上班所用的时间（单位：），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 【数据收集与整理】 A路线所用的时间（单位：）：39，40，40，41，41，42，46，52，54，55． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 A路线所用的时间/ B路线所用的时间/ 47 根据以上信息，解答下列问题： (1)哪条路线平均所用的时间少？请说明理由； (2)求B路线所用时间的中位数； (3)某天，小明从家出发，要在前到公司，你认为选择哪条路线更好？请说明理由． 【变式】（2025·上海·二模）为了解区内赋能教学实践的情况，从名九年级学生中，随机抽取名学生进行了关于辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下： 满意度 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 频数 频率 根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是 ． 题型四 根据数据填写频数、频率统计表 【例4】青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校600名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 14 0.28 70.5～80.5 16 a 80.5～90.5 b c 90.5～100.5 10 0.2 合计 d 1 请根据图表，解答下面的问题： (1) ， ， ， ． (2)根据该样本，估计该校本次心理健康知识测试在90分以上的人数； (3)若成绩在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心理辅导．请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心理辅导，并说明理由． 【变式】（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）古诗词是传统文化的瑰宝，为感受古诗书韵，打造“书香校园”，传承华夏文明，学校随机抽取了20名学生进行诗词知识测试，测试成绩如下：83、75、76、91、88、88、93、78、98、95、74、67、96、72、87、73、100、81、94、86． 【整理数据】小强对以上数据进行了整理分析，并绘制出频数分布表： 分组 频数 6 7 【解决问题】 (1) ， ； (2)以上数据中，中位数是 ，众数是 ； (3)竞赛成绩高于80分评价为“优秀”等级．试估计全校800名学生中，成绩在“优秀”的约有多少人？ 题型五 频数分布表 【例5】（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【变式】（23-24九年级下·广东深圳·期中）某学校组织开展主题为“节约用水，共建绿色家园”的社会实践活动．小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一：甲小区3月用水量频数分布表 用水量 频数/户 4 9 10 5 2 信息二：甲、乙两小区3月用水量数据的平均数和中位数如下： 小区 平均数 中位数 甲小区 乙小区 信息三：乙小区3月用水量在第三组的数据为：． 根据以上信息，回答下列问题： (1)______； (2)在甲小区抽取的用户中，3月用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，的大小，并说明理由； (3)若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月用水量低于的总户数． 题型六 频数分布直方图 【例6】（2025·安徽淮南·二模）人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． (2)请补全频数直方图． (3)学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 【变式】（2025·甘肃武威·一模）我国将每年月日设立为“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神、激发青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校为了解全体七年级学生（共，两班）对“航空航天”知识的掌握情况，现从七年级，两个班中各随机抽取名学生，统计这部分学生的测试成绩（满分分），得到部分信息如下 收集、整理数据： 班测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成组：，，，），其中这一组中的数据为：、、、、、． 班测试成绩： 、 分析数据：        统计量班级　 平均数 众数 中位数 极差 方差 班 班 根据以上信息，解决下列问题： (1)填空： ， ； (2)估计该校七年级共名学生中测试成绩达到分以上的人数； (3)请利用所学的统计知识分析，你认为，两个班中哪个班的成绩比较好？请说明理由． 题型七 由频率估计概率 【例7】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【变式】（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 题型八 用频率估计概率的综合应用 【例8】（24-25七年级下·广东揭阳·期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【变式】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中________；________； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； (3)估计袋子中有白球________个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 题型九 根据概率公式计算概率 【例9】端午节吃粽子时，吃到包有红枣的粽子就象征吉祥如意，今年外婆、外公、舅舅来我家与爸爸妈妈、我一起过端午节，外婆在12个粽子中的一个里包了红枣． (1)我吃了一个粽子能吃到红枣的概率是________； (2)吃粽子时妈妈给每人各分2个，如果把这2个粽子都吃掉，我能吃到红枣的概率是________，那天他们都没有吃到红枣，由于外婆和妈妈做了手脚，使我吃到了，在此前提下，我吃第一个粽子就有红枣的概率是________． 【变式】（2025·湖北·模拟预测）已知四个点的坐标分别是，，，，从中随机选取一个点，这个点在反比例函数图象上的概率是 ． 题型十 根据概率作判断 【例10】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【变式】（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 题型十一 已知概率求数量 【例11】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【变式】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（   ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 题型十二 几何概率 【例12】（2025·江苏苏州·二模）如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【变式】（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 题型十三 列举法求概率 【例13】（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【变式】（2025·重庆·模拟预测）如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ． 题型十四 列表法或树状图法求概率 【例14】（2025·河北秦皇岛·一模）某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）．并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 及格 良好 45 优秀 32 (1)分别求出表中、、的值； (2)请补全图中的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数； (3)为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率． 【变式】（2025·浙江丽水·二模）端午节前，学校准备举行“龙腾端午·竞舟校园”文化节活动，计划开展A-包粽子，B-划旱船，C-创美文，-拔河四个项目，要求人人参加，每人限选一项，为了解同学们参加活动的意愿，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息，回答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数； (3)甲、乙、丙三位同学都是包粽子的能手，现从他们3人中选2人参加才艺展示，请用画树林图或列表的方法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率． 题型十五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 【例15】计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 【变式】为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 题型十六 概率在转盘抽奖中的应用 【例16】（21-22八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【变式】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 题型十七 概率在比赛中的应用 【例17】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【变式】（2021·福建漳州·一模）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3． 甲 78 79 81 82 x 88 93 95 乙 75 80 80 83 85 90 92 95 （1）求x的值；       （2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 题型十八 游戏的公平性 【例18】（24-25六年级下·全国·单元测试）小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？ 【变式】（2021·山东·二模）由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都想去，两人商量采取转转盘（如图，转盘被分成四等份，且每个扇形区域标上数字）的游戏方式决定谁胜谁去观看．游戏规则：两人各转动转盘一次，当转盘停止后，若两次指针所指数字都是奇数，则小王胜；若两次指针所指数字都是偶数，则小张胜；若两次指针所指数字是一奇一偶，视为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 题型十九 概率的其他应用 【例19】“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 【变式】2025·福建厦门·模拟预测）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．明天早上会下雨 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．任意一个三角形，它的内角和等于 D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 2．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 3．（2025·山东·模拟预测）小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽淮南·二模）中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富的文化内涵和艺术价值．某校开设了二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，小明和小丽随机选择其中的一个社团，则两人选择同一个社团的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是 ． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是 ． 7．（2025·浙江丽水·二模）小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图钉做实验得到如下数据 掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 2000 针尖朝上的频率 请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 ． 8．（2026·江西·模拟预测）新素材 杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 9．（25-26九年级上·全国·单元测试）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格；（结果全部精确到0.1） (2)请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 10．（2025·广东江门·二模）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． (3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2024·安徽·模拟预测）在动物行为学中有小鼠Y字迷宫实验，锻炼小鼠短期记忆．如图，小鼠从入口进入，每遇到一个Y字路口会随机选择其中一条路走，只可以前进不许后退，则小鼠在第一次走迷宫就能获得食物的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）不透明的袋子中装有红、绿、黄小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么摸到一个红球一个黄球的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·天津·模拟预测）从1，2，3，4，5五个数中随机选择一个数记为a，从，0，1，2，3中随机选择一个数记为b，能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设“神舟十六号”上甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选两人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ． 6．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是 ．（精确到） 7．一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ． 8．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 9．（21-22九年级下·海南海口·阶段练习）某校在开展劳动教育，为了解七年级学生第一学期参加课外劳动时间t（单位：h）的情况，从该校七年级随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：课外劳动时间频率分布表 劳动时间分组 频率 m 解答下列问题： (1)本次调查共抽取了学生 名，频数分布表中 ； (2)估计该校七年级学生第一学期课外劳动时间平均为 小时； (3)已知该校七年级共有学生600人，估计该校课外劳动时间在 的学生人数为 ． 10．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东泰安·模拟预测）从分别标有数字1， 2， 3， 4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再抽取1张，两次抽取的数字之和为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2019·河南信阳·模拟预测）一个不透明的袋子中装有3个红球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从中任意摸出1个球后不放回，小刚再从中任意摸出一个球，则两人摸出的球都为红球的概率为（  ） A． B． C． D． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 4.将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是 ． 5．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）一个袋中有1个白球，1个黑球，2个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则摸到1个黑球和1个蓝球的概率是 ． 6．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，将半径为的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心，投掷一个小物体，使之落在阴影部分的概率为 ． 7．（2025·福建漳州·三模）近年来，漳州充分挖掘漳州非遗文化，不断推陈出新，着力打造文化旅游“金字招牌”，将文化底蕴和流行时尚元素融合，设计出了众多的爆款文创产品．小华在漳州旅游时购买了四件文创产品：A．木版年画，B．漳浦剪纸， C．棉花画， D．八宝印泥．她让好友晶晶和萱萱分别选一件作为礼物．晶晶和萱萱不知如何选择，于是决定抓阄：将四张完全一样的纸片分别写上A、B、C、D，折叠成外表完全一样的纸团搅匀，晶晶先从这4个纸团中随机抽取一个，搅匀后，萱萱再从剩下的3个纸团中随机抽取一个． (1)晶晶抽到棉花画的概率是___________； (2)利用画树状图或列表法求晶晶和萱萱有一人抽到木版年画的概率． 8．（2023·广东珠海·一模）某中学九年级1班开展了“A助老助残、B社区服务、C生态环保、D网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动）．收集整理数据后，绘制了如图不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)该班的人数是 ___________人 (2)在扇形统计图中，“助老助残”部分对应的圆心角的度数为 ___________度； (3)小明和小丽参加了志愿服务活动，请用画树状图或列表的方法求出他们参加同一志愿服务活动的概率． 9．（2025·福建福州·三模）某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱．小苏经过考查，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨．平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如果采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标．计算公式：减重率） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为40%．成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动．小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； (2)若乙生产线分配到草莓原料100吨，试求出成品草莓酱的利润（用含s的式子表示）； (3)经过调研，工厂本季计划用100吨草莓做草莓酱，考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的2倍，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与甲生产线的草莓原料吨数，并说明理由． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 事件的概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 随机事件的定义 准确分辨事件类型，掌握必然、不可能和随机事件特点，能清晰举例说明。 多以选择题简单考查，判断事件所属类型，难度较低。 频率、概率的概念； 用频数分布表、频数直方图解决相关问题 理清频率与概率区别联系，学会求频数、频率，能用图表分析数据解决问题。 常以选择题、填空题或解答题结合实际数据考查，有一定综合性。 概率的含义与应用 理解概率含义，熟练掌握公式、树状图、列表等求概率方法，用于解决实际决策问题。 是重点考点，常见于解答题，结合游戏公平、抽奖等场景，难度中等。 知识点01 随机事件 1）随机事件：可能发生也可能不发生，事先无法确定，像这种可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，也叫做不确定事件。 2）必然事件：必然会发生的事件，称为必然事件。 3）不可能事件：不可能发生的事件，称为不可能事件。 4）确定事件：必然事件和不可能事件，结果都是确定的，统称确定事件。 知识点02 频数与频率 1）频数：某个事件一共发生的次数叫做该事件发生的频数。 2）频率：事件发生的频数与事件的总次数的比值，叫做该事件发生的频率。 3）一般的，将总体中的数据按同一个标准分组后，各组数据的频数之和等于总体中数据的个数，各组数据的频率之和等于1。 知识点03 频数直方图 1）列频数、频率分布表的步骤： ① 确定所有数据中最大值与最小值，并计算二者的差。 ② 确定组数、组距，并进行分组。 ③ 列出相应的频数、频率分布表。 注意：将数据进行分组时，组数的多少应适当，组数太少，不能充分显示数据的分布情况；组数太多，不仅繁琐，且容易把性质相近的同类数据分散到各组，从而也不能正确显示数据分布的特征和规律。一般的，数据在 100 个以内，可按情况分为 5~12 组。 2）频数直方图：根据频数的分布绘制的条形统计图叫做频数直方图。 知识点04 随机事件的变化趋势 1）两个坐标轴的单位长度不同，表示的意义也不同。但是只要刻度之间的比例关系一致，坐标系中的点所表达的意义就是合理的。因此，在确定坐标轴的单位长度时，要注意具体问题具体分析。 2）由于画出的直线只是近似地表示图中各点的变化趋势，所以实际上还可以画出很多条直线。 知识点05 事件的概率 1）一般的，一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个事件发生的概率，通常记为P（事件）。在进行大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件发生的频率总在这个 事件发生的概率附近波动，显示出一定的稳定性。从而可以用事件发生的频率估计事件发生的概率。 2） 一个事件发生的频率是已发生的，也是可测的，而这个事件发生的概率是某个客观存在的确定的数值，但可能事先并不知道，用频率来估计概率可以实现由已知去探求未知，从偶然中去发现必然，它蕴含了一种深刻的数学思想。 知识点06 简单的概率计算 1）一般的，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件E包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件E发生的概率可利用下面的公式计算：P（E）=。上面的概率公式只适合于试验结果有限个且等可能的情况。 2)任何事件E发生的概率P（E）都是0和1之间（包括0和1）的数，即0 ≤ P（E）≤ 1。 3)列举试验所有可能出现的结果时，应注意做到不重不漏。 知识点07 利用画树状图和列表计算概率 树状图或列表能帮助我们将所有等可能的结果直观地列举出来，做到既不重复也没有遗漏。 题型一 随机事件 【例1】（2025·湖北孝感·三模）下列说法正确的是（   ） A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式； B．“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件； C．的算术平方根是； D．若一组数据的方差，则这组数据的总和为24 【答案】D 【思路引导】根据所学数学知识，判断即可． 本题考查了事件的判断，算术平方根，方差，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：A. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式； 故错误，不符合题意； B. “掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是必然事件； 故错误，不符合题意； C. 的算术平方根不是； 故错误，不符合题意； D. 若一组数据的方差，则这组数据的总和为24，正确，符合题意； 故选：D． 【变式】（2025·宁夏吴忠·三模）下列说法正确的是（    ） A．检测“神舟十九号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件 C．为表示出某地年年间增长率的变化趋势，最宜选用折线统计图 D．甲、乙两组跳高运动员身高数据的方差分别为，则甲组队员的身高比较整齐 【答案】C 【思路引导】本题考查了统计调查方式，三角形外角和，统计图选择，方差的意义，根据统计调查方式，三角形外角和，统计图选择，方差的意义进行判断即可，掌握知识点的运用是解题的关键． 【规范解答】解：检测“神舟十九号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，原选项不符合题意； 、任意画一个三角形，其外角和是，原选项不符合题意； 、为表示出某地年年间增长率的变化趋势，最宜选用折线统计图，原选项符合题意； 、甲、乙两组跳高运动员身高数据的方差分别为，，由， ∴乙组队员的身高比较整齐，原选项不符合题意； 故选：． 题型二 根据数据描述求频数 【例2】（2025·新疆克孜勒苏·模拟预测）小李为了解本班同学一周的课外锻炼时间，随机抽取班上若干名同学进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图，则下列说法正确的是（    ） A．本次抽查人数共有21名 B．该组数据的平均数为3 C．人数最多的课外锻炼时间的频数为8 D．该组数据的中位数为2.5 【答案】C 【思路引导】本题考查了条形统计图、平均数、中位数与频数，读懂条形统计图是解题关键．将条形统计图中的四组课外锻炼时间的人数相加，即可判断A错误；根据加权平均数的公式即可判断B错误；根据频数的定义即可判断C正确；根据中位数的定义即可判断D错误． 【规范解答】解：本次抽查人数为（名），则选项A错误； 该组数据的平均数为，则选项B错误； 人数最多的课外锻炼时间的频数为8，则选项C正确； 该组数据按小到大进行排序后，第10个数和第11个数的平均数即为中位数， ∵，， ∴该组数据的中位数为，则选项D错误； 故选：C． 【变式】（2025·陕西西安·一模）年月日，中国探月工程嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样返回．某中学为了增加学生对此次探月工程知识的掌握情况，随机抽取部分学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 ．成绩在这一组的具体分数是（单位：分）： 请根据以上信息回答下列问题： (1)本次测试共抽了 名学生； (2)本次测试成绩的中位数是 分； (3)若成绩在分及以上为优秀，该学校总共有名学生，估计该学校成绩优秀的学生有多少名？ 【答案】(1) (2) (3)名 【思路引导】（）由信息可得成绩在这一组的频数，进而即可求解； （）根据中位数定义解答即可求解； （）用乘以分及以上的学生人数占比即可求解； 本题考查了频数分布表，中位数，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由信息可得，成绩在这一组的频数为， ∴本次测试共抽的学生人数为名， 故答案为：； （2）解：∵本次测试共抽了名学生， ∴成绩由低到高排列，中位数为第名和第名学生成绩的平均数， ∴中位数分， 故答案为：； （3）解：， 答：估计该学校成绩优秀的学生有名． 题型三 根据数据描述求频率 【例3】（2025·辽宁大连·一模）小明家到公司有A、B两条公共交通路线可选择，为了了解A、B两条路线上班所用的时间情况，他进行了试验，第一、二周选择A路线上班，第三、四周选择B路线上班（每周5个工作日），分别记录了上班所用的时间（单位：），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 【数据收集与整理】 A路线所用的时间（单位：）：39，40，40，41，41，42，46，52，54，55． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 A路线所用的时间/ B路线所用的时间/ 47 根据以上信息，解答下列问题： (1)哪条路线平均所用的时间少？请说明理由； (2)求B路线所用时间的中位数； (3)某天，小明从家出发，要在前到公司，你认为选择哪条路线更好？请说明理由． 【答案】(1)A路线平均所用的时间少，见解析 (2)中位数为 (3)选择A路线，见解析 【思路引导】本题主要考查了求平均数，中位数，正确理解题意是解题的关键． （1）求出A路线的平均用时，比较两条路线的平均用时即可得到答案； （2）根据中位线的定义求解即可； （3）根据题意可得小明到公司所用的时间不能超过，比较出两个路线用时不超过的次数的大小即可得到结论． 【规范解答】（1）解：A路线平均所用的时间少．理由如下： 由题意得，A路线平均所用的时间为． ∵， ∴A路线平均所用的时间少； （2）解：B路线所用的时间的数据按由小到大排序为：44，45，45，46，46，47，48，49，50，50， ∴处在第6名和第7名的两个数分别为46，47， ∴B路线所用时间的中位数为； （3）解：选择A路线．理由如下： 由题意知小明到公司所用的时间不能超过．在十次记录中，A路线所用的时间不超过有6次，而B路线有3次，说明A路线所用的时间不超过的频率更大，所以选择A． 【变式】（2025·上海·二模）为了解区内赋能教学实践的情况，从名九年级学生中，随机抽取名学生进行了关于辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下： 满意度 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 频数 频率 根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是 ． 【答案】人 【思路引导】本题考查用样本估计总体，先求得样本中选择“满意”的人数的频率，然后用样本估计总体即可．解题的关键是掌握：频率等于频数除以数据总数，各组的频率之和等于． 【规范解答】解：选择“不满意”的人数的频率为：， 选择“比较满意”的人数的频率为：， 选择“满意”的人数的频率为：， ∴（人）， ∴选择“满意”的人数是人． 故答案为：人． 题型四 根据数据填写频数、频率统计表 【例4】青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校600名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 14 0.28 70.5～80.5 16 a 80.5～90.5 b c 90.5～100.5 10 0.2 合计 d 1 请根据图表，解答下面的问题： (1) ， ， ， ． (2)根据该样本，估计该校本次心理健康知识测试在90分以上的人数； (3)若成绩在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心理辅导．请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心理辅导，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)120人 (3)该校学生需要加强心理辅导，理由见解析 【思路引导】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息是解题的关键． （1）由的频数除以对应的频率求出样本的总人数，进而求出的频率，以及的频率与频数； （2）根据样本频率估计总体即可得到（人）； （3）求出70分以上的人数，求出占总人数的百分比，与比较大小即可． 【规范解答】（1）根据题意得：样本的容量为（人）， 则的频率为， 的频率为， 频数为．     故答案为：0.32；6；0.12；50． （2）（人）， 所以该校本次心理健康知识测试在90分以上的人数为120人； （3）该校学生需要加强心理辅导，理由为： 根据题意得：70分以上的人数为（人）， ∵心理健康状况良好的人数占总人数的百分比为 ， ∴该校学生需要加强心理辅导． 【变式】（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）古诗词是传统文化的瑰宝，为感受古诗书韵，打造“书香校园”，传承华夏文明，学校随机抽取了20名学生进行诗词知识测试，测试成绩如下：83、75、76、91、88、88、93、78、98、95、74、67、96、72、87、73、100、81、94、86． 【整理数据】小强对以上数据进行了整理分析，并绘制出频数分布表： 分组 频数 6 7 【解决问题】 (1) ， ； (2)以上数据中，中位数是 ，众数是 ； (3)竞赛成绩高于80分评价为“优秀”等级．试估计全校800名学生中，成绩在“优秀”的约有多少人？ 【答案】(1)1；6 (2)86.5；88 (3)520人 【思路引导】本题主要考查了频数（率）分布表，众数，中位数以及用样本估计总体．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （1）根据题目给出数据可得a、b的值； （2）根据中位数和众数的定义解答即可； （3）用总人数乘样本中“优秀”所占比例即可． 【规范解答】（1）解：在20个数据中， 的有1人， 的有6人， 故答案为： 1，6； （2）解：把数据排列为： 67、72、73、74、75、76、78、81、83、86、87、88、88、91、93、94、95、96、98、100， 居于中间的两个数为86和87，则中位数为； 在这组数据中88出现两次，故众数为88， 故答案为：86.5，88； （3）解：（人） 答：估计全校800名学生中，成绩在“优秀”的约有520人 题型五 频数分布表 【例5】（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】(1)10%，30%，见解析 (2)4 (3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【思路引导】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【规范解答】（1）解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； （3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 【变式】（23-24九年级下·广东深圳·期中）某学校组织开展主题为“节约用水，共建绿色家园”的社会实践活动．小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一：甲小区3月用水量频数分布表 用水量 频数/户 4 9 10 5 2 信息二：甲、乙两小区3月用水量数据的平均数和中位数如下： 小区 平均数 中位数 甲小区 乙小区 信息三：乙小区3月用水量在第三组的数据为：． 根据以上信息，回答下列问题： (1)______； (2)在甲小区抽取的用户中，3月用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，的大小，并说明理由； (3)若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月用水量低于的总户数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)610户 【思路引导】本题考查了中位数的定义、样本估计总体、条形统计图，熟练掌握各知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数的定义进行计算即可； （2）根据题意分别求出月份用水量低于平均用水量的户数，再进行比较即可； （3）根据样本估计总体，计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由统计图知，乙小区3月份用水量小于的户， ∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：， ∴第15个数据为9，第16个数据为9.2， ∴， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： ∵甲小区平均用水量为，低于平均用水量的户数为户， ∴， ∵乙小区平均用水量为，低于平均用水量的户数为户， ∴， ∴； （3）解：（户）， ∴两个小区3月份用水量低于的总户数约为610户． 题型六 频数分布直方图 【例6】（2025·安徽淮南·二模）人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． (2)请补全频数直方图． (3)学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 【答案】(1)80；22.5；31.25 (2)见解析 (3)小涵的观点正确，小涛的观点错误．见解析 【思路引导】本题考查了频数分布直方图与扇形统计图，中位数的概念，解决本题的关键是能读懂频数分布直方图与扇形统计图中的相关信息． （1）根据良好与中等所对应的圆心角可得总人数，再由圆心角计算公式以及人数计算即可． （2）根据中等学生人数与良好学生人数补全频数直方图即可． （3）根据中位数的概念计算中位数即可判断小涛的说法，计算不低于75分的人数即可判断小涵的说法． 【规范解答】（1）解：由扇形统计图可知，良好与中等所对应的圆心角为， ∴待合格，合格与优秀所对应的圆心角为， 即占总人数的， 由频数直方图可知，待合格，合格与优秀的人数为（人）， 即总人数为（人）； 待合格对应的圆心角为； 合格所占百分比为． 故答案为：80；22.5；31.25． （2）解：C等级即中等学生人数为15人， ∴良好学生人数为（人）， 补全频数直方图如图所示． （3）解：小涵的观点正确，小涛的观点错误，理由如下． 理由：本次抽样调查的样本容量是80，待合格和合格共30人，72分至75分的有8人， ∴第40人和第41人都是76分，所以这次抽取成绩的中位数是76分，所以小涛的观点错误． ∵（人）， ∴九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人，所以小涵的观点正确． 【变式】（2025·甘肃武威·一模）我国将每年月日设立为“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神、激发青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校为了解全体七年级学生（共，两班）对“航空航天”知识的掌握情况，现从七年级，两个班中各随机抽取名学生，统计这部分学生的测试成绩（满分分），得到部分信息如下 收集、整理数据： 班测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成组：，，，），其中这一组中的数据为：、、、、、． 班测试成绩： 、 分析数据：        统计量班级　 平均数 众数 中位数 极差 方差 班 班 根据以上信息，解决下列问题： (1)填空： ， ； (2)估计该校七年级共名学生中测试成绩达到分以上的人数； (3)请利用所学的统计知识分析，你认为，两个班中哪个班的成绩比较好？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)班成绩较好，理由见解析． 【思路引导】本题主要考查了条形统计图、中位数、众数，根据中位数、众数的定义求出中位数和众数，并且根据中位数和众数做出决策，利用样本估计总体． （1）根据中位数、众数的定义求出中位数和众数； （2）根据题意求出成绩达到分以上的学生占抽查人数的百分比，再乘以七年级人数； （3）根据中位数、众数、极差、方差做出决策． 【规范解答】（1）解：班共抽查了名学生， 在范围内有名学生，在范围内有名学生，在范围内有学生， 这三组共名学生， 第三组学生的成绩按照从小到大排列为、、、、、， 其中第名和第名学生的成绩应为和， 班学生成绩的中位数是； 班学生的成绩出现次数最多的是分， 班学生成绩的众数是； 故答案为：，； （2）解：两个班共抽取了名学生，成绩达到分以上的有人， 占抽查人数的， 估计该校七年级共名学生中测试成绩达到分以上的人数有人； （3）解：班成绩较好， 理由如下： 、两个班平均分相等，班的众数、中位数高于班， 班的极差和方差小于班，说明班成绩的波动较小， 班的成绩比较好． 题型七 由频率估计概率 【例7】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【答案】(1) (2)补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是 (3) 【思路引导】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息． （1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【规范解答】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 故答案为：100； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示，    阅读部分圆心角是， 故答案为：； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比为， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 【变式】（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意； B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意； D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意； 故选：A． 题型八 用频率估计概率的综合应用 【例8】（24-25七年级下·广东揭阳·期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1)； (2)估计其中不合格品有件 【思路引导】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率可得任抽一件该产品是合格品的概率，用总件数乘合格的频率即可得出m的值； （2）总件数乘以不合格的概率即可． 【规范解答】（1）解：估计任抽一件该产品是合格品的概率是， ， 故答案为：，； （2）解：抽取件数为时，合格的频率趋近于， 估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计其中不合格品有件． 【变式】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中________；________； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； (3)估计袋子中有白球________个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率，分式方程的应用，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （）根据，即可求解； （）根据表格分析即可求解； （）由摸到黑球的频率将会接近，则有摸到黑球的概率为，故摸到黑球的概率为，则袋子中有白球， （）设增加相同的白球个，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当很大时，摸到黑球的频率将会接近， 故答案为：； （3）解：∵摸到黑球的频率将会接近， ∴摸到黑球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋子中有白球（个）， 故答案为：； （4）解：设增加相同的白球个， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际， 故答案为：． 题型九 根据概率公式计算概率 【例9】端午节吃粽子时，吃到包有红枣的粽子就象征吉祥如意，今年外婆、外公、舅舅来我家与爸爸妈妈、我一起过端午节，外婆在12个粽子中的一个里包了红枣． (1)我吃了一个粽子能吃到红枣的概率是________； (2)吃粽子时妈妈给每人各分2个，如果把这2个粽子都吃掉，我能吃到红枣的概率是________，那天他们都没有吃到红枣，由于外婆和妈妈做了手脚，使我吃到了，在此前提下，我吃第一个粽子就有红枣的概率是________． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查概率： （1）根据概率计算方法可直接得出答案； （2）①相当于6份粽子，其中有1份含有红枣；②相当于有2个粽子，其中有1个含有红枣． 【规范解答】（1）解：总共有12个粽子，其中有1个包了红枣，从12个中吃掉其中1个，吃到包了红枣的概率为：； 故答案为： （2）解：吃粽子时妈妈给每个人各分2个，相当于粽子分成6份，其中有1份里面含有红枣， ∴我能吃到红枣的概率为：； ∵外婆和妈妈做了手脚，使我吃到了，在此前提下，分给我的2个粽子里面有1个是红枣，故第一次就吃到红枣的概率为：， 故答案为：． 【变式】（2025·湖北·模拟预测）已知四个点的坐标分别是，，，，从中随机选取一个点，这个点在反比例函数图象上的概率是 ． 【答案】/0.5 【思路引导】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征和概率问题，解题的关键是判断四个点中在反比例函数图像上的点． 先通过反比例函数判断在反比例函数图像上的点，然后再计算概率． 【规范解答】解：， ， ，，，， ∴和在反比例函数图像上， 四个点中在反比例函数图像上的点的概率是． 故答案为：． 题型十 根据概率作判断 【例10】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【思路引导】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【规范解答】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 【变式】（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【答案】(1) (2)停止掷，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键． （1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题； （3）根据已掷出的点数和前面掷的人的结果综合考虑来决定是否继续掷即可． 【规范解答】（1）解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出点时，其点数和才会超过， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是， 故答案为：； （2）解：停止掷； 理由如下： 小明前两次掷出的点数和是，若再掷一次，点数为，时，得分为 或 （小明得分或）； 点数为，，，时．得分为， （小明得分）． ， 停止掷． （3）解：一般来说，当前面掷出的点数和不超过时，应该继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择停止掷； 当前面掷出的点数和为时，应该停止掷． 当然，如果你在后面掷，还要视前面掷的人的结果来决定是否继续掷． 题型十一 已知概率求数量 【例11】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】(1) (2)小明后来放进了25个黑球 【思路引导】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可； （2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是， 故袋中黑球的个数约为（只）； 故答案为：； （2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为， 设后来放进了个黑球，则， 解得：； 答：小明后来放进了25个黑球． 【变式】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（   ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了随机概率，利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 由摸到白球的频率稳定在附近，可以得出口袋中得到白色球的概率，然后求得口袋中得到黑色球的概率，然后即可求解． 【规范解答】解：∵通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近， ∴袋中得到白球的概率为， ∴袋中得到黑球的概率为：， ∵袋中有黑球6个， ∴袋中球的总个数为：个， ∴袋中有白球：个； 故选：C； 题型十二 几何概率 【例12】（2025·江苏苏州·二模）如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是，再根据几何概率求解即可． 【规范解答】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【变式】（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【规范解答】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【考点剖析】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 题型十三 列举法求概率 【例13】（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)20，10，90 (2)统计图见解析 (3) 【思路引导】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【规范解答】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； （2）解：如图： （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． 【变式】（2025·重庆·模拟预测）如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了列举法求概率．根据题意列举出所有等可能的结果是解题的关键． 由题意知，随机闭合3个开关，，中的两个开关，共有（，）（， ），（，）三种等可能的结果，其中能够使小灯泡L发光的共有（，）（， ），两种等可能的结果，然后求概率即可． 【规范解答】解：由题意知，随机闭合3个开关，，中的两个开关， 共有（，）（， ），（，）三种等可能的结果， 其中能够使小灯泡L发光的共有（，）（， ），两种等可能的结果， ∴使小灯泡L发光的概率是． 故答案为：． 题型十四 列表法或树状图法求概率 【例14】（2025·河北秦皇岛·一模）某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）．并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 及格 良好 45 优秀 32 (1)分别求出表中、、的值； (2)请补全图中的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数； (3)为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率． 【答案】(1)，20， (2)估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数为30人 (3) 【思路引导】本题考查条形统计图、用样本估计总体、树状图法求概率及简单概率公式等知识，熟练掌握条形统计图相关知识及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键． （1）先根据选取的优秀人数和百分比求出选取的人数，再根据总数、频数、百分比的关系即可求得答案； （2）根据及格的人数，补全条形统计图；再由不及格人数占比估计总体即可得到答案； （3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出一名“良好”，一名“优秀”的结果，利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：这次调查的人数为：（人）， ，，， 故答案为：，20，； （2）解：补全条形统计图如下： 则（人）， 估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数为30人； （3）解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁， 画树状图如图： ∵共有12种等可能的结果，其中两人是一名“良好”，一名“优秀”的结果是甲丁、乙丁、丙丁、丁甲、丁乙、丁丙共6种， ∴所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率为． 【变式】（2025·浙江丽水·二模）端午节前，学校准备举行“龙腾端午·竞舟校园”文化节活动，计划开展A-包粽子，B-划旱船，C-创美文，-拔河四个项目，要求人人参加，每人限选一项，为了解同学们参加活动的意愿，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息，回答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数； (3)甲、乙、丙三位同学都是包粽子的能手，现从他们3人中选2人参加才艺展示，请用画树林图或列表的方法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】(1)见解析 (2)人 (3)图见解析， 【思路引导】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本估计总体以及树状图求概率，解题的关键是从统计图中获取有用信息，以及掌握画树状图的方法． （1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数减去各部分人数得到C类活动的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以类活动所占的百分比即可； （3）先画树状图，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：解：总人数为：（人）， 类活动的人数：（人）， 补全图形如下： （2）解：， （人）， 答：选择D类活动的人数大约有人； （3）解：依题意，树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有种， 所以同时选中甲和乙的概率为． 题型十五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 【例15】计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 【答案】（1）；（2）2台，理由见解析． 【思路引导】（1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先分别计算各段年入流量的概率，再根据概率计算安装2台发电机和3台发电机对应的年利润的加权平均数，比较之，则可得出答案． 【规范解答】（1）年入流量不低于120的年数为:， 总的年数为50年． 年入流量不低于120的概率为：． （2）根据题意，能安装2台发电机对应的年入流量为不低于80， 年入流量低于的概率为：，只能运行1台发电机； 年入流量不低于80的概率为： ，能2台发电机都运行； 安装2台发电机时的利润为：万元． 能安装3台发电机对应的年入流量为不低于120，由（1）可知：，只能运行1台发电机， 当年入流量时，，只能运行2台发电机； 当年入流量时，，能运行3台发电机， 安装3台发电机时的利润为： 万元， 因为，故安装2台发电机． 【考点剖析】本题考查了概率的计算，将概率当做权数计算平均数，计算出各段的概率是解题的关键． 【变式】为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 【答案】（1）10；35；（2）；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8，甲好． 【思路引导】（1）根据题意可求a+b=45，由的估计值为0.70，则解方程求出b，再求a即可； （2）根据样例给定的方法求即可； （3）由甲离子中位数5.96.3，甲离子众数6.06.3，从甲离子方差看甲离子方差1.381.8做决策即可． 【规范解答】解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45， 因为的估计值为0.70， 则， 解得b=35，a=45-b=45-35=10， 故答案为：10；35； （2）； （3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8说明甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好． 【考点剖析】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数据，平均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键． 题型十六 概率在转盘抽奖中的应用 【例16】（21-22八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【思路引导】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 【变式】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】(1) (2)作图见解析 【思路引导】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【规范解答】（1）解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； （2）∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份， 如图： 题型十七 概率在比赛中的应用 【例17】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，理由见解析 【思路引导】本题考查了概率公式，熟练地利用概率公式进行计算是解本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出A盘转出的数字大于4的概率和B盘转出数字“4”的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域， 所以（A盘转出数字“2”）， 因为B盘被分成3个面积相等的扇形区域， 所以（盘转出数字“2”）， （2）解：正确，理由如下： 因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，其中数字大于4的区域有2个， 所以（A盘转出的数字大于4）． 因为盘被分成3个面积相等的扇形区域，其中数字为4的区域有1个， 所以（盘转出数字“4”）， 所以小华的看法正确， 【变式】（2021·福建漳州·一模）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3． 甲 78 79 81 82 x 88 93 95 乙 75 80 80 83 85 90 92 95 （1）求x的值；       （2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 【答案】（1）x=84；（2）从统计的角度考虑，派甲参赛比较合适，理由见解析；从概率的角度考虑，派乙参赛比较合适，理由见解析． 【思路引导】（1）根据众数、中位数的计算方法分别计算即可； （2）解法1：从平均数、方差以及数据的变化趋势分析． 解法2：从概率的角度以及数据的变化趋势分析． 【规范解答】解：（1）依题意，可知 甲的中位数为，乙的众数为80， ∴， 解得x=84． （2）解法一：派甲参赛比较合适． 理由如下： ， ， ， ， 因为，， 所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． 解法二：派乙参赛比较合适． 理由如下： 从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率， 乙获得85分以上（含85分）的概率， 因为P1＜P2， 所以派乙参赛比较合适． 【考点剖析】考查平均数、众数和中位数的意义，方差，概率等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 题型十八 游戏的公平性 【例18】（24-25六年级下·全国·单元测试）小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？ 【答案】不公平，见解析 【思路引导】本题主要考查游戏的公平性，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平．要想让这个游戏公平：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 【规范解答】解：这个游戏不公平，因为当小光掷到1时，小明掷到哪个面都比他大，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平． 可以这样修改：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 【变式】（2021·山东·二模）由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都想去，两人商量采取转转盘（如图，转盘被分成四等份，且每个扇形区域标上数字）的游戏方式决定谁胜谁去观看．游戏规则：两人各转动转盘一次，当转盘停止后，若两次指针所指数字都是奇数，则小王胜；若两次指针所指数字都是偶数，则小张胜；若两次指针所指数字是一奇一偶，视为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】游戏公平，理由见解析 【思路引导】本题考查的是游戏公平性的判断，用列表法或树状图法求概率，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况之比．列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公平． 【规范解答】解：游戏公平，理由如下： 列表如下： 所有等可能的情况有种，其中两次指针所指数字都是奇数的情况有4种，都是偶数的情况也有4种， ∴，， ∴游戏公平． 题型十九 概率的其他应用 【例19】“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 【答案】(1)打七五折的概率为，打五折的概率为 (2)见解析 【思路引导】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 【规范解答】（1）解：打七五折的概率为，打五折的概率为； （2）解：第一种情况：小红和小明都按七五折付账：（元）． 第二种情况：小红按五折付账，小明按不打折付账：（元） （或小红按不打折付账，小明按打五折付账） 【变式】2025·福建厦门·模拟预测）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1)； (2)选择方案一较为实惠． 【思路引导】本题主要考查了画树状图求某个事件发生的概率、根据概率选择方案． 画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况，一次抽奖获得折优惠的概率； 根据概率可知，如果选择方案二，顾客大概率可能只省元，如果选择方案一，顾客一定可以省元，选择方案一较为实惠． 【规范解答】（1）解：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况， 一次抽奖获得折优惠的概率； （2）解：如果先择方案二，则顾客打折的概率为， 打折的概率为， 打折的概率为， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 打折的概率是， 如果选择方案二，顾客大约可以省元， 如果选择方案一，顾客一定可以省元， 选择方案一较为实惠． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．明天早上会下雨 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．任意一个三角形，它的内角和等于 D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【思路引导】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【规范解答】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 2．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 【答案】C 【思路引导】本题考查可能性大小，根据球的数量决定事件发生可能性大小解答即可． 【规范解答】解：∵白球数量（1个）＜黄球数量（2个）＜红球数量（3个）， ∴这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是①②③， 故选：C． 3．（2025·山东·模拟预测）小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意先画出树状图得出所有情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【规范解答】解：根据题意画图如下： 共有种情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有种情况， 则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是； 故选：D． 4．（2025·安徽淮南·二模）中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富的文化内涵和艺术价值．某校开设了二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，小明和小丽随机选择其中的一个社团，则两人选择同一个社团的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查列表法求概率，分别用表示四种器乐社团，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】解：用表示二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中，两人选择同一个社团的情况有4种， ∴； 故选C． 5．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了概率公式． 直接根据概率公式计算即可． 【规范解答】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“中庸”书签的结果有1种， ∴抽到“中庸”书签的概率为， 故答案为：． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查概率的计算，直接应用概率公式：事件发生的概率等于该事件可能发生的结果数除以所有可能的结果数。 【规范解答】解：从7张扑克牌中随机抽取张，共有种等可能结果， 其中抽到红桃的有种结果， 抽取红桃的概率为． 故答案为：． 7．（2025·浙江丽水·二模）小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图钉做实验得到如下数据 掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 2000 针尖朝上的频率 请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据用频率估计概率即可得到答案． 【规范解答】解：观察数据可得，“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是，即． 故答案为：． 8．（2026·江西·模拟预测）新素材 杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，说明见解析 【思路引导】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，根据概率判断游戏的公平性是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）用列表或画树状图的方法先计算出小明和小颖赢的概率，比较大小，判断游戏是否公平即可． 【规范解答】（1）解：因为3张卡片有2张正面印着杜鹃花，从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：将印着杜鹃花的2张卡片分别记为，，将印着香樟树的卡片记为B． 方法一：根据题意，列表如下． B B 由表格可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∴这个游戏不公平．     方法二：根据题意，画树状图如下． 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图案相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∵ ∴这个游戏不公平． 9．（25-26九年级上·全国·单元测试）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格；（结果全部精确到0.1） (2)请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)472；0.6 (2)0.6，0.6 (3) 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数． （2）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是0.6． （3）可根据获得“洗衣粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角． 【规范解答】（1）解：； ． （2）解：估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6； 故答案为：0.6；0.6． （3）解：， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是． 10．（2025·广东江门·二模）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． (3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【思路引导】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比求出调查的学生总人数，再求出选择课程和课程的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以本次调查中选择的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择课程的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：调查的学生人数为（人）， 选择课程的人数为（人）， 选择课程的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）解：扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为. （3）解：（人． 估计全体1000名学生中最喜欢活动的人数约为300人． （4）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种， 恰好甲和丁同学被选到的概率为． 【考点剖析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2024·安徽·模拟预测）在动物行为学中有小鼠Y字迷宫实验，锻炼小鼠短期记忆．如图，小鼠从入口进入，每遇到一个Y字路口会随机选择其中一条路走，只可以前进不许后退，则小鼠在第一次走迷宫就能获得食物的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查概率的应用，从图中找出一共有几条路径，用能获得食物的路径数量除以路径总数即为所求． 【规范解答】解：小鼠一共有八条路径可以选择，只有两条路能获得食物， ∴P（小鼠在第一次走迷宫就能获得食物）． 故选：C． 2．（2024·广东·模拟预测）不透明的袋子中装有红、绿、黄小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么摸到一个红球一个黄球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解决本题的关键是注意题目为放回实验． 根据题意列出所有情况即可． 【规范解答】解：红小球用1表示，绿小球用2表示，黄小球用3表示 列表如下： 1 2 3 1 2 3 由表可知总共有9种情况，而摸到一个红球一个黄球的情况有2种情况， ∴摸到一个红球一个黄球的概率是． 故选A． 3．（2024·天津·模拟预测）从1，2，3，4，5五个数中随机选择一个数记为a，从，0，1，2，3中随机选择一个数记为b，能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查概率、一元二次方程的判别式．根据题意列出a、b取值的所有可能数，根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知，由此求出a、b满足的关系，列举出满足该关系的a、b取值的组合，根据概率计算方法即可求解． 【规范解答】解：画出树状图： 故a、b的取值组合有（种）， 对于一元二次方程，其判别式为， 要使方程有两个不相等的实数根，则，即，有15种组合， ∴概率为， 故选：B． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设“神舟十六号”上甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选两人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了树状图或列表求概率，解决此题的关键是读懂题意列出正确的树状图；根据题意可知此题分两步完成，第一步是甲乙丙都有可能进入问天实验舱，第二步剩下的人进入梦天实验舱，列出树状图解决问题即可； 【规范解答】解：设甲乙丙分别用A，B，C表示； 由上可得：一共有6种等可能性的结果，其中甲，乙两人同时被选中的可能性有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为， 故选：B． 5．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 6．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是 ．（精确到） 【答案】 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是根据每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【规范解答】解：由击中靶心频率都在上下波动， 所以该射手击中靶心的概率的估计值是， 故答案为：． 7．一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了列举法求概率，正确列举出所有情况是解题的关键． 先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【规范解答】解：由于A的位置已经确定，B、C、D随机而坐的情况共有6种（如图所示）：6种情况出现的可能性相同．其中A与B不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是： ． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． 【规范解答】（1）解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； （2）解： 第一次          第二次 A B C D A B C D 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 9．（21-22九年级下·海南海口·阶段练习）某校在开展劳动教育，为了解七年级学生第一学期参加课外劳动时间t（单位：h）的情况，从该校七年级随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：课外劳动时间频率分布表 劳动时间分组 频率 m 解答下列问题： (1)本次调查共抽取了学生 名，频数分布表中 ； (2)估计该校七年级学生第一学期课外劳动时间平均为 小时； (3)已知该校七年级共有学生600人，估计该校课外劳动时间在 的学生人数为 ． 【答案】(1)20， (2)53 (3)150 【思路引导】本题考查了频数分布直方图、频率分布表、加权平均数以及用样本估计总体，解题的关键是正确从统计图中获取信息． （1）用表格中的频数除以频率可得抽取的学生人数，用1减去除这一组的频率外的其他组的频率可得m的值； （2）先求出和这两组的人数，再运用加权平均数的计算公式计算即可； （3）用600乘以样本中课外劳动时间在的学生人数占比即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，抽取的学生人数为人， ． 故答案为：20，； （2）解：这一小组的人数为人， 这一小组的人数为人， 小时 ∴估计该校七年级学生第一学期课外劳动时间平均为53小时． 故答案为：53； （3）解：（人）， 答：估计该校课外劳动时间在的学生人数为150人． 故答案为：150． 10．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东泰安·模拟预测）从分别标有数字1， 2， 3， 4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再抽取1张，两次抽取的数字之和为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了列表法求概率，根据列表法求概率，即可求解． 【规范解答】解：列表如下 共有种等可能结果，其中两次抽取的数字之和为偶数的有种， 所以两次抽取的数字之和为偶数的概率是． 故选：A． 2．（2019·河南信阳·模拟预测）一个不透明的袋子中装有3个红球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从中任意摸出1个球后不放回，小刚再从中任意摸出一个球，则两人摸出的球都为红球的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法求概率的步骤是解题的关键． 通过列表法列出小明和小刚摸球的所有可能结果，再找出两人都摸出红球的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【规范解答】解：设个红球分别为红、红、红，蓝球为蓝．列表如下： 小明小刚 红 红 红 蓝 红 - （红，红） （红，红） （红，蓝） 红 （红，红） - （红，红） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） - （红，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） - 共有种等可能的结果，其中两人摸出的球都为红球的结果有种． 所以两人都摸出红球的概率． 故选：D． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【规范解答】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 4.将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是 ． 【答案】 【思路引导】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【规范解答】解：设鲜用A表示、灵用B表示、东用C表示、港用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中C和D的有2种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是． 故答案为：． 5．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）一个袋中有1个白球，1个黑球，2个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则摸到1个黑球和1个蓝球的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查用树状图法或列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由于摸球后放回，两次摸球相互独立，通过树状图列出所有等可能结果，再找出摸到1个黑球和1个蓝球的结果数，计算概率． 【规范解答】解：根据题意，树状图如下： 由树状图可得，共有16种等结果，其中摸到1个黑球和1个蓝球的结果有4种， 摸到1个黑球和1个蓝球的概率为， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，将半径为的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心，投掷一个小物体，使之落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了扇形的面积，折叠的性质，几何概率等，作于点，延长线交于点，连接，可得，再根据旋转可得阴影部分的面积，分别求出扇形和圆的面积，再根据概率公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：作于点，延长线交于点，连接， ∵弓形折叠后为弓形过圆心， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 将弓形绕着点顺时针旋转得弓形，弓形绕着点逆时针旋转得弓形， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 7．（2025·福建漳州·三模）近年来，漳州充分挖掘漳州非遗文化，不断推陈出新，着力打造文化旅游“金字招牌”，将文化底蕴和流行时尚元素融合，设计出了众多的爆款文创产品．小华在漳州旅游时购买了四件文创产品：A．木版年画，B．漳浦剪纸， C．棉花画， D．八宝印泥．她让好友晶晶和萱萱分别选一件作为礼物．晶晶和萱萱不知如何选择，于是决定抓阄：将四张完全一样的纸片分别写上A、B、C、D，折叠成外表完全一样的纸团搅匀，晶晶先从这4个纸团中随机抽取一个，搅匀后，萱萱再从剩下的3个纸团中随机抽取一个． (1)晶晶抽到棉花画的概率是___________； (2)利用画树状图或列表法求晶晶和萱萱有一人抽到木版年画的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了利用画树状图或列表法求随机事件的概率，正确列表或树状图是解题的关键． （1）共有四件文创产品，晶晶抽到棉花画的概率即为； （2）利用列表法把所有可能出现的结果列举出来，进而求出晶晶和萱萱有一人抽到木版年画的概率． 【规范解答】（1）解：共有四件文创产品，晶晶抽到棉花画的概率即为； （2）解：根据题意列表，所有可能出现的结果如下： A B C D A B C D 共有12 种可能出现的结果，每种情况可能性相等，其中晶晶和萱萱有一人抽到抽到木版年画，即包括的结果有6种，所以晶晶和萱萱有一人抽到木版年画的概率为． 8．（2023·广东珠海·一模）某中学九年级1班开展了“A助老助残、B社区服务、C生态环保、D网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动）．收集整理数据后，绘制了如图不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)该班的人数是 ___________人 (2)在扇形统计图中，“助老助残”部分对应的圆心角的度数为 ___________度； (3)小明和小丽参加了志愿服务活动，请用画树状图或列表的方法求出他们参加同一志愿服务活动的概率． 【答案】(1) (2) (3)图见解析， 【思路引导】本题考查了折线图、扇形统计图、画树状图求概率，解题的关键在于从统计图中获取需要的信息． （1）利用生态环保的人数除以其所占百分比，即可得到该班的人数； （2）利用乘以“助老助残”的人数所占比，即可得到“助老助残”部分对应的圆心角的度数； （3）根据题意画出树状图，再结合概率公式求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：（人）， 故答案为：； （2）解：“助老助残”部分对应的圆心角的度数为， 故答案为：； （3）解：根据题意画树状图如下： 由图知，总共有种情况，其中小明和小丽参加同一志愿服务活动的情况有种， 他们参加同一志愿服务活动的概率为． 9．（2025·福建福州·三模）某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱．小苏经过考查，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨．平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如果采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标．计算公式：减重率） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为40%．成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动．小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； (2)若乙生产线分配到草莓原料100吨，试求出成品草莓酱的利润（用含s的式子表示）； (3)经过调研，工厂本季计划用100吨草莓做草莓酱，考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的2倍，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与甲生产线的草莓原料吨数，并说明理由． 【答案】(1) (2)万元 (3)当工厂与农场的路程距离，甲生产线分配到的草莓原料为200吨时，利润最大，理由见解析 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，频数分布直方图，解题的关键是求出相应的解析式； （1）由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，由待定系数法即可求出关系式； （2）先统计去年一年销售价格的平均价格，再乘以乙生产线分配到草莓原料100吨得到成品草莓酱的吨数，用销售总价减去生产成本减去采购成本即可解答； （3）根据总售价减总成本，再利用一次函数的性质求解． 【规范解答】（1）解：由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，设， ∵时，，时，， ∴， 解得：， 即草莓采购成本价随工厂与农场路程距离的函数关系式为 （2）解：由直方图可知去年一年成品草莓酱销售价格的平均价格为（万元/吨） 乙生产线分配到草莓原料100吨，成品草莓酱的产量为：吨； 成品草莓酱的利润（万元）； （3）解：当工厂与农场的路程距离，甲生产线分配到的草莓原料为200吨时，利润最大，理由如下： 当工厂与农场的路程距离，甲生产线减重率为0.05；设甲生产线的产品销售价格为，与距离的关系式为，把，，，代入得： ，解得：， 即当，甲生产线的产品销售价格为， 当工厂与农场的路程距离，由图象可知甲产品销售价格下降，收购价格增大，甲生产线减重率增大，变为0.10，故利润会降低，故选址应该． 设甲生产线分配到的草莓原料为x吨， 则：甲生产线的生产成本（万元）为：，甲生产线的销售总额（万元）为：； 乙生产线的生产成本（万元）为：，乙生产线的销售总额（万元）为：； 采购成本为： 设总利润， ∴， ∴， ∵，s越大利润也大，即时，利润最大，， ∵甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的2倍； ∴， ∵随增大而增大， ∴时，； 答：当工厂与农场的路程距离，甲生产线分配到的草莓原料为200吨时，利润最大． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 【答案】(1)， (2)    【思路引导】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可； （2）①利用样本估计总体即可；②先画出树状图，展示从人中任选人所有等可能的结果，再找出调查结果一致为“非常满意”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【规范解答】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，； （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人； ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率． 【考点剖析】本题主要考查了求平均数，求中位数，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数、频数分布直方图的概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $