第十六章 整式的乘法 培优训练 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 第26 讲 整式的乘法 板块一 幂的运算 典 例 精 讲 题型① 同底数幂相乘 【例1】计算: 【例2】若x，y均为正整数，且 求x+y的值. 题型 ② 幂的乘方 【例3】计算: 【例4】(1)已知 求x的值；(2)已知 求 的值. 题型③ 积的乘方 【例5】计算: 【例6】计算: 题型④幂的综合计算 【例7】计算: 实 战 演 练 1.计算: 2.计算: 3.(1)若 求m,n的值; (2)已知 求 的值. 4.(1)已知 求 的值；(2)已知 求 的值. 5.(1)已知a+3b-2=0,求 的值；(2)已知 求x 的值. 板块二 整式的乘法(一) 典 例 精 讲 题型① 整式的乘法 【例1】计算: (5)(2a+3b)(2a-b); (6)(3a+2b)(2a-3b). 题型② 先展开，再合并 【例2】计算: (1)3x(2x-3)-x(5x-1); (2)3b(-2b+9)-4b(5b-1)+4; (3)(2x+8)(3x-3)+(x-5)(2x+7); (4)(5x+6)(4x-3)-(5x+2)(3x-4). 题型③ 求参数的值 【例3】若关于x的多项式(2x-m)与(3x+5)的乘积中,一次项系数为25,求m 的值. 学科网（北京）股份有限公司 实 战 演 练 1.计算: 2.计算: (3)(x+9)(x-5)-(x-8)(x+6); (4)(x+5)(x-6)-(x-3)(x-7); (5)(2x-7)(6x+2)-(4x+8)(3x-5); (6)(3x+2)(4x-9)-(2x-6)(6x+3). 3.求值: (1)已知 则m 的值为 ； (2)已知( 则m 的值为 ； (3)已知( 则m 的值为 ； (4)已知 且 p,q为整数,则m 的值为 ; 4.若 其中a,b,c 均为整数,求a,c 的值. 板块三 整式的乘法(二) 典 例 精 讲 题型①化简求值 【例1】先化简，再求值： 其中a=-1. 题型②解方程与不等式 【例2】解下列方程与不等式： 题型③ 降次与整体思想 【例3】已知 求 的值. 题型④ 不含某项 【例4】若 的乘积中不含 和 的项，求a，b的值. 实 战 演 练 1.求证：对于任意正整数n，代数式n(n+7)-(n+3)(n-2)的值必是6的倍数. 2.先化简,再求值:(2x-y)(6x+3y)-6x(x+y)-(3x-2y)(2x+4y),其中.x=-3,y=-2. 3.已知 求3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值. 4.已知 则 的值. 5.(1)若 的结果中 项的系数为-2，求a 的值. (2)若多项式 和 的积中没有 和 两项，求a，b的值. 板块四 整式的除法 典 例 精 讲 题型 ① 同底数幂相除 【例1】计算: 【例2】若2x+3y-4z-3=0,则 的值是 . 题型② 整式的除法 【例3】计算: 题型❸ 整式的乘除 【例4】计算: 实 战 演 练 1.若a"=3,a"=2.(1)a"+n= ; ( 2.计算: 3.先化简,再求值:[(3a+4b)(3a+2b)-2b(3a+4b)]÷(-6a),其中a=-1,b=-2. 第 27 讲乘法公式 板块一 平方差公式 典 例 精 讲 题型① 平方差公式 【例1】计算:(1)(3x-4)(3x+4)-(2x+3)(2x-3);(2)(a-b)(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴). 题型② 平方差公式的运用 【例2】计算: 题型③ 构平方差公式 【例3】已知实数m,n 满足( 求 的值. 实 战 演 练 1.计算: (1)(m+3)(3m+1)-(2m-4)(-2m-4);(2)(3a+1)(3a-1)-(2a+1)(3a-1). 2.已知 求(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值. 3.已知实数x，y 满足 求 的值. 板块二 完全平方公式 典 例 精讲 题型① 完全平方公式 【例1】若x²+2(m-3)x+16(m是常数)是完全平方式,则m 的值是 . 题型② 完全平方公式的拓展 【例2】计算:((1)(a+b+c)²; (2)(2x+y-3)²; 题型③ 平方差公式与完全平方公式 【例3】计算:(1)(x+y+z)(x-y-z);(2)(x+2y-3)(x-2y+3). 题型④ 化简求值 【例4】先化简,再求值:(2x+1)(2x-1)-(2x-3)²,其中x=-1. 实 战 演 练 1.已知多项式 是一个完全平方式，则k 的值为 . 2.如果 是一个完全平方式，那么m 的值是 . 3.计算: ; (2)99²-103×97; 4.计算:(1)(a+2b-3c)²; (3)(x+5y-9)(x-5y+9); (4)(2a-b+3c)(2a+b-3c). 板块三 完全平方公式的应用 公式变形： 典 例 精 讲 题型1在 中，知“二”求“三” 类型1 知a+b,a-b求值 【例1】已知 求 和 ab 的值. 类型2 知 ab,a+b 求值 【例2】已知ab=2,a+b=3,求 和a-b的值. 类型3 知a+b或 求值 【例3】已知 求a-b 的值. 类型4 知ab, 求值 【例4】已知 求下列各式的值： 题型2求 的值 【例5】己知 求下列各式的值： 题型3换元法 【例6】若x满足(2022-x)(x-2010)=22,求( 的值. 实 战 演 练 1.解答下列各题： (1)已知x+y=5, xy=3,求 的值； (2)已知 求x+y与x-y的值; (3)已知 求 与 xy的值. 2.已知 求下列各式的值： 3.若 ,求(2022-x)(x-2 002)的值. 学科网（北京）股份有限公司 板块四 配方法 典 例 精 讲 题型① 配方后利用非负性求值 【例1】已知 求x,y的值. 题型2 裂项配方 【例2】已知 求a,b 的值. 题型③ 作差后配方比较大小 【例3】已知 求证:M<N. 题型④ 求最值 【例4】求代数式 的最大值. 【例5】求代数式 的最小值. 实 战 演 练 1.已知 求 的值. 2.已知 求ab°的值. 3.已知 求 的值. 4.当x，y为何值时，多项式 有最小值?并求出这个最小值. 5.求代数式 的最大值. 6.若 其中x 为任意实数，试比较 M 和 N 的大小，并说明理由. 板块五 整式乘法与几何图形结合 典 例 精 讲 【例1】如图，长方形ABCD 的周长为16，四个正方形的面积和为68，求长方形ABCD 的面积. 【例2】如图，两个正方形的边长分别为a，b，且(a+b=7,ab=7,求阴影部分的面积. 【例3】如图，C是线段AB 上的一点，以AC，BC为边向两边分别作正方形，设AB=6,两正方形的面积和 求图中阴影部分的面积. 【例4】如图,正方形ABCD 的边长为x,AE=1,CG=2,，长方形 EFGD 的面积是5，四边形NGDH 和四边形MEDQ 都是正方形，四边形 PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积. 实 战 演 练 1.如图,在长方形ABFD 中,点 C,E 分别在AB,BF 上,AD=AC,BE=BC,,连接CD,CE,若AC·BC=10，求图中阴影部分的面积. 2.如图,四边形 ABCD 与四边形DEFG 都是正方形,设AB=a,DE=b(a>b).如果正方形ABCD 的边长比正方形DEFG 的边长多16,它们的面积相差960.求a,b 的值. 3.四张长为a，宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为((a+b)的正方形，图中空白部分的面积为 S₁，阴影部分的面积为： 若 求a :b 的值. 4.如图，将大小不同的两个正方形按图1、图2的方式摆放.若图1中阴影部分的面积是24，图2中阴影部分的面积是30，求大正方形的边长. 第28 讲 情境创新题 板块一 数学活动(课本变式) 【变式1】如图1是某年某月的月历，用如图2所示的“凹”字型框在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为a₁,a₂,a,a₃,a₄.求证:( 为定值. 【变式2】在数表中标出一个“十字星”，通过计算它的十字差(将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差)可发现相应的规律. (1)如图是2025年某月的月历，表中该“十字星”的十字差为 ； (2)将正整数依次填入一个5列的长方形数表中，十字差也是一个定值，求这个定值. 【变式3】小聪同学通过计算下列两位数的乘积：53×57=3021,38×32=1216,84×86=7 224，71×79=5 609，…，发现结果存在某种规律.若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b(其中a，b为小于10 的正整数)，请用你所学整式的乘除运算说明结论的正确性. 板块二综合与实践 活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系 活动资源 提供长度不同的两种木棒各 4根(如图). 活动素材 运用以上8 根木棒(不折断)摆成长方形或正方形，且木棒全部用完.选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法(如图)进行研究. 问题探究过程 发现问题 请观察以上所有图形，并研究不同(2种或2种以上)摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论? 小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍. 小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积. 聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗? 你的发现是 (请用简洁的语言描述). 提出问题 请用代数式表示你的发现(设两种木棒的长度分别为a，b，其中a>b)，四种图形面积分别为S甲，Sz，S丙,ST. 例如：小明的结论是 小张的结论是> 你的结论是 . 分析问题 请用所学的数学知识证明你的结论. 例如：小明的证明方法如下. 证明：∵ , 你的证明： 拓展创新 把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为(a-b)的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系. 迁移运用 根据以上的研究结论，请解决问题：若 ,求x-y 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $