湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高二上学期数学期中复习试题三

湖北曾都一中2025-2026学年高二上学期数学期中复习试题三 考试范围（人教A版必修2概率，选择性必修1 1.1--3.1椭圆）时间2025-11-11-18:30--20:30 一、单选题 1．已知直线：，：，若，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．3或 2．如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （    ） A． B． C． D． 6．某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（    ） A． B． C． D． 7．设是圆上任意一点，若的最小值为，且，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C．3 D．2 8．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线方程为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．圆：与圆恰有3条公切线 D．点在圆上，点在圆上，则最小值为3 10．下列说法正确的有（    ） A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是 B．若A，B是互斥事件，则 C．已知事件A，B发生的概率分别为，且，则事件A，B相互独立 D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点，且，下列说法正确的是（    ） A．若是棱的中点，则平面截该正方体所成的截面是五边形 B．当三棱锥的体积取得最大值时，则点到直线的距离为 C． D．二面角正切值的取值范围是 三、填空题 12．若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 13．过点与圆相切的直线方程为 . 14．已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 四、解答题 15．已知顶点、、． (1)求直线BC的方程及其在y轴上的截距； (2)求边BC的垂直平分线l的方程 (3)求的面积． 16．（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动． 若，求点N的轨迹方程． 17．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，点是的中点，点F是平面与线的交点 (1)证明 (2)求直线与平面所成的角的正弦值 18．某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． (1)求两种规则下获得二等奖的概率； (2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 19．如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点． (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围． 高二上学期数学期中复习试题三参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D B A D B D CD AC BCD 12．3 13．或 14． 8．【详解】连接，设，，则，因为，所以，在中，，所以，化简得，则，，在中，， 所以，即，所以离心率. 11．【详解】对于A，如图， 连接，若是棱的中点，则是棱的中点，根据正方体的性质可知， 所以四点共面，即平面截该正方体所成的截面是四边形， 又，所以四边形为等腰梯形，故A错误； 对于B，如图，以C为原点建立空间直角坐标系，设. ，若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值，， 当且仅当时，即时取等号，即E，F分别是棱AB，BC的中点， 则，，，，则，，设点到直线的距离为，在中，，， 则，故B正确； 对于C，如图，设，则，，，，所以，，由，所以，故C正确； 对于D，设二面角，则为锐角.如图，过作于点，连接，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，所以，设， 如图，由， 得到，所以（）， 所以（）.设，，则，根据对勾函数的性质易得：函数在上单调递减，所以，所以，故D正确.故选：BCD. 14．【详解】因为，所以，其表示为圆的上半部分.设半圆上一动点，表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去），则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为.故答案为：.    15．(1)；； (2)； (3). 【详解】（1）因为、，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，令，得，即直线的方程在y轴上的截距为； （2）由题可知的中点为，直线的斜率为，线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即； （3）因为直线的方程为，又，所以到的距离为， 又， 所以的面积为. 16．（1） ；（2）. 【详解】（1）连接，根据题意可得：， 则，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知，，则，所以点Q的轨迹的方程为； （2）由题意可知：，，设点，，则，，因为，则，可得， 而点在椭圆C上运动，则，即， 所以点N的轨迹方程为. 17．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因，平面,平面,则平面， 又因平面,平面平面,故,故； （2）因平面,,,可得， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则,, 设平面的法向量为，则，故可取， 设直线与平面所成的角为，则 故直线与平面所成的角的正弦值为. 18．(1)(2)两种规则的获奖概率一样大，理由见解析 【详解】（1）据题意，两次抽取小球的所有可能结果为： 记规则一获得二等奖为事件，记规则二获得二等奖为事件， 事件包含五个样本点，故， 事件包含五个样本点，故． 所以两种规则下获得二等奖的概率均为. （2）两种规则的获奖概率一样大．理由如下： 记规则一获得一、二、三等奖分别为事件 由(1)可知事件包含两个样本点，所以 事件包含,共12个样本点，所以由(1)知， 所以规则一的获奖概率为 记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件 事件包含两个样本点，； 事件包含，共十二个样本点，；由(1)知， 所以规则二的获奖概率. 所以两种规则的获奖概率一样大． 19．(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）因为平面,平面，且平面平面,所以，取的中点，连接，因为是棱的中点，可得，且，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）取的中点，连接，因为是正三角形，所以， 又因为平面平面，且平面，平面，所以平面， 因为，且，则，所以， 以为原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 所以， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设点到平面的距离为，可得， 当时，可得；当时，， 因为，当，即时，取得最大值，即， 综上可得，，即点到平面的距离的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $